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Instituto Politécnico Nacional

Unidad Politécnica Interdisciplinaria de Ingeniería campus Guanajuato 6AM1. Estructuras de Pared Delgada. Profesor: Higinio Juárez Ríos Práctica 1: Viga sobre fundación elástica.

Integrantes: Jessica Itzel Martínez Quintana Alejandro Melgar López Enrique Moncada Hernández Victor Adrian Muñoz Montefort

Fecha de entrega: 8 de marzo de 2018. 1

Resumen En esta práctica se analizarán las fuerzas y los momentos que interactúan en una viga sobre una fundación tanto analíticamente como experimentalmente (con ayuda del software ANSYS). Se modelará la viga en ANSYS teniendo en cuanta el módulo de elasticidad y la inercia del material.

Objetivos Mediante una simulación de elemento finito (ANSYS) determinar los desplazamientos y esfuerzos del problema y compararlos con lo desarrollado en clase.

Introducción El estudio del comportamiento de vigas o cuerpos que son sometidos a esfuerzos para determinar sus desplazamientos y fuerzas internas asentados en fundaciones elásticas es de vital importancia para el ingeniero puesto que es el principio para modelar estructuras más complejas atendiendo a problemas que surgen en el campo ingenieril. Resolviendo problemas específicos es como se reconoce la utilidad de los métodos que aprendemos en clase. El uso de este software ANSYS nos ayuda a diseñar vigas para resistir cargas sin que esta viga falle, así como el asentamiento en el cual deben de estar soportadas estas vigas.

Marco Teórico Para analizar el problema a resolver debemos de considerar una viga prismática apoyada sobre una fundación elástica continua en toda su longitud (infinita), tal que cuando la viga se deforma, la intensidad de la reacción distribuida es en cada sección proporcional a la flecha de dicha sección. Para la resolución de este tipo de problemas es común utilizar la expresión ky, donde y es la flecha y k una constante denominada módulo de la fundación; así como poseer conocimientos de Ecuaciones Diferenciales, ya que la viga sobre fundación elástica se modela con una ecuación diferencial.

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Sabemos que no se puede llegar a una solución certera de una ecuación diferencial sin condiciones de frontera, que son las que restringen el comportamiento de la ecuación; para este caso, las condiciones de frontera son las siguientes: 𝑑𝑦

|

𝑑𝑥 𝑥=0

=0

[a]

𝑥 ⟶ ∞; 𝑦 ⟶ 0

[b]

𝑃

𝑉|𝑥=0 = − 2

[c]

La ecuación diferencial de la viga sobre fundación elástica está dada por: 𝐸𝐼

𝑑4 𝑦 𝑑𝑥 4

= −𝑘𝑦

[1]

Resolviendo esta ecuación diferencial, la forma general de la solución es: 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝛽𝑥 [𝐴 sin(𝛽𝑥) + 𝐵 cos(𝛽𝑥)] + 𝑒 −𝛽𝑥 [𝐶 sin(𝛽𝑥) + 𝐷 cos(𝛽𝑥)]

[2]

Ahora, aplicando las condiciones de frontera mencionadas anteriormente, obtenemos que la solución de la ecuación diferencial es: 𝑃

𝑦(𝑥) = 8𝛽3 𝐸𝐼 𝑒 −𝛽𝑥 [cos(𝛽𝑥) +sin(𝛽𝑥)] En donde:

𝑃 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 4

𝑘

𝛽 = √4 𝐸𝐼

[3] [d] [e]

Derivando la ecuación [3] obtenemos los momentos máximos, y el esfuerzo cortante máximo: 𝑀=

𝑃𝑒 −𝛽𝑥 4𝛽 𝑃

(− sin(𝛽𝑥) + cos(𝛽𝑥))

𝑉 = − 2 (𝑒 −𝛽𝑥 cos(𝛽𝑥))

[4] [5]

3

Con esas ecuaciones se podrán modelar los problemas que se consideren vigas infinitas sobre una fundación.

Metodología o procedimiento experimental Resolver el siguiente problema de manera analítica y experimental: Problema: A railroad uses steel rails (E=200GPa) with a depth of 184mm. The distance from the top to the rail to its centroid is 99.1mm, and the moment of inertia of the rail is 36.9x10 6 mm4. The rail is supported by ties, ballast and a road bed that together are assumed to act as an elastic foundation with spring constant 14N/mm2. a) Determine the maximum deflection, maximum bending moment, and maximum flexure stress in the rail for a single load of 170kN. b) A particular Diesel locomotive has three wheels per truck equally spaced at 1.70m. Determine the maximum deflection, maximum flexure stress in the rail if the load on each wheel is 170kN. De manera analítica: tenemos el ejemplo visto en clase con los resultados que el profesor nos proporcionó, y en base a esos vamos a compararlos con los resultados que nos da el software ANSYS. De manera experimental: tenemos que crear la viga en ANSYS para modelarla lo más cercanamente posible a la analítica para que nos den resultados semejantes.

