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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE CURSOS BÁSICOS

ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA MATRICIAL PRÁCTICA N°1 MATRICES-DETERMINANTES Y SISTEMA DE ECUACIONES MATRICIALES AUX. DOC.: DOC. ING.:

GRUPO: “A”

LUIS ALFREDO ZAPATA ALEJO

1. Resolver el sistema matricial: 1 −1 2 0 5𝑋 − 𝑌 = [ ] ; 4𝑋 − 5𝑌 = − [ 2 0 3 2

1 −3 ] y calcular 𝑋𝑋 𝑇 + 𝑌𝑌 𝑇 1 −4

2. Hallar el valor de “𝑎” de tal modo que la matriz 𝐹 ecuación: 1 3 𝐺𝐹 = 𝐴 Dónde: 𝐺 = [4 −3 2 −1

sea no singular, si esta cumple con la 3 4 1] ; 𝐴 = [3 2 1

−5 𝑎 + 1 10 𝑎 − 1 ] −1 3𝑎 + 5

3. Hallar las matrices elementales 𝑃 y 𝑄 talque: 𝑃𝐴𝑄 = 𝐷, donde: 4 3 2 1 0 0 𝐴 = [3 4 5] ; 𝐷 = [0 7 0] 2 5 4 0 0 −4 4. Hallar los valores de “𝑝” y “𝑞” tal que el sistema de ecuaciones provenientes de 𝐴𝑋 − 2𝑝𝑋 = 3𝑥 + 𝐵 𝑇 sea consistente determinado, consistente indeterminado, inconsistente. Dónde: 5𝑝 −4 −4 𝐴 = [−4 5𝑝 −4] ; 𝐵 = [𝑞 + 2 −𝑞 − 2 0] −4 −4 5𝑝 5. En una matriz 𝐴 se realizan las siguiente operaciones elementales en el orden dado: 1) 𝑓1 ↔ 𝑓3 , 2) 𝑓1 (−5) + 𝑓2 → 𝑓2 , 3) 𝑓1 (−3) + 𝑓3 → 𝑓3 . 1 3 −1 Obteniéndose la matriz 𝐵 = [0 −11 3 ]. Se pide hallar la inversa de la matriz 𝐴 0 −7 2 utilizando matrices elementales.

6. De una matriz 𝐴3×3 se conocen los siguientes elementos: 𝑎11 = 1; 𝑎13 = −3; 𝑎21 = 3; −21 5 −2 𝑎23 = 5; 𝑎32 = 1. Conociendo que la matriz adjunta de 𝐴 es igual a [ 2 −10 −14]. −5 −5 −10 Encontrar la matriz 𝐴 y su determinante. 𝑘 7. Dada la matriz 𝐴 = [2 2 sea no singular.

2 𝑘 2

2 2], hallar el valor de "𝑘" tal que la matriz 𝐵 = (𝐼 − 𝐴)(𝐴 + 𝐼)𝑇 𝑘

8. Hallar los valores de "𝑝" tal que el sistema de ecuaciones 𝑋 𝑇 𝐴𝑇 = [(2 − 𝑝)𝑋]𝑇 + 𝐵 𝑇 sea consistente, consistente indeterminado e inconsistente. 4−𝑝 1 1 1 𝐴 = [1 1 1 ] ; 𝐵 = [ 2 ] 𝑝 1 1 1 3 −1 4 9. Dada la matriz 𝐴 = [6 3 2 ], se pide hallar por medio de operaciones elementales 9 1 −5 dos matrices, una triangular inferior 𝐿 y otra triangular superior 𝑈, tal que se cumpla: 𝐴 = 𝐿𝑈 1 10. Dada la matriz 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = [−10 7 y la matriz 𝐴.

