• Author / Uploaded
• AguEspindola

• Categories
• Intervalo de confianza
• Variable aleatoria
• Media
• Función de densidad de probabilidad
• Muestreo (Estadística)

Citation preview

UNIVERSIDAD DE TRES DE FEBRERO PRÁCTICA 1 - PROBABILIDAD Ejercicio 1: Describa el espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a) Se arroja una moneda equilibrada 4 veces. b) Se ensambla una puerta de un automóvil con un gran número de puntos de soldadura y se cuenta el número de soldaduras defectuosas. c) Se fabrica un tubo de rayos catódicos y se somete a una prueba de duración hasta que ocurre una falla. Se registra el tiempo de buen funcionamiento. d) Se eligen tres items de un lote fabricado por cierta máquina y se determina si son o no defectuosos. e) En una planta química el volumen diario producido de cierto producto varía entre un valor mínimo a y un máximo b. Se elige un día al azar y se observa la cantidad producida. f) Una paleta de 10 piezas fundidas contiene una pieza defectuosa y nueve en buen estado. Se seleccionan cuatro al azar (sin reemplazo) y se inspeccionan. g) Se prueban diodos de un lote uno a la vez y se marcan ya sea como defectuosos o como no defectuosos. Esto continúa hasta encontrar dos artículos defectuosos o cuando se han probado cuatro artículos. h) Una caja contiene 10 bombitas de las cuales hay 3 con filamentos rotos. Estas se prueban una por una hasta que se encuentra una defectuosa Ejercicio 2: Para cada uno de los experimentos del ejercicio 1 describa dos sucesos aleatorios y expréselos como subconjuntos del espacio muestral. Ejercicio 3: Un fabricante tiene cinco terminales de computadora aparentemente idénticas, listas para ser enviadas a su destino, de las cuales dos son defectuosas. Si el fabricante recibe un pedido de tres terminales, defina el espacio muestral para este experimento. Ejercicio 4: entre ellos a i) ii) iii) iv) v) vi)

Dados los sucesos A, B y C, exprese en términos de operaciones los sucesos siguientes y represéntelos con diagramas de Venn: Ocurre por lo menos uno de ellos. Ocurre exactamente uno. No ocurre C. No ocurren ni B ni C. Ocurren a lo sumo dos de los sucesos. Ocurren exactamente dos.

Ejercicio 5: Se arroja dos veces un dado equilibrado, registrándose los resultados obtenidos. a) Definir un espacio muestral apropiado para este experimento. b) Describir el conjunto de elementos del espacio muestral que satisface que: A: la suma de los dos números obtenidos es por lo menos 5 B: el valor obtenido en el primer tiro es superior al obtenido en el segundo C: el valor obtenido en el primer tiro es un 4 c) Describir los siguientes conjuntos: i. A  B ii. B  C iii. A  (B  C) d) Calcular las probabilidades de los sucesos definidos en c)

Ejercicio 6: a) Dados dos eventos A y B tales que se conocen P (A  B) y P (A  B), hallar una fórmula para la probabilidad de que ocurra exactamente uno de estos eventos. b) Una compañía constructora trabaja en dos proyectos diferentes. Sea A el evento: “el primero de los proyectos se termina en la fecha del contrato” y definamos análogamente B para el segundo proyecto. Si P (A  B) = 0.9 y P (A  B) = 0.5, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente un proyecto se termine para la fecha de contrato? Ejercicio 7: En la oficina A hay 3 varones y 2 mujeres, en la oficina B, 4 varones y 3 mujeres. Se quiere formar un equipo de 2 personas, una de cada oficina. ¿Cuántas posibilidades hay? si: a) se quiere que el equipo conste de un hombre y de una mujer b) en el equipo debe haber por lo menos un hombre c) en el equipo debe haber por lo menos una mujer Ejercicio personas: a) b) c) d)

8:

De cuántas formas distintas puede fotografiarse una familia de 5

Puestas en hilera si la madre y el padre se sientan juntos el padre se sienta en el extremo derecho el padre en el extremo derecho y la madre no se sienta junto a él

Ejercicio 9: Una prueba muy común para controlar la calidad de productos alimenticios se obtiene presentando una muestra a cada uno de 3 catadores C 1, C2 y C3. Dados los siguientes sucesos: A: Los 3 catadores encuentran satisfactorio el producto B: Al menos dos catadores encuentran satisfactorio el producto C: C2 encuentra satisfactorio el producto a) Represente los sucesos mediante diagramas de Venn. b) Si el producto se saca a la venta cuando C 2 y otro catador lo encuentran satisfactorio exprese dicho suceso en función de A, B y C y represéntelo. Ejercicio 10: Sean A, B y C tres sucesos cuyas probabilidades son: P(A) = 0,7 P(B) = 0,4 P (C)=0,4 P(AB) = 0,3 P(AC) = 0,25 P(BC) = 0,15 P(ABC) = 0,1 Calcule P(ABCC); P[AC(BC)].

P(ACBCC);

P[(ABC)C];

P(AB);

P[(BC)C]

y

Ejercicio 11: De un grupo de 6 mujeres y 4 hombres se deben elegir 3 personas para que los representen en tres congresos a desarrollarse en mayo, junio y septiembre. a) Suponiendo que una persona puede ir a más de un congreso, calcular la probabilidad de que i. a los dos primeros congresos vayan mujeres. ii. a los dos primeros congresos vayan mujeres y al tercero un hombre. iii. haya por lo menos una mujer entre las 3 personas elegidas. b) Si a cada congreso debe ir una persona diferente, calcular las mismas probabilidades que en (a) y además la probabilidad de que haya exactamente una mujer entre las 3 personas elegidas.

Ejercicio 12: Una persona arroja dos dados equilibrados. Calcular la probabilidad de que la suma sea 7 dado que a) la suma es impar. b) la suma es mayor que 6. c) el número del segundo dado es par. d) el número de alguno de los dados es impar. e) los números de los dados son iguales. Ejercicio 13: En una fábrica de tanques plásticos para bolígrafo se observa que el 89% de la producción resulta apto para su uso, el 7% presenta defectos en su bolilla y, el 6% presenta defectos en la unión del plástico y metal. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un tanque tomado al azar presente ambos defectos? b) ¿ Cuál es la probabilidad de que un tanque tomado al azar presente un sólo defecto?. Ejercicio 14: Un recién graduado solicita empleo en la compañía X y en la compañía Z. Se estima que la probabilidad del rechazo de por lo menos una de las solicitudes es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de ser empleado por lo menos por una de las compañías, si las probabilidades de ser contratado por cada una de las compañías son 0.36 y 0.42 respectivamente? Ejercicio 15: Un mecánico toma un perno y un buje para conformar un juego de perno y buje con que completará un acople de piezas. Si tomó el buje de una caja con un 8% de defectuosos y el perno de otra con el 5% de defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de obtener un juego apto de perno y buje? Ejercicio 16: De los tres elementos de una calculadora que funcionan independientemente, dos fallaron y el otro funcionó correctamente. Halle la probabilidad de que fallen el primero y el segundo elemento si las probabilidades de falla son respectivamente: 0.2, 0.4 y 0.3 Ejercicio 17: Dos alarmas conectadas a circuitos independientes actúan en una sub-usina de transformación ante un aumento sustancial de la temperatura, activando rociadores de líquido. Cada uno de los dos sistemas tiene una probabilidad de fallar de 0.09 y 0.12. ¿Cuál es la probabilidad de que en un caso de emergencia actúe por lo menos una alarma? Ejercicio 18: En una ciudad se publican los periódicos A, B y C. Una encuesta reciente de lectores indica lo siguiente: 20% lee A, 16% lee B, 14% lee C, 8% lee A y B, 5% lee A y C, 2% lee A, B y C y 4% lee B y C. Para un adulto escogido al azar, halle la probabilidad de que: a) no lea ninguno de los periódicos b) lea exactamente uno de los periódicos c) lea al menos A y B, si se sabe que lee al menos uno del periódicos Ejercicio 19: En una calle de una mano, hay 2 semáforos a 400 metros de distancia que la corriente de vehículos salva en, aproximadamente, 30 segundos. En estas condiciones, quienes la transitan, permanentemente han notado que encuentran ambas luces en verde el 40% de las veces; que las encuentran en rojo el 13,5% de las veces; que el 24% de las ocasiones cruzan la 1 ra en verde y se detienen ante la 2da en rojo y, en el resto de las oportunidades, se da la inversa. ¿Existe alguna coordinación entre los semáforos o actúan independientemente?. Justifique su respuesta.

