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• JosepBravoDávila

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UNPRG Práctica de Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidades 1. El número de llamadas telefónicas que se registran en un conmutador, y sus respectivas probabilidades en un intervalo de tres minutos, se ilustra en la siguiente tabla: Número de llamadas

0

1

2

3

4

5

Frecuencia Relativa

0.60

0.20

0.10

0.04

0.03

0.03

a) Determine e interprete el número esperado de Llamadas Telefónicas. b) Calcula la varianza y desviación estándar del número esperado de llamadas telefónicas. c) Grafica la distribución de probabilidad. d) Determina la función de distribución y grafica. 2. Un establo llevó un registro de los pedidos (ver tabla) de cabezas de ganado vacuno para el sacrificio. Cabezas de ganado

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Frecuencia Relativa

0.0 2

0.0 7

0.0 9

0.1 2

0.2 0

0.2 0

0.1 8

0.1 0

0.0 1

0.0 1

a) Calcula e interpreta el número esperado de pedidos de cabezas de ganado. b) Halle la varianza y la desviación estándar del número de cabezas de ganado vacuno. c) Grafica la distribución de probabilidad. d) Determina la función de distribución y grafica. 3. Un billete de lotería tiene 0.00001 de probabilidad de ganar $100000, 0.0002 de ganar $50000 y 0.004 de ganar 25000 ¿Cuál debería ser el precio justo que se debería pagar por el billete? 4. Una empresa fabrica mesas de billar sospecha que el 2% de su producción está defectuosa en alguna forma. Si esta sospecha es correcta, y se toma una muestra aleatoria de nueve mesas: a) Define la variable aleatoria del experimento aleatorio. b) Calcule la probabilidad de que haya por lo menos una mesa de billar defectuosa. c) Determina la probabilidad de encontrar entre 3 y 7, inclusive, mesas de billar defectuosas. d) Calcule la probabilidad de que no haya mesas defectuosas. 5. De los alumnos de una universidad el 41% fuma. Se eligen seis alumnos para conocer sus opiniones sobre el cigarro. a) Define la variable aleatoria del experimento aleatorio. b) Encuentre la probabilidad de que ninguno de ellos fume. c) Obtenga la probabilidad de que todos fumen.

UNPRG d) Determine la probabilidad de que por lo menos la mitad de los seis fumen. 6. Un vendedor de autos nuevos observa que el 80% de los autos vendidos son regresados al departamento de servicio para corregir diversos defectos de fabricación en los primeros 25 días después de su compra. De los 11 autos que se vendieron en un periodo de cinco días: a) Define la variable aleatoria del experimento aleatorio. b) ¿Cuál es la probabilidad de que todos regresen en el lapso de 25 días para recibir servicio? c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo un auto regrese? d) Determine el valor esperado y la varianza de la distribución. 7. Suponga que el 8% de los emparedados que se venden en restaurante al paso se piden sin mayonesa. Si siete personas ordenan emparedados: a) Define la variable aleatoria del experimento aleatorio. b) Encuentre la probabilidad de que todos lo quieran con mayonesa. c) Encuentre la probabilidad de que solo una lo quiera con mayonesa. d) Determine la media y varianza de la distribución. 8. Suponga que los aviones que arriban a un aeropuerto a razón de dos aviones/hora, y que esta proporción está bien aproximada mediante el proceso de Poisson. Si se observa este proceso mediante media hora: a) Define la variable aleatoria del experimento aleatorio. b) ¿Cuál es el valor esperado y la varianza de la distribución de probabilidad? c) Calcula la probabilidad de que no arribe ningún avión. d) Calcula la probabilidad de que arriben tres aviones. e) Calcula la probabilidad de que arribe por lo menos 1 avión. 9. Mediante un proceso mecánico se producen alfombras de lana que presentan un promedio de dos defectos por metro. Suponiendo que el proceso puede ser aproximado mediante una distribución de Poisson: a) Define la variable aleatoria del experimento aleatorio. b) ¿Cuál es el valor esperado y la varianza de la distribución de probabilidad? c) Encuentre la probabilidad de que en un metro cuadrado tenga exactamente un defecto d) Encuentre la probabilidad de que en un metro cuadrado no tenga defectos e) Encuentre la probabilidad de que en dos metros cuadrado tengo a lo mucho 1 defecto 10.Las llamadas de emergencia registradas en una estación de policía es de 4 llamadas/hora en época de turistas, en un fin de semana de esta época se puede aproximar mediante distribución de Poisson. En un lapso de 30 minutos: a) Define la variable aleatoria del experimento aleatorio. b) ¿Cuál es el valor esperado y la varianza de la distribución de probabilidad? c) ¿Cuántas llamadas de emergencia se esperan recibir? d) ¿Cuál es la probabilidad de que no se registren llamadas? e) ¿Cuál es la probabilidad de que haya por lo menos dos llamadas?

