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• Carlos Prada Torres

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

ESTRUCTURAS Ejercicios Resueltos de: Aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquín C-3064/3

Año: 2009

Corregido:GUTAWSKI Alex

¾ Ejercicio Nº1: Determinar el descenso de la sección media de la viga.

Diagrama de Cuerpo libre p/Cargas P0

Cálculo de reacciones P/Cargas P0

∑M ∑F

V

A

= 0 => − RB ⋅ 7 m + 10tn ⋅ 2m => RB = 2,86tn

= 0 => 10tn − RB − R A = 0 => R A = 7,14tn

Cálculo de los Momentos Flectores P/Cargas P0 MA MC

Estructuras 2009

0 R A · 2m

MB 14.28tm MD

0 R A · 3,50m

10 · 1,50m

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

10tm

Pág. 1

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Diagrama de Momentos Flectores P/Estado “0” P0

Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga X 1 = 1tm

Cálculo de Reacciones P/Carga X 1 = 1tm

∑M ∑F

V

A

= 0 => − RB ⋅ 7 m + 1tn ⋅ 3,5m => RB = 0,50tn

= 0 => 1tn − RB − R A = 0 => R A = 0,50tn

3) Cálculo de los Momentos Flectores P/Carga X 1 = 1tm MA MC

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0 R A · 2m

1tm MD

MB 0 R A · 3,50m

1,75tm

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4) Diagrama de Momentos Flectores P/Estado “I” X 1 = 1tm

5) Cálculo del descenso del Punto “D” (Despreciando los Esfuerzos de Corte y Normal) l

Te = Ti = X1 ⋅ δ A = ∫ 0

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M ⋅ M* dx E⋅I

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54,58 · · ·1

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54,58 3 10

·

· 1,302 10

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0,1397

13,97

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¾ Ejercicio Nº2: Calcular la Rotación del Punto “A” Datos: E = 300.000 kg/cm2

Estado “0” (P0) Diagrama de Cuerpo Libre P/Cargas P0

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Cálculo de Reacciones P/Cargas P0 2 2 1 t ⋅ (6 m ) 1t ⋅ 3 m q ⋅ (6 m ) ∑ M A = 0 => − VD ⋅ 6 m + 2 + H ⋅ 3 m => VD = m2 ⋅ 6 m + 6 m 2 1 t ⋅ (6 m ) 1t ⋅ 3 m q ⋅ (6 m ) m = => ⋅ − + ⋅ => = − M 0 V 6 m H 3 m V ∑ D A A 2 2⋅6m 6m

=>

VD = 3,50 t

2

∑ FX = 0

=>

VA = 2,50 t => H - H D = 0 => H D = H => H = 1,00 t

Cálculo de los Momentos Flectores P/Cargas P0 M 0A = 0 M 0B = 0

q ⋅ (2 m ) M = H D ⋅ 3 m − VD ⋅ 2 m + = 2,00 tm 2 M 0D = 0 2

0 C

Diagrama de Momentos Flectores P/Estado “0” P0

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Estado “I” (X 1 = 1tm ) 6) Estado de Carga P/Carga X 1 = 1tm

7) Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga X 1 = 1tm

8) Cálculo de Reacciones P/Carga X 1 = 1tm

∑MA = 0

=> VD ⋅ 6 m − X1

=> VD =

X1 1tm = 6m 6m

=>

VD = 0,17 t

∑MD = 0

∑ FX = 0

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=> VA ⋅ 6 m − X1

=> VA =

X1 1tm = 6m 6m

=>

VA = 0,17 t => H D = 0

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9) Cálculo de los Momentos Flectores P/Carga X 1 = 1tm

M1A = − 1tm M1B = − 1tm M 1C = − VD ⋅ 2 m = − 0,34 tm M 1D = 0

10) Diagrama de Momentos Flectores P/Estado “I” X 1 = 1tm

11) Cálculo de la Rotación del Punto “A” M ⋅ M* dx Te = Ti = X1 ⋅ Φ A = ∫ E⋅I 0 l

1 ΦA = X1

C D ⎡B M ⋅ M * M ⋅ M* M ⋅ M* ⎤ dx + ∫ dx + ∫ dx ⎥ ⋅ ⎢∫ E⋅I E⋅I ⎢⎣ A E ⋅ I ⎥⎦ B C

a) Cálculo de las Inercias: 0,20 m ⋅ (0,20 m ) = 0,00013 m 4 12 3 0,20 m ⋅ (0,40 m ) = = 0,00107 m 4 12 3 0,20 m ⋅ (0,30 m ) = = 0,00045 m 4 12 Adoptando como I 0 = I BC = 0,00107 m 4