Ejercicio 20: Se diseña un dispositivo de frenado para evitar que un automóvil patine. El sistema completo puede descomponerse en 3 subsistemas en serie que operan en forma independiente: un sistema electrónico, un sistema hidráulico y un accionador mecánico. En un frenado particular, las confiabilidades de estas unidades son 0.995, 0.993 y 0.994 respectivamente. ¿Cuál es la confiabilidad del sistema? Ejercicio 21: Un conjunto electrónico consta de dos subsistemas A y B. A partir de una serie de pruebas previas, se determinó que la probabilidad de que A falle es de 0.2, la de que sólo falle B es de 0.15 y la de que fallen ambos es de 0.15. Obtenga la probabilidad de que: a) A falle sabiendo que B ha fallado b) Sólo falle A Ejercicio 22: Se conduce una investigación detallada de accidentes aéreos. La probabilidad de que un accidente por falla estructural se identifique es 0.9 y la probabilidad de que un accidente que no se debe a una falla estructural se identifique en forma incorrecta como un accidente producido por ese tipo de falla es 0.2. Si el 25% de los accidentes aéreos se deben a fallas estructurales, determine la probabilidad de que un accidente aéreo, identificado como falla estructural, se haya producido realmente por una falla de ese tipo. Ejercicio 23: Dos máquinas automáticas, producen piezas idénticas que son colocadas en un transportador común. El rendimiento de la primera máquina es el doble del correspondiente a la segunda. La primera produce un 60% de las piezas sin defectos y la segunda un 84%. Una pieza que se toma del transportador resulta sin defectos. Encuentre la probabilidad de que esta pieza haya sido producida por la primera máquina. Ejercicio 24: Dos divisiones de producción de una fábrica se denominan M y N. La probabilidad de que M tenga un margen de utilidad de por lo menos un 10%durante este año es 0.3, de que N tenga igual margen de utilidad es de 0.2 y de que ambas alcancen dicho margen es 0.05. a) ¿Cuál es la probabilidad de que N tenga un margen de utilidad del 10%, dado que M ha alcanzado dicho margen? b) Determine si el logro de la meta de utilidad de las dos divisiones es independiente. Ejercicio 25: Una cadena de negocios de video vende 3 marcas diferentes de videograbadoras. De las ventas de VCR el 50% son de la marca 1, el 30% son de la marca 2 y, el 20% son de la marca 3. Cada fabricante ofrece un año de garantía en partes y mano de obra. Se sabe que el 25% de las VCR de la marca 1 requieren trabajo de reparación en garantía, en tanto que los porcentajes correspondientes a las marcas 2 y 3 son 20% y 10% respectivamente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar, haya comprado una VCR de la marca 1 que necesita reparación, mientras está en garantía?. b) Si un cliente regresa al negocio con una VCR que necesita trabajo dentro del período de garantía, ¿cuál es la probabilidad de que sea una VCR de la marca 1?, ¿y que sea una VCR de la marca 2?, ¿y que sea una VCR de la marca 3?. Ejercicio 26: El número de camiones, ómnibus y automóviles que pasan por una determinada ruta donde se encuentra una estación de servicio están en la relación 3:2:5. El 8% de los camiones, el 3% de los ómnibus y el 6% de los automóviles entran en la estación de servicio a cargar nafta.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo vehículo que venga por la ruta entre a cargar nafta en la estación de servicio? b) Si el último vehículo que entró cargó nafta, ¿qué probabilidad hay de que haya sido un ómnibus? Ejercicio 27: Las tres máquinas más antiguas producen un 6% de la producción de tornillos y tienen un 4% de defectuosos; otras 5 máquinas producen un 8% cada una, con un 3% de defectuosos. Por último, las 2 máquinas más modernas producen, cada una, un 21% de la producción de tornillos, con un 2% de defectuosos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo cualquiera, tomado al azar, resulte defectuoso? b) ¿Con qué probabilidad lo pudo haber fabricado, cualquiera de las máquinas modernas, si resultó defectuoso? Ejercicio 28: Para aprobar un examen, un alumno debe resolver un problema de 10 minutos. Se cuenta con 4 sobres cerrados, cada uno con un problema, de los cuales debe seleccionar uno. Se sabe por otras experiencias que la probabilidad de resolver el problema más difícil es de 0.1. Las otras probabilidades son 0.3, 0.5 y 0.8. Si el alumno aprueba el examen. ¿ Cuál es la probabilidad de que haya seleccionado el problema más difícil? Ejercicio 29: De las personas que llegan a un aeropuerto, el 60% vuela en aerolíneas grandes, 30% en aeroplanos privados y el 10% en aeroplanos comerciales. De las personas que llegan por las aerolíneas grandes el 50% viaja por negocios, mientras que esta cifra es de 60% para los que llegan en aeroplanos privados y el 90% para los que llegan en aerolíneas comerciales. Se selecciona al azar una persona de un grupo de llegadas. Calcule la probabilidad de que: a) La persona esté en viaje de negocios b) La persona esté en viaje de negocios y llegue en un aeroplano privado c) La persona haya llegado en un aeroplano privado dado que viaja por negocios.

PRÁCTICA 2 – VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Ejercicio 1: Se van a colocar cuatro microcircuitos integrados en una computadora. Se escogen en forma aleatoria dos de los cuatro para revisarlos antes de armar la computadora. Sea X el número de circuitos integrados defectuosos que se encuentran entre los dos que se revisan. Determine la función de probabilidad de X si: a) Dos de los cuatro microcircuitos integrados son defectuosos b) Uno de los microcircuitos integrados es defectuoso Ejercicio 2: Se extraen dos bolillas de una urna que contiene numeradas: 1, 1, 2, 2, 5. Sea X = suma de los valores obtenidos a) Halle el Rango de X b) Halle y grafique la función de probabilidad de X c) Halle y grafique la función de distribución de X d) Calcule E(X) y V(X)

bolillas

así

Ejercicio 3: Durante el curso de un día, una máquina produce tres artículos cuya calidad individual, definida como de primera o segunda, se determina al final del día. Sea X la variable aleatoria "cantidad diaria de artículos de primera". Defina la función de probabilidad de X suponiendo que históricamente la máquina produjo un 5% de artículos de segunda y que la calidad es independiente en cada artículo. Ejercicio 4: Un capataz de una fábrica tiene tres hombres y tres mujeres trabajando para él. Desea elegir dos trabajadores para una labor especial y decide seleccionarlos al azar para no introducir algún sesgo en su selección. Sea Y el número de mujeres en su selección. a) Encuentre la función de probabilidad para Y b) Halle E(Y) y V(Y) Ejercicio 5: El gerente de producción en una fábrica ha construido la siguiente función de probabilidad para la demanda diaria ( nº de veces utilizada) de una herramienta en particular. y pY(y)

