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UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO MÉTODOS ESTOCASTICOS PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA Instrucciones: Duración: 1 h 50 min Explique detalladamente las soluciones.

1. En la Facultad de Ingeniería hay 5 secciones del curso de Estadística y probabilidades. Las secciones están conformadas de la siguiente manera: Sección 1: 36 varones y 14 mujeres Sección 2: 15 varones y 35 mujeres Sección 3: 20 varones y 30 mujeres Sección 4: 38 varones y 12 mujeres Sección 5: 40 varones y 10 mujeres Se lanza una moneda 3 veces, si se obtiene 3 cara se elige la sección 1, si se obtiene 3 sellos se elige la sección 3, si se obtiene 2 caras se elige la sección 2, si se obtiene 2 sellos se elige a la sección 4 y si se obtiene una cara se elige a la sección 5. Después de haber sido elegido una sección, se seleccionan 3 estudiantes al azar y resulta que ambas son mujeres. Cual es la probabilidad de que sean de la sección 2 o sección 4. 2. Calcule 𝐸(𝑥) y la varianza, si 𝑋 es una variable aleatoria con función de densidad dada por: a. 𝑓(𝑥) = {

1 −𝑥 𝑒 2 ,𝑥 4

>0

0, 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐(1 − 𝑥 2 ), −1 < 𝑥 < 1 b. 𝑓(𝑥) = { 0, 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 5 , 𝑠𝑖 𝑥 > 5 c. 𝑓(𝑥) = {𝑥 2 0; 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 5 3. Una máquina produce un artículo que es revisado (inspección de 100%) antes de ser despachado. El 1

instrumento de medición es tal que es difícil leer entre 1 y 1 3 (datos codificados). Después que se realiza el proceso de revisión, la división medida tiene la siguiente densidad: 𝑘𝑥 2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 1 𝑓(𝑥) = { 1 ; 1 < 𝑥 ≤ 1 3 0 ; en otro caso a. Determine el valor de 𝑘 b. ¿Qué fracción de los artículos estará fuera de la zona confusa? (estará entre 0 y 1) c. Calcular la media y la varianza de esta variable aleatoria. 4. Sea 𝑋 la variable aleatoria que describe el lanzamiento de un dado cargado. La distribución de probabilidad de 𝑋 esta dada por:

1

1

1

𝑝(1) = 𝑝(2) = 6, 𝑝(3) = 12, 𝑝(4) = 𝑝(5) = 4, 𝑝(6) = 𝑑 a. Calcule el valor de 𝑑 b. Calcule la función de distribución en 𝑥 = 3.6 c. Hallar 𝑃[3 ≤ 𝑥 < 5]