Algebra Lineal. Capitulo I
0 FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y SISTEMAS Algebra lineal TAREA Nº1 SISTEMA DE E
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FACULTAD DE INGENIERÍA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y SISTEMAS Algebra lineal TAREA Nº1
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES DOCENTE
:
VILLA MOROCHO, CESAR AUGUSTO
Grupo Nº2 Código
Apellidos y nombres
2015100325 2015200098 2014200335
Valverde Sotelo , Cintia Correa Vásquez, Edith Elizabeth Falcón Olivas , Yosi
FECHA DE ENTREGA
NOTA LETRAS
02/12/2016
NÚMEROS
Ejercicios resueltos por Edith Elizabeth Correa Vásquez Ejercicios de la Sección 1.4 - Inversas; reglas de la aritmética de matrices 1. Sean
[
A= -7
2 −1 3 0 4 5 −2 1 4
]
,
B=
[
8 −3 −5 0 1 2 4 −7 6
]
,
[ ] 0 −2 3 1 7 4 3 5 9
C=
, a = 4, b =
Demostrar que a) A + (B + C) = (A + B) + C d) a(B – C) = aB – aC
b) (AB)C = A(BC)
c) (a + b)C = aC + bC
a) A + (B + C) = (A + B) +C , aquí se muestra la ley asociativa de la adición donde indica que podemos agrupar de diferente forma pero el resultado será el mismo.
A
[
(B + C)
2 −1 3 0 4 5 −2 1 4
] ([
[
]
[
+
2 −1 3 0 4 5 −2 1 4
+
][
8 −3 −5 0 −2 3 0 1 2 + 1 7 4 4 −7 6 3 5 9
[
+
8 −5 −2 1 8 6 7 −2 15
(A + B)
+
] [
8 −3 −5 0 1 2 4 −7 6
2 −1 3 0 4 5 −2 1 4
[
+
10 −4 −2 0 5 7 2 −6 10
]
])
] [ =
10 −6 1 1 12 11 5 −1 19
]
C
] [
+
+
[
0 −2 3 1 7 4 3 5 9
0 −2 3 1 7 4 3 5 9
]
] [ =
10 −6 1 1 12 11 5 −1 19
]
Entonces, A + (B + C) es igual (A + B) +C, pese a que se han alterado el orden de agrupación. b) (AB)C = A(BC) , en este caso asociativo de tres matriz no importa el orden de los factores, ya que el resultado de (AB)C será igual al de A(BC).
(AB)
([
C
][
2 −1 3 8 −3 −5 0 4 5 0 1 2 −2 1 4 4 −7 6
([
[
−10 −222 26 83 −67 278 87 63 240
[
][
28 −28 6 0 −2 3 20 −31 38 1 7 4 0 −21 36 3 5 9
]
])
]
−10 −222 26 83 −67 278 87 33 240
]) [
0 −2 3 1 7 4 3 5 9
A
]
(BC)
[
2 −1 3 0 4 5 −2 1 4
] ([
[
2 −1 3 0 4 5 −2 1 4
]
][
8 −3 −5 0 −2 3 0 1 2 1 7 4 4 −7 6 3 5 9
[
])
−18 −62 −33 7 17 22 11 −27 38
]
c) (a + b)C = aC + bC,, en este caso la factorización (a + b)C va a aC + bC.
