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• Miguel Goñi Brito

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PRACTICA TIPO C DE DINAMICA: RESOLVER LOS 5 PROBLEMAS PLANTEADOS EN BASE A LA SOLUCION LITERAL MOSTRADA, PROCURANDO DAR VALORES ADECUADOS A LOS REQUERIDOS INDICANDO SUS RESPUESTAS A CADA PROBLEMA EN UN RECUADRO. HORA INICIO DE 2 A 5 PM EN EL AULA, SE TOMARA ASISTENCIA AL FINAL DE LA PRACTICA SE RECOMIENDA TRABAJAR EN FORMA INDIVIDUAL CON INFORMACION QUE DISPONIBLE, LIBROS COPIAS ETC..ETC. PROB. 1

Una varilla rígida y delgada de longitud 2L = ? cm está formada homogéneas hechas de materiales diferentes, cuyas densidades lineales respectivas son ρA = ? kg/m y ρ B= ? kg/m.

La varilla se cuelga por sus extremos mediante unos hilos, según se muestra en la figura. Se pide: a) Determinar la posición del CM de la varilla b) Determinar la tensión de cada uno de los hilos usados para colgar horizontalmente la varilla c) Determinar el momento de inercia respecto al punto A

d) Suponiendo que en un momento dado se corta el hilo B, determinar la velocidad angular y la aceleración angular de la varilla cuando el ángulo entre la varilla y la horizontal es 37º

A

ρA

ρB

L

L

B

Puesto que las dos mitades son homogéneas, las respectivas posiciones de los centros de masas serán Y

TA

ρA

A

ρB L

x=0

xCM

Masa total:

∑ ∑

τ A = − mg xCM + TB 2 L = 0 Fy = − mg + TA + TB = 0

xCM 1 ⎛ ρ A + 3ρ B ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ 2L 4 ⎝ ρ A + ρ B ⎠

B

xB = 3L / 2

mA = ρ A L mB = ρ B L

Posición del CM del conjunto: xCM = xCM =

m = (ρ A + ρ B )L

Masa de cada mitad:

TB

L

mg

xA = L / 2

m A (L / 2) + mB (3L / 2) m A + mB

TB = mg

xCM 2L

xCM =

m A x A + mB x B m A + mB

ρ A L(L / 2 ) + ρ B L(3L / 2 ) ρ AL + ρB L

⎛ ρ + 3ρ B ⎞ L ⎟⎟ xCM = ⎜⎜ A ⎝ ρ A + ρB ⎠ 2

⎛ x ⎞ TA = mg − TB = mg ⎜1 − CM ⎟ 2L ⎠ ⎝

TB = (ρ A + ρ B )L g

1 ⎛ ρ A + 3ρ B ⎞ ⎜ ⎟ 4 ⎜⎝ ρ A + ρ B ⎟⎠

⎡ 1 ⎛ ρ + 3ρ B ⎞ ⎤ ⎟⎟⎥ TA = (ρ A + ρ B ) L g ⎢1 − ⎜⎜ A + 4 ρ ρ B ⎠⎦ ⎝ A ⎣

TB =

1 (ρ A + 3ρ B )L g 4 TA =

1 [3ρ A + ρ B 42L g 4

Momento de inercia respecto de A

ρA

A

m = (ρ A + ρ B )L

dm = ρ dx dx L

x=0

mg

ρB

⎛ ρ + 3ρ B ⎞ L ⎟⎟ xCM = ⎜⎜ A ⎝ ρ A + ρB ⎠ 2

B

L

L3 I A = (ρ A + 7 ρ B ) 3

x L

IA =

∫

L

2L

x 2 dm A +

∫

x 2 dmB =

∫

x 2 ρ A dx +

∫

L

2L

⎡ x3 ⎤ ⎡ x3 ⎤ 1 1 2 x ρ B dx = ρ A ⎢ ⎥ + ρ B ⎢ ⎥ = ρ A L3 + ρ B 8 L3 − L3 3 ⎣ 3 ⎦0 ⎣ 3⎦L 3