Diagrama de bloques de procedimiento

Resolver el problema dado de manera analítica. Obteniendo la deflexión máxima, momento máximo, y el esfuerzo cortante máximo. Para el inciso a y b.

En el programa ANSYS modelar el problema dado. Incluyendo todos los puntos dados como el modulo elástico, inercia del material, cargas puntuales, nodos, obtención de gráficas, etc.

Comparar los resultados de ambos ejercicios.

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Materiales y equipo El material que se utilizó para la elaboración de la práctica fue el software “ANSYS” y conocimientos previos sobre el tema. Resultados y análisis de resultados Resolviéndolo de manera analítica: 4

𝑘

4

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a) Determinamos 𝛽; 𝛽 = √4 𝐸𝐼 = √4(200𝑥103 )(36.9𝑥106 ) = 0.00083 𝑦𝑚𝑎𝑥 =

𝑃𝛽 (170𝑥103 )(0.00083) = = 5.039𝑚𝑚 2𝑘 2(14)

𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑚𝑎𝑥

1 𝑚𝑚

𝑃 170𝑥103 = = 51.21 𝑘𝑁. 𝑚 4𝛽 4(0.00083)

𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑐 51.21𝑥106 (99.1) = = = 137.5𝑀𝑃𝑎 𝐼 36.9𝑥106

b) Tenemos dos casos, en el que las cargas están del lado derecho igualmente espaciadas y el otro caso en el que están del lado izquierdo. Ahora, podemos aplicar simetría para determinar que en ambos casos el resultado es el mismo. 𝐴1 = 0.2797

𝐴2 = −0.0377

𝐶1 = −0.2018

𝐶2 = −0.0752

Sacamos 𝑦 y 𝑀 en un extremo de la viga: 𝑦𝑓 =

𝑀𝑓 =

𝑃𝛽 (𝐴 + 𝐴1 + 𝐴2 ) = 5.039 (1 + 0.2797 − 0.0377) = 6.25𝑚𝑚. 2𝑘 0

𝑃 (𝐶 + 𝐶1 + 𝐶2 ) = 51.2𝑥106 (1 − 0.2018 − 0.0752) = 37.03𝑘𝑁. 𝑚 4𝛽 0

Ahora sacamos 𝑦 y 𝑀 en el centro de la viga: 𝑦𝑐 = 𝑀𝑓 = Entonces:

𝑃𝛽 (𝐴 + 2𝐴1 ) = 5.039 (1 + 2(0.2797)) = 7.85𝑚𝑚 2𝑘 0

𝑃 (𝐶0 + 2𝐶1 ) = 51.2𝑥106 (1 − 2(0.2018)) = 30.54𝑘𝑁. 𝑚 4𝛽 𝑦𝑐 = 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 7.85𝑚𝑚 5

𝑀𝑓 = 𝑀𝑚𝑎𝑥 = 37.03𝑘𝑁. 𝑚 𝜎𝑚𝑎𝑥 =

𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑐 (37.03)(99.1) = = 99.4𝑀𝑃𝑎 𝐼 36.9𝑥106

Resolviéndolo de manera experimental:

Análisis de resultados: Comparación 𝐲 (inciso a) 𝐌 (inciso a) 𝛔 (inciso a) 𝐲 (inciso b) 𝐌 (inciso b) 𝛔 (inciso b)

Analítico

Experimental

5.039mm 51.21 kN.m 137.5MPa 7.85mm 37.03 kN.m 99.4MPa

Conclusión general Prácticamente la práctica tuvo éxito, ya que los resultados analíticos concordaron con los datos experimentales, variaron por poco debido a los nodos que se utilizaron, mientras más nodos usemos la simulación experimental, más acertado va a ser el resultado que obtengamos 6

Bibliografía  

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Eisenberger, M., Clastornik, J. (1987); Beams on variable elastic foundation. Journal of Engineering Mechanics, Vol. 113, No 10, pp 1454-1466. Boresi, Arthur P.(Arthur peter), 1924Advanced mechanics of materials /Arthur P. Boresi, Richard J. Schmidt, Omar M. Sidebottom S. Timoshenko. (1957). Strength of materials . madrid: espasa-calpe, s. a.. Hibbeler. Mecánica de materiales. Octava edición. Pearson.

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