1 −1 𝑘 2 ] y sabiendo que: 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 2. Hallar el valor de "𝑘" −3 −1

11. Sabemos que la matriz 𝑋 = [𝑥𝑖𝑗 ], satisface la ecuación: 𝐴𝑋 = 𝐵, en donde: 1 −2 6 𝐴 = 2𝐵 − 𝐼 = [2 1 4]. Hallar la matriz 𝑋. 2 −2 1 12. Hallar el valor de "𝑥" que hacen que 𝐹 sea singular: 1+𝑥 𝑥 𝐹=[ 𝑥 𝑥

𝑥 2+𝑥 𝑥 𝑥

𝑥 𝑥 3+𝑥 𝑥

𝑥 𝑥 ] 𝑥 4+𝑥

13. Hallar las matrices 𝑃 y 𝑄, tal que las matrices 𝐴 y 𝐵 dadas sean equivalentes, es decir, expresar en la forma 𝑃𝐴𝑄 = 𝐵. 2 3 1 3 1 1 𝐴=[ ] ; 𝐵=[ ] −1 2 1 −2 −2 −1 𝑖 ∗ 𝑗𝑘−1 , 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 𝑖 ∗ 𝑗𝑘 , 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 14. Dadas las matrices: 𝐴3×3 = [𝑎𝑖𝑗 = { 𝑖, 𝑠𝑖 𝑖 > 𝑗 }] y 𝐸3×3 = [𝑒𝑖𝑗 = { 𝑖, 𝑠𝑖 𝑖 > 𝑗 }]. 0, 𝑠𝑖 𝑖 < 𝑗 0, 𝑠𝑖 𝑖 < 𝑗 Se pide: a) Hallar el valor de 𝑘 ∈ ℕ tal que la traza de 𝐴𝐸 sea igual a 47; b) Con el valor del inciso a) hallar el valor del determinante 𝐸𝐴. 5 −7 11 15. Si se conoce que 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = [ 11 11 −11], se pide hallar 𝐴. ¿Será única? −1 19 −11 16. Qué condiciones deben cumplir las constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐 tal que la matriz sea no singular: −2𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝐹 = [𝑏 + 𝑎 −2𝑏 𝑏 + 𝑐 ] 𝑐 + 𝑎 𝑐 + 𝑏 −2𝑐 17. Hallar los valores de 𝑥 y 𝑦 en los enteros tal que las matrices 𝐴 y 𝐵 sean equivalentes, luego hallar las matrices 𝑃 y 𝑄, siendo 𝑄 distinta de la identidad, tal que: 𝑃𝐴𝑄 = 𝐵. 3 0 𝑥 2 −1 1 𝐴=[ ] ; 𝐵=[ ] 0 5 𝑦 3 2 −1 2 16 19 18. Dada la matriz 𝑎𝑑𝑗(𝐵) = [−14 𝑘 + 1 16], si se conoce el valor del siguiente 11 −19 18 determinante: |𝑎𝑑𝑗(𝑎𝑑𝑗(𝐵))| = 1074 . Se pide hallar el valor de "𝑘" y encontrar la matriz 𝐵. 19. Encontrar la matriz 𝑋 en la ecuación 𝑋𝐴 = 𝐵, donde: 𝐴 = 𝐸𝐹, siendo las matrices 𝐸 y 𝐹 generadas por: 2𝑖 + 𝑗 𝑠𝑖 𝑖 < 𝑗 3𝑖 − 𝑗 𝑠𝑖 𝑖 > 𝑗 −4 5 3 𝐸3×2 = [𝑖 + 2𝑗 𝑠𝑖 𝑖 > 𝑗] ; 𝐹2×3 = [𝑖 − 3𝑗 𝑠𝑖 𝑖 < 𝑗] ; 𝐵 = [ ] 3 2 −6 2 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 4 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗 20. Cuáles son las condiciones que deben cumplir 𝑥, 𝑦, 𝑧, tal que la matriz 𝐺 sea no singular: 𝑥 2 𝑥 2 − (𝑦 − 𝑧)2 𝑦𝑧 𝐺 = [𝑦 2 𝑦 2 − (𝑧 − 𝑥)2 𝑥𝑧 ] 𝑧 2 𝑧 2 − (𝑥 − 𝑦)2 𝑥𝑦