0 0.1

1 0.5

2 0.4

Le cuesta a la fábrica $10 cada vez que se utiliza la herramienta. Encuentre la media y la varianza del costo diario para el uso de la herramienta. Ejercicio 6: Un fabricante de radios desea adquirir 100 resistencias de cierta marca. Antes de adquirir el lote, elige tres resistencias y las prueba. Sea X = número de resistencias defectuosas entre las que prueba. Si se sabe que en el lote hay 4 resistencias defectuosas. a) Halle la función de probabilidad de X. Determine su media. b) Si decide rechazar el lote si entre las tres elegidas hay más de una defectuosa; ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el lote? Ejercicio 7: Una máquina puede tener un cierto número de fallas por día, no superior a 3. La tabla da la función de probabilidad de la variable aleatoria X : número de fallas diarias x pX(x)

0

1

2

3 0.2

a) Complete la tabla sabiendo que P( X  1) = 0.5 y E(X) = 1.3 b) Halle la función de distribución de X

Ejercicio 8: Suponga que la demanda diaria de un artículo es una variable aleatoria X cuyo rango es RX = { 1,2,3,4 } y su función de probabilidad pX(x) = c 2x/ x! a) Halle el valor de la constante c b) Calcule la demanda esperada c) Calcule la desviación estándar de la demanda Ejercicio 9:

FX(x) =

La función de distribución 0 1/3 1/2 2/3 1

de una variable aleatoria X es:

x1) Ejercicio 12: Un examen de elección múltiple consta de 10 preguntas cada una de las cuales posee 5 posibles respuestas, siendo sólo una la correcta. Suponga que un estudiante rinde el examen contestando cada pregunta en forma independiente y al azar. Si Z es el número de respuestas correctas a) a)Halle la distribución de Z, la media y la varianza. Interprete dichos resultados. b) Halle la probabilidad de que el alumno responda correctamente 7 preguntas. c) Si para aprobar es necesario tener más de 5 respuestas correctas. Halle la probabilidad de que un estudiante apruebe. Ejercicio 13: La probabilidad de que un tirador inexperto impacte en el blanco es 0.35. Si dispara 10 veces, ¿cuál es la probabilidad de acertar por lo menos dos tiros? Ejercicio 14: Se dispone de un gran lote de artículos de los cuales se sospecha que el 10% es defectuoso. Se eligen 4 artículos al azar. Sea la v.a. X= Número de artículos defectuosos encontrados. a) Halle la distribución de X, su media y su varianza.

b) Un comprador potencial del artículo regresa las piezas defectuosas para su reparación y el costo de reparación es: C=2 X2 + 3X +10 Calcule el costo de reparación esperado. Ejercicio 15: La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad en la sangre es 0.4. Si se sabe que 10 personas han contraído esa enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que: a) por lo menos 7 sobrevivan? b) sobrevivan de 3 a 5? c) sobrevivan exactamente 5? d) ¿cuántos, en promedio, sobrevivirán? e) ¿cuál es la varianza de la v.a. en cuestión? Ejercicio 16: Las probabilidades de que un delegado que asiste a una convención llegue por avión, autobús, automóvil o tren son respectivamente 0.4, 0.2, 0.3 y 0.1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados al azar al menos 3 hayan llegado por avión? Ejercicio 17: Se embarcan motores eléctricos pequeños en lotes de 50. Antes de aceptar el cargamento, un inspector elige 5 motores y los prueba uno por uno. Si ninguno de ellos es defectuoso, acepta el lote. Si encuentra que uno o más son defectuosos, se inspecciona el cargamento completo. Supongamos que en realidad hay tres motores defectuosos en el lote. ¿Cuál es la probabilidad de que se requiera una inspección al 100%? Ejercicio 18: Cincuenta representantes de cierto estado asisten a una convención política nacional, de los cuales 30 apoyan al candidato A y 20 al candidato B. Si se seleccionan aleatoriamente 5 representantes; ¿Cuál es la probabilidad de que entre estos cinco, por lo menos dos apoyen al candidato A? Ejercicio 19: Un motor de automóvil de 8 cilindros tiene dos bujías falladas. Si se quitan las cuatro bujías de un lado del motor, ¿Cuál es la probabilidad de que entre ellas se encuentren las dos que tienen fallas? Ejercicio 20: Dos líneas de ensamble I y II, tienen la misma frecuencia de piezas defectuosas cuando se producen reguladoras de tensión. Se muestrean cinco reguladores de cada línea y se prueban. Entre el total de diez reguladores probados se encontraron 4 defectuosos. Calcule la probabilidad de que exactamente 2 de los defectuosos provengan de la línea I. Ejercicio 21: Una rueda de ruleta está dividida en 38 secciones, de las cuales 18 son rojas, 18 son negras y las 2 restantes son verdes. Sea X el número necesario de juegos hasta obtener una sección verde en jugadas independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarias al menos 4 jugadas? b) Hallar la función de distribución acumulada de la v.a. X. c) Si fueron necesarias 7 o más jugadas, ¿cuál es la probabilidad de que se necesiten al menos 10 jugadas? Comparar con (a). d) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario un número impar de jugadas? e) Hallar E(X) y V(X). Ejercicio 22: Si en el ejercicio anterior se define Y : número de juegos hasta obtener exactamente tres secciones verdes, a) ¿qué distribución tiene la v.a. Y ? b) ¿cuál es la probabilidad de que se requieran exactamente 5 jugadas? c) hallar E(Y) y V(Y).

Ejercicio 23: Con el fin de encontrar una palabra clave, un motor de búsqueda de internet explora una secuencia de sitios de la WEB en orden aleatorio. Al iniciar la búsqueda, el motor elige, al azar y con igual probabilidad, una entre dos secuencias posibles de sitios. Se sabe que el 10% de los sitios de la primera secuencia contienen esta palabra clave, mientras que sólo el 5% de los sitios de la segunda contienen dicha palabra. a) Si la búsqueda termina ni bien se encuentra un sitio que contenga la palabra clave, ¿cuál es la probabilidad de que más de 5 sitios deban ser explorados? b) Si se sabe que el motor de búsqueda encontró la palabra clave en la sexta visita, ¿cuál es la probabilidad de que la haya encontrado en la segunda secuencia? c) Si la búsqueda termina cuando se encuentran 2 sitios que contengan la palabra clave ¿cuál es la probabilidad de que deban explorarse exactamente 10 sitios? Ejercicio 24: Un minorista ha verificado que la demanda semanal de cajones de cierto producto es una v.a. con distribución de Poisson de parámetro 2. Completa su existencia los lunes por la mañana de manera de tener 4 cajones al principio de la semana. Al efectuar un análisis de la actividad de su negocio, se le plantean las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la probabilidad de vender todo su stock durante la semana? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea incapaz de cumplir con un pedido por lo menos? c) ¿Cuál es la distribución del número de cajones vendidos en una semana? d) ¿Con cuántos cajones debería iniciar la semana a fin de que la probabilidad de cumplir con todos sus pedidos fuese mayor o igual que 0.99? Ejercicio 25: La cantidad de libros mal ubicados en un día por un bibliotecario es una variable aleatoria con distribución de poisson de parámetro 1. Calcular la probabilidad de que: a) por lo menos un libro sea mal ubicado ese día. b) exactamente 3 libros sean mal ubicados ese día. Ejercicio 26: El número de veces por semana que una red de computadoras se bloquea sigue una distribución de Poisson de parámetro igual a 2. Hallar la probabilidad de que a) en 1 semana no se bloquee. b) en un periodo de 4 semanas, haya 1 semana en la que no se bloquea. (Sugerencia: Notar que se está preguntando por cantidad de semanas, no de bloqueos.) Ejercicio 27: Se sabe que el número de microorganismos por gramo de una cierta muestra de suelo diluida en agua destilada, sigue una distribución de Poisson de parámetro 0.8. Si una preparación con un gramo de esta dilución se vuelve turbia, este gramo contiene al menos un microorganismo. Halle la probabilidad de que una preparación que se ha vuelto turbia tenga: a) b) c)

un sólo microorganismo menos de tres microorganismos. más de dos microorganismos.

