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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO BÁSICO I-2015 CÁLCULO II (MAT-102) AUXILIARES: UNIV. BITRE MAMANI WEIMAR RENATO UNIV. PAYE CHIPANA JOSÉ UNIV. CORINA MACHACA ORLANDO UNIV. CALLIZAYA MAMANI LEODAN GUSTAVO UNIV. BASCOPE APAZA BRYAM JHAMIL UNIV. SILLERICO JUSTO VICTOR HUGO

GRUPO:

A B C D E F

PRÁCTICA TERCER PARCIAL

1. INTEGRALES DOBLES

CAMBIO DEL ORDEN DE INTEGRACIÓN 1. Resolver la integral: Respuesta: 2. Dada la integral:

a) Representar en una sola integral b) Si , hallar el valor de . Respuesta: 0 3. Representar en una sola integral iterada a la suma de las integrales:

Respuesta: 4. Calcular:

Respuesta: 5. Analice la verdad o falsedad de la siguiente igualdad (justifique su respuesta):

CÁLCULO DE INTEGRALES 6. Resolver la integral: Respuesta: 7. Calcular:

Respuesta: 8. Calcular la integral doble

, en la región D.

Siendo la región D: Respuesta: 9. Calcular

, donde D es la región limitada por las curvas: ;

y la función dada por:

Respuesta: 10. Calcular:

, donde D: Respuesta:

TRANSFORMACIONES LINEALES Y COORDENADAS POLARES 11. Evalúe: Donde R es la región acotada por:

;

;

; Respuesta:

12. Calcular:

, sobre la región D encerrada por las rectas: Respuesta:

13. Calcular:

Respuesta: 15 14. Calcule la integral en la región D dado en el primer cuadrante, limitada por las curvas:

Respuesta:

15. Calcular la integral cuadrilátero de vértices

, donde D es la región limitada por el Respuesta:

16. Evaluar la integral doble sobre el disco D acotado por la elipse:

Respuesta: 17. Calcular la integral:

Respuesta: 18. Calcular la integral:

Respuesta: 19. Calcular:

Respuesta: 20. Calcular la integral:

Respuesta: ÁREA DE REGIONES PLANAS 21. Hallar el área plana interior a la circunferencia . 22.

23.

24. 25.

y exterior a la cardioide

Respuesta: Calcular el área de la región limitada por las rectas ; , ; ; que sea exterior a la circunferencia . Respuesta: Calcular el área de la región interior a la circunferencia y por encima de la recta . Respuesta: Calcular el área de la región limitada por la línea . Respuesta: Hallar el área de la región limitada por las curvas ; ; ; Respuesta:

ÁREA DE SUPERFICIES 26. Hallar el área de la porción de la esfera .

, exterior al paraboloide Respuesta: , que está dentro del

27. Hallar el área de la porción de la superficie del cono cilindro .

Respuesta: 28. Encontrar el área de la región perteneciente al paraboloide comprendida entre los conos

;

y

.

Respuesta: 29. Hallar el área de la parte del plano coordenados.

, comprendida entre los planos

Respuesta: 30. Hallar el área de la parte de la superficie esférica dada por , si es perforada por el agujero cilíndrico , donde . Respuesta: VOLÚMENES POR INTEGRALES DOBLES 31. Hallar el volumen limitado por las superficies: ; ; ; . Respuesta: 32. Calcular el volumen del sólido que se encuentra debajo del plano , por encima del plano e interior a los cilindros: , . Todas las distancias se encuentran en centímetros. Respuesta: 33. Calcular el volumen en la región del primer octante acotado por los planos coordenados y los cilindros ; . Respuesta: 34. Calcular el volumen encerrado por las superficies , . Respuesta: 35. Calcular el volumen interior a la esfera y al cilindro . Respuesta: APLICACIONES A LA MECÁNICA 36. Determine el centroide de la región del plano coordenado polar que está dentro de la cardioide y fuera de la circunferencia . Respuesta: 37. Calcule el centroide de la región del plano coordenado polar definida mediante las desigualdades , . Respuesta:

38. Determinar el momento de inercia respecto al eje X (Ix) de un anillo laminar (arandela) homogéneo de radio interno a, radio externo b y masa M. Expresar el resultado en términos de M. Respuesta: 39. Calcular el centro de gravedad de una lámina delgada cuya densidad en cualquier punto es inversamente proporcional a la distancia de éste al origen. La región a considerar es el interior de la circunferencia y exterior a Respuesta: 40. Una lámina tiene la forma de la región acotada por la parábola y el eje X. Calcule el momento de inercia de la lámina con respecto a la recta y=4, si la densidad superficial varía como la distancia desde la recta y=4. La masa se mide en [Kg] y la distancia en [m]. Respuesta:

2. INTEGRALES MÚLTIPLES 41. Calcular: , Respuesta:

, donde la región T está limitada por las superficies ,

,

.

42. Calcular:

. Respuesta:

43. Calcular la integral triple: Respuesta: 44. Calcular la integral , donde U es un cono circular recto de altura “h” con su base de radio “a” en el plano XY y su eje a lo largo del eje Z. Respuesta: 45. Calcular limitado por los planos ; Respuesta: 46. Determinar el volumen limitado por: .

;

47. Encuentre el volumen del sólido acotado por los conos y el plano . 48. Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies: los planos , , .

, donde U es el tetraedro ; . ;

; Respuesta: ; Respuesta: ; Respuesta:

y

49. Hallar el centro de masa del sólido homogéneo dentro del cilindro y bajo el cono , y sobre el plano XY. Respuesta: 50. Calcular la masa del sólido hemisférico superior de radio “a”, si la densidad es proporcional a “z”. Respuesta:

3. INTEGRALES DE LÍNEA INTEGRAL DE LÍNEA DE PRIMERA ESPECIE 51. Calcular

, donde C es el arco de la curva

el punto

hasta el punto

desde

. Respuesta:

52. Calcular la integral curvilínea .

, donde C es la circunferencia

, Respuesta:

53. Calcular la integral curvilínea .

, donde C es el arco de la Lemniscata: Respuesta:

54. Calcular la integral curvilínea: .

, donde C es el arco de la astroide Respuesta:

55. Calcular vértices

donde C es el camino cerrado positivo limitado por el triángulo de Respuesta: 0

INTEGRAL DE LÍNEA DE SEGUNDA ESPECIE 56. Calcular ;

, donde C es la curva de intersección de las superficies: , en el sentido positivo visto desde arriba. Respuesta:

57. Calcular , donde C es la espira de la hélice circular recorrida en sentido de crecimiento del parámetro:

Respuesta: 58. Calcular la integral curvilínea

, donde C es la curva: Respuesta:

59. Calcular: a

, donde C es el arco de la curva

, desde

. Respuesta:

60. Hallar

, donde C es la intersección de las superficies: , . La curva es recorrida de tal manera que mirando desde el origen el sentido es el de las agujas del reloj. Respuesta: INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA 61. Calcular: .

, donde C es la curva

, desde

hasta

Respuesta: 62. Calcular:

, donde C es el arco de la curva

de

a

. Respuesta: 63. Calcular:

Respuesta: 64. Calcular astroide

, en torno al . Respuesta: 0

65. Evaluar:

Respuesta: TEOREMA DE GREEN 66. Calcular el valor de la integral curvilínea ecuación .

, siendo C la curva de

67. Considerar la curva C una parametrización de la elipse

Respuesta: . Calcular:

Respuesta: 68. Calcular: , donde C:

. Respuesta:

69. Verificar el teorema de Green para la integral de línea:

Respuesta: 70. Evaluar la integral de línea, en la trayectoria que se muestra en la figura:

Respuesta: APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LÍNEA 71. Hallar el trabajo realizado por una fuerza , en [N], al desplazar en sentido antihorario una partícula alrededor de una circunferencia sobre el plano [m] con centro en el eje z y con radio 9[m]. Respuesta: 72. Calcular la circulación del campo de velocidades de un fluido dado por la función , a lo largo de la intersección de la esfera con el cilindro . Considerar . Respuesta: 73. Calcular las coordenadas del centro de gravedad del contorno del triángulo . Respuesta: 74. Un alambre tiene la forma de la curva , . La densidad del alambre es . ¿Cuál es el momento de inercia del alambre con respecto a y? Respuesta: 75. Usando integrales de línea, hallar el área encerrada por la curva

. Respuesta:

NOTA: La entrega de la práctica y el número de ejercicios se quedará de acuerdo con el auxiliar respectivo