5 −10 21. Sea la matriz: 𝐴 = [ 4 2 −3 −6

5 −1] se pide expresarla en la forma: 𝐴 = 𝐿𝐷𝑈, donde 𝐿 es 5 2 0 0 una mariz triangular inferior, 𝑈 es una matriz superior y 𝐷 = [0 4 0] 0 0 6

22. Demostrar que la matriz 𝐵 = (𝐼 + 𝐴)(𝐼 − 𝐴)

−1

0 −1 0 es ortogonal. 𝐴 = [1 0 2] 0 −2 0

𝑎 𝑏 23. Se pide hallar el valor del siguiente determinante: | 𝑐 𝑑

−𝑏 𝑎 𝑑 −𝑐

−𝑐 −𝑑 𝑎 𝑏

−𝑑 𝑐 | −𝑏 𝑎

5 −10 15 24. De una matriz 𝐴 se conoce que: 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = [29 7 −4]. Se pide: a) Encontrar el valor 𝑘 4 7 6 2 de "𝑘" sabiendo que: 𝑑𝑒𝑡{𝑎𝑑𝑗(3𝐴)} = 3 65 ; b) Con el valor de "𝑘" del anterior inciso halle la matriz 𝐴. 25. Una matriz es ortogonal si 𝐴𝑇 = 𝐴−1 , demuestre que si 𝐴 es ortogonal, entonces: det(𝐴) = ±1 26. Demostrar que si 𝐴 es una matriz cuadrada de orden 𝑛, entonces: det(𝑎𝑑𝑗(𝐴)) = [𝑑𝑒𝑡(𝐴)]𝑛−1 1 𝑎 27. Sin desarrollar el determinante, demostrar: |1 𝑏 1 𝑐

𝑏+𝑐 𝑐 + 𝑎| = 0 𝑎+𝑏

28. Sea 𝐿 una matriz triangular inferior, con elementos unitarios en la diagonal principal, 𝐷 una matriz diagonal y 𝑈 una matriz triangular superior. Hallar el valor de 𝑘 tal que 𝐴 se descomponga como 𝐴 = 𝐿𝐷𝑈, si: 2 3 5 2 0 0 𝐴 = [3 4 7 ] ; 𝐷 = [0 1 0] 5 7 𝑘+1 0 0 −6 29. Determinar la posición relativa de los planos 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, de acuerdo con los valores de 𝑎 y 𝑏 𝑃1: 3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1 𝑃2: 𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 𝑏 𝑃3: 2𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑧 = −2

𝑎 0 0 1 𝑎 0 30. Dada la matriz: 𝐶 = [ 0 1 𝑎 0 0 1 a) Hallar la inversa de 𝐶. b) Expresar la inversa de 𝐶 𝑎 31. Si |𝑝 𝑥

𝑏 𝑞 𝑦

0 0 ], donde 𝑎 ≠ 0 0 𝑎 como la suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

𝑎+𝑥 𝑐 𝑟| = −5, calcular det(𝐴) si: 𝐴 = [ 4𝑥 𝑧 𝑝

𝑥 32. Determinar 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑠, 𝑡, para que la matriz 𝐴 = [2⁄ 3 𝑧