I AB = I BC I CD

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3

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b) Cálculo de los Coeficientes “αik”:

α ik =

I ik I0

α AB =

I AB 0,00013 m 4 = I0 0,00107 m 4

=> α AB = 0,121

α BC =

I BC 0,00107 m 4 = I0 0,00107 m 4

=> α BC = 1,00

α CD =

I CD 0,00045 m 4 = I0 0,00107 m 4

=> α CD = 0,422

C D ⎡B M ⋅ M * ⎤ M ⋅ M* M ⋅ M* ⋅ ⎢∫ dx + ∫ dx + ∫ dx ⎥ E ⋅ I 0 ⋅ α BC E ⋅ I 0 ⋅ α CD ⎥⎦ B C ⎣⎢ A E ⋅ I 0 ⋅ α AB C D ⎡B M ⋅ M * 1 M ⋅ M* M ⋅ M* ⎤ ΦA = ⋅ ⎢∫ dx + ∫ dx + ∫ dx ⎥ X1 ⋅ E ⋅ I 0 ⎢⎣ A α AB α BC α CD ⎥⎦ B C

ΦA =

1 X1

c) Cálculo de las Integrales por Tramos: •

Tramo “AB”: lAB = 3,00 m

;

αAB = 0,121

Nota: Como el Momento Flector correspondiente al Estado “0”, para este tramo es igual a cero, el valor de la integral para dicho tramo también valdrá cero. M ⋅ M* ∫ α AB dx = 0 A B

•

Tramo “BC”: lBC = 4,00 m

;

αBC = 1,00

Diagramas de Momentos Flectores Estado “0”

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Estado “I”

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Con estos diagramas entramos a la tabla y obtenemos los siguientes datos:

{[ (

)

][ (

)

l BC M ⋅ M* 1 1 0− A 1 1 0− B ∫ α BC dx = α BC ⋅ − 13 ⋅ M B + M C ⋅ M BC − 16 ⋅ M B + 2 ⋅ M C ⋅ M BC B

C

{[

][

]}

M ⋅ M* 4m ∫ α BC dx = 1,00 ⋅ − 13 ⋅ (1tm + 0,34tm ) ⋅ 2tm − 16 ⋅ (1tm + 2 ⋅ 0,34tm ) ⋅ 2tm B

C

]}

M ⋅ M* 2 3 ∫B α BC dx = − 5,80 t m

C

•

Tramo “CD”: lCD = 3,61 m

;

αCD = 0,422

Diagramas de Momentos Flectores Estado “0”

Estado “I”

Con estos diagramas entramos a la tabla y obtenemos los siguientes datos:

{[

][

l CD M ⋅ M* 1 0− A 1 0− B ∫ α CD dx = α CD ⋅ − 13 ⋅ M C ⋅ M CD − 13 ⋅ M C ⋅ M CD C D

{[

][

]}

M ⋅ M* 3,61m ∫ α CD dx = 0,422 ⋅ − 13 ⋅ 0,34tm ⋅ 0,5tm − 13 ⋅ 0,34tm ⋅ 2tm C D

]}

M ⋅ M* 2 3 ∫ α BC dx = − 2,42 t m B Reemplazando los valores obtenidos en las integrales por tramos en la ecuación general y además reemplazando en esta misma ecuación los datos de E e I0 tendremos como resultado la rotación del punto “A”. C D ⎡B M ⋅ M * 1 M ⋅ M* M ⋅ M* ⎤ dx + ∫ dx + ∫ dx ⎥ ΦA = ⋅ ⎢∫ X1 ⋅ E ⋅ I 0 ⎢⎣ A α AB α α ⎥⎦ BC CD B C 1 ΦA = ⋅ 0 − 5,80t 2 m 3 − 2,42t 2 m 3 4 t 1tm ⋅ 0,00107m ⋅ 3000000 m2 Φ A = − 0,00256rad = 0,146" C

