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• steven fernando

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CAPITULO 1.

a)

x + 3y + 7 dy =− dx 2x + y + 3

1.

2(x + y − 2) dy =− dx 5x − y − 4

b)

dy −7x + 3y + 4 = dx 3x − 7y − 7

2.

dy −3x + 7y − 7 = dx 7y − 3x + 3

c)

dy x − 2y − 4 = dx 2x − 4y + 5

3.

dy −x + 3y − 2 = dx 3x − y − 2

dy y +2 d) =2 dx x+y −1

!2

4. x − 2y + 9 − (3x − 6y + 19) 5.

dy 2x − 2y − 8 f) = dx 3x + 5y + 7

6. (2x − y − 1)

x−y −1 dy = dx 2x − 2y + 1

h)

dy a2 = dx (x + y)2

i)

x+y −2 dy =− dx x−y +4

dy = x − 2y + 1 dx

7. 3x + 3y − 1 + (x + y + 1)

!2

8. (2x + 2y − 1)

a,0

dy =0 dx

dy −2x + y − 1 = dx 2y − x + 1

dy x − y + 1 e) = dx x + y − 3

g)

1.5.

Ecuaciones Diferenciales

dy =0 dx

dy = −x − y − 1 dx

9. x + y − 2 − (x − y + 4)

dy =0 dx

10. x − 2y + 5 + (2x − y + 4)

dy =0 dx

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden

´ diferencial lineal de primer orden, se llama a una ecuacion ´ de la Una ecuacion forma: dy + p(x)y = g(x) dx ´ (a,b), de tal forma Donde: p(x) y g(x) son funciones continuas en un intervalo comun que, por cada punto de su dominio: ( ) (a, b) : a < x < b D= −∞ < y < ∞ ´ diferencial. En el caso de que: g(x) Pasa exactamente una curva integral de la ecuacion ´ diferencial toma la forma: = 0, la ecuacion dy + p(x)y = 0 dx ´ se la conoce como: ecuacion ´ diferencial lineal homog´enea, que es parte A este ecuacion, ´ diferencial lineal de primer orden, en el caso de que: g(x) , 0 es la de la ecuacion ´ diferencial lineal de primer orden. Lo que permite parte no-homog´enea de la ecuacion definir que: ´ general de la ecuacion ´ diferencial lineal es suma de dos soluciones La solucion 30

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales

CAPITULO 1.

´ general de la ecuacion ´ diferencial de su parte homog´enea (y h ), 1. La solucion ´ especifica de la ecuacion ´ diferencial de su parte no-homog´enea (y ∼h ). 2. La solucion ´ general homog´enea, se la encuentra f´acilmente; ya que, es una ecuacion ´ La solucion diferencial de variables separables: dy dy + p(x)y = 0 −→ = −p(x)dx dx y Z Z ln(y) = − p(x)dx + C −→ ln(y) = − p(x)dx + ln(C) Z ln(y) − ln(C) = −

Z   y p(x)dx −→ ln = − p(x) C

y = y h = Ce−

R

p(x)dx

´ general de la ecuacion ´ diferencial lineal homog´enea, se puede observar De la solucion que: si y = 0, esto nos indica que C = 0. ´ a la ecuacion ´ diferencial no-homog´enea, existe dos m´etoPara encontrar la solucion dos: ´ de 1. Primer M´etodo: A este m´etodo, se lo conoce como: el m´etodo de la variacion la constante. Consta de los siguientes fases: ´ general de la ecuacion ´ diferencial homog´enea: a) Se encuentra la solucion y = Ce−

R

p(x)dx

´ Donde: C es la constante de integracion.

´ de x; por lo tanto, C(x): b) Se considera que: C es funcion y = C(x)e−

R

p(x)dx

´ c) Por el momento, C(x) no es conocida y se supone que cumple la ecuacion diferencial lineal de primer orden. Se la calcula derivando la identidad en ´ de x: funcion R R dy − p(x)dx − p(x) 0 = C (x)e − C(x)e · p(x) dx ´ diferencial de primer orden: Se reemplaza estas identidades en la ecuacion dy + p(x)y = g(x) dx R R R − p(x)dx − p(x) − p(x)dx 0 C (x)e − C(x)e · p(x) + p(x)C(x)e

C 0 (x)e−

R

p(x)dx

C 0 (x) = g(x)e

R

= g(x)

= g(x) p(x)dx

´ Se integra la ultima identidad: R R C(x) = g(x)e p(x)dx dx

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

31

CAPITULO 1.

Ecuaciones Diferenciales

´ C(x) en la solucion ´ general de la ecuacion ´ diferenSe reemplaza la funcion ´ especifica de la ecuacion ´ cial homog´enea; con lo cual, se obtiene la solucion no-homog´enea: Z R R − p(x)dx ∼h g(x)e p(x)dx dx y1 (x) = y = e ´ a la ecuacion ´ diferencial lineal de primer orden, es la suma La solucion ´ general de la ecuacion ´ diferende las dos soluciones; es decir, la solucion ´ especifica de la ecuacion ´ diferencial nocial homog´enea m´as la solucion homog´enea (y = y h + y ∼h ). 2. Segundo M´etodo: A este m´etodo, se lo conoce como: el m´etodo de la adivinanza, ´ o error acierto actualmente. Este m´etodo se lo puede al inicio de su aplicacion, aplicar, cuando: ´ diferencial lineal de primer orden p(x) es una a) El elemento de la ecuacion constante, ´ especifica de la ecuacion ´ b) Cuando se puede visualizar la forma de la ecuacion diferencial no-homog´enea. ´ diferencial Los casos en los cuales se identifica f´acilmente, la forma de la ecuacion no-homog´enea son: ´ diferencial de primer orden, g(x), es un poa) Si el lado derecho de la ecuacion ´ no-homog´enea sera linomio de n-orden; entonces, la forma de la ecuacion un polinomio del mismo orden, donde se debe calcular sus coeficientes. dy dy + p(x)y = g(x) −→ + p(x)y = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 dx dx y1 = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 b) Si, g(x) = eax P (x), donde: P(x) es un polinomio de n-orden, la parte nohomog´enea y1 tendr´ıa la forma de: ( ax e Qn (x) : cuando las raices p , a y1 (x) = xeax Qn (x) cuando las raices p = a Donde los coeficiente del polinomio Q(x), hay que calcularlos. c) Si g(x) = keax , entonces y1 (x), tiene la forma: ( meax : cuando las raices p , a y1 (x) = mxeax cuando las raices p = a Donde: m se lo debe calcular. d) Si g(x) = k cos(bx) + l sin(bx), se adivina que, la parte no-homog´enea tendr´ıa la forma: y1 (x) = m cos(bx) + n sin(bx) Donde los coeficientes m y n se debe calcular. e) Si g(x) = eax (k cos(bx) + l sin(bx) la parte no-homog´enea y1 (x) tiene la forma: 32

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

Ecuaciones Diferenciales

CAPITULO 1. y1 (x) = eax (m cos(bx) + n sin(bx))

Donde: m yn son coeficientes que se debe calcular. f ) Si g(x) = Pn (x) cos(bx) + Qn (x) sin(bx) . Donde: Pn (x) y Qn (x) son polinomios donde uno de ellos es por lo menos de n-orden, y el otro es a lo mucho de n-orden, la parte no-homog´enea y1 (x) tiene la forma: y1 (x) = Rn (x) cos(bx) + Sn (x) sin(bx) Donde: los polinomios Rn (x) y Sn (x) tienen las mismas propiedades de los polinomios Pn (x) y Qn (x) y sus coeficientes se debe calcular. El m´etodo de la adivinanza; aunque, se lo debe aplicar cumpliendo ciertas caracter´ısticas, es un m´etodo, que se utiliza bastante en la ingenier´ıa, adem´as, se elimina la inte´ lo cual, en muchos casos facilita la resolucion ´ de la ecuacion ´ diferencial. En gracion; ´ ´ especifica de una ecuacion ´ diferencial lineal, donde su lado la busqueda de la solucion derecho es complicada, es bueno tener en mente: 1. Si y1 (x) y y2 (x) son la parte no-homog´enea de las ecuaciones: dy + p(x)y = g1 (x) dx

y

dy + p(x)y = g2 (x) dx

´ y = y1 (x) + y2 (x), es la parte no-homog´enea de la ecuacion: ´ La funcion dy + p(x)y = g1 (x) + g2 (x) dx ´ diferencial lineal de primer orden, es mucho mas agra2. Algunas veces, la ecuacion ´ de y: dable expresarla, en funcion dx + p(y)x = q(y) dy

1.5.1.

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Diferenciales lineales de Primer Orden

´ diferencial: 1. Resuelva la ecuacion dy 2 + 2xy = 2x2 e−x dx ´ es una ecuacion ´ diferencial lineal no-homog´enea. Su solucion, ´ es la La ecuacion, suma de la parte homog´enea y de su parte no-homog´enea. Su parte homog´enea: dy + 2xy = 0 −→ dx

dy = −2xy −→ dx

dy = −2xdx y

Se integra ambos lados: dy = −2xdx −→ y

Z

dy = y

Z −2xdx + C

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden

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