𝑏+𝑦 4𝑦 𝑞

𝑐+𝑧 4𝑧 ] 𝑟

2⁄ 2⁄ 3 3 ] sea ortogonal. 1⁄ 3 𝑦 𝑠 𝑡

−2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = −9 33. Usando factorización 𝐿𝑈, resolver el sistema: { 3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 5 −5𝑥 + 7𝑦 + 2𝑧 = −14 34. Calcular el determinante de |𝐹| 0 1 1 … 1 1 0 1 … 1 |𝐹| = 1 1 0 … 1 … … … … … [1 1 1 … 0] 35. Resolver el sistema de ecuaciones. 𝑥+𝑦+𝑧 =𝑎 𝑥+𝑦+𝑣 =𝑏 { 𝑥+𝑧+𝑣 =𝑐 𝑦+𝑧+𝑣 =𝑑 36. Para las matrices 𝐴 y 𝐵, calcular 𝑇𝑟(𝑋) si (5𝐴 ∙ 𝐵)𝑇 + 𝑋 𝑇 = 2(𝐵 + 𝐴𝑇 ) − 𝐼 1 𝐴=[ 4 −3

2 1 0 5] 1 −2

1 2

0 0

𝐵 = [3 1 0] 5 0 0 1

37. Calcular la inversa de la matriz 𝐺. 3 5 𝐺= 6 4 [2

6 5 9 7 12 13 6 6 5 4

6 8 9 5 5

4 6 7 4 3]

38. Siendo 𝐴 una matriz de orden 5 tal que: |𝐴| = 5 y 𝑀 = |5 ∙ 𝐴−1 | ∙ 𝐴𝑇 y 𝑁 = |𝐴𝑇 ∙ 𝐴| ∙ (5 ∙ 𝐴−1 )𝑇 . Calcular |𝑀 ∙ 𝑁| 39. Dadas las matrices 𝐴 y 𝐵, encuentre las matrices operaciones elementales de modo que: 𝑃𝐴𝑄 = 𝐵 0 2 3 4 0 𝐴 = [2 3 5 4 ], 𝐵 = [0 4 8 13 12 0

𝑃 y 𝑄 provenientes de realizar 0 0 2 3 0 0

0 4] 0

40. Calcular el determinante de 𝐶 1 2 |𝐶| = 2 2 … [2

2 2 2 … 2 2 2 2 … 2 2 3 2 … 2 2 2 4 … 2 … … … ⋱ … 2 2 2 … 𝑛]

41. Si la matriz 𝐷 es simétrica, calcular el valor de 𝑥 y matriz 𝐷. 1 𝑎+𝑏 𝐷 = [2 5 𝑏 𝑥

con este valor calcular la inversa de la 0 𝑎] 3

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 𝑢 = 𝑎 𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 − 2𝑢 = 𝑏 42. Para que valores de 𝑎 y 𝑏 el sistema es consistente: { −𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 − 3𝑢 = 0 3𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 + 4𝑢 = 3

43. Sea |𝐹|, calcular el valor numérico de 𝐸 = |𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑑𝑗(𝐹 −1 ))|:

1 |𝐹| = [2 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 ] 2 3

44. Hallar las condiciones que debe cumplir “𝑎” y “𝑏” tal que la matriz 𝐴 se puede expresar en la forma 𝐴 = 𝐿𝐷𝑈 donde 𝐿 es una matriz triangular superior, 𝑈 es una matriz triangular superior. Utilice solo operaciones elementales, considere las matrices: 2 𝐴 = [−3 4

45. Hallar el determinante de la:

1 2 −1 4] −2 6

𝑎−2 0 𝐷=[ 0 4 0 0

𝐴𝑑𝑗[𝐴𝑑𝑗(𝐹)]

