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Banco de preguntas para el primer examen departamental Ecuaciones Diferenciales Resp. Dr. José Eligio Moisés Gutiérrez Arias

Ejercicio 1 Veri…que que las ecuaciones siguientes sean homogéneas y resuélvalas. a. b. c. d. e.

(x2 2y 2 )dx + xydy = 0; x2 y 3xy 2y 2 = 0; x2 y = 3(x2 + y 2 ) tan 1 xy + xy; dy x sen xy dx = y sen xy + x; y xy = y + 2xe x ;

Ejercicio 2 Demuestre que la sustitución z = ax + by + c cambia y = f (ax + by + c) en una ecuación con variables separables y aplique este método para resolver las ecuaciones siguientes a. y = (x + y)2 ; b. y = sin2 (x y + 1); c. y y = 2 x 3 d. y = cos(y x) Ejercicio 3 a) Si ae 6= bd, demuestre que las constantes h y k se pueden escoger de tal modo que las sustituciones x = z h; y = w k; reducen dy ax+by+c dx = F dx+ey+f a una ecuación homogenea en las variables z y w. b) Si ae = bd, descubra una sustitución que reduzca la ecuación del inciso a), en otra que tenga variables separables.

Ejercicio 4 Resuelva las ecuaciones siguientes ocupando el ejercicio anterior: a.

dy dx

=

x+y+4 x y 6

b.

dy dx

=

x+y+4 x+y 6

c. (x + y

2) dx + (x

y + 4) dy = 0

d. (x + y + 1) dx + (2x + 2y

1) dy = 0

1

Ejercicio 5 Determine cuáles de las ecuaciones siguientes son exactas y resuelva las que lo sean. 1. (x + y2 )dy + dx = 0: 2. (sen x tan y + 1)dx+cos x sec2 ydy = 0: x3 )dx + (x + y 3 )dy = 0:

3. (y 4. (2y 2

4x + 5)dx = (4

2y + 4xy)dy

5. (y + y cos xy)dx + (x + x cos xy)dy = 0: 6. cos x cos2 y dx + 2 sen x sen y cos ydy = 0: xey )dy = (ey + cos x cos y)dx:

7. (sen x sen y 8.

1 x y sen y dx

x x y 2 sen y dy

9. (1 + y)dx + (1

= 0:

x)dy = 0:

3

10. (2xy + y cos x)dx + (3x2 y 2 + sen x)dy = 0: 11. dx =

y 1 x2 y 2 dx

+

x 1 x2 y 2 dy:

Ejercicio 6 Resuelva las ecuaciones siguientes, encontrando un factor integrante: a. (3x2

y 2 ) dy

2xy dx = 0:

1) dx + (x2

b. (xy

xy) dy = 0:

3 4

c. x dy + y dx + 3x y dy = 0: d. (3xy + y 2 ) e. (x

(x2 + xy) y = 0:

2xy) dx + dy = 0: 4

f. (2xy ey + 2xy 3 + y) dx + (x2 y 4 ey

x2 y 2

3x) dy = 0:

Ejercicio 7 Resuelva las ecuaciones siguientes: a. b. c. d. e.

x dy y dx = (1 + y 2 ) dy: y dx x dy = xy 3 dy: x dy = (x5 + x3 x2 + y) dx: (y + x) dy = (y x) dx: x dy = (y + x2 + 9y 2 ) dx:

Ejercicio 8 Resuelva los siguientes ejercicios como ecuaciones lineales: a. b. c. d. e. f.

dy x dx 3y = x4 : 1 y + y = 1+e 2x : 2 (1 + x ) dy + 2xy dx = cot x dx: y + y = 2xe x + x2 : y + y cot x = 2x csc x: (2y x3 ) dx = x dy:

2

Ejercicio 9 La notacion habitual dy=dx implica que x es la variable independiente e y la dependiente. Al tratar de resolver una ecuanción diferencial, resulta a veces útil remplazar x por y; y trabajar con la ecuacion resultante. Aplíque este metodo a las ecuaciones siguientes: a.

(ey

b.

y

2xy)y = y 2 ; xy = y y 2 ey :

Ejercicio 10 Entre las 22 ecuaciones diferenciales que siguen hay algunas representativas de todos los tipos. Resuelva. xy)y = y 2

1.

(1

2.

(2x + 3y + 1)dx + (2y p xy = x2 + y 2

3. 4. 5.

y 2 dx = (x3

3x + 5)dy = 0

xy)dy

2 3

(x y + y)dx = (x3 y 2

x)dy

6.

xdy + ydx = x cos xdx

7.

xydy = x2 dy + y 2 dx

8.

