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PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ANALISIS MATEMATICO II Alumnos: -CUSQUISIBAN DE LA CRUZ WILCER -EDWAR JHON CHACON ALAYA 1. Graficar la región R comprendida entre las gráficas de las funciones g(y) = 𝑦 3 − 3𝑦 2 + 2𝑦 + 2 ∧ ℎ(𝑌) = 2𝑦 2 − 4𝑦 + 2. ∧ las rectas y=0 ˅ y=3. Previamente hallar intersecciones con los ejes coordenados, intersecciones entre curvas y extremos relativos (máximos y mínimos).

a) Utilizar el programa derive para graficar y verificar resultados I)

Grafica de la función:

𝐶1 : 𝑔(𝑦) = 𝑦 3 − 3𝑦 2 + 2𝑦 + 2 𝐶2 : ℎ(𝑌) = 2𝑦 2 − 4𝑦 + 2 𝑦=0

𝑦=3

Hallamos las intersecciones: 𝑦 3 − 3𝑦 2 + 2𝑦 + 2 = 2𝑦 2 − 4𝑦 + 2 𝑦(𝑦 2 − 5𝑦 + 6) = 0 𝑦=0 ˅ 𝑦=2 ˅ 𝑦=3 Extremos relativos: 𝑔´ (𝑦) = 3𝑦 2 − 6𝑦 + 2 → 3𝑦 2 − 6𝑦 + 2 = 0 ∴ 𝑦 = 0.42 ∧ 𝑦 = 2 ℎ´ (𝑦) = 4𝑦 − 4 → 4𝑦 − 4 = 0

∴𝑦=1

II)

Área de la región R: A(R)

𝑅 = 𝑅1 ∪ 𝑅2 → 𝐴(𝑅) = 𝐴(𝑅1 ) + 𝐴(𝑅2 ) 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 / ℎ(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑔(𝑦) 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 /

∧

𝑔(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ(𝑦)

0 ≤ 𝑦 ≤ 2} ∧

2 ≤ 𝑥 ≤ 3}

h(y)-g(y) 𝑅2 h(y)= 2𝑦 2 − 4𝑦 + 2

dy 𝑔(𝑦) = 𝑦 3 − 3𝑦 2 + 2𝑦 + 2

𝑅1 (g(y)-h(y))

dy

𝑑(𝐴1 ) = (𝑔(𝑦) − ℎ(𝑦))𝑑𝑦

∧

𝑑(𝐴2 ) = (ℎ(𝑦) − 𝑔(𝑦))𝑑𝑦

∧

𝐴2 = ∫ (ℎ(𝑦) − 𝑔(𝑦))𝑑𝑦

2

3

𝐴1 = ∫ (𝑔(𝑦) − ℎ(𝑦))𝑑𝑦 0

2

h(y)-g(y)= 𝑦 3 − 5𝑦 2 + 6𝑦 2

𝐴1 = ∫0 (𝑦 3 − 5𝑦 2 + 6 𝑦) dy ∧ 𝐴1 =

8 2 𝑢 3

Como:

3

𝐴2 = − ∫2 (𝑦 3 − 5𝑦 2 + 6𝑦)𝑑𝑦 𝐴2 = 5/12𝑢2

𝐴(𝑅) = 𝐴(𝑅1 ) + 𝐴(𝑅2 ) 8

5

∴ 𝐴(𝑅) = 3 + 12 A(R) = 37/12𝑢2

b) Graficar el sólido de revolución que se genera cuando la región R rota alrededor de la recta, usando Excel y AutoCAD.

2. Dada la región acotada por las gráficas de las funciones 𝑔(𝑥) =

𝑥2 √𝑥 2

ℎ(𝑥) = 𝑥 2 + 4 + √2

+4

a) Use el programa derive para graficar la región R:

I.

grafica de la región R: 𝐶1 : 𝑔(𝑥) =

𝑥2 √𝑥 2 + 4

𝐶2 : ℎ(𝑥) = 𝑥 2 + 4 + √2

II.

Área de la región R: 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 / −2 ≤ 𝑥 ≤ 2

∧

𝑔(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ ℎ(𝑥)

dfghjk

h(x)= 𝑥 2 + 4 + √2

h(x)-g(y)

dx

𝑥2

𝑔(𝑥) = √𝑥 2

+4

→ 𝑑(𝐴) = (ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 2

𝐴 = ∫ (ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 2 𝑥2

h(x)-g(x)= √𝑥 2 2

𝐴=∫ ( 2

+4

𝑥2 √𝑥 2 + 4

− 𝑥 2 − 4 − √2

− 𝑥 2 − 4 − √2) 𝑑𝑥

𝐴 = 24.8 ∴ 𝐴(𝑅) = 24.8𝑢2

b) Graficar el sólido de revolución que se genera cuando la región R rota alrededor del eje X, usando Excel y AutoCAD.