Ejercicio 28: El número de bacterias por cada tubo de cierto líquido puede considerarse como una v.a. con distribución de Poisson de media 1.5. Si se tienen diez tubos, calcule la probabilidad de que: a) todos los tubos queden contaminados, es decir, contengan al menos una bacteria b) exactamente 7 tubos queden contaminados

Ejercicio 29: Suponga que 220 errores de tipeo se distribuyen aleatoriamente a lo largo de 200 páginas de un libro según una distribución de poisson. Halle la probabilidad de que una página dada: a) tenga un error b) tenga dos o más errores.

PRÁCTICA 3 – VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Ejercicio 1: Sea X una v. aleatoria con función de densidad ( )

{

(

)

a) Verificar que fX(x) es realmente una función de densidad. b) Calcular:P(X > 0), P(−0.5< X < 0.5), P(|X|> 0.25) Ejercicio 2: Sea X una v. aleatoria continua con función de distribución

( )

{

a) ¿Cuál es el valor de θ? b) Calcular usando FX(x): P(X ≤ 1), P(0.5 ≤ X ≤ 1), P(0.5 < X ≤ 1|X < 1) c) Hallar la mediana de X. d) Encontrar la función de densidad fX(x). Ejercicio 3: Consideremos una v. aleatoria X con función de densidad

( ) { a) Calcular la función de distribución de X b) Calcular E(X) y V(X) Ejercicio 4: La variable aleatoria X tiene la siguiente función de densidad: ( )

{

Se definen los siguientes sucesos: A = { 0.5 1 }

¿Son A y B independientes? Ejercicio 5: La fracción de tiempo X, que un robot industrial está en operación durante una semana de 40 horas es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad es: ( )

{

a) Calcule E(X) y V(X) b) Para el robot que se estudia, la ganancia semanal está dada por Y = 200X – 60, halle E(Y) y V(Y)

Ejercicio 6: El tiempo en horas por semana que una empresa de contadores usa la unidad central de proceso (CPU) es una variable aleatoria con función de densidad: ( )

(

{

)

a) Calcule el valor esperado y la varianza del tiempo por semana que se usa la CPU b) El tiempo que se usa la CPU cuesta a la empresa $200 la hora. Calcule el valor esperado del costo semanal por usar la CPU. Ejercicio 7: La cantidad de reactivo, medido en cientos de mililitros, en un proceso químico, es una variable aleatoria X con la siguiente función de densidad ( )

{

a) Grafique la función fX(x) b) Halle la función de distribución de X c) Halle la cantidad de reactivo para el cual la probabilidad de superar dicha cantidad es 0.75 d) ¿Cuál es la probabilidad de que en tres observaciones independientes de un procesos químico exactamente una de ellas tenga una cantidad de reactivo superior a 130 mililitros? Ejercicio 8: Un fabricante de aparatos de televisión a color ofrece un año de garantía de restitución gratuita si el tubo de imagen falla. El fabricante estima el tiempo de falla T (medido en años) es una variable aleatoria con distribución exponencial de media 4. a) ¿Cuál es la probabilidad de tener que reparar un aparato? b) Si la utilidad por la venta de un televisor es de $200 y la sustitución del tubo de imagen cuesta $ 50, encuentre la utilidad esperada por aparato vendido. Ejercicio 9: Una determinada operación, en un proceso de montaje, tiene un costo fijo de $ 12 y otro, que varía en función del tiempo empleado, a razón de $ 0.20 por segundo. Si el tiempo empleado es una variable aleatoria con media 98 segundos y varianza 68 segundos2 , determine la media y la varianza del costo total de la operación. Ejercicio 10: Sea Z una v.a. N(0,1), Halle: a) P(Z < 1) b) P(Z > 1) c) P(Z < -1.5) d) P(-1.5 < Z < 0.5) e) P(|Z| < 0.5) Ejercicio 11: Sea X una v.a. N(10,4), Halle: a) P(8 < X < 12) b) P(9 < X ) c) P(X < 13)

Ejercicio 12: Para armar un circuito se necesita entre otros componentes, resistencias de 119 más menos 1.2 ohms. En plaza se fabrican resistencias de valor nominal que sigue una distribución N(120,4). Calcule la probabilidad de que un comprador encuentre sólo una resistencia apta para armar el circuito, si compra 10. Ejercicio 13: Supongamos que las notas de un examen se distribuyen según una N(76,152) y al tomarlo se comprueba que un 15% obtiene sobresaliente y un 10%, insuficiente. Halle la nota mínima para aprobar y la mínima para obtener sobresaliente. Ejercicio 14: Cierta máquina manufacturera requiere de un producto específico a granel. La cantidad del producto utilizada en un día se puede representar por una distribución exponencial con media 4 (mediciones en toneladas) a) Halle la probabilidad de que la fábrica vaya a utilizar más de 4 toneladas en un día determinado. b) ¿Qué cantidad del producto a granel deberá ser almacenada para que la probabilidad de agotar la existencia sea solamente de 0.05? Ejercicio 15: Los tiempos de servicio en una ventanilla de cajero de banco siguen una distribución exponencial con promedio de 3.2 minutos. Un cliente llega a la ventanilla a las 4:00 p.m. a) Encuentre la probabilidad de que todavía esté allí a las 4:02 p.m. b) Calcule la probabilidad de que todavía esté allí a las 4:04, dado que todavía estaba allí a las 4:02. Obtenga conclusiones. Ejercicio 16: Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [0;5]. Hallar: a) Esperanza y desvio estándar de X b) P(X > 3) y P(2 < X < 4) Ejercicio 17: En una red de computadoras grande, el acceso de los usuarios al sistema puede modelarse como un proceso Poisson de intensidad 25 accesos por hora. a) Calcule la probabilidad de que no haya accesos en un intervalo de seis minutos b) Calcule la probabilidad de que el tiempo que transcurre hasta el siguiente acceso esté entre 2 y 3 minutos. c) Determine el intervalo de tiempo para que la probabilidad de que no se presenten accesos al sistema durante ese tiempo sea 0,9. d) calcule el tiempo promedio y la desviación estándar del tiempo que transcurre hasta el siguiente acceso. Ejercicio 18: Las ausencias en horas por enfermedad de los empleados de una empresa en un mes tienen una distribución N(200, 400). a) Calcule la probabilidad de que el próximo mes el ausentismo total por enfermedad sea menor que 150 horas. b) Para planear el programa del mes próximo ¿Cuánto tiempo debe suponer darse al ausentismo por enfermedad, si aquella cantidad sólo se debe superar con una probabilidad de tan sólo 10%? Ejercicio 19: En una ciudad, el consumo diario de energía eléctrica, en millones de Kwh es una variable aleatoria X que tiene distribución gamma con media 6 y varianza 12. ¿cuál es la probabilidad de que en un determinado día el consumo de energía eléctrica no exceda los 12 millones de Kwh?

