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TEMA 5: PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

Dinámica de Sistemas Multicuerpo cod. 12595 Grado en Ingeniería Mecánica Escuela Técnica Superior de Ingeniería del Diseño

Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales Área de Ingeniería Mecánica http://www.upv.es/ingmec Centro de Investigación de Tecnología de Vehículos http://www.upv.es/citv

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

 5.1. Equilibrio estático • 5.1.1

Cuerpo rígido

• 5.1.2

Sistema mecánico

• 5.1.3

Ecuaciones de equilibrio

 5.2. Equilibrio dinámico • 5.2.1

Cuerpo rígido

• 5.2.2

Ecuaciones de equilibrio

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PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

5.1.1. Equilibrio Estático: Cuerpo Rígido

Sólido sometido a F1i, F2i,..., Fnfi y a M1i, M2i,..., Mnmi, equivalente a una fuerza y un momento Fei y Mei. El trabajo virtual del sistema de fuerzas original será:

T δWi = F1Ti δr1i + F2Ti δr2i +  + Fnfi δrnfi + ( M 1i + M 2i +  + M nmi )δθi =

 nm T  = ∑ F δr ji + ∑ M ji δθi j =1   j =1 nf

T ji

El trabajo virtual del sistema equivalente será:

δWei = FeiT δrei + M ei δθi ETSID - GIM

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PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

5.1.1. Equilibrio Estático: Cuerpo Rígido Como

δWi = δWei

quedará:

 nm T  T   M δθ = F r F δ + ∑ ji ei δrei + M ei δθi  ∑ ji  i j =1   j =1 nf

T ji

Si un cuerpo está en equilibrio, la fuerza y el momento resultante se anulan

Fei = 0

y

M ei = 0 ⇒

FeiT δrei = 0

y

M ei δθi = 0

luego

 nm T  F δr ji + ∑ M ji δθi = 0 ∑ j =1  j =1  nf

T ji

El principio de los trabajos virtuales dice que el trabajo virtual de las fuerzas y momentos aplicados a un cuerpo en equilibrio estático, es nulo

δWi = 0 ETSID - GIM

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PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

5.1.2. Equilibrio Estático: Sistema Mecánico

Las fuerzas y momentos incluirán las externas y las de restricción

δWi = δWei + δWci = 0 Si el sistema está compuesto de nb cuerpos quedará: nb

nb

nb

∑ δW = ∑ δW + ∑ δW i

i =1

i =1

ei

i =1

ci

=0

Por ser pares ideales nb

∑ δW i =1

ci

=0

Luego la ecuación de equilibrio estático quedará nb

δWe = ∑ δWei = 0 i =1

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5.1.3. Equilibrio Estático: Ecuaciones de Equilibrio Dado un sistema mecánico sometido a nf fuerzas y nm momentos externos

{ M = {M

F = F1T

F2T  FnfT T 1

}

T

T M 2T  M nm

}

T

El trabajo virtual será: nf

nm

δWe = ∑ F δr j + ∑ M Tj δθ j = 0 j =1

T j

j =1

Expresado en función de las coordenadas independientes

 nf T ∂r j nm T ∂θ j  δq i = QTe δq i = 0 δWe =  ∑ F j +∑ M j ∂q i j =1 ∂q i   j =1 como los desplazamientos δqi son independientes

Qe = 0 Sistema de ecuaciones algebraicas con un número de ecuaciones y de incógnitas igual al número de coordenadas independientes. ETSID - GIM

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PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

EJEMPLO 5.1 Determinar el valor de las fuerzas externas para que el sistema permanezca en equilibrio estático

δWe = M 2 δθ2 − m2 gδR y 2 − m3 gδR y 3 + F3T δrP 3 = 0 δq i = {δθ2 Ry 2 =

l2 s2 2

δθ3 }

T

δR y 2 =

l2 c2 δθ2 2

l3 l s3 δR y 3 = l2 c2 δθ2 + 3 c3δθ3 2 2 − l2 s2 δθ2 − l3 s3δθ3  l2 c2 + l3c3  =   δrP 3 =  l s l s l c l c δθ + δθ +  2 2 2 3 3 3   2 2 3 3

R y 3 = l2 s2 + rP 3

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EJEMPLO 5.1

l2 c2 − m3 gl2 c2 − F3l2 s2 cφ + F3l2 c2 sφ )δθ2 + 2 l   +  − m3 g 3 c3 − F3l3 s3cφ + F3l3c3 sφ δθ3 = Qθ 2 δθ2 + Qθ3δθ3 2  