[

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¾ Ejercicio Nº3:

q = 1t/m

At = 5 cm²

2t 1t D

E

F

30/50

30/30

C

30/50

30/30

A

B

Estado “0” (P0) Diagrama de Cuerpo Libre P/Cargas P0

RC

q = 1t/m 2t 1t D

30/30

30/50

F

E

30/50

C

30/30

B H

A

RB V

RA

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RB

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Reacciones, Momento Flector y Esfuerzo Normal P/Cargas P0

El cálculo para este estado dio los siguientes resultados: REACCIONES , , ,

FLECTOR

NORMAL

MA = 0 MD = 1 tm MF = 0 ME = -9tm (izquierda) ME = -4tm (abajo) ME = -5tm (derecha) MC = 0 MB = 0

NAD = -0,56t (compresión) NDE = -1t (compresión) NEC = 0 NBE = -8,75t (compresión) NC = 0,75t (tracción)

Diagrama de Momentos Flectores P/Estado “0” P0 -9tm

-5tm

-

-

1tm D + +

A

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F

E

-4tm

C

-

B

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Diagrama de Esfuerzos Normales P/Estado “0” P0

+ 0,75t -1t D

E

F

C

-

-

-0.56t

-8,75t

A B

ESTADO “1” (desplazamiento horizontal)

Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga X 1 = 1t

RC

X1=1t D

30/30

30/50

F

E

30/50

C

30/30

B H

A

RB V

RA

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RB

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Reacciones, Momento Flector y Esfuerzo Normal P/Cargas P1

El cálculo para este estado dio los siguientes resultados: REACCIONES

FLECTOR

NORMAL

MA = 0 MD = 0 MF = 0 ME =0 (izquierda) ME = -4tm (abajo) ME = 4tm (derecha) MC = 0 MB = 0

NAD = 0 NDE = -1t (compresión) NEC = 0 NBE = 1t (tracción) NC = 1t (tracción)

Diagrama de Momentos Flectores P/Estado “1” P1

-4tm D

F

E

+

C

4tm -

A B

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Diagrama de Esfuerzos Normales P/Estado “1” P1

+ 1t -1t D

F

E

C

+ 1t

A

Cálculo del desplazamiento horizontal del punto “D” l

Te = Ti = X 1 ⋅ δ D = ∫ 0

M ⋅ M* NN dx dx + ∫ E⋅I EΩ 0 l

E C E D ⎡ M⋅M ⎤ M ⋅ M* M ⋅ M* M ⋅ M* N⋅ N* dx + ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx + ⎥ ⎢∫ E⋅I E⋅I E⋅I E⋅Ω 1 ⎢A E ⋅I D E B A ⎥ ⋅ E δD = C E * * * ⎢ ⎥ X1 N⋅N N⋅N N⋅N ⎢+ ∫ ⎥ dx + ∫ dx + ∫ dx ⋅ Ω ⋅ Ω E E ⎢⎣ D E ⋅ Ω ⎥⎦ E B D

*

Cálculo de las Inercias: 0,30 m ⋅ (0,30 m ) = 6,75 ⋅10 − 4 m 4 12 3 0,30 m ⋅ (0,50 m ) = I EC = = 3,125 ⋅10 −3 m 4 12 3

I AD = I EB = I DF = I FE

Adoptando como I 0 = 6,75 ⋅10 −4 m 4

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Cálculo de los Coeficientes “αik”: α ik =

α AD = α EB

I AD 6,75 ⋅ 10 −4 m 4 = = I0 3,125 ⋅ 10 −3 m 4

α DF = α FE = α EC

I ik I0

=> α A D = 0,216

I BC 3,125 ⋅10 −3 m 4 = = I 0 3,125 ⋅10 −3 m 4

=> α DF = 1,00

Cálculo de las áreas “Ωik”: ΩAD ΩDF

ΩEB ΩFE

0.3 · 0.3 0.09m ΩEC 0.3 · 0.5 0.15m

Calculo de las integrales por tramos

-

Momentos flectores:

Tramo AD = Tramo DE = 0 Tramo EB (l = 4m) -4tm

1

5·4·4·4

12,8

59,26

-

4tm

Tramo EC (l = 4m) -5tm

1

-

5·4· 5·4

16

16

+ 4tm

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-

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Esfuerzos Normales:

Tramo AD = Tramo EC = 0 Tramo DE (l = 4m) = Tramo BE (l = 4m) =

· ·

26,66

, ·

,

·

388,88

,

E C E ⎡D M ⋅ M* 1 M ⋅ M* M ⋅ M* M ⋅ M* ⎤ ⋅⎢ δ = dx + ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx ⎥ + X1 ⋅ E ⋅ I 0 ⎣ ∫A α AD α DE α EC α BE D E B ⎦ D E C E * * * * ⎤ 1 ⎡ N⋅N N⋅N N⋅ N N⋅N ⋅ ⎢∫ dx + ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx ⎥ X1 ⋅ E ⎣ A E ⋅ Ω AD E ⋅ Ω DE E ⋅ Ω EC E ⋅ Ω BE ⎦ D E B 1 δ DH = ⋅ 59,26tn 2 ⋅ m 3 − 16tn 2 ⋅ m 3 + −3 6 tn 1tn ⋅ 3 ⋅10 ⋅ 3,125 ⋅10 m2 1 ⋅ 26,66tn 2 ⋅ m 3 − 388,88tn 2 ⋅ m 3 6 tn 1tn ⋅ 3 ⋅10 m2 = 4,61⋅10 −3 m − 1,2074 ⋅10 − 4 m = 4,5 ⋅10 −3 m Para Acero H D

[

]

[

]

6,42 · 10 ESTADO “II” (desplazamiento vertical) Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga X 2 = 1 t

RC

X 2=1t

D

30/30

30/50

F

E

30/50

C

30/30

B H

A

RB V

RA

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RB

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Reacciones, Momento Flector y Esfuerzo Normal P/Cargas P2

El cálculo para este estado dio los siguientes resultados: FLECTOR

NORMAL

MA = 0 MD = 1tm MF = 0 ME =-1tm (izquierda) ME = 0 (abajo) ME = -1 (derecha) MC = 0 MB = 0

NAD = -0,56t (compresión) NDE = 0 NEC = 0 NBE = -0,75t (compresión) NC = -0,25t (compresión)

REACCIONES , , ,

Diagrama de Momentos Flectores P/Estado “II” P2

D

+ + 1tm

F

-1tm E

C

A B

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Diagrama de Esfuerzos Normales P/Estado “II” P2

-

D

F

C

E

-0.75t

-

-

-0.25t

-0.56t

A

B

Calculo de las integrales por tramos

-

Momentos flectores:

Tramo AD (l = 4,47m) + 1tm

1

3 · 4,47 · 1 · 1

1,49

6,9

+ 1tm

Tramo DF (l = 2m) +

5

1tm

12 · 2 · 1 · 1

0,83

0,83

+ 1tm

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Tramo FE (l = 2m) -9tm

1 -

5·2·1·9

3,6

3,6

-1tm -

Tramo EC (l = 4m) -5tm

1

-

5·4·5·1

4

4

-1tm -

-

Esfuerzos Normales: ,

Tramo AD (l=4,47m) = Tramo BE (l = 4m) =

· ,

· ,

15,55

,

· ,

· , ,

291,66

E C E ⎡D M ⋅ M* M ⋅ M* M ⋅ M* M ⋅ M* ⎤ ⋅ ⎢∫ dx + ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx ⎥ + α α α α AD DE EC BE A D E B ⎣ ⎦ D E C E * * * * ⎤ 1 ⎡ N⋅N N⋅N N⋅N N⋅N ⋅ ⎢∫ dx + ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx ⎥ X1 ⋅ E ⎣ A E ⋅ Ω AD E ⋅ Ω DE E ⋅ Ω EC E ⋅ Ω BE ⎦ D E B 1 δ DV = ⋅ 6,9tn 2 ⋅ m 3 + 0,83tn 2 ⋅ m 3 + 3,6tn 2 ⋅ m 3 + 4tn 2 ⋅ m 3 + −3 6 tn 1tn ⋅ 3 ⋅10 ⋅ 3,125 ⋅10 m2 1 ⋅ 15,55tn 2 ⋅ m 3 + 291,66tn 2 ⋅ m 3 6 tn 1tn ⋅ 3 ⋅10 m2 = 1,63 ⋅10 −3 m + 1,024 ⋅10 −4 m = 1,73 ⋅10 −3 m Para Acero

δ DV =

1 X1 ⋅ E ⋅ I 0

[

]

[

]

6,42 · 10

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El Desplazamiento del punto D estará dado por la suma de los desplazamientos horizontal y vertical entonces será HORMIGON 4,5 · 10

1,73 · 10

4,82 · 10

ACERO 6,42 · 10

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6,42 · 10

9,08 · 10

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Pág. 21