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• Astrid Carolina León Carvajalino

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UNIVERSIDAD FRANCISCO JOSE DE CALDAS FACULTAD TECNOLOGICA INGENIERIA CIVIL PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

16. De todas las fallas de un tipo determinado de unidad de disco duro de computadora se determina que el 20% de estos tiene dañado solo el sector que contiene la tabla de asignación de archivos, en 70% solo los sectores no esenciales están dañados y en el 10% tanto el sector de la asignación como uno o más sectores no esenciales están dañados. Se selecciona aleatoriamente una unidad de disco dañado y se examina.

Evento A daño del sector de asignacion Evento B daño del sector no esencial

´ P( A ∩ B)=0.2 ´ )=0.7 P (B ∩ A P ( A ∩ B )=0.1 a. ¿Cuál es la probabilidad de que el sector de asignación este dañado?

´ ) + P ( A ∩ B ) =0.2+0.1=0.3 P ( A )=P ( A ∩ B

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un sector no esencial este dañado?

´ ) + P ( A ∩ B )=0.7 +0.1=0.8 P ( B )=P ( B ∩ A

c. Si se encuentra que la unidad de disco tiene un sector de asignación dañado. ¿Cuál es la probabilidad de que algunos de los sectores no esenciales también estén dañados?

P ( B| A )=

´ ) 0.1 1 P(B∩ A = = 0.3 3 P ( A)

d. Si se encuentra que la unidad de disco tiene un sector no esencial dañado ¿Cuál es la probabilidad de que el sector de asignación también este dañado?

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P ( A|B )=

P ( A ∩ B´ ) 0.2 1 = = 0.8 4 P (B )

a. Si se encuentra que la unidad de disco tiene un sector de asignación dañado, ¿Cuál es la probabilidad de que ningún sector no esencial este dañado?

P ( A|B )=

´ ) 0.8 P ( A ∩ B)+ P (B ∩ A = =2.66 0.3 P(A)

f. Si se encuentra que la unidad de disco tiene un sector no esencial dañado ¿Cuál es la probabilidad de que el sector de asignación no está dañado? P ( B| A )=

´ ) 0.1 P(B∩ A = =0.125 0.8 P (B )

17 . Un programa de control de calidad en una línea de montaje de botellas de plástico implica inspeccionar botellas terminadas para detectar fallas, como huecos microscopios. La proporción de botellas que tiene tal falla en realidad es de solo 0.0002. Si una botella tiene una falla, la probabilidad es 0.995 de que no pasará la inspección. Si una botella no tiene falla, la probabilidad es de 0.99 de que pasará la inspección. a. Si una botella no pasa la inspección, ¿Cuál es la probabilidad de que tiene falla P ( No pasar )=( 0.9998∗0.01 ) + ( 0.0002∗0.9995 )=0.01019 P ( Falla/ No pasar )=

( 0.0002∗0.9995 ) =0.0196 0.01019

b. ¿Cuál de las siguientes es la interpretación más correcta de la respuesta anterior? i) La mayoría de las botellas que no pasan la inspección no tienen falla ii) La mayoría de las botellas que pasa la inspección tienen falla. Res./ La respuesta más correcta es la afirmación es la i c. Si una botella pasa la inspección. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga falla? P ( Pasar )=( 0.9998∗0.99 ) + ( 0.0002∗0.005 )=0.989

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P ( No falla/ Pasar )=

( 0.9998∗0.99 ) =0.999 0.989

d. ¿Cuál de las siguientes es la interpretación más correcta de la respuesta el inciso c)? i) La mayoría de las botellas que no pasan la inspección tiene falla ii) La mayoría de las botellas que aprueban la inspección no tienen falla. La respuesta más correcta es la afirmación es la ii

e. Explique porqué una probabilidad pequeña en el inciso a) no es un problema tan grande como una gran probabilidad en el inciso c). Si en el inciso B la probabilidad es mas grande, indicaria que las botellas que pasan la inspeccion no estan exeptan de daños

18. La tabla siguiente presenta la función de masa de probabilidad del número de defectos 𝑋 en un tablero de circuitos impresos elegido aleatoriamente.

x p(x) f(x) F(x)

0

1 0.5 0.5 0.5

2 0.3 0.3 0.8

a) Determine 𝑃(𝑋 < 2)= P(0)+P(1)= F(1)=0.8 =80% b) Determine 𝑃(𝑋 ≥ 1)= P(1)+P(2)+P(3)=F(3)-F(0)= 0.5 =50% c) Determine 𝜇. ´x =¿ ´x =0. 8 d) Varianza

σ 2x =1 . 6−( 0. 8 )2=0.96

3 0.1 0.1 0.9

0.1 0.1 1

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19. Un automóvil viejo con un motor de cuatro cilindros es llevado a un taller para ajustarlo. Sea X el número de cilindros con compresión baja.

a) ¿Cuál de las tres funciones dadas en la tabla siguiente es una función de masa de probabilidad posible de X? Explique. 