}

Ejercicio N°3: Graficar, usando el Programa Derive, la región plana R limitada por la gráfica de la función: 𝑦 3 = 𝑥 2 (𝑥 2 − 4)3 ∧ el eje x. Adicionalmente, usando Excel y AutoCAD ∶ ∧ a) Use el programa derive para graficar la región R. 3

𝑦 3 = 𝑥2 (𝑥2 − 4) Grafica de la región R:

3

𝑦 3 = 𝑥2 (𝑥2 − 4)

Área de la región R: A(R)

3

𝑦 3 = 𝑥2 (𝑥2 − 4)

𝑅1

Paso 1: 3

𝑔(𝑥) = 𝑥 2/3 (𝑥 2 − 4)3

Grafica N°1 3

3

Como 𝑦 3 = 𝑥2 (𝑥2 − 4) al pasarlo a 𝑔(𝑥) = 𝑥 2/3 (𝑥 2 − 4)3 y tiene tres raíces dos imaginarias una real, por lo cual g(x) nos da la gráfica N°1. Paso 2: Para poder calcular el área de la región R a la función g(x) le daremos valor absoluto y así tener 3

una región de la misma área que la región que representa la grafica 𝑦 3 = 𝑥2 (𝑥2 − 4) , la cual nos quedaría así: 3

𝑔(𝑥) = |𝑥 2/3 (𝑥 2 − 4)3 |

g(x) 𝑅

dy

d(A)=g(x)dy 2

2

3

𝐴(𝑅1 ) = ∫ (𝑥 3 (𝑥 2 − 4)3 )𝑑𝑦 −2

𝐴(𝑅1 ) = 8.31𝑢2

b) Usando Excel y AutoCAD, graficar el sólido de revolución, generado cuando la región R gira alrededor del eje x.

c)

Usando Excel y AutoCAD, graficar el sólido de revolución, generado cuando la región R gira alrededor del eje y,

d) d) Usando Excel y AutoCAD, graficar el sólido de revolución, generado cuando la región R gira alrededor de la recta y  3.

e) e) Usando Excel y AutoCAD, graficar el sólido de revolución, generado cuando la región R gira alrededor de la recta x  2.

EJERCICIOS DESARROLLADOS EN CLASE Ejemplo N° 1: hallar el área comprendida entre la función y el eje x. 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 7𝑥 − 12 Grafica de la función: 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 7𝑥 − 12 ∴𝑥=3

→ (𝑥 − 3)(4 − 𝑥) 𝑣

𝑥=4

Área de la función R: A(R) R={(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 / 3 ≤ 𝑥 ≤ 4

∧

0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}

𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 7𝑥 − 12

𝑓(𝑥)

dy

𝑑𝐴 = 𝑓(𝑋)𝑑𝑦 4

𝐴(𝑅) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑦 3 4

𝐴(𝑅) = ∫ (−𝑥 2 + 7𝑥 − 12)𝑑𝑦 3

1 𝐴(𝑅) = 𝑢2 6

Ejemplo N°2: Hallar el área de la región R comprendida entre la gráfica de la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑛(𝑥), 𝑥 = 0, derive.

𝑥 = 2, 𝑦 = 0 Graficar la región R usando el programa

Grafica de la región R.

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑛(𝑥), 𝑥 = 0,

𝑥 = 2, 𝑦 = 0

Área de la región R: A(R). R={(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 / 0 ≤ 𝑥 ≤ 2

∧

0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑛(𝑥)

f(x) ® dx

2

𝑑𝐴 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑦 → 𝐴(𝑅) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 0 2

𝐴(𝑅) = ∫ (𝑥 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑛(𝑥))𝑑𝑥 0

𝐴(𝑅) =

1 480 ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑛𝑔 (3) 𝜋

+

30𝐿𝑛(5) 𝜋−1 + 120 ∗ 𝜋 𝜋

∴ 𝐴(𝑅) = 146𝑢2

Ejemplo N°3: Hallar el área comprendida entre la función 𝑔(𝑥) = −𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥) , 𝜋 𝜋 𝑦 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑥 = − 3 , 𝑥 = 3 , 𝑦 = 0 graficar la región usando el programa derive. Grafica de la región R: 𝑔(𝑥) = −𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥) ∧ 𝑥 = −