(ex

9.

y + 2x(y )2 = 0

3x2 y 2 )y + yex = 2xy 3

10. (x2 + y)dx = xdy 11. xy + y = x2 cos x 12. (6x + 4y + 3)dx + (3x + 2y + 2)dy = 0 13. cos(x + y)dx = x sin(x + y)dx + x sin(x + y)dy 14. (y 2 exy + cos x)dx + (exy + xyexy )dy = 0 15. y log(x

y) = 1 + log(x

16. y + 2xy = e 2

17. (y + 3xy

x2

y):

:

2

2x )dx = (x2

2

xy)dy

3

18. (1 + x )y + 2xy = 4x : 19. e2 sin ydx + ex cos ydy = y sin xydx + x sin xydy: 20. (1 + x2 )y + xy = 0 21. (xey + y x

x2 )dy = (2xy

22. e (1 + x)dx = (xe

x

ey

x)dx:

y

ye )dy:

Ejercicio 11 En los problemas del 1 al 4, encuentre la solución general de cada ecuación diferencial dada.

3

1 x

1. y +

y = sin x;

2. x2 y + 3xy =

x>0

(sin x) x ;

x0

Ejercicio 12 En los problemas del 1 al 4, encuentre la solución de cada problema con valores iniciales dado. Indicar el intervalo en el que es válida la solución. 1. 2. 3. 4.

y(1) = 12 y(1) = 1 y( 2 ) = 1 y( ) = 1

xy + 2y = x2 x + 1; xy + y = ex ; y + (cot x)y = 2 csc x; xy + 2y = sin x;

Ejercicio 13 Resuelva cada una de las ecuaciones de los problemas del 1 al 8. Indique las regionesdel plano x y para las que se satisfacen las condiciones del teorema fundamental de existencia y unicidad. 2

2

dy 1. dx = xy 3. y + y 2 sin x = 0 5. y = (cos2 x)(cos2 2y) dy e x 7. dx = xy+e y

dy x 2. dx = y(1+x 3) 4. y = 1 + x + y 2 + xy 1 6. xy = (1 y 2 ) 2 2 dy x 8. dx = 1+y 2

Ejercicio 14 En cada uno de los problemas, del 1 al 5 encuentre un factor integrante y resuelva la ecuación dada. 1. (3x2 y + 2xy + y 3 )dx + (x2 + y 2 )dy = 0 2. y 0 = e2x + y 3. dx +

x y

sin y dy = 0

4. ydx + (2xy x

1

e

2y

)dy = 0

x

5. e dx + (e cot y + 2y csc y)dy = 0 Ejercicio 15 Demuestre que las ecuaciones de los problemas 1 al 15 son homogéneas, y encuentre sus soluciones. 1.

dy dx

=

x+y x 2

2. 2ydx

xdy = 0

4.

dy dx

=

x +3y 2 2xy

4y 3x 2x y

6.

dy dx

=

4x 3y 2x y

=

x+3y x y

8. (x2 +3xy +y 2 )dx x2 dy = 0

=

y 2 +2xy x2

3.

dy dx

=

x +xy+y x2

5.

dy dx

=

7.

dy dx

9.

dy dx

2

11. (x

2

2

10. x dy 2

2

xy) dy + (x + y ) dy = 0 4

(x + 2 y) dx = 0

12. y 2 + x2 y 0 = x y y 0 13. (x2 + y 2 ) y 0 = 2x y 14. 2x3 y dx + (x4 + y 4 ) dy = 0 p 15. (y + xy) dx = x dy Ejercicio 16 Resolver los siguientes problemas por cualquier método. 1.

dy dx

=

x3 2y x

2. (x + y)dx 3.

dy dx

=

(x

4. (x + e )dy 5.

dy dx

y)dy = 0

2x+y 3+3y 2 x ; y

y(0) = 0

dx = 0

2xy+y 2 +1 x2 +2xy

=

dy 6. x dx + xy = 1

7.

dy dx

=

y;

x x2 y+y 3

sugerencia : sea u = x2

dy 8. x dx + 2y =

9.

dy dx

sin x x ; 2xy+1 x2 +2y

=

y(1) = 0

10. (3y 2 + 2xy)dx

y(2) = 1: (2xy + x2 )dy = 0

11. (x2 + y)dx + (x + ey )dy = 0 12.

dy dx

+y =

1 1+ex 1

ydx = (xy) 2 dx

13. xdy

14. (x + y)dx + (x + 2y)dy = 0; x

15. (e + 16. 17.

dy dx dy dx

=

dy 1) dx

=y

y(2) = 3

x

ye

x2 +y 2 x2

= e2x + 3y

18. (2y + 3x)dx = 19. xdy 0

xdy 2 2

ydx = 2x y dy;

y(1) = 2

x+y

20. y = e

y

21. xy 0 = y + xe x 22.

dy dx

=

x2 1 y 2 +1 ;

23. xy 0 + y

y( 1) = 1

y 2 e2x = 0

24. 2 sin y cos xdx + cos y sin xdy = 0 25.