δWe = ( M 2 − m2 g

El equilibrio supone la anulación del trabajo virtual, y como las coordenadas angulares son independientes supondrá también la anulación de las fuerzas generalizadas asociadas a estas coordenadas. Igualando a cero y despejando:

F3 =

m3 gc3 2 sφ − 3

l 2 sφ − 2 l2 M 2 = m2 g c2 + m3 gl2 c2 − m3 gc3 2 2 sφ − 3

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5.2.1. Equilibrio Dinámico: Cuerpo Rígido El principio D’Alambert permite transformar las ecuaciones del movimiento en ecuaciones de equilibrio dinámico, incorporando las fuerzas de inercia

Fi − mi a i = 0 M − J θ = 0 i

i i

Como consecuencia del equilibrio, el trabajo virtual asociado al conjunto de fuerzas y momentos será nulo

(

)

(Fi − mi a i )T δR i + M i − J i θi δθi = 0 δWi − δWii = δWci + δWei − δWii = 0 Como puede verse en esta expresión, el trabajo virtual total estará compuesto del de las fuerzas de restricción, de las exteriores y de las de inercia.

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5.2.2. Equilibrio Dinámico: Ecuaciones de Equilibrio

Para un sistema mecánico de nb barras, el trabajo virtual quedará: nb

∑ (δW i =1

ci

nb

+ δWei − δWii ) = ∑ (δWei − δWii ) = 0 i =1

δWe − δWi = 0 En consecuencia las ecuaciones de la dinámica podrán obtenerse de la siguiente manera

δWe = QTe δq i δWi = QTi δq i

(Q

T e

)

− QTi δq i = 0

Como las coordenadas son independientes:

Qe = Qi ETSID - GIM

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EJEMPLO 5.2 Obtener las ecuaciones de la dinámica para el manipulador del ejemplo anterior

Para las fuerzas externas tendremos que:

δWe = QTe δq i siendo q i = {θ 2

θ3 }

T

y

Q e = {Qeθ 2

Qeθ3 }

T

El trabajo virtual de las fuerzas externas ya fue calculado en el ejemplo anterior, por tanto identificando términos quedará:

Qeθ 2 = M 2 − m2 glO 2 c2 + m3 gl2 c2 + F3l2 sφ−θ2 Qeθ3 = − m3 gl A3c3 + F3l3 sφ−θ3

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EJEMPLO 5.2

Por otra parte el trabajo virtual de las fuerzas de inercia será:

δWi = m2 a x 2 δRx 2 + m2 a y 2 δR y 2 + J 2θ2 δθ2 + m3 a x 3δRx 3 + m3 a y 3δR y 3 + J 3θ3δθ3 Las ecuaciones de restricción en los desplazamientos virtuales serán:

l2 s2 δθ2 2

Rx 2 =

δRx 2 = −

Ry 2

l2 c2 2 l = 2 s2 2

δR y 2 =

R x 3 = l 2 c2 +

δRx 3 = −l2 s2 δθ2 −

Ry 3

l3 c3 2 l = l2 s2 + 3 s3 2

δR y 3 = l2 c2 δθ2 +

l2 c2 δθ2 2 l3 s3δθ3 2

l3 c3δθ3 2 ETSID - GIM

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EJEMPLO 5.2

Si

δWi = QTi δq i siendo Q i = {Qiθ 2

Qiθ3 }

T

Sustituyendo las ecuaciones de restricción e identificando términos quedará:

Qiθ 2 Qiθ3

l2 l2 = − m2 a x 2 s2 + m2 a y 2 c2 + J 2θ 2 − m3 a x 3l3 s2 + m3 a y 3l3c2 2 2 l l = − m3 a x 3 3 s3 + m3 a y 3 3 c3 + J 3θ3 2 2

La ecuación de equilibrio dinámico es Qe= Qi, por tanto quedará:

l2 l s2 + m2 a y 2 2 c2 + J 2θ 2 − m3 a x 3l3 s2 + m3 a y 3l3c2 = 2 2 l2 = M 2 − m2 g c2 − m3 gl2 c2 + F3l2 sφ−θ2 2 l3 l3 l3   − m3 a x 3 s3 + m3 a y 3 c3 + J 3θ3 = − m3 g c3 + F3l3 sφ−θ3 2 2 2 − m2 a x 2

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