(

L

0

L

0

2L

Apartado c) Aceleración angular y velocidad angular TA' A

∑

τ A = xCM mg sin (90 − θ ) = I A α

θ

α=

xCM Cortando el hilo B, la varilla cae rotando alrededor de A.

mg

90 − θ

3 (ρ A + 7 ρ B ) L3

α

α=

xCM mg cosθ IA

⎛ ρ A + 3ρ B ⎞ L ⎜⎜ ⎟⎟ (ρ A + ρ B )L g cos θ + ρ ρ B ⎠ 2 ⎝ A ⎛ ρ + 3ρ B ⎞ 3 g cos θ ⎟⎟ α = ⎜⎜ A 2L ⎝ ρ A + 7ρB ⎠

)

Regla de la cadena

⎛ ρ + 3ρ B ⎞ 3 g cos θ ⎟⎟ α = ⎜⎜ A + ρ ρ 7 2L B ⎠ ⎝ A

⎛ ρ + 3ρ B ⎞ 3 g cos θ dω dω dθ dω ⎟⎟ = =ω = α = ⎜⎜ A dθ dt dθ 2L dt ⎝ ρ A + 7ρB ⎠ ω

∫

⎛ ρ A + 3ρ B ⎞ 3 g cos θ ⎟⎟ dθ + ρ ρ L 7 2 B ⎠ ⎝ A

ω dω = ⎜⎜

θ

⎛ ρ A + 3ρ B ⎞ 3 g ⎟⎟ + ρ 7 ρ B ⎠ 2L ⎝ A

ω dω = ⎜⎜

0

⎛ ρ + 3ρ B ⎞ 3 g ⎟⎟ ω 2 = ⎜⎜ A sin θ + ρ 7 ρ 2 L B ⎠ ⎝ A

⎛ ρ A + 3ρ B ⎞ 3 g ⎟⎟ sin θ ρ 7 ρ 2 L + B ⎠ ⎝ A

x CM (m) =

ρB (kg/m) =

θ (º) = θ (rad) =

0

ω = ⎜⎜

ρA (kg/m) =

L (m) = -2 g (m s ) =

∫

T A (N) = T B (N) =

SOLUCIÓN NUMÉRICA

2

I A (kg m ) =

α (rad s-2) = ω (rad/s) =

cos θ dθ

PROB. 2

La figura muestra un disco de radio R, con cuatro agujeros circulares, cada uno de radio R. Estos agujeros están distribuidos como se indica en la figura. La densidad superficial del disco es ρ (kg·m-2). El disco se mueve sobre suelo horizontal. Conteste a las siguientes preguntas para los valores numéricos dados abajo: a) Calcular el momento de inercia Izz del disco, donde Z es el eje perpendidular que pasa a través de su centro de simetría (no se muestra en la figura). b) La velocidad angular inicial del disco cuando entra en contacto con el suelo es ω0 en sentido horario, mientras que la velocidad lineal del CM es nula. El coeficiente de rozamiento dinámico es µ. Dibuje el DSL teniendo en cuenta las fuerzas externas que actúan sobre el disco, y calcule: el tiempo que tarda el disco en empezar a rodar sin deslizar, la velocidad del centro de masas y la velocidad angular del sólido en el momento en que empieza la rodadura . Halle los resultados numéricos de las cuestiones anteriores: R=

cm, ρ =

kg·m-2, ω0 =

rad/s, µ =

Momento de inercia de un disco (densidad superficialσ, radio a) Respecto a un eje normal que pasa por su centro de simetría (Izz) En nuestro problema tenemos discos de dos tipos:

I zz =

1 1 2 ( Masa ) ⋅ (Radio ) = σ π a 4 2 2

1. Disco macizo de radio a = 3R, densidad superficial σ = ρ.

I1zz =

1 81 ρ π (3R )4 = ρ π R 4 2 2

2. Cuatro agujeros que se tratarán como discos de radio a = R y densidad superficial σ = -ρ.

3R

R

2R

Los agujeros están dispuestos simétricamente alrededor del centro de simetría del disco, la distancia entre cada centro de agujero y el centro de la figura es 2R.