Ejercicio 20: El tiempo de reabastecimiento (en días) para cierto producto sigue una distribución gamma con media 40 y varianza 400. Obtenga la probabilidad de que una orden se reciba dentro de: a) los primeros 20 días después de haber sido realizada. b) los primeros 60 días después de haber sido realizada Ejercicio 21: El tiempo de un viaje en minutos (ida y vuelta) de los camiones que transportan el cemento hacia una obra en construcción de una carretera, está distribuido uniformemente en el intervalo [50;70]. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del viaje sea mayor a 65 minutos si se sabe que la duración del viaje es mayor a 55 minutos?

PRÁCTICA 4 – VECTORES ALEATORIOS, SUMAS DE VARIABLES ALEATORIAS y TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

Ejercicio 1: De una urna que contiene 3 bolillas numeradas 1, 2 y 3, se extraen sin reposición y sucesivamente 2 bolillas. Sea X el número de la primer bolilla e Y el número de la segunda. a) Hallar la función de probabilidad conjunta de X e y, y las funciones de probabilidad marginales b) Calcular P(X2Y) b) Hallar las densidades marginales de X y de Y. c) ¿X e Y son variables aleatorias independientes? Ejercicio 5: Para ir todos los días al trabajo, Dana se dirige en auto hasta la estación de tren y luego sigue su camino en tren. Dana sale de su casa en un intervalo distribuido uniformemente entre las 7:30 y las 7:50. El tiempo de viaje hasta la estación es también uniforme entre 20 y 40 minutos. Hay un tren que sale a las 8:12 y otro que sale a las 8:26. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Dana pierda ambos trenes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar más de 8 minutos en la estación hasta que sale el tren? Ejercicio 6: Sean X e Y dos variables aleatorias independientes uniformes sobre el intervalo (0;) . Calcular E[X sen(XY)] Ejercicio 7: Sea (X, Y) un vector aleatorio con distribución uniforme en el triángulo de vértices (0,0), (0,2), (2,0) a) Calcular Cov(X,Y) b) Calcular V(X+Y) c) Calcular cov(3X-Y, X+2)

Ejercicio 8: Sean X1, X2 y X3 variables aleatorias independientes con distribución normal de medias 1,2 y 3, respectivamente, y varianzas 1/9, 1/3 y 1/2, respectivamente. Calcular ( ) Ejercicio 9: Se diseña un ascensor cuyo límite de carga es 2000 libras. Se indica que su capacidad máxima es de 10 personas. Si el pesos de las personas tienen distribución normal de media 185 libras y desviación estándar 22 libras, ¿cuál es la probabilidad de que un grupo de 10 personas exceda el límite de carga del ascensor? Ejercicio 10: Las manzanas que se producen en un huerto tienen un peso que se distribuye normalmente con una media de 200gr, y una varianza de 1600 gr 2. Si las manzanas se envasan de a 30 en un cajón de peso constante 700 gr. ¿Cuál es la probabilidad de que el cajón completo pese más de 7 kilos? Ejercicio 11: Los eslabones para cadenas de bicicletas que provienen de ciertos fabricantes, tienen una longitud aleatoria con media 0.5 y desvío 0.04. Un modelo de bicicleta requiere cadenas cuya especificación es entre 49 y 50 cm. Si se hacen cadenas con 100 eslabones, ¿cuál es la probabilidad de que se cumpla el requisito de longitud? Ejercicio 12: El tiempo en minutos, requerido para reparar una máquina de empaque de alimentos, tiene una distribución normal de media 120 y desviación estándar 24. Si se toma una muestra de 16 máquinas y se reparan, ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de reparación de las 16 máquinas sea mayor a 130 minutos? Ejercicio 13: Ciertas fuentes de energía para una computadora personal tienen un voltaje de salida aleatorio con una media de 5 volts y una desviación estándar de 0.1 volts. Se selecciona una muestra aleatoria de 36 fuentes de energía. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el voltaje promedio de las 36 fuentes sea inferior a 4.95 v? b) ¿Cuál es el voltaje promedio que no es superado con probabilidad 0.95? Ejercicio 14: La duración (en minutos) de cada llamada telefónica efectuada por cierta compañía es una variable aleatoria de media μ y desvío estándar 0.2. Le facturan $2 por minuto. ¿Cómo debe ser μ para que el costo de 100 llamadas sea inferior a los $190 con probabilidad mayor o igual que 0.99? Ejercicio 15: En un sistema electrónico se producen fallas de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa 2.5 por mes. Por motivos de seguridad se ha decidido cambiarlo cuando ocurran 196 fallas. Calcular (aproximadamente) la probabilidad de que el sistema sea cambiado antes de los 67.2 meses. Ejercicio 16: Una excursión dispone de 100 plazas. La experiencia indica que cada reserva tiene una probabilidad 0.1 de ser cancelada a último momento. No hay lista de espera. Se supone que los pasajeros hacen sus reservas individualmente, en forma independiente. Se desea que la probabilidad de que queden clientes indignados por haber hecho su reserva y no poder viajar sea ď 0.01. Calcular el número máximo de reservas que se pueden aceptar. Ejercicio 17: El peso W (en toneladas) que puede resistir un puente sin sufrir daños estructurales es una variable aleatoria con distribución normal de media 1.400 y desvío 100. El peso (en toneladas) de cada camión de arena es una

variable aleatoria de media 20 y desvío 0.25. ¿Cuántos camiones de arena debe haber, como mínimo, sobre el tablero del puente para que la probabilidad de que ocurran daños estructurales supere 0.1?

PRÁCTICA 5 - ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALO Ejercicio 1: Sea X1, X2, X3, X4 una muestra aleatoria de tamaño cuatro de una población exponencial de parámetro 1/ a) De los siguientes estadísticos, ¿cuáles son estimadores insesgados de ?

1 1 (X1  X 2 )  ( X 3  X 4 ) 6 3 1 T2  ( X 1  2 X 2  3 X 3  4 X 4 ) 5 1 T3  ( X 1  X 2  X 3  X 4 ) 4 T1 

b) Entre los estimadores insesgados de  dados en a) determine cuál menor varianza.

es el de

Ejercicio 2: Mediante el uso de una varilla larga cuya longitud es , el lector va a trazar un gráfico de cuadros en el que la longitud de cada lado es . Entonces, el área del gráfico será 2. Sin embargo el lector desconoce el valor de , por lo que decide hacer n mediciones independientes X1, X2, …, Xn de la longitud. Suponga que cada Xi tiene media  y varianza 2. a) Demuestre que ̅ no es un estimador insesgado de 2 (Sugerencia: para cualquier variable aleatoria Y, V(Y)=E(Y2)-E(Y)2 ) b) ¿Para qué valor de k es el estimador ̅ insesgado para 2? ̅ (Sugerencia: calcule ) Ejercicio 3: Suponga que cierto tipo de fertilizante tiene una producción esperada por acre de 1 con varianza 2, en tanto que la producción esperada para un segundo tipo de fertilizante es 2 con varianza 2. Denotemos por S12y S22 las varianzas muestrales de producciones basadas en tamaños muestrales n1 y n2, respectivamente, de los dos fertilizantes. Demuestre que el estimador ̂ es insesgado para 2, donde:

ˆ 2 

(n1  1) S12  (n2  1) S 22 n1  n2  2

Ejercicio 4: Considere una muestra aleatoria X1, X2, …, Xn de una población con la siguiente función de densidad: (

)

(

)

̅ es un estimador insesgado de Pruebe que ̂ ̅ Sugerencia: primero pruebe que Ejercicio 5: Se registró el número de accidentes X por semana en un cierto cruce de caminos durante 50 semanas, con los resultados que se muestran a continuación: Número de accidentes Frecuencia