(a + b)
C
[ [
( 4 +−7 )
(−3 )
[
0 6 −9 −3 −21 −12 −9 −15 −27
[
(4 )
[
+
0 −2 3 1 7 4 3 5 9
0 −8 12 4 28 16 12 20 36
0 6 −9 −3 −21 −12 −9 −15 −27
0 −2 3 1 7 4 3 5 9
] ]
=
]
aC
[
0 −2 3 1 7 4 3 5 9
]
]
bC +
0 −2 3 1 7 4 3 5 9
]
0 14 −21 −7 −49 −28 −21 −35 −63
]
(−7 )
[
+
[
]
d) a(B – C) = aB – aC , al igual que la adición, en la sustracción sucede del mismo modo. Entonces la factorización de a(B – C) va a ser igual que sus términos separados aB – aC .
a
(B – C)
[
(4 )
8 −3 −5 0 1 2 4 −7 6
[
(4 )
[
32 −4 −32 −4 −24 −8 4 −48 −12
]
[
–
8 −1 −8 −1 −6 −2 1 −12 −3
0 −2 3 1 7 4 3 5 9
]
]
]
aB
–
[
8 −3 −5 (4 ) 0 1 2 4 −7 6
[
]
aC
[
0 −2 3 (4 ) 1 7 4 3 5 9
–
][
32 −12 −20 0 −8 12 0 4 8 – 4 28 16 16 −28 24 12 20 36
[
32 −4 −32 −4 −24 −8 4 −48 −12
]
]
]
2. Usando las matrices y los escalares del ejercicio 1, demostrar que a) a(BC) = (aB)C = B(aC), se comprueba que si son iguales en los tres casos.
(4)
[
([
][
8 −3 −5 0 −2 3 0 1 2 1 7 4 4 −7 6 3 5 9
−72 −248 −132 28 68 88 44 −108 152
]
])
=
(4)
[
−18 −62 −33 7 17 22 11 −27 38
]
=
([ [
])[
[
] ([ ]
8 −3 −5 (4 ) 0 1 2 4 −7 6
0 −2 3 1 7 4 3 5 9
−72 −248 −132 28 68 88 44 −108 152
[
8 −3 −5 0 1 2 4 −7 6
[ [
[
=
][
]
=
] 0 −2 3 (4 ) 1 7 4 3 5 9
]) [ =
][
]
=
] ][ ]
])
=
8 −3 −5 0 −8 12 0 1 2 4 28 16 4 −7 6 12 20 36
−72 −248 −132 28 68 88 44 −108 152
b) A(B – C) = AB – AC
]
32 −12 −20 0 −2 3 0 4 8 1 7 4 16 −28 24 3 5 9
, se comprueba que son iguales
] [ ]) ] [ ([ ][ ]) ([ [ ] [ ] [ 2 −1 3 0 4 5 −2 1 4
] ([ ][
8 −3 −5 0 −2 3 – 0 1 2 1 7 4 4 −7 6 3 5 9
2 −1 3 8 −1 −8 0 4 5 −1 −6 −2 −2 1 4 1 −12 −3
20 −32 −23 1 −84 −23 −13 −52 2
=
2 −1 3 8 −3 −5 0 4 5 0 1 2 −2 1 4 4 −7 6
28 −28 6 20 −31 38 0 −21 36
=
2 −1 3 0 −2 3 – 0 4 5 1 7 4 −2 1 4 3 5 9
8 4 29 – 19 53 61 13 31 34
=
20 −32 −23 1 −84 −23 −13 −52 2
c) (B+C)A= BA + CA , si cumple la propiedad de asociación
([ [
][
8 −3 −5 0 −2 3 0 1 2 + 1 7 4 4 −7 6 3 5 9
2 −1 3 0 4 5 −2 1 4
] [ =
])[
2 −1 3 0 4 5 −2 1 4
36 −24 35 39 22 99 13 10 70
]
]
=
[
8 −5 −2 1 8 6 7 −2 15
]
([ [
][ ] ) ( [ ] [ ] [
8 −3 −5 2 −1 3 0 1 2 0 4 5 4 −7 6 −2 1 4
28 −28 6 20 −31 38 0 −21 36
+
8 4 29 19 53 61 13 31 34
+
=
][ ]
0 −2 3 2 −1 3 1 7 4 0 4 5 3 5 9 −2 1 4
36 −24 35 39 22 99 13 10 70
d) a(bC) = (ab)C
([ [
