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• Mario Durand

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PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES DEFINICIÓN El principio de los trabajos virtuales es un método utilizado en resistencia de materiales para el cálculo de desplazamientos reales en estructuras isostáticas e hiperestáticas, y para el cálculo de las incógnitas que no podemos abordar con el equilibrio en las estructuras hiperestáticas. El principio de los trabajos virtuales puede derivarse del principio de d'Alembert, que a su vez puede obtenerse de la mecánica newtoniana o más generalmente del principio de mínima acción.

"Si una estructura, estando en equilibrio, sufre una deformación virtual debido a la acción de una carga adicional, el trabajo virtual externo de la carga en cuestión, es igual al trabajo virtual interno, desarrollado por las tensiones causadas por la carga " Este principio es muy importante al establecer una relación entre el trabajo de deformación exterior (función de las solicitaciones exteriores: axiles, cortantes, flectores, torsores y las deformaciones lineal y angular) con la energía de deformación interior (función del tensor de tensiones y las deformaciones volumétricas). El P.T.V. fue utilizado por Galileo (1564-1642) para el diseño y cálculo de mecanismos y desarrollado teóricamente con un enunciado más matemático y formal por LaGrange (1736-1813), ya que desarrolla la teoría variacional y escribe su " Mecánica Analítica " donde coloca las bases de dicha disciplina. No obstante, a lo anterior el núcleo teórico del P.T.V. fue enunciado por Santiago Bernoulli (16541705) y por Daniel Bernoulli (1700-1782). El principio de los trabajos virtuales (P.T.V.) se encuentra en la base del Teorema de Castigliano, que es muy importante para la determinación de deformaciones y resolución de estructuras hiperestáticas, especialmente en el conjunto de las estructuras planas de nudos articulados y mixtas. El trabajo realizado por las fuerzas externas durante la deformación del cuerpo ocasionado por estas fuerzas se denomina trabajo externo o simplemente trabajo. Ahora el concepto de trabajo se extenderá al fenómeno en el cual el trabajo es realizado por un sistema de cargas durante su desplazamiento debido a causas diferentes a las cargas en sí mismas. Por ejemplo, si se toma un cuerpo rígido en equilibrio bajo el sistema de fuerzas 𝑃 como se muestra en la figura 2.8-1, y se supone que el cuerpo se mueve como un cuerpo rígido a causa de algunos otros efectos independientes del sistema 𝑃, y que toma una nueva posición como se indica con las líneas a trazos, el trabajo realizado por las fuerzas P durante este pequeño movimiento se llama trabajo virtual y a los desplazamientos vi los llamaremos desplazamientos virtuales.

Figura 1 Cuerpo rígido en equilibrio bajo el sistema de fuerzas 𝑃. En consecuencia, el trabajo virtual es:

Puesto que el cuerpo ha experimentado un movimiento de cuerpo rígido, 𝑣𝑖 será el mismo en todas partes, o sea 𝑣0 = 𝑣𝑖 ; por consiguiente

Sin embargo, como se estableció previamente, el cuerpo estaba en equilibrio bajo el sistema de cargas 𝑃, luego

La ecuación (2.8-4) establece que, si un sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido esta en equilibrio, cuando al cuerpo se le dé un pequeño desplazamiento virtual, el trabajo total realizado por esas fuerzas es igual a cero. Inversamente, si el trabajo realizado por un sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido es cero, entonces dicho cuerpo está en equilibrio. Este enunciado que normalmente se conoce como el principio de trabajo virtual de Bernoulli, puede aplicarse también a un cuerpo deformable. Por ejemplo, supongamos que el cuerpo elástico

mostrado en la figura 2.8-2 está sometido a un conjunto de fuerzas 𝑃 y permanece en equilibrio en su forma deformada. Un elemento diferencial sacado del cuerpo estará también en equilibrio bajo la acción de los esfuerzos desarrollados en su contorno interior por el sistema de fuerzas 𝑃.

Supongamos ahora que, por alguna razón, por ejemplo, otro conjunto de cargas, la temperatura, etc., el cuerpo se deforma mientras el sistema de cargas 𝑃 está presente. Verdaderamente, durante su deformación cualquier elemento diferencial como el que se muestra achurado en la figura 2.8-2 se desplazara y los esfuerzos virtuales sobre sus contornos realizaran algún trabajo. Designemos este trabajo por 𝑑𝑊𝑠 . Parte de este trabajo se debe al movimiento como cuerpo rígido del elemento y la otra parte se debe al cambio de forma del elemento. Ya que al cambio de forma del elemento lo hemos llamado deformación del elemento, el trabajo realizado por los esfuerzos 𝑃 durante tal deformación se llamará 𝑑𝑊𝑑 . En consecuencia, la parte remanente del trabajo, 𝑑𝑊𝑠 − 𝑑𝑊𝑑 , se realiza por los esfuerzos 𝑃 durante el movimiento del elemento como cuerpo rígido, sin embargo, como los esfuerzos sobre los contornos del elemento están en equilibrio, el trabajo realizado por ellos durante el movimiento de cuerpo rígido es igual a cero. De donde

o, para el cuerpo completo

donde 𝑊𝑠 representa la suma de los trabajos virtuales realizados por los esfuerzos 𝑃 sobre los contornos de cada elemento del cuerpo. Sin embargo, cada elemento tiene superficies de contorno comunes con el elemento adyacente en las cuales los esfuerzos son iguales y opuestos uno a otro. Verdaderamente, el trabajo realizado por los esfuerzos iguales y opuestos durante el mismo desplazamiento es igual a cero. Como resultado de esto, el trabajo realizado por los esfuerzos P en todas las superficies de contorno interiores suma cero. Por tanto, 𝑊𝑠 será únicamente el trabajo realizado por las fuerzas externas P aplicadas sobre los contornos externos. En consecuencia, la ecuación (2.8-6) establece que si un sistema de fuerzas P actúa sobre un cuerpo deformable está en equilibrio cuando en el cuerpo se presentan pequeñas deformaciones ocasionadas por otros efectos, el trabajo virtual externo realizado por las fuerzas 𝑃 es igual al trabajo virtual interno realizado por los esfuerzos 𝑃.

Este enunciado es válido independientemente de la causa o el tipo de deformación virtual teniendo en cuenta que durante las deformaciones virtuales la geometría de las estructuras no se altera apreciablemente y que las fuerzas 𝑃 permanecen en equilibrio.