Por definición de probabilidad

Entonces: La función numero dos porque su sumatoria total por cada intervalo de cilindros con compresión baja será igual a la unidad. b) Para la función de masa de probabilidad posible, calcule media y varianza 

Media

1 ( ( 0.1∗0 )+ ( 0.3∗1 ) + ( 0.3∗2 ) + ( 0.2∗3 ) + ( 0.2∗4 ) ) 10 ´x =0.23 ´x =



Varianza 0.021 σ 2x = 10 2 σ x =0.0021

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20. En 100 días diferentes, un ingeniero especializado en el tránsito de automóviles cuenta el número de éstos que pasan por cierto crucero entre las 5:00 y 5:05 p.m. Los resultados se presentan en la tabla siguiente.

a) Sea 𝑋 el número de automóviles que pasan por el crucero entre las 5:00 y las 5:05 p.m. en un día elegido aleatoriamente. Alguien sugiere que para cualquier entero positivo 𝑥, la de masa de probabilidad de 𝑋 es 𝑝1(𝑥) = (0.2)(0.8) 𝑥 . Usando esta función, calcule 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) para valores de 𝑥 de 0 a 5 inclusive. P(0) = (0,2)(0,8 ¿ ¿0 = 0,2 P(1) = (0,2)¿ = 0,16 P(2) = (0,2)(0,8)2= 0,128 P(3) = (0,2)(0,8 ¿ ¿3= 0,1024 P(4) = (0,2)(0,8)4 = 0,0819 P(5) = (0,2)(0,8)5 = 0,0655 b) Otra persona sugiere que para cualquier entero positivo 𝑥, la función de masa de probabilidad es 𝑝2 (𝑥) = (0.4)(0.6) 𝑥 . Usando esta función, calcule 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) para valores de 𝑥 de 0 a 5 inclusive. P(0) = (0,4)(0,6 ¿ ¿0 = 0,4 P(1) = (0,4)¿ = 024 P(2) = (0,4)(0,6)2= 0,144 P(3) = (0,4)(0,6 ¿ ¿3 = 0,0864 P(4) = (0,4)(0,6)4 = 0,0518 P(5) = (0,4)(0,6)5 = 0,0311

c) Compare los resultados de los incisos a) y b) con los datos de la tabla. ¿Cuál función de masa de probabilidad parece ser el mejor modelo? Explique.

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En ambas funciones las proobabilidades no son las mismas, pero se aproximan por manejo de decimales d) Alguien dice que ninguna de las funciones es un buen modelo ya que ninguna coincide exactamente con los datos. ¿Esto es correcto? Explique. Aunque es cierto que en ningun modelo coincide, al estar hablando sobre una muestra no tenemos datos exactos de lo que ocurre con la poblacion 21. .La hidrogenación del benceno para el ciclohexano es promovida con uncatalizador de níquel dividido en poros finos. El catalizador de partículas se puede considerar como esferas de diferentes tamaños. Todas las partículas tienen masas entre 10 y 70𝜇𝑔. Sea X la masa de una partícula elegida aleatoriamente. La función de densidad de probabilidad de X está dada por:

a) ¿Cuál es la proporción de partículas que tiene una masa menor a 50 μg? 50

50

x−10 x 2−20 x ∫ 1800 dx=¿ 3600 =0.444 ¿ 10 10

|

b) Determine la media de las masas de las partículas. 70

70

x−10 x 2−15 x ∫ 1800 dx=¿ 3600 =50¿ 10 10

|

c) Determine la desviación estándar de las masas de las partículas. 70

70

x−10 3 x 4 −40 x 3 2 σ =∫ x dx−50 =¿ −502=200¿ 1800 21600 10 10 2 x

2

|

σ x =√ 200=14.142 d)Determine la función de distribución acumulativa de las masas de laspartículas. x

F ( x )= ∫ f ( t ) dt −∞

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If x< 10 , F ( x )= ∫ 0 dt =0 −∞

x2 −10 x +50 t−10 2 If 10 ≤ x