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11.El número promedio de radios que vende una compañía por día se aproxima a una distribución de Poisson, con una media de 1,5. Calcule la probabilidad de que la compañía venda por lo menos cuatro radios durante un: a) Periodo de dos días. b) Periodo de tres días. c) Periodo de cuatro días. 12.Los defectos en un rollo fotográfico de color promedian 0,1 defectos/rollo, y la distribución que sigue para determinar el número de defectos es la de Poisson. a) Defina la variable aleatoria. b) Obtenga la probabilidad de que cualquier rollo fotográfico de color presente uno o más defectos. 13.Los turistas llegan a una exhibición en un museo a razón de 6,5 turistas/hora, siguiendo una distribución de Poisson: a) Define la variable aleatoria del experimento aleatorio. b) ¿Cuál es el valor esperado y la varianza de la distribución de probabilidad? c) Calcular la probabilidad de que en una hora dada no llegue ningún cliente. d) Calcular la probabilidad de que en una hora dada por lo menos lleguen 5. e) Calcular la probabilidad de que en una hora dada llegue más de uno. f) Calcular la probabilidad de que en dos horas dada lleguen exactamente 6. 14.Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo: a) Define la variable aleatoria del experimento aleatorio. b) ¿Cuál es el valor esperado y la varianza de la distribución de probabilidad? c) ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local? d) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local? e) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local? 15.Se sabe que de un lote de 40 semillas, no está en buenas condiciones la cuarta parte. Se toman al azar 8 semillas y se analizan en el laboratorio. a) Define la variable aleatoria del experimento aleatorio. b) ¿Cuál es el valor esperado y la varianza de la distribución de probabilidad? c) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de las analizadas estén en malas condiciones? d) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 de las analizadas estén en malas condiciones? 16.Un embarque de 20 computadoras contiene 5 que están defectuosas. Si 10 de estas computadoras se seleccionan aleatoriamente, para su inspección, a) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de las 10 estén defectuosas?

UNPRG b) ¿Cuál es la probabilidad de a lo sumo 3 computadoras se encuentren defectuosas? 17.En un lote grande de 200 sacos de café de un quintal contiene el 10% de sacos con impurezas. Del lote se embarcan a un camión 20 sacos de café tomados al azar: a) Define la variable aleatoria del experimento aleatorio. b) ¿Cuál es el valor esperado y la varianza de la distribución de probabilidad? c) ¿Cuál es la probabilidad de que 5 sacos contengan impurezas? d) ¿Cuál es la probabilidad de a lo sumo 3 de los sacos contengan impurezas? e) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los sacos contenga impurezas? 18.Una caja contiene 20 chips, de los cuales el 20% no están aptos para su venta y el resto sí. Se escogen 5 de estos chips aleatoriamente, para su inspección: a) Define la variable aleatoria del experimento aleatorio. b) ¿Cuál es el valor esperado y la varianza de la distribución de probabilidad? c) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 chips no estén aptos para sus ventas? d) ¿Cuál es la probabilidad de a lo sumo 3 chips no se encuentren aptos para su venta? e) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno este apto para su venta? 19.Un líquido industrial contiene un porcentaje X por galón de un compuesto particular cuya distribución es normal con media µ% y desviación estándar σ%. El fabricante conoce además que existe una probabilidad del 2.28% de que el líquido sobrepase el 21% y que la probabilidad que el líquido sobrepase el 12% es del 15.87%, determinar la media y la desviación estándar del porcentaje del líquido. 20.La distribución de los pesos de sacos de naranjas es tal que el 15.15% de estos tienen un peso que exceden a los 50 Kg y que el 61.41% tienen pesos que exceden a los 30 kilos, determinar la media y la desviación estándar de los pesos, si se sabe que la distribución de dichos periodos es normal. 21.Si la distribución de los periodos de duración de los postes telefónicos de madera es tal que el 9.51% tiene un periodo de duración que exceden a los 15 años y que el 62.55% tienen periodos de duración que exceden a los 9 años, determinar la media y la desviación estándar de los periodos de duración, si se sabe que la distribución de dichos periodos es normal. 22.Una fábrica produce un tipo de neumáticos que tiene una vida útil media de 80000 km y una desviación estándar de 8000 km. Suponiendo que esta vida útil está distribuida normalmente: a) ¿Cuál es la probabilidad que un neumático dure más de 96000 km? b) El 50% de los neumáticos duran entre x1 y x2 km. Halle los valores de x1 y x2 si son simétricos respecto a la media. 23.Determine las probabilidades en los siguientes casos: a) P(2,10 < T < 3,12), con 19 grados de libertad

UNPRG b) P(T ≥ 2,10) con 12 grados de libertad c) P(T ≤ 1,12), para una muestra de tamaño 10 d) P(T ≥ 3,12), para una muestra de tamaño 14 24.Determine el valor de t para las siguientes probabilidades: a) P(T < t) = 0,95; con 17 grados de libertad b) P(T ≥ t) = 0,75; con 15 grados de libertad c) P(T ≤ t) = 0,10; para una muestra de tamaño 18 d) P(T ≥ t) = 0,90; para una muestra de tamaño 13