0 21

1 18

2 7

3 3

4 ó más 1

a) Estime la media del número de accidentes por semana en dicho cruce

b) Estime la varianza del número de accidentes por semana c) Estime la probabilidad de que ocurran por lo menos 2 accidentes en una semana asumiendo que el número de accidentes por semana sigue una distribución Poisson Ejercicio 6: Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida con distribución aproximadamente normal y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una vida promedio de 780 horas, a) Encuentre un intervalo de confianza del 96% para la media poblacional de todos los focos que produce esta empresa. b) ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si se desea tener una confianza del 96% de que la media muestral esté dentro de las 10 horas del promedio real? c) Indique los límites correspondientes al 90% de confianza. Compare el resultado con el del punto(a). Ejercicio 7: Una máquina de refrescos está ajustada de tal manera que la cantidad de líquido despachada se distribuye aproximadamente en forma normal con una desviación estándar igual que 0.15 decilitros. a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los refrescos que sirve esta máquina si una muestra aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido promedio de 2.25 decilitros. b) ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra si se desea tener una confianza del 95% de que la media muestral estará dentro de 0.02 decilitros del promedio real? Ejercicio 8: Las alturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes mostraron una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. a) Determine un intervalo de confianza de 98% para la altura promedio de todos los estudiantes. b) ¿Qué se puede afirmar con un 98% de confianza acerca del posible tamaño del error si se estima que la altura promedio de todos los estudiantes es 174.5 centímetros? Ejercicio 9: Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóvil indica que, en la ciudad de Córdoba, un automóvil recorre un promedio de 23500 kilómetros por año con un desviación estándar de 3900 kilómetros. a) Determine un intervalo de confianza del 99% para la cantidad promedio de kilómetros que un automóvil recorre anualmente en Córdoba. b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza del 99% respecto al posible tamaño del error si se estima que la cantidad promedio de kilómetros recorridos por los propietarios de vehículos en Córdoba es de 23500 kilómetros al año? Ejercicio 10: Un experto en eficiencia desea determinar el tiempo promedio que toma el hacer tres perforaciones en una cierta pieza metálica. ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra si se necesita una confianza del 95% de que su media muestral estará dentro de 15 segundos del promedio real? Asuma que, por estudios previos se sabe que  = 40 segundos. Ejercicio 11: Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de piezas cuyos diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros.

Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio de piezas de esta máquina, si supone una distribución aproximadamente normal. Ejercicio 12: Se registraron las siguientes mediciones del tiempo de secado, en horas, de una marca de pintura látex: 3.4 5.2

2.5 3.0

4.8 4.8

2.9

3.6

2.8

3.3

5.6

3.7

2.8

4.4

4.0

Suponiendo que las mediciones representan una muestra aleatoria de una población normal, Encuentre un intervalo de confianza del 99% para los tiempos promedio de secado. Ejercicio 13: Se realiza un estudio para estimar el porcentaje de ciudadanos de un pueblo que están a favor de que su agua se trate con flúor. ¿Qué tan grande debe ser una muestra si se desea tener una confianza al menos de 95% de que la estimación estará dentro del 1% del porcentaje real? Ejercicio 14: Se realiza un estudio para estimar la proporción de residentes en una ciudad y en sus suburbios que están a favor de la construcción de una planta de energía nuclear. ¿Qué tan grande debe ser una muestra, si se requiere una confianza de al menos 95%, de que la estimación estará dentro del 0.04 de la proporción real de residentes que están a favor de la construcción de la planta? Ejercicio 15: En una muestra aleatoria de 1000 casas en una determinada ciudad, se encuentra que 228 de ellas tiene calefacción de petróleo. Encuentre el intervalo de confianza de 99% para la proporción de hogares en esta ciudad que tiene este tipo de calefacción. Ejercicio 16: Se está considerando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de cohetes pequeños de corto alcance. El sistema actual tiene una p = 0.8 como probabilidad de un lanzamiento exitoso. Una muestra de 40 lanzamientos experimentales se realiza con el nuevo sistema y 34 de ellos tienen éxito. a) Determine un intervalo de confianza de 95% para p. b) ¿Consideraría usted que el nuevo sistema es mejor? Ejercicio 17: La Asociación Americana de Agencias de Publicidad tiene un registro de datos sobre minutos de anuncios por cada media hora de programas principales de TV. En la tabla siguiente vemos una lista de datos representativos de una muestra de programas preferentes en cadenas principales a las 8:30 P.M. 6.0 7.2 6.0 6.2

6.6 5.7 6.5 6.0

5.8 6.4 7.2

7.0 7.0 7.3

6.3 6.5 7.6

6.2 6.2 6.8

a) Determine un estimador puntual para el promedio de anuncios por cada media hora de programa. b) Suponiendo normalidad, determine un intervalo de confianza de 95% para la cantidad promedio de minutos de anuncios en los principales espectáculos televisivos a las 8:30 P.M.

Ejercicio 18: Un senador ha conseguido los servicios de un equipo de encuestadores para determinar el porcentaje de la población que está a favor suyo. Este equipo efectuará una encuesta de opinión a $1.5 la entrevista. ¿Cuánto le costará al senador la encuesta, si insiste en que el error sea menor del 5% el 95% de las veces? Ejercicio 19: Se determinó la cantidad de expansión lateral para una muestra de 9 soldaduras de arco de metal y gas accionado por pulso, que se emplean en tanques contenedores de gas licuado natural en barcos. La desviación estándar muestral resultante fue s = 2.81. Si se supone normalidad, encuentre un intervalo de confianza de 95% para 2 y . Ejercicio 20: Se hicieron las siguientes observaciones de resistencia a la fractura de placas de acero: 69.5, 71.9, 72.6, 73.1, 73.3, 73.5, 75.5, 75.7, 75.8, 76.1, 76.2, 76.2, 77.0, 77.9, 78.1, 79.6, 79.7, 79.9, 80.1, 82.2, 83.7, 93.7 Calcule un intervalo de 99% de confianza para la desviación estándar de la distribución de la resistencia a la fractura. ¿ Es válido este intervalo, cualquiera sea la naturaleza de la distribución? Ejercicio 21: Suponga que 1 y 2 son las verdaderas distancias medias de frenado para automóviles que circulan a 50 millas por hora, con dos tipos diferentes de sistemas de frenos. Se tomaron dos muestras aleatorias independientes, de tamaño 6, de automóviles equipados con los dos tipos de frenos. Los resultados fueron los siguientes:

x1  115.7, x 2  129.3

Encuentre un intervalo de confianza de 95% para 1 - 2 asumiendo que ambas distancias siguen una distribución normal con desviación estándar igual a 5. Ejercicio 22: Cierto metal se produce, por lo común, mediante un proceso estándar. Se desarrolla un nuevo proceso en el que se añade una aleación a la producción del metal. Los fabricantes se encuentran interesados en estimar la verdadera diferencia entre las tensiones de ruptura promedio de los metales producidos por los dos procesos. Para cada metal se seleccionan 12 especímenes y cada uno de estos se somete a tensión hasta que se rompe. La siguiente tabla muestra las tensiones de ruptura de los especímenes en kilogramos por centímetro cuadrado: Proceso estándar Proceso nuevo

428

419

458

439

441

456

463

429

438

445

441 463

462

448

435

465

429

472

453

459

427

468

452

447

Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos distribuciones normales e independientes con varianzas iguales, obtenga los intervalos de 90, 95 y 99% para 1 - 2, siendo 1 el tiempo de ruptura de promedio del proceso estándar y 2 el del proceso nuevo. Con base a estos resultados, ¿se estaría inclinado a concluir que existe una diferencia real entre 1 y 2? Ejercicio 23: Sean 1 y 2 los promedios de duración de dos marcas competidoras de cubiertas radiales. Se tomaron dos muestras aleatorias independientes, de tamaño 40, de cada una de las marcas de cubiertas resultando:

x1  36500, x2  33400, s1  2200, s2  1900

Encuentre un intervalo de confianza de 95% para 1 - 2 Ejercicio 24: Una muestra aleatoria de 200 automovilistas de cierta localidad y que usan automóviles extranjeros indicó que 115 de ellos usan regularmente sus cinturones de seguridad, en tanto que otra muestra de 300 que usan automóviles de fabricación nacional indicó que 154 usan regularmente sus cinturones de seguridad. Calcule un intervalo de confianza del 99% para hallar la diferencia en proporciones de quienes usan regularmente sus cinturones de seguridad entre los automóviles extranjeros y los de fabricación nacional.