2R

Momento de inercia de cada agujero respecto al eje perpendicular que pasa por su propio centro:

2R

Z normal al plano, no se muestra en el dibujo

Eje Z

I 2' zz

1 I 2 zz = − ρ π R 4 2

Hay que calcular el momento de inercia de cada agujero respecto al eje Z que pasa por el centro de simetría. Aplicamos el teorema de Steiner:

(

)

9 2 I 2' zz = I 2 zz + − ρ π R 2 (2 R ) = − ρ π R 4 2 1 81 4 I1zz = ρ π (3R ) = ρ π R 4 9⎞ 45 ⎛ 81 2 2 I zz = I 2 zz + 4 I 2' zz = ⎜ − 4 ⎟ ρ π R 4 = ρ π R4 2⎠ 2 9 ⎝2 2 = I 2 zz + − ρ π R 2 (2 R ) = − ρ π R 4 45 2 I zz = ρ π R4 2

(

)

Situación inicial: r vCM 0 = 0

( )

r ( ω −k)

r r r r vC 0 = ω0 − k ⋅ 3R (− j ) = 3ω0 R (− i )

0

Esto significa que el punto C se mueve inicialmente hacia la izquierda, luego la fuerza de rozamiento dinámica se dirige hacia la derecha. r r r Fx = FR = m aCM 2a Ley de Newton: aCM = µ g r r µ m g i = m aCM i

∑

Rotación del disco:

∑

r

r

Y X

r

El momento de inercia ICM es el mismo IZZ calculado antes, ya que nuestro disco es una figura plana; la aceleración angular es entonces: 3µ m g R donde la masa m es

C

r FR

Situación inicial

r

ω (t ) La velocidad angular decrece mientras la velocidad del centro de masas se incrementa

I CM

m = ρ π (3R ) − 4 ρ π R 2 = 5 ρ π R 2

y el momento de inercia es

)

r vC 0

r

r 3µ m g R r α= k I CM

α=

r 3R (− j )

Z

τ CM = 3R (− j )× FR = I CM α

r r r 3R (− j )× µ m g i = I CM α

(

CM

3µ 5 ρ π R 2 g R 2 µ g α= = (45 / 2)ρ π R 4 3R

2

45 ρ π R4 2 r 2µ g r α= k 3R

I CM = I zz =

Antihorario

r

r FR

α

t > 0, pero antes de rodar sin47 delizar

Ecuaciones de traslación y rotación Condición de rodadura µ g t f = 3Rω0 −

vCM (t ) = aCM t = µ g t

vCM (t f ) = ω (t f ) ⋅ 3R

2µ g 3R t f 3R

tf =

ω (t ) = ω0 − α t = ω0 −

2µ g t 3R

r

ω (t )

R ω0 µg

Cuando comienza la rodadura tenemos:

vCM (t )

45 ρ π R4 2 2µ g α= 3R

vCM (t f ) = aCM t f = µ g t f = R ω0

I zz =

2µ g 1 ω (t f ) = ω0 − α t f = ω0 − t f = ω0 3R 3

r

r FR

α

t > 0, pero antes de rodar sin deslizar

SOLUCIÓN: R = IZZ =

kg·m2

cm, ρ =

α=

kg·m-2, ω0 =

rad·s-2 tf =

rad/s, µ = s

vCM(tf) =

m/s

ω(tf) =

rad/s

PROB. 3

a) b) c)

Un disco homogéneo de radio R y masa M rueda sin deslizar hacia abajo en un plano inclinado de ángulo θ que tiene una ranura, según se muestra en la figura. El disco va montado sobre un eje concéntrico de radio r y masa muy pequeña. Determine la aceleración del CM y la aceleración angular del disco. Calcule la fuerza de rozamiento entre el eje y el plano inclinado. Calcule la velocidad angular del disco cuando haya recorrido una distancia L a lo largo del plano, suponiendo que partió del reposo.

N

R

FR

aCM

Rotación:

FR r = I CM α

Momento inercia:

FR = I CM

g sin θ 1 + R 2 / 2r 2

(

)

α=

(Paralelamente al plano inclinado) (Sentido horario)

aCM = r α

I CM =

α r

=

1 M R2 2

a 1 M R 2 CM 2 r2

1 R2 Mg sin θ − M 2 aCM = M aCM 2 r

θ aCM =

M (kg) = R (m) = r (m) = L (m) =

Mg sin θ − FR = M aCM

Mg

⎛ R2 ⎞ ⎜1 + 2 ⎟aCM = g sin θ ⎜ 2r ⎟ ⎠ ⎝

g (m·s-2) = θ (º) =

Traslación:

Rueda sin deslizar:

r

Valores numéricos

aCM g sin θ = r r + R 2 / 2r

(

(La masa del eje es despreciable)

Apartado b) Fuerza de rozamiento. A partir de la ecuación de rotación y los resultados anteriores

aCM =

g sin θ 1 + R 2 / 2r 2

(

)

a g sin θ α = CM = r r + R 2 / 2r

(

FR r = I CM α → FR = I CM 1 g sin θ FR = MR 2 2 2 r + R2 / 2

)

(

)

α r

= I CM

aCM r2

R2 FR = 2 Mg sin θ 2 R + 2r

Apartado c) Velocidad angular cuando ha recorrido la distancia L a lo largo del plano inclinado Es un movimiento uniformemente acelerado, calculamos primero la velocidad del CM:

vCM

2 gL sin θ = 2aCM L = 1 + R 2 / 2r 2

(

Solución numérica A

B

v 2aCM L ω = CM = r r2

) C

D

E

a CM (m·s-2) =

0,21

0,07

0,09

0,10

α (rad·s-2) =

4,20 16,80 0,92 18,33

1,34 4,83 0,45 8,97

1,90 10,25 0,62 12,32

2,03 9,75 0,45 9,01

F R (N) = v CM (m/s) = ω (rad/s) =

ω=

2 gL sin θ r 2 + R2 / 2

(

)

PROB. 4

a) b) c)

Un cilindro hueco y homogéneo, de radio interior r y radio exterior R, rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado un ángulo θ sobre la horizontal. Suponiendo que inicialmente se encontraba en reposo, se pide: Determinar la aceleración del CM y la aceleración angular del cilindro. Calcular la velocidad del CM cuando el cilindro ha recorrido una distancia L sobre el plano inclinado y la velocidad angular del sólido en ese instante. Calcular las componentes vectoriales de velocidades y aceleraciones de los puntos A, B y P indicados en el dibujo cuando el cilindro ha recorrido una distancia L sobre el plano inclinado, con respecto al sistema coordenado que se muestra en el esquema cuyo origen es el CM.

R

Y

L

r

A R r Posición del CM al inicio del movimiento

P

θ

B

X

Fuerzas que intervienen en el movimiento a lo largo del plano (en rojo) Y aCM m g sin θ − FR = m aCM Iα m g sin θ − = m aCM α I α R F ⋅ R = I α FR = R mg sin θ CM R Rueda sin deslizar: R I es el momento de inercia a respecto al eje principal de α = CM r R X simetría que pasa por el CM FR

θ

Momento de inercia respecto a su 1 I = m R2 + r 2 eje principal de simetría de un 2 cilindro hueco de radios r y R: Iα 1 1⎛ r2 ⎞ 2 2 aCM = m R +r = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ m aCM = C m aCM 2 R 2 2⎝ R ⎠ R

(

Sea m la masa (desconocida) del cilindro hueco

(

mg

)

)

C Iα = m aCM puede escribirse como m g sin θ − C m aCM = m aCM R 1⎛ r2 ⎞ g sin θ ⎜ donde C = ⎜1 + 2 ⎟⎟ = 2⎝ R ⎠ 1+ C

Por tanto la relación m g sin θ −

aCM

De aquí la aceleración angular vale

α=

g sin θ R(1 + C )

Y

L

R r Posición del CM al inicio del movimiento

X

θ

Velocidad del CM y velocidad angular cuando ha recorrido una distancia L partiendo del reposo 2 vCM = 2 aCM L = 2 g sin θ L 1+ C

1⎛ r2 ⎞ donde C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

vCM =

2 g sin θ L 1+ C

ω=

vCM 1 2 g sin θ L = R R 1+ C

Observación: cuanto más próximos sean los valores de r y R, mayor es el valor de C y menor será la velocidad lineal y la velocidad angular.

Componentes vectoriales en el sistema de referencia dado:

r g sin θ r aCM = i 1+ C

( )

r g sin θ −k α= R(1 + C ) r

(El eje Z positivo es normal al plano XY y saliente)

r 2 g sin θ r vCM = L i 1+ C

r

ω=

( )

r 1 2 g sin θ L −k R 1+ C

Punto superior (A) Y

L

(

r r r 2 g sin θ r 1 2 g sin θ vA = L i+ L ⋅R −k × j 1+ C R 1+ C

A R r Posición del CM al inicio del movimiento

P

r g sin θ r aCM = i 1+ C r r g sin θ α= −k R(1 + C )

( )

r 1 2 g sin θ L −k ω= R 1+ C 1⎛ r2 ⎞ C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

X

r 2 g sin θ r vA = 2 L i 1+ C

r r r r r a A = aCM + α × rA / CM − ω 2 rA / CM

(

2 g sin θ r = L i 1+ C

r

B

)

)

r r 2 g sin θ r r g sin θ r g sin θ aA = i+ R −k × j − 2 L⋅R⋅ j 1+ C R(1 + C ) R (1 + C )

( )

r vCM

θ

r r rA / CM = R j

r r r r r r v A = vCM + v A / CM = vCM + ω × rA / CM

r 2 g sin θ ⎛ r L r ⎞ aA = ⎜i − ⋅ j ⎟ 1+ C ⎝ R ⎠

Punto delantero (B) Y

L

(

r r r 2 g sin θ r 1 2 g sin θ vB = L i+ L ⋅R − k ×i 1+ C R 1+ C

A R r Posición del CM al inicio del movimiento

P

r g sin θ r aCM = i 1+ C r r g sin θ α= −k R(1 + C )

( )

r 1 2 g sin θ L −k ω= R 1+ C 1⎛ r2 ⎞ C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

X

r r 2 g sin θ r 2 g sin θ vB = L i− L j 1+ C 1+ C

r r r r r aB = aCM + α × rB / CM − ω 2 rB / CM

(

2 g sin θ r = L i 1+ C

r

B

)

)

r r 2 g sin θ r r g sin θ r g sin θ aB = i+ R − k ×i − 2 L⋅ R ⋅i 1+ C R(1 + C ) R (1 + C )

( )

r vCM

θ

r r rB / CM = R i

r r r r r r vB = vCM + vB / CM = vCM + ω × rB / CM

r g sin θ ⎛ 2 L ⎞ r g sin θ r aB = j ⎜1 ⎟ i− 1+ C ⎝ R ⎠ 1+ C

Punto inferior (P) Y

L

(

R Posición del CM al inicio del movimiento

P

r g sin θ r aCM = i 1+ C r r g sin θ α= −k R(1 + C )

( )

r 1 2 g sin θ L −k ω= R 1+ C 1⎛ r2 ⎞ C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

X

r r 2 g sin θ r 2 g sin θ vP = L i+ L (− i ) = 0 1+ C 1+ C

r r r r r aP = aCM + α × rP / CM − ω 2 rP / CM

(

2 g sin θ r = L i 1+ C

r

B

)

r r r r g sin θ r g sin θ 2 g sin θ aP = i+ R − k × (− j ) − 2 L ⋅ R ⋅ (− j ) 1+ C R(1 + C ) R (1 + C )

( )

r vCM

θ

)

r r r 2 g sin θ r 1 2 g sin θ vP = L i+ L ⋅ R − k × (− j ) 1+ C R 1+ C

A

r

r r rP / CM = − R j

r r r r r r vP = vCM + vP / CM = vCM + ω × rB / CM

r 2 g sin θ L r aP = j 1+ C R El punto P es el centro instantáneo de rotación. Su velocidad es nula pero su aceleración no.

PROB. 5

Una varilla delgada de longitud L desliza a lo largo de dos guías, una vertical y otra horizontal, según se indica en el esquema. Cuando el ángulo formado por la varilla y la horizontal es θ, la velocidad del extremo A es vA y su aceleración es aA, ambas dirigidas hacia la derecha. Determine según los ejes coordenados de la figura: a) las componentes vectoriales de la velocidad del extremo B y de la velocidad angular en ese instante. b) las componentes vectoriales de la aceleración del extremo B y de la aceleración angular en ese instante. A

vA =

cm/s L =

m

θ=

aA = cm/s2

(hacia la derecha)

B C

vA = vA =

cm/s L = cm/s L =

m m

aA = cm/s2 aA = cm/s2

(hacia la derecha) (hacia la derecha)

D

vA =

θ= θ= θ=

aA = cm/s2

(hacia la derecha)

cm/s

L=

m

A

θ

Y

L B

Z

X

P09.05. A

r r vB = vB ⋅ j

θ

r rB / A

B

r

L

( ) r

ω =ω⋅ −k

[

]

r r r rB / A = L cos θ ⋅ (− i ) + sin θ ⋅ (− j )

Igualando componentes

Y

datos : v A L θ a determinar : vB ω r r r r r r r r vA = vA ⋅ i vB = v A + vB / A = v A + ω × rB / A r r r i j k r r vB ⋅ j = v A ⋅ i + ω ⋅ L ⋅ 0 0 −1

− cos θ

Z

X

− sin θ

0

[

]

r r r r vB ⋅ j = v A ⋅ i + ω ⋅ L ⋅ (− sin θ ) ⋅ i + cos θ ⋅ j r r r vB ⋅ j = (v A − ω ⋅ L ⋅ sin θ ) ⋅ i + ω ⋅ L ⋅ cos θ ⋅ j

v A − ω ⋅ L ⋅ sin θ = 0

vA ω= L ⋅ sin θ

vB = ω ⋅ L ⋅ cos θ

vB = v A ⋅ cot θ

( )

r vA ⋅ −k ω= L ⋅ sin θ r r vB = v A ⋅ cot θ ⋅ j r

Resultados numéricos A v A (m/s) = L (m) = θ (º) = θ (rad) =

B

C

D A ω (rad/s) = v B (m/s) =

B

C

D

datos : a A ω L θ a determinar : a B α r r r r r r r a B = a A + α × rB / A − ω 2 ⋅ rB / A aA = aA ⋅ i r r 2 r − ω ⋅ L ⋅ − cos θ ⋅ i − sin θ ⋅ j aA ⋅ i

A

r r aB = aB ⋅ j r rB / A

B

r rB / A

θ

r

L

( )

[

Y

r

r i α ⋅L⋅ 0 − cos θ

α =α ⋅ −k

[

]

r r = L cos θ ⋅ (− i ) + sin θ ⋅ (− j )

X

Z

[

r j 0 − sin θ

]

r k r r − 1 = α ⋅ L ⋅ [− sin θ ⋅ i + cosθ ⋅ j ] 0

[

]

r r r r r r a B ⋅ j = a A ⋅ i + α ⋅ L ⋅ − sin θ ⋅ i + cos θ ⋅ j − ω 2 ⋅ L ⋅ − cos θ ⋅ i − sin θ ⋅ j r r r a B ⋅ j = a A − α ⋅ L ⋅ sin θ + ω 2 ⋅ L ⋅ cos θ ⋅ i + α ⋅ L ⋅ cos θ + ω 2 ⋅ L ⋅ sin θ ⋅ j

[

] [

a A − α ⋅ L ⋅ sin θ + ω 2 ⋅ L ⋅ cos θ = 0 a A + ω 2 ⋅ L ⋅ cos θ α= L ⋅ sin θ

Igualando componentes

( )

r a A + ω 2 ⋅ L ⋅ cos θ ⋅ −k α= L ⋅ sin θ

a B = α ⋅ L ⋅ cos θ + ω 2 ⋅ L ⋅ sin θ

(

)

r a B = α ⋅ L ⋅ cos θ + ω ⋅ L ⋅ sin θ ⋅ j 2

]

Resultados numéricos 2

A

B

C

D

A

B

C

D

a A (m/s ) = L (m) = θ (º) = θ (rad) =

2

α (rad/s ) = 2

a B (m/s ) =

]