𝑎2 𝐹 = [𝑏 2 𝑐2

0 0 ] 𝑏−4 (𝑎 + 1)2 (𝑏 + 1)2 (𝑐 + 1)2

(𝑎 + 2)2 (𝑎 + 2)2 ] (𝑎 + 2)2

46. Hallar el valor de “𝑎” y la solución completa en el sistema de ecuaciones, si se sabe que 𝑧=3 𝑎𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6 { 3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2 4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 11 4 −8 4 47. Si se conoce la matriz 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = [−7 9 −5] y además se conoce que 6 10 𝐾 𝑑𝑒𝑡(𝑎𝑑𝑗(3𝑎)) = 144. Se pide: a) Hallar el valor de “𝑘”, b) Hallar la matriz 𝐴, c) Hallar 𝐴−1 48. Por el método de Chio encuentre los valores de "𝑋" si la matriz 𝐴 es singular 1+𝑥 1 1 1 1 1+𝑥 1 1 𝐴=[ ] 1 1 1+𝑥 1 1 1 1 1+𝑥 49. Demuestre que 𝐴 es inversible para todo 𝜃 y encuentre su inversa. Pruebe su respuesta. 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑔𝜃 0 𝐴 = [ −𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 0] 0 0 1 50. Si 𝐴 y 𝐵 son matrices cuadradas de orden 𝑛 y poseen inversa, demostrar: (𝐴 + 𝐵)𝐴−1 (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵)𝐴−1 (𝐴 + 𝐵) 51. Hallar la forma general de las matrices cuadradas de orden 2 que satisfagan: 𝐴2 = 𝐼 52. Hallar la inversa de la matriz 𝐷 si: 𝐷 = 𝐴𝐵 donde la matrices 𝐴 y 𝐵 están generadas por: 𝑖 ∗ 𝑗 −5 𝑠𝑖 𝑖 ≤ 𝑗 𝑖 5 ∗ 𝑗 𝑠𝑖 𝑖 ≥ 𝑗 𝐴3×3 = { } ; 𝐵3×3 = { } 0 𝑠𝑖 𝑖 > 𝑗 0 𝑠𝑖 𝑖 < 𝑗

2 −3 1 1 0 0 ] y 𝐵=[ ] encuentre las matrices 𝐶 y 𝐷 3 1 −4 0 1 0 provenientes de realizar operaciones elementales de modo que: 𝐶𝐴𝐷 = 𝐵

53. Dadas las matrices 𝐴 = [

54. Calcule el siguiente determinante: 𝛼 𝛽 𝐹 = || 𝛾 𝛿

(𝛼 + 1)2 (𝛽 + 1)2 (𝛾 + 1)2 (𝛿 + 1)2

(𝛼 + 2)2 (𝛽 + 2)2 (𝛾 + 2)2 (𝛿 + 2)2

(𝛼 + 3)2 (𝛽 + 3)2 | (𝛾 + 3)2 | (𝛿 + 3)2

𝐾 + 2 −5 −5 55. Si se conoce la matriz 𝑎𝑑𝑗(𝐵) = [−𝐾 − 4 1 10 ] y además se conoce que −𝐾 − 3 3 0 |𝑎𝑑𝑗(𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡(3𝐵))| = 316 54 . Se pide: a) hallar el valor de 𝑘, b) hallar 𝐵 −1

56. Dada la matriz 𝐴 calcular 𝐴127

1 𝐴 = [−3 2

−2 −6 2 9] 0 −3

5 8 57. Calcular el valor de 𝑥 para que el determinante sea 120 .𝐴 = ||3𝑥 8 5 58. Halle los valores de 𝑚, tal que el sistema de ecuaciones sea: a) consistente determinado b) consistente indeterminado c) inconsistente (2𝑚 + 1)𝑥 − 𝑚𝑦 − (𝑚 + 1)𝑧 = 2𝑚 3𝑚𝑥 − (2𝑚 − 1)𝑦 − (3𝑚 − 1)𝑧 = 𝑚 + 1 (𝑚 + 2)𝑧 − 𝑦 − 2𝑚𝑧 = 2

4 8 3𝑥 8 5

𝑥 2𝑥 3𝑥 8 5

2 4 2𝑥 8 5

1 2 𝑥 || 4 5

2 1 2 59. Halle los valores de 𝑎 y 𝑏 tal que la matriz 𝐴 = [−3 −1 4] se pueda expresar de la 4 2 6 forma 𝐴 = 𝐿𝐷𝑈, donde 𝐿 es una matriz triangular inferior, 𝑈 es una matriz triangular 𝑎 0 0 superior y 𝐷 = [0 2 0] 0 0 𝑏 4 −8 4 60. Dada la matriz 𝑎𝑑𝑗(𝐴) = [−7 9 −5] y |𝐴| = 4. Halle 𝑘 y la matriz 𝐴 −6 10 𝑘