0 −2 3 −7 1 7 4 3 5 9
(4)
= (-28)
0 14 −21 −7 −49 −28 −21 −35 −63
(4)
[
])
] [ ][ =
([
0 −2 3 1 7 4 3 5 9
])
0 56 −84 −28 −196 −112 −84 −140 −252
0 56 −84 0 56 −84 −28 −196 −112 = −28 −196 −112 −84 −140 −252 −84 −140 −252
]
]
3. Usando las matrices y los escalares del ejercicio 1, demostrar que T a) ( A
[
A=
A
t
)T = A 2 −1 3 0 4 5 −2 1 4
[
=
t t
(A )
=
T
b) (A + B )
([
]
2 0 −2 −1 4 1 3 5 4
[
]
2 −1 3 0 4 5 −2 1 4
]
=A
T T = A + B
][
2 −1 3 8 −3 −5 0 4 5+ 0 1 2 −2 1 4 4 −7 6
t
]) ( [ =
2 −1 3 0 4 5 −2 1 4
t
]) ( [ +
8 −3 −5 0 1 2 4 −7 6
t
])
])
=
([
10 −4 −2 0 5 7 2 −6 10
t
]) [ =
[ T
c) (aC )
([ (
0 −8 12 4 28 16 12 20 36
[ ([ ([
])
([
= (4 )
[
t
)
=
(4)
]
=
) = BT
A
T
[
[
]
10 0 2 −4 5 −6 −2 7 10
]
0 −2 3 1 7 4 3 5 9
0 1 3 −2 7 5 3 4 9
t
])
] ]
T
][
[
[
+
=
0 4 12 −8 28 20 12 16 36
2 −1 3 8 −3 −5 0 4 5 0 1 2 −2 1 4 4 −7 6 28 −28 6 20 −31 38 0 −21 36
]
]
8 0 4 −3 1 −7 −5 2 6
T
t
0 4 12 −8 28 20 12 16 36
d)(AB
10 0 2 −4 5 −6 −2 7 10
=a C
0 −2 3 (4 ) 1 7 4 3 5 9
2 0 −2 −1 4 1 3 5 4
t
])
t
]) ([ [ =
t
]) ([
2 −1 3 0 4 5 −2 1 4
][ [
8 0 4 2 0 −2 −3 1 −7 −1 4 1 −5 2 6 3 5 4
=
28 20 0 −28 −31 −21 6 38 36
8 −3 −5 0 1 2 4 −7 6
]
=
t
])
]
28 20 0 −28 −31 −21 6 38 36
]
4. Usar el teorema 1.4.5 para calcular las inversas de las siguientes matrices
[ ]
3 1 5 2 ,
A= matriz inversa
=
1 (3 )( 2 ) −(1)(5)
[
2 −1 −5 3
]
=
[
2 −1 −5 3
]
: es la
[ ] 2 −3 4 4
B=
[
1 4 3 (2 )( 4 )−(−3)(4) −4 2
,=
]
[ ] 1 5 −1 5
=
3 20 1 10
: es la matriz
inversa
[ ] 2 0 0 3
C=
[ ]
1 3 0 (2 )( 3 ) −(0)(0) 0 2
=
=
[ ] 1 2
0
0
1 3
: es la matriz inversa
5. Comprobar que las tres matrices A, B y C del ejercicio 4 satisfacen las relaciones
−1
−1 = B
(AB )
A−1
([ ][
3 1 2 −3 5 2 4 4
−1
])
[
=
2 −3 4 4
[ ] [ ] [ ] [
10 −5 18 −7
1 4 1 2
−7 20 −9 10
−1
(ABC )
1 5 −1 5
−1
]
=
= C
([ ][
−1
B
−1
([
−1
])
A
=
[
2 −1 −5 3
]
−1
−1
][ ])
3 1 2 −3 2 0 5 2 4 4 0 3
20 −10 54 −21
−1
] [ ] 3 1 5 2
1 4 1 2
−7 20 −9 10
=
3 20 1 10
−1
=
−1
( [ ]) ( [ 2 0 0 3
[ ] [ ] 1 2
0
0
1 3
1 5 −1 5
3 20 1 10
2 −3 4 4
[
−1
−1
]) ([ ])
2 −1 −5 3
3 1 5 2
]
[ ] −7 40 −3 10
1 8 1 6
[ ] −7 40 −3 10
=
1 8 1 6
2