𝜋 𝜋 ,𝑥 = , 𝑦 = 0 3 3

Área de la región R: A(R) R={(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 / −𝜋/3 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋/3

∧

dx R

-g(x)

𝑔(𝑥) = −𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥)

𝑑𝐴 = −𝑔(𝑥)𝑑𝑥

→

𝜋/3

𝐴(𝑅) = − ∫0

−𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑥

∴ 𝐴(𝑅) = 1.02

𝑔(𝑥) ≤ 𝑦 ≤0}

Ejemplo N°4: hallar el área comprendida entre las funciones. 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 3𝑥 I.

ℎ(𝑥) = −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2𝑥

∧

Grafica de la región R: 𝐶1 : 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 3𝑥 𝐶2 : ℎ(𝑥) = −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2𝑥

Hallamos las intersecciones: 𝐶1 ∩ 𝐶2. 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 3𝑥 = −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2𝑥 2𝑥 3 − 7𝑥 2 + 5𝑥 = 0 𝑥(2𝑥 2 − 7𝑥 + 5) = 0 → 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 5/2 Extremos relativos. 𝑔´(𝑥) = 3𝑥 2 − 8𝑥 + 3 = 0 → (𝑥 − 0.45)(𝑥 − 2.2) = 0 ∴ 𝑥 = 0.45, 𝑥 = 2.2 ℎ´(𝑥) = −3𝑥 2 + 10𝑥 − 2 = 0 → −(𝑥 − 0.42)(𝑥 − 1.5) ∴ 𝑥 = 0.42, 𝑥 = 1.5 II.

Área de la región R: A(R). 𝑅 = 𝑅1 ∪ 𝑅2 → 𝐴(𝑅) = 𝐴(𝑅1 ) + 𝐴(𝑅2 ) 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 / 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 / 1 ≤ 𝑥 ≤ 25/2

∧

ℎ(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔(𝑥)} ∧

𝑔(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ ℎ(𝑥)}

ℎ(𝑥) = −𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2𝑥

dx

dx 3

2

𝑔(𝑥) = 𝑥 − 4𝑥 + 3𝑥 𝑑𝐴1 = (𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥))𝑑𝑥

∧

𝑑𝐴2 = (ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥

1

5/2

𝐴(𝑅1 ) = ∫ (𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥)) 𝑑𝑥 0

∧

𝐴(𝑅1 ) = ∫

(ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥

1 5 2

1

𝐴(𝑅1 ) = ∫ (2𝑥 3 − 7𝑥 2 + 5𝑥) 𝑑𝑥 ∧ 𝐴(𝑅2 ) = − ∫ (2𝑥 3 − 7𝑥 2 + 5𝑥) 𝑑𝑥 0

2 𝐴(𝑅1 ) = 3

1

∧

63 63 𝐴(𝑅2 ) = − (− ) = 32 32

Como: 𝐴(𝑅) = 𝐴(𝑅1 ) + 𝐴(𝑅2 ) 2 63 → 𝐴(𝑅) = + 3 32 253 2 ∴ 𝐴(𝑅) = 𝑢 96 Ejemplo N°5: hallar el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones: 𝑔(𝑦) = 𝑦 3 − 𝑦 I.

ℎ(𝑦) = 𝑦 − 𝑦 2

∧

Grafica de la región R:

Hallamos las intersecciones: 𝐶1 : 𝑔(𝑦) = 𝑦 3 − 𝑦 𝐶2 : ℎ(𝑦) = 𝑦 − 𝑦 2 𝐶1 ∩ 𝐶2 : 𝑦 3 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑦 2 → 𝑦 3 +𝑦 2 − 2𝑦 = 0 ∴ 𝑦 = −2 ∧ 𝑦 = 0 ∧

𝑦=1

Extremos relativos: 𝑔´(𝑦) = 3𝑦 2 − 1 𝑦=− II.