61. Dadas las matrices 𝐴 y 𝐵, encontrar las matrices 𝑃 y 𝑄 de modo que 𝑃𝐴𝑄 = 𝐵 1 −1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 −1 2 3 1 0 0 1 1 0 𝐴=[ ] 𝐵=[ ] 2 −2 1 0 2 0 0 0 0 0 1 1 −1 −3 3 0 2 0 0 4 𝑎 0 0 𝐶= 0 0 [𝑏

62. Calcular el valor del determinante de 𝐶

0 𝑎 0 0 𝑏 0

0 0 𝑎 𝑏 0 0

0 0 𝑏 𝑎 0 0

0 𝑏 0 0 𝑎 0

𝑏 0 0 0 0 𝑎]

63. Halle los valores de 𝑎 y 𝑏, tal que el sistema de ecuaciones sea: a) consistente determinado b) consistente indeterminado c) inconsistente (3𝑎 + 5)𝑥 + 3𝑏𝑦 + 3𝑧 = 𝑎 3𝑥 + 𝑏(3𝑎 + 5)𝑦 + 3𝑧 = −𝑎 3𝑥 + 3𝑏𝑦 + (3𝑎 + 5)𝑧 = 3

64. Halle el valor de 𝑥, para que el rango de la matriz sea 3

65. Dada la matriz 𝐸, calcular:

1 2 −2 1 𝑀= 2 0 1 1 [−2 −1

|𝑎𝑑𝑗(𝑎𝑑𝑗(2𝐸 12 ))|

𝑆 = |𝐸

𝑎𝑑𝑗(𝑎𝑑𝑗(𝐸 −1 ))|

4 2𝑥 2 𝑥 1 2 1 1 0 1

−5 0 −𝑥 −2 2]

1 1 1 𝐸 = [0 −1 0 ] 0 0 −1

66. Halle los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 para que la matriz 𝐹 sea singular (𝑏 + 𝑐)2 𝑎2 𝑎2 (𝑎 + 𝑐)2 𝐹 = [ 𝑏2 𝑏2 ] (𝑎 + 𝑏)2 𝑐2 𝑐2 2 3 67. Sea la matriz 𝐸 = [6 2 4 −1 matriz triangular inferior, 𝑈 distinta de la identidad.

4 −2], se pide expresarla de la forma 𝐴 = 𝐿𝐷𝑈, donde 𝐿 es una −3 es una matriz triangular superior y 𝐷 una matriz diagonal