2 2 B 6. Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño. ¿(AB ) = A es una igualdad matricial valida? Justificar la respuesta. 1 3 1 2 No es una igualdad matricial valida. Suponiendo que A= yB= −2 −7 2 4 2 2 2 ( AB ) = A B 2 2 2 1 3 1 2 1 3 1 2 = −2 −7 2 4 −2 −7 2 4
[
([ ([ [
]
[ ]
][ ]) ([ ]) ([ ]) ]) [ ] [ ] ] [ ] 2
5 10 −16 −32
−135 −270 432 864
5 10 10 20
=
−3 −12 12 45
=
−135 −270 510 1020
7. En cada inciso, usar la información dada para encontrar A.
a) A
−1
[ ] 2 −1 3 5
=
([
A= 2 −1 3 5
−1
b) (7A ) 7A = 7A =
−1 −1
A=
−1
])
=
[
=
[
5 /13 1/13 −3 /13 2/13
−3 7 1 −2 −1
( 17 )
2 7 1 3
T d) (5 A
−1
)
−1 t −1
(( 5 A ) )
= =
]
]
( [ ]) [ ] −3 7 1 −2
(A )
A=
[
−3 −1 5 2
([
7A =
[
( 17 )[ 21 73 ]
2/7 1 1 /7 3/7
]
]
−3 −1 5 2
−1
])
1 5 At 5 −2 −1 5 3
[
=
]
=
1 5
At
[
=
( At )
t
−2/5 −1/5 1 3 /5
]
[
A= −2 /5 1 −1 /5 3/5
t
([ ]) −2 5
=
−1 5 3 5
1
−1
e) (I + 2A )
[ ] −1 2 4 5
=
−1 −1
( (I +2 A) )
([
−1 2 4 5
=
[
]
[
( I +2 A ) −I
[
4/21 2 A= −26 /21 4 /21 −20 /21
[
[
1 2
2A=
A=
])
−5 /21 4 /21 4 /21 1/21 −5 /21 4 /21 = 4 /21 1/21
(I + 2 A) =
1 2
−1
] [ ]
]
−26 /21 4/21 4 /21 −20 /21
−13/21 2 /21 2 /21 −10 /21
1 0 0 1
-
]
]
8. Sea A la matriz
[ ] 2 0 4 1
3 −3 Calcular A , A
y
A2
- 2A + I
A 2 -2A + I 2
( [ ]) 2 0 4 1
- (2)
[ ] [ ] 2 0 4 1
+
1 0 0 1
[ ] [ ] [ ] 4 0 12 1
-
4 0 8 2
+
1 0 0 1
]
[
0 0 4 −1
]
[ ] [ ] 1 0 0 1
+
1 0 4 0
A
3
=
−1 3
(A ) A
=
2 0 2 0 2 0 4 1 4 1 4 1
=
−1 3
(([ ]) ) 2 0 4 1
=
−3
3
([ ]) [ ][ ][ ] [ ] 2 0 4 1
([
1/ 2 0 −2 1
[
A−3= 1 /8 0 −7 /2 1
3
])
]
9. Sea A la matriz
[ ] 3 1 2 1
En cada inciso, determinar p(A). a) p(x) = x – 2 3 p(A) = 2 3 p(A) = 2 1 p(A) = 2
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
b) p(x) = 2 x
2
p(A) = (2)
p(A) =
-x+1 3 1 2 1
2
( [ ]) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
p(A) = (2)
p(A) =
1 1 0 -2 1 0 1 1 2 0 1 0 2 1 −1
22 16 23 16
-
3 1 2 1
11 4 3 1 8 3 2 1 8 1 0 + 6 0 1 8 7
+1
+
1 0 0 1
1 0 0 1
=
8 0 28 1
c) p(x) = x p(A) = p(A) = p(A) = p(A) =
3
- 2x + 4 3 3 1 -2 2 1
( [ ]) ( [ ]) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 41 30 35 26 39 26
15 11 13 9 13 13
3 1 2 1
6 4 4 0
-
+
p1 ( x) = x 2 - 9,
10. Sean
2 2 0 4
+4
+
2
( [ ])
4 0 0 4
p2 ( x ) = x + 3 y
a) Demostrar que p1 ( A ) = p2 ( A ) p1 (A) = p2 (A) p3 (A) 3 1 2 1
1 0 0 1
p3 ( x) = x – 3
p3 ( A ) para la matriz A del ejercicio 9.