PRÁCTICA 7 TESTS DE HIPÓTESIS Ejercicio 1: Para cada una de las siguientes aseveraciones, diga si es una legítima hipótesis estadística y porqué: a) b) c) d) e)

H :   100 H : X  45 H : p  0.2 H : 4 H :X 5

Ejercicio 2: Supongamos que en las especificaciones de procedimientos de una planta de energía nuclear se establece que la resistencia media de soldadura debe 2

superar 100 lb/plg .Suponga que usted es el director del equipo de inspección del ente regulador estatal que debe determinar si la planta cumple con las especificaciones. Usted plantea seleccionar una muestra al azar de soldaduras y realizar pruebas en cada soldadura de la muestra. a) ¿Cuáles son las hipótesis a testear? b) Explique que significan en este contexto el error de tipo I y el de tipo II y discuta cuales son las consecuencias de cometer cada tipo de error. Ejercicio 3: Se toman muestras de agua de la que se utiliza para enfriamiento a medida que se descarga de la planta eléctrica de un río. Se ha determinado que mientras la temperatura media del agua descargada sea menor a 150º F, no habrá efectos negativos en el ecosistema del río. Para investigar si la planta cumple con los reglamentos que evitan los efectos negativos en el ecosistema del río, el ente regulador tomará muestras de agua en 50 horas seleccionadas al azar y registrará su temperatura. a) ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa que debe plantear el ente regulador? b) En el contexto de esta situación, describa los errores de tipo I y II y las consecuencias de cometerlos. Ejercicio 4: Una mezcla de ceniza pulverizada de combustible y cemento debe 2

tener una resistencia promedio a la compresión de más de 1300 KN/m . La mezcla no se utilizará a menos que una evidencia experimental indique de manera concluyente que se ha satisfecho la especificación de resistencia. Supongamos que la resistencia a la compresión para especímenes de esta mezcla está distribuida normalmente con =60. a) ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa adecuadas? b) ¿Cuál debería ser la región de rechazo si se desea plantear un test de nivel 0.05 basado en una muestra de 20 de estos especímenes? c) Si en una muestra de 20 especímenes el promedio muestral resultó ser 1325, ¿encuentra evidencias a nivel 0.05 de que la mezcla satisface las especificaciones de resistencia? d) Denotemos por ̅ el promedio de resistencia muestral compresiva para 20 especímenes seleccionados al azar. Si se plantea un test cuya región de rechazo es ̅ , ¿Cuál es la máxima probabilidad de cometer error de tipo I para esta región de rechazo? Ejercicio 5: En una fábrica se producen pernos con un diámetro promedio de 10 mm y con una desviación estándar de 0.4 mm. Se tomó una muestra aleatoria de 25 pernos y se encontró que el promedio es de 10.15 mm.

a) ¿A un nivel del 5% puede considerarse que el diámetro medio de los pernos producidos ese día es mayor al de otros días? b) ¿Cuál es la probabilidad de cometer error de tipo II si el diámetro medio de los pernos producidos ese día es 10.3 mm? Ejercicio 6: La calibración de una balanza debe verificarse al pesar 25 veces un espécimen de prueba de 10 kg. Supongamos que los resultados de diferentes pesadas son independientes entre sí y que el peso de cada intento está normalmente distribuido con =0.2 kg. Si  es el verdadero peso promedio de lectura de la balanza, a) ¿Cuáles son las hipótesis a testear? b) ¿Cuáles son los valores de ̅ que lo llevarían a rechazar Ho a un nivel de 0.05? c) ¿Cómo se modificaría su región de rechazo si su muestra fuera de tamaño 10? d) Mediante el uso de la parte c), ¿qué concluye de los siguientes datos muestrales? 9.981, 10.006, 9.857, 10.107, 9.888, 9.793, 9.728, 10.439, 10.214, 10.190 ¿cuál es el valor p de su conclusión? Ejercicio 7: Un fabricante de radios a transistores recibe periódicamente una partida grande de pilas de su proveedor habitual. Este afirma que la vida de las mismas tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 50 horas y una desviación estándar de 6 horas. El fabricante rechaza una partida si la vida media de una muestra de 36 pilas es menor que 48 horas. En caso contrario acepta la partida. a) ¿Qué probabilidad hay de rechazar una partida cuya vida media es de 50 horas?. (Probabilidad de cometer error tipo I). b) ¿Qué probabilidad hay de aceptar una partida cuya vida media es de 47 horas?. (Probabilidad de cometer error tipo II para la alternativa 1 = 47 horas). c) ¿Qué probabilidades habrá de cometer los errores tipo I y II si el fabricante modifica la regla de decisión y rechaza la partida si la muestra de 36 pilas tiene una vida media menor de 48.4 horas?. d) ¿Qué probabilidades habrá de cometer los errores tipo I y II si el fabricante mantiene la regla de decisión enunciada en a) pero eleva el tamaño de la muestra a 64?. e) ¿Cuál deberá ser el criterio de rechazo y cuál el tamaño de la muestra si se desea tener un nivel de significación de 0.05 y una probabilidad de cometer error tipo II de 0.05 para la alternativa 1 = 47 horas? Ejercicio 8: Una muestra aleatoria de 10 parlantes que se fabrican para una potencia de salida media 0 = 50 watt dio una media de 50.6 watt y una varianza de 1.2 watt. Decida, con un nivel de significación del 10%, si la media de todos esos parlantes fabricados es mayor que 0. Suponga que la potencia de salida de los parlantes sigue una distribución normal. Ejercicio 9: Se ha propuesto un nuevo diseño para el sistema de frenos de un automóvil. Se sabe que para el sistema actual, el verdadero promedio de distancia de frenado, a 40 millas por hora, bajo condiciones especificadas, es de 120 pies. Se propone que el nuevo diseño se ponga en práctica, sólo si los datos muestrales indican fuertemente una reducción en el verdadero promedio de distancia de frenado para el nuevo diseño. a) Defina el parámetro de interés e indique las hipótesis pertinentes. b) Suponga que la distancia de frenado para el nuevo sistema está normalmente distribuida y desea plantear un test de nivel 0.01 basado en una muestra de tamaño 16, ¿cuál es la región de rechazo?