2 xy

y x2 +y 2

26. (2y + 1)dx +

dx + x2 y x

x x2 +y 2

dy = 0

5

x2 y2

dy = 0

27. (cos 2y 28.

dy dx

=

29.

dy dx

=

30.

dy dx

=

sin x)dx 2

3x 2y y 2x+3xy 2

p

x2 y 2 2x

2y+

y3 1 2xy 2 ;

31. (x2 y + xy 32.

dy dx

2 tan x sin 2ydy = 0

3

y(0) = 1

y)dx + (x2 y

2

2

3x y+y 2x3 +3xy ;

=

2x2 )dy = 0

y(1) =

2

Ejercicio 17 Determinar el tipo (ordinaria o parcial), linealidad, orden y grado de las ecuaciones diferenciales siguientes: 1. x2 dy + ydx = 0 2. (y )3 = 3x2 3.

1

4

d3 y dx3

dy 4. x4 dx @u @t

6.

d2 x dy 2

+x=0

2

3

d y 4d y x2 dx 2 = y dx3 2

5.

5

d2 y dx2

= 4 @@xu2 +

@u @y

3x = sin y

7. y + xy = sin y Ejercicio 18 Determinar el tipo (separable, homogénea, exacta, lineal) de las ecuaciones diferenciales 1. '1 (x)

1 (y)dx

x

= '2 (x)

2 (y)dy

y

2. (y ) = e sin 2x y

3.

+x + y

sin2 x y2

y=0

2y + (x + 1)4 dx = 0 p 5. xy = y + y 2 + x2 4. (x + 1)dy 6. y = 7. e

y

2xy 3x2 y 2

(x + y ) = 1

Ejercicio 19 Encontrar la solución general (ECUACIONES SEPARABLES). 1.

dy dx

2.

2x2 yy = 2

3.

x sin xe

4.

dy dx

= e3x

=

2y

y

y2

dx = ydy

2

x 1+y 2

6

dy y

5. 6.

p

y 2 + 1 dx = x y dy x y2 = 2 x y

7. y 8. 9.

dx 1+x

=

y ln x dx = y y = 2 x ey

(y+1)2 x

dy

2

10. (x2 + 9) y + x y = 0 Ejercicio 20 Resolver el problema con valor inicial. 1. (x2

1)y + 2xy 2 = 0;

y(0) = 1

2. y cot x + y = 2; 3. y = y

2

2

y(0) =

4;

y(0) =

2

2

4. (x

1)y + 2 x y = 0;

5. y = 3 y

2=3

;

1 y(0) = 1

y(2) = 0

Ejercicio 21 Hallar la solución general (ECUACIONES HOMOGÉNEAS) a) b) c) d)

(x y) dy = (y x)dx (x + 2y) dx xdy = 0 y 2 + x2 y = xyy p (y + xy)dx = xdy

Ejercicio 22 Resolver el problema con valor inicial. (x + y)dy = ydx

y(0) = 1

Ejercicio 23 Encontrar la solución general (ECUACIONES EXACTAS). a. 2xydx + (x2 p b. 2x(1 + x2 c. e

y

dx

y 2 )dy = 0 p y)dx x2

(2y + xe

y

2

d. (1 + y sin 2x)dx

ydy = 0

)dy = 0

2y cos2 xdy = 0

e. (sin x + sin y)dx + (x cos y + cos y)dy = 0 f. y dx + x dy = 0 g. 2x + y 2 + 2xy y = 0 h. (y cos x + 2x ey ) + (sin x + x2 ey 2

i. 2xy dx + (x

1)dy = 0

2

j. (2x + 3x y)dx + (x3 k. e

y

dx 2

[2y + x e

3y 2 )dy = 0 y

] dy = 0

2

l. 2y cos x dy = [1 + y sin(2x)] dx 7

1) y = 0

Ejercicio 24 Obtener la solución general (ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN) 1. 2. 3. 4. 5.

xy 2y = 2x4 (2x + 1)y = 4x + 2y (xy + ex )dx xdy = 0 y + y sin x = 2xecos x x2 dy + xydx = 8x2 cos2 xdx

8