[ ] ([ ] [ ])([ ] [ ]) 1 0 0 1
-9
=
3 1 1 0 +3 2 1 0 1
3 1 1 0 −3 2 1 0 1
[ ] [ ] ([ ] [ ])([ ] [ ]) 11 4 8 3
-
9 0 0 9
=
[
2 4 8 −6
] ([ ])([
[
2 4 8 −6
] [
6 2
=
=
1 4
2 4 8 −6
3 1+3 0 2 1 0 3
0 1 2 −2
])
]
11. Encontrar la inversa de
[
cosθ sen θ −senθ cosθ
]
Supongamos que cos θ = x, y sen θ = y entonces
[
A=
A
−1
x −y =
y x
] [
1 x −y 2 ( x ) −(− y ) y x 2
]
3 1−3 0 2 1 0 3
[
]
x −y 2 x + y x 2+ y 2 A−1 = y x 2 2 2 x + y x + y2 Por lo tanto la inversa de la matriz dada es: cos θ −sen θ 2 2 cosθ + sen θ cosθ 2+ sen θ 2 sen θ cos θ 2 2 cosθ + sen θ cosθ 2+ sen θ 2 2
[
]
2
12. a) Encontrar matrices A y B 2 x 2 tales que (A + B ) A=
[ ] 1 2 2 0
¿
A
2
+ 2AB + B
2
[ ] 1 3 4 2
B=
Si ( A+ B)2 ≠ A 2 + 2AB + B 2 Entonces ( A+ B)2 = (A + B) (A + B) Resolviendo ( A+ B)2 = AA + AB + BA + BB, y AB ≠ BA AB = BA =
de
[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] 1 2 1 4
2 0 3 2
1 4 1 2
3 2 2 0
9 2 7 8
=
=
7 6 2 8
Se puede comprobar que AB ≠ BA
Y por ello por se podría formar el “2AB”, siendo así A 2 + 2AB + B 2
2
( A+ B)
b) Demostrar que si A y B son matrices cuadradas tales que AB = BA, entonces 2
2 2 = A + 2AB + B
(A + B ) Si A=
[ ] 1 2 2 0
y B=
A
−1
=
[
0 1/2 1 /2 −1 /4
]
Comprobando que AB = BA
[ ] [ [ ] 1 2 2 0
1 0 0 1
0 1/2 1 /2 −1 /4
] [ =
0 1/2 1 /2 −1 /4
] [ ] 1 2 2 0
diferente
Entonces ( A+ B)2 formando 2AB
=
A
2
+ 2AB +
B
2
porque AB = BA y se puede agrupar
2
c) Encontrar un desarrollo de (A+B ) que sea válido para todas las matrices cuadradas A y B del mismo tamaño. Para( A+ B)2 = (A + B) (A + B) El desarrollo general para cualquier matriz cuadrada seria: ( A+ B)2 = AA + AB