1 √3

∧

𝑦=

1 √3

Área de la región R: A(R) 𝑅 = 𝑅1 ∪ 𝑅2 → 𝐴(𝑅) = 𝐴(𝑅1 ) + 𝐴(𝑅2 ) 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 / ℎ(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑔(𝑦) 𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ(𝑦)

𝑔(𝑦) = 𝑦 3 − 𝑦

∧ ∧

−2 ≤ 𝑦 ≤0} 0 ≤ 𝑦 ≤1}

h(y) – g(y)

dy 𝑅2

dy ℎ(𝑦) = 𝑦 − 𝑦 2

𝑅1

g(y) – h(y)

d(𝐴1 ) = (𝑔(𝑦) − ℎ(𝑦))𝑑𝑦 ∧

𝑑(𝐴2 ) = (ℎ(𝑦) − 𝑔(𝑦))𝑑𝑦

0

1

𝐴(𝑅1 ) = ∫ (𝑔(𝑦) − ℎ(𝑦))𝑑𝑦

∧

𝐴(𝑅1 ) = − ∫ (𝑔(𝑦) − ℎ(𝑦))𝑑𝑦

−2

0

0

1

𝐴(𝑅1 ) = ∫ (𝑦 3 + 𝑦 2 − 2𝑦)

𝐴(𝑅2 ) = ∫ (𝑦 3 + 𝑦 2 − 2𝑦)

∧

−2

0

𝐴(𝑅1 ) =

8 3

∧

𝐴(𝑅2 ) = 5/12

como: 𝐴(𝑅) = 𝐴(𝑅1 ) + 𝐴(𝑅2 ) → 𝐴(𝑅) = ∴ 𝐴(𝑅) =

8 5 + 3 12 37 2 𝑢 12

Ejemplo N°6: hallar el área de la región R comprendida entre las graficas de las funciones. 𝑔(𝑦) = 𝑦 3 − 3𝑦 2 + 2𝑦 + 2 I)

∧

ℎ(𝑌) = 2𝑦 2 − 4𝑦 + 2

Grafica de la función:

𝐶1 : 𝑔(𝑦) = 𝑦 3 − 3𝑦 2 + 2𝑦 + 2 𝐶2 : ℎ(𝑌) = 2𝑦 2 − 4𝑦 + 2 𝑦=0

𝑦=3

Hallamos las intersecciones: 𝑦 3 − 3𝑦 2 + 2𝑦 + 2 = 2𝑦 2 − 4𝑦 + 2 𝑦(𝑦 2 − 5𝑦 + 6) = 0 𝑦=0 ˅ 𝑦=2 ˅ 𝑦=3 Extremos relativos: 𝑔´ (𝑦) = 3𝑦 2 − 6𝑦 + 2 → 3𝑦 2 − 6𝑦 + 2 = 0 ∴ 𝑦 = 0.42 ∧ 𝑦 = 2 ℎ´ (𝑦) = 4𝑦 − 4 → 4𝑦 − 4 = 0

∴𝑦=1

II)

Área de la región R: A(R)

𝑅 = 𝑅1 ∪ 𝑅2 → 𝐴(𝑅) = 𝐴(𝑅1 ) + 𝐴(𝑅2 ) 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 / ℎ(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑔(𝑦) 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 /

∧

𝑔(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ(𝑦)

0 ≤ 𝑦 ≤ 2} ∧

2 ≤ 𝑥 ≤ 3}

h(y)-g(y) 𝑅2 h(y)= 2𝑦 2 − 4𝑦 + 2

dy 𝑔(𝑦) = 𝑦 3 − 3𝑦 2 + 2𝑦 + 2

𝑅1 (g(y)-h(y))

dy

𝑑(𝐴1 ) = (𝑔(𝑦) − ℎ(𝑦))𝑑𝑦

∧

𝑑(𝐴2 ) = (ℎ(𝑦) − 𝑔(𝑦))𝑑𝑦

2

3

𝐴1 = ∫ (𝑔(𝑦) − ℎ(𝑦))𝑑𝑦

∧

0

𝐴2 = ∫ (ℎ(𝑦) − 𝑔(𝑦))𝑑𝑦 2

h(y)-g(y)= 𝑦 3 − 5𝑦 2 + 6𝑦 2

𝐴1 = ∫0 (𝑦 3 − 5𝑦 2 + 6 𝑦) dy ∧ 𝐴1 =

8 2 𝑢 3

Como:

3

𝐴2 = − ∫2 (𝑦 3 − 5𝑦 2 + 6𝑦)𝑑𝑦 𝐴2 = 5/12𝑢2

𝐴(𝑅) = 𝐴(𝑅1 ) + 𝐴(𝑅2 ) 8

5

3

12

∴ 𝐴(𝑅) = +

A(R) = 37/12𝑢2