68. Dada la matriz:

1 𝐴=[ 5 −6

5 −6 50 −5 ] −5 𝑘 + 2

Se pide: a) Descomponer la matriz 𝐴 en la forma 𝐴 = 𝐿 ∙ 𝐿𝑇 siendo 𝐿 triangular inferior b) Hallar el valor de 𝑘 tal que se cumpla que la traza de 𝐿 sea 10 69. Hallar los valores de la constante a tal que el determinante de la 𝑎𝑑𝑗[𝑎𝑑𝑗(𝑎𝑑𝑗(𝐹))] sea nulo. 1 1 1 1 1 2 3 1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎4 2 4 6 𝐹= 1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎8 1 𝑎3 𝑎6 𝑎9 𝑎12 [1 𝑎4 𝑎8 𝑎12 𝑎16 ] 70. Se conoce que la matriz 𝑆, viene dada por la relación 𝑆 = 𝐴 + 𝐴𝑅 + 𝐴𝑅 2 + 𝐴𝑅 3 + ⋯ + 𝐴𝑅 𝑛 . Sabiendo que las marices 𝐴 y 𝑅 son las mostradas, se pide: a) Hallar el 𝑑𝑒𝑡(𝑆) y b) Hallar 𝑆 1 1 0 2 0 0 𝐴 = [0 2 1], 𝑅 = [0 3 0] 0 0 3 0 0 4 3 0 −6 9 0 71. Sea la matriz 𝐵 = [ 0 0 3 −4 2], una matriz equivalente a la matriz 𝐴, obtenida −2 1 6 −4 3 aplicando en 𝐴 las siguientes operaciones elementales: 1) − 2𝑓1 + 𝑓2 ↔ 𝑓2 , 2) 𝑓3 𝑥𝑓2 , 3) − 𝑓2 + 𝑓1 → 𝑓1 , 4) 3𝑓1 → 𝑓1 0 1 2 3 4 𝑧 + 𝑥 0 1 𝑦 − 1 5], una matriz escalonada. Hallar 𝑆 = Y sea la matriz 𝐸 = [ 0 0 𝑥 𝑦+𝑥 2 |𝑎𝑑𝑗[𝑎𝑑𝑗(𝐷)]| |𝐷 𝑎𝑑𝑗(9𝐷)|

, tal que 𝐷 = 𝐸𝐴𝑡

7𝑥 8 4𝑚 72. A partir de la matriz: 𝐴 = [ 5 10 3 ], hallar su descomposición como la suma de una 4𝑚 1 9𝑥 matriz simétrica C y una matriz antisimetrica B, luego verifique que la matriz 𝐸 = −1 −1

(𝐼 + 𝐵)(𝐼 − 𝐵)

−1

es una matriz ortogonal y hallar el valor de 𝑆 =

|{𝑎𝑑𝑗[𝑎𝑑𝑗(𝐸 −1 )]

|𝑎𝑑𝑗[𝑎𝑑𝑗(𝐸)]|

}

|

73. Hallar los valores de a y b, tal que la matriz G sea singular, donde 𝐴𝐺 = 𝑎−1 1 −1 𝑖 ∗ 𝑗 −2𝑚 𝑠𝑖: 𝑖 ≤ 𝑗 [ 0 𝐷 = 𝑎−2 1 ]; 𝐴 = 𝐸𝐷𝑚 , siendo: 𝐸3𝑥3 = [𝑒𝑖𝑗 ]3𝑥3 = { 0 𝑠𝑖: 𝑖 > 𝑗 3𝑥3 0 0 𝑏−3 𝑖 ∗ 𝑗 𝑠𝑖: 𝑖 = 𝑗 [𝑑𝑖𝑗 ]3𝑥3 = { 0 𝑠𝑖: 𝑖 ≠ 𝑗 74. Hallar los valoes de k tal que el sistema de ecuaciones lineales: 𝑋 𝑇 𝐸 𝑇 = [(𝑘 + 1)𝑋]𝑇 + 𝐵 𝑇 , tenga: única solución, multiples soluciones y que no tenga solución. Donde: 𝑘+2 2 3−𝑘 𝐸 = [𝑘 − 1 𝑘 + 2 2𝑘 − 6 ]; 𝐵 𝑇 = [1 −2 𝑘 3 − 2𝑘 + 2] 2 − 𝑘 2𝑘 − 2 2𝑘 2 − 2𝑘 + 5 75. Si las matrices A y B son equivalentes es decir PAQ=b, siendo las matrices: 3 1 1 2 2 1 1 3 𝐴 = [ 2 −2 0 3 ], 𝐵 = [0 1 2 1] −2 1 −2 −1 0 −1 −2 0 Hallar el valor de x que verifique la ecuación: det(𝑃 + 𝑥𝐼) = 𝑑𝑒𝑡𝑄 + 10𝑥

“Si a un hombre le das un pescado para que coma, estarás alimentándolo por un día. Enséñale a pescar y lo alimentarás para toda la vida”