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PROBABILIDADES por Marco Alfaro V.3.0 Febrero, 2008

I. Introducción.

Con el propósito de hacer más fácil la comprensión de los métodos y modelos

probabilísticos,

elaboré

un

gran

número

de

programas

computacionales, en el lenguaje Visual Basic 6.0 de Microsoft. Lo anterior corresponde a varios años de trabajo. La fórmula principal que he utilizado para calcular aproximadamente las probabilidades es la fórmula frecuencial. Supongamos que hemos definido un suceso A (por ejemplo A = al tirar un dado sale impar). Se repite n de veces el experimento (en este caso tirar un dado). Sea nA el número de veces que ocurre el suceso A en las n repeticiones. La probabilidad del suceso A es:

nA n →∞ n

P ( A) = lim

La mayoría de los programas simula problemas de la Teoría de las Probabilidades, repitiendo el experimento un numero grande de veces (del orden de 1000 o más) calculando cada vez la razón nA / n.

Los programas tienen gráficos para ver la evolución de las probabilidades a medida que aumenta el numero n de repeticiones del experimento particular.

Figura 1: Pantalla de un programa particular

Se recomienda al lector, en algunos programas, cambiar los parámetros, para entender mejor los conceptos En algunos problemas se proporciona la solución exacta. Si se analizan los 28 programas se llega a la conclusión de que es mucho más simple simular los problemas, que resolverlos de manera analítica, es decir usando la fórmula:

P ( A) =

número de casos favorables al suceso A número de casos totales

lo que sin duda no agrada al matemático pero si deja conforme al ingeniero porque la aproximación obtenida es aceptable (evitando razonamientos complicados de combinatoria, de probabilidades condicionales, integrales, derivadas, etc.). La única dificultad al resolver un problema de probabilidades por simulación es que, si se tiene la solución analítica, y los resultados de la simulación no concuerdan con esta solución, entonces tenemos una incertidumbre: el programa no es correcto o bien la solución analítica no es correcta...

II. Elementos de Programación. Para una mejor comprensión de los tópicos que analizaremos se recomienda leer un manual del lenguaje Basic y mi libro sobre Estadística. Los puntos más importantes del lenguaje Visual Basic son los siguientes:

II.1 La función RND. El

Basic

contiene

una

función

para

generar

números

aleatorios

independientes entre sí, los cuales son uniformes en el intervalo [0,1), estos números tienen 7 decimales, luego, si: x = RND entonces el mínimo valor que se puede obtener es 0.0000000 y el máximo es 0.9999999.

Ejemplo: Programa para obtener 5 números al azar en [0,1): For i = 1 to 5 x = RND PRINT x Next i Si se ejecuta este programa, se obtiene el resultado siguiente: .7055475 .533424 .5795186 .2895625 .301948 Si se ejecuta nuevamente el programa, se obtiene exactamente el mismo resultado. Para evitar este problema hay que utilizar la instrucción RANDOMIZE, en el comienzo del programa. El programa queda entonces:

RANDOMIZE 3141 For i = 1 to 5 x = RND PRINT x Next i El número 3141 es la “semilla” de los números aleatorios. Al ejecutar este programa se obtiene: 0.6583368 0.8313061 0.2171224

0.7830012 0.6028818 Luego, cada vez que se introduce una semilla distinta, se obtiene una sucesión de números aleatorios diferente. Sin embargo hay que definir cada vez una semilla. Para evitar lo anterior es mejor utilizar la instrucción siguiente: RANDOMIZE TIMER TIMER es una función que entrega el número de segundos transcurridos desde medianoche. Con esto se evita tener que teclear cada vez la semilla que inicializa los números aleatorios.

II.2 Ejemplos. a) Para obtener un número entero al azar uniforme entre a y b (a 0):

f ( x) = λ e− λ x Galton: Simulación de la plancha de Galton (o quincunx). Las bolitas, al depositarse es los compartimientos inferiores, generan la ley de Gauss.

Figura 4: La plancha de Galton. Comprobar que en el intervalo (m - 2s, m + 2s) cae, aproximadamente, el 95% de las bolitas (s es la desviación estándar). Gamma: Calculo de P(a < X < b) para una ley gamma de parámetros λ y t, es decir la variable aleatoria con densidad:

f ( x) =

λ t x t −1e − λ x Γ(t )

Comprobar que para t grande hay convergencia hacia la ley normal. Gauss: Este programa sirve para calcular P(a > X < b) en la ley normal o de Gauss (con parámetros m y σ). Comprobar que cualquiera que sean m y σ se tiene:

P(m – σ < X < m + σ) = 0.68 P(m – 2σ < X < m +2 σ) = 0.95 P(m – 3σ < X < m + 3σ) = 0.997 Generador: Explica cómo se calculan los números pseudo-aleatorios al utilizar el método de las congruencias. Hipergeométrica: Cálculo de probabilidades asociadas a la ley hipergeométrica, por ejemplo: En un estanque hay N peces, n1 peces son rojos y N – n1 peces son negros. Se sacan simultáneamente r peces, sin devolución. Sea X el número de peces rojos entre los r peces. Esta ley de probabilidad es la que siguen algunos juegos de azar, por ejemplo el Loto y el Quino (en el Loto hay 6 premios entre 36 números y se apuesta a 6 números: la probabilidad de acertar los 6 números es: 0.00000051). La ley hipergeométrica converge a la binomial cuando N es grande. Por ejemplo comparar la binomial con n = 4, p = 0.5 con la hipergeométrica de N = 1000, r = 4, n1 = 500. Ahora, si aumentamos r (por ejemplo a 40), se obtiene la ley normal. Las cartas: Problema clásico de las probabilidades: Una secretaria escribió n cartas con sus respectivos sobres. Si pone las cartas al azar en los sobres, ¿cuál es la probabilidad pn de que por lo menos una carta esté en el sobre que le corresponde? Correr el programa con n = 1, 2, 3, 4, 100, 1000. Se observa que a partir de n = 4,

la probabilidad es prácticamente independiente de n. Se

demuestra que converge a

1 lim pn = 1 − = 0.6321 n →∞ e Es decir también se puede calcular el número e por simulación.

Poisson: Cálculo de probabilidades en le ley de Poisson de parámetro λ. Comprobar que cuando λ es grande (probar con nmax = 50, lambda = 20), la ley de Poisson converge a la ley de Gauss. Por otra parte, la binomial tiende a la Poisson cuando n es grande y p es pequeño (cuando λ = np es fijo). Correr binomial con n = 50, p = 0.02, con Poisoon de parámetro λ = 50 x 0.02 = 1 y comparar. La reina: Lo mismo que el alfil pero aplicado a la reina. ¿Cuál es la potencia de la reina? El rey: Simulación de posiciones en el ajedrez, similar al anterior. ¿Cuál es más potente el rey o el caballo? La torre: Similar a los anteriores. La torre es una pieza con gran potencia.

Referencias. Marco Alfaro

Estadística. Tecniterrae, 1998.