c) En una muestra de tamaño 16 se obtuvo un promedio muestral de 118 pies y una desviación estándar muestral de 10, ¿ encuentra suficiente evidencia de una reducción en la distancia promedio de frenado a un nivel del 1%? Ejercicio 10: Se determinó la cantidad de desgaste de un eje, después de un recorrido fijo de millas para 8 motores de combustión interna que tienen cobre y plomo como material antifricción, resultando un promedio muestral de 3.72 y una desviación estándar muestral de 1.25. a) Si se supone que la distribución de desgaste del eje es normal, plantee un test de nivel 0.05 para probar H 0 :   3.5, versus H 1 :   3.5 b) ¿Cuál es su conclusión en este caso? Ejercicio 11: Se seleccionó una muestra de 12 detectores de radón de cierto tipo y cada uno se expuso a 100 pCi/L. Las lecturas resultantes fueron las siguientes: 105.6, 90.9, 91.2, 96.9, 96.5, 91.3, 100.1, 105.0, 99.6, 107.7, 103.3, 92.4 ¿Sugiere esta información que la lectura media de población bajo estas condiciones difiere de 100? Establezca y pruebe las hipótesis pertinentes con   0.05 . Suponga que los datos siguen una distribución normal. Ejercicio 12: En la producción de varillas cilíndricas con sección circular para encajar en receptáculos circulares, el torno se ajustó de modo que el diámetro medio sea de 5,01 cm. Para probar la exactitud del ajuste de la máquina se tomó una muestra de tamaño 10 con los siguientes resultados: 5.036 4.991 4.999 5.064 5.051 5.085 4.935 5.031 4.942 5.011 Pruebe la hipótesis de que el ajuste es correcto al nivel de significación del 2 %. Suponga que el diámetro de las varillas sigue una distribución normal. Ejercicio 13: Se desea comprobar el promedio de lectura de velocímetros de una marca en particular, cuando la velocidad es de 55 millas por hora. El promedio muestral y desviación estándar muestral resultantes de 40 velocímetros elegidos al azar fueron 53.8 y 1.3 respectivamente. Sea  el verdadero promedio de lectura cuando la velocidad es 55 millas por hora. ¿Sugiere fuertemente la evidencia muestral que el promedio de lectura de los velocímetros difiere de la velocidad real cuando esta es de 55 millas por hora? Utilice un test de nivel 0.01 Ejercicio 14: En la venta de un determinado producto industrial en polvo es muy importante la homogeneidad del proceso medida por la varianza de la concentración de materia activa. Se está estudiando la incorporación de un nuevo tipo de mezclador que mejoraría la homogeneidad. El departamento de estadística de la fábrica informa que sería económicamente conveniente el cambio si la nueva varianza es inferior a 0.22 %2, ya que se obtendría un aumento en el volumen de ventas y en el precio del producto. Se realizaron 17 determinaciones de la concentración de materia activa incorporando el nuevo tipo de mezclador que arrojaron una varianza de 0.10 %2. ¿Es aconsejable el cambio a partir del resultado de una prueba de nivel de significación 0.05? Suponga que la concentración de materia activa sigue una distribución normal Ejercicio 15: Los siguientes datos corresponden al voltaje de ruptura de circuitos eléctricamente cargados que se supone sigue una distribución normal: 1470 1510 1690 1740 1900 2000 2030 2100 2190 2200 2290 2380 2390 2480 2500 2580 2700 ¿Encuentra evidencias a un nivel del 5% de que la desviación estándar del voltaje de ruptura es inferior a 700?

Ejercicio 16: Los registros de la Dirección de Vehículos de Motor indican que de todos los vehículos que se sometieron a prueba de verificación durante el año anterior, 70% pasaron al primer intento. Una prueba aleatoria de 200 automóviles probados en una localidad en particular durante el año actual indica que 156 pasaron en la prueba inicial. ¿Sugiere esto que la verdadera proporción de esta localidad, durante el año actual, difiere de la proporción anterior a nivel estatal? Pruebe las hipótesis pertinentes usando   0.05 . Ejercicio 17: Una compañía telefónica está tratando de determinar si algunas líneas en una gran comunidad deben instalarse subterráneas. Debido a que se hará un pequeño cargo adicional en las cuentas telefónicas para pagar los costos extra de instalación, la compañía ha determinado hacer un estudio entre los clientes y continuar si el estudio indica fuertemente que más del 60% de todos los clientes están a favor de la instalación subterránea. Si 118 de 160 clientes entrevistados están a favor de esta instalación a pesar del cargo adicional, ¿qué debe hacer la compañía? Pruebe las hipótesis pertinentes usando   0.05 . Ejercicio 18: Dos tornos automáticos producen ejes cuyos diámetros son variables aleatorias normales con desvíos estándares de 2.8 y 2.3 mm respectivamente. Se quiere, con un nivel de significación 0.05, ensayar la hipótesis de que las producciones de ambos tornos tienen igual valor medio. Muestras de 20 y 25 piezas producidas respectivamente por cada torno arrojaron las siguientes medias de sus diámetros: 17.32 mm y 16.41 mm. ¿Habrá que rechazar la hipótesis? Ejercicio 19: Se estudia la tasa de combustión de dos propelentes sólidos utilizados en los sistemas de escape de emergencia de aeroplanos. Se sabe que las tasas de combustión de los dos propelentes son variables aleatorias normales con la misma desviación estándar; esto es 1 = 2 = 3 cm/s. Se prueban dos muestras aleatorias de n1 = 20 y n2 = 20 especímenes. Las medias muestrales de la tasa de combustión son ̅ 1 = 19 cm/s y ̅ 2 = 24 cm/s. ¿Son estas medias significativamente diferentes al nivel de 0.01? Ejercicio 20: Existen dos tipos de plástico apropiados para su uso por un fabricante de componentes electrónicos. La tensión de ruptura de estos dos tipos de plástico se puede considerar una variable aleatoria normal. Se sabe que 1 = 2 = 1 psi. De muestras aleatorias de tamaños n 1 = 10 y n2 = 12, se tiene que ̅ 1 = 165.5 y ̅ 2 = 155.0. La compañía no adoptará el plástico 1 a menos que la tensión de ruptura media de este exceda a la del plástico 2 en más de 10 psi. Sobre la base de la información contenida en las muestras, ¿deberá la compañía utilizar el plástico 1?. Utilice  = 0.05 para llegar a una decisión. Ejercicio 21: Una empresa alimenticia dispone de dos equipos para el llenado de paquetes de cereal. El gerente y su supervisor quisieran saber si hay alguna diferencia entre las cantidades promedio por caja de cereal llenada por el equipo A y el equipo B. La información sobre sendas muestras se resume en la forma siguiente. Media Desvío Tamaño de muestra Equipo A 366.35 g 16.71 g 13 Equipo B 369.74 g 14.20 g 15 ¿Qué conclusión podrá obtenerse haciendo una prueba al nivel de significación 0.01? Suponga que las cantidades llenadas por ambas máquinas siguen una distribución normal con igual varianza

Ejercicio 22: Dos técnicos de control de calidad miden el acabado de la superficie de una pieza metálica, obteniendo los resultados siguientes: Técnico 1: 1.45 1.37 1.21 1.54 1.48 1.29 1.34 Técnico 2: 1.54 1.41 1.56 1.37 1.20 1.31 1.27 1.35 Determine si existe diferencia significativa entre las medias obtenidas con = 0.05. Suponga que las mediciones de los dos técnicos siguen una distribución normal con igual varianza. Ejercicio 23: Se usan dos procesos para fabricar piezas forjadas que se utilizan en el montaje de un ala de avión. De 200 piezas, seleccionadas del proceso A, se tiene que 30 no cumplen con las especificaciones de resistencia, mientras que de 300 piezas, seleccionadas del proceso B, 40 no están conformes. Calcule la fracción de disconformes para cada proceso. ¿Son estas fracciones significativamente diferentes al nivel de 0.1?. Ejercicio 24: Para el tendido de cables en campaña, la empresa de telégrafos utiliza postes de madera de palmito. Estos postes deben ser tratados para evitar la putrefacción en su parte enterrada. Para comparar dos tratamientos distintos colocó 32 postes tratados con un tratamiento y 32 tratados con el otro ubicándolos alternativamente en una zona baja. Después de 6 años se inspeccionaron todos y resultó que hubo que reponer 10 de los tratados con un tratamiento y 20 de los otros. Determine si la diferencia obtenida es significativa al nivel de 0.05.