PRÁCTICA TERCER PARCIAL Programación Lineal 1- Una empresa tiene un avión para transportar carga. Debido a los el
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PRÁCTICA TERCER PARCIAL
Programación Lineal 1- Una empresa tiene un avión para transportar carga. Debido a los elevados costos de operación, el avión no sale hasta que todas sus bodegas hayan sido cargadas. El avión tiene tres bodegas, una inferior, una media y una superior. La capacidad de carga máxima del avión es de 100 toneladas por viaje. La capacidad de la bodega inferior es 40 toneladas como máximo en cada viaje. Por razones de equilibrio para el avión, la bodega intermedia debe llevar un tercio de la carga de la bodega inferior y la superior debe llevar dos quintas partes de la carga de bodega inferior. Sin embargo existe una política de la empresa, que no deben de llevar más de 60 toneladas de carga en las bodegas intermedia y superior combinadas. Después de deducir todos los gastos, se ha calculado una utilidad neta de $80 por tonelada de carga en la bodega inferior, de $100 por tonelada de carga en la bodega intermedia y $120 en la bodega superior. La empresa quiere obtener la máxima utilidad por viaje por lo que quiere desarrollar un modelo que le permita determinar el mejor programa de carga para el avión. Resuelva por medio de PL. 2- La Compañía manufacturera Omega descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llamados producto 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción: Tipo de máqina Fresadora Torno Rectificadora
Tiempo disponible en horas por semana 500 350 150
El número de horas-máquina requeridas para cada unidad de los productos es: Tipo de máquina Fresadora Torno Rectificadora
Producto 1 9 5 3
Producto 2 3 4 0
Producto 3 5 0 2
El departamento de ventas indica que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria respectiva sería de $50, $20 y $25, para los productos 1,2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Resuelva el probelma como un problema de programación entera. 3- Un excursionista debe determinar que objetos debe llevar consigo en la mochila para realizar una excursión de un día. Cada uno de los objetos tiene asociado un peso y una utilidad personal para el excursionista. Los objetos que puede llevar, así como su peso y utilidad son los que se recogen en la tabla. Sabiendo que el peso máximo que puede llevar en la mochila es de 100. Determinar que objetos debe llevar nuestro excursionista en la mochila para que la utilidad de los objetos sea máxima. Resuelva el problema como un problema de programación entera bianria.
Objeto Linterna Sco Cocina Manta Comida Ropa Varios
Peso 40 50 30 10 10 40 30
Utilidad 40 80 10 10 4 20 60
Teoría de Colas
4- La compañía de ferrocarriles ha subcontratado el pintado de sus vagones conforme se necesita. Ahora la administración decidió que puede ahorrar dinero haciéndolo ellos mismos. Se necesita tomar una decisión para elegir entre dos alternativas: En las alternativas a escoger los vagones llegan en forma aleatoria con una tasa media de llegada de 1 cada 100 minutos. Además se sabe que el desempeño mínimo con el que venía trabajando la empresa sub contratada era de un vagón en la cola por hora. La alternativa 1 es utilizar un taller con una cuadrilla que involucra un costo de $30/hora por pintor, utilizando el sistema de un vagón y un taller. La eficiencia aumentaría proporcionalmente con el número de pintores que se utilicen en el taller. La alternativa 2 es utilizar talleres independientes y en lugar de utilizar una cuadrilla se puede utilizar una persona con un compresor en cada uno a un costo adicional de $10/hora por depreciación del compresor en cada taller pero con un nivel de servicio garantizado de 1.5 vagones por hora. Si la gerencia general no desea que los vagones tengan que esperar más de 5 minutos sin ser atendidos, ¿cuál sistema se debería de utilizar? 5- El área de las herramientas en una fábrica es una bodega donde se almacenan herramientas especiales y otros equipos de uso general en mecánica. Los mecánicos llegan aleatoriamente a una tasa 10 mecánicos por hora por línea, a las tres líneas que dispone la bodega y que trabajan independientemente. El encargado de la bodega necesita en promedio 2,5 minutos para localizar y registrar el equipo de salida o de entrada. Los mecánicos reciben $32 por hora y los asistentes $20 por hora. En vista que la bodega es bastante grande, la fábrica desea conocer cual sistema de colas debe implementarse o mantenerse en la bodega: el actual; 1 cola-varios servidores; 1 cola-1 servidor; de tal manera que se pueda atender la bodega en forma eficiente y al menor costo posible. ¿El sistema actual cuenta con la cantidad óptima de trabajadores? ¿Deberá contratar o disminuir el número de bodegueros para implantar los nuevos sistemas de colas? Cuando el sistema amerite que los encargados de la bodega deban trabajar en conjunto, la tasa de servicio se acrecentara proporcionalmente. 6- El concepto de “pañaleras” se ha popularizado mucho en los últimos años, a estas tiendas el cliente que llega solo puede hacer pedidos tipo mostrador, el encargado prepara el pedido cuando el cliente lo necesita. Los clientes llegan aleatoriamente al sitio en un promedio de 1 por minuto. El encargado realiza en promedio, 24 pedidos por hora. El costo de espera de los clientes se ha estimado en $24 por hora y el encargado $15 por hora. Indique cual de los 3 sistemas de colas sería el más indicado a utilizar, a qué costo y el número de encargados necesarios, a sabiendas que cada encargado adicional mejora proporcionalmente la tasa de servicio, cuando el sistema requiera que trabajen en conjunto. Resuelva utilizando dos decimales.
Markov 7-‐ El departamento de estudios de mercado de una fábrica estima que el 20% de la gente que compra un producto un mes, no lo comprará el mes siguiente. Además, el 30% de quienes no lo compren un mes lo adquirirá al mes siguiente. En una población de 1000 individuos, 100 compraron el producto el primer mes. ¿Cuántos lo comprarán al mes próximo? ¿Y dentro de dos meses? 8-‐ En una población de 10,000 habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman más de un paquete diario. En un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador pase a fumar más de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar más de un paquete diario. Entre los que fuman más de un paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen el tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o menos. ¿Cuántos individuos habrá de cada clase el próximo mes? 9-‐ El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El piso en el que finaliza el viaje n-‐ésimo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje comienza en el primer piso, sólo el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por último, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre finaliza en el bajo. Se pide: a) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena b) Dibujar el gráfico asociado. c) ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre en cada uno de los tres pisos. 10-‐ Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta, desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de estar trabajando un día en C, la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día siguiente es 0.4, la de tener que viajar a B es 0.4 y la de tener que ir a A es 0.2. Si el viajante duerme un día en B, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los casos viajará a C, mientras que irá a A con probabilidad 0.2. Por último si el agente comercial trabaja todo un día en A, permanecerá en esa misma ciudad, al día siguiente, con una probabilidad 0.1, irá a B con una probabilidad de 0.3 y a C con una probabilidad de 0.6. a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que trabajar en C al cabo de cuatro días? b) ¿Cuáles son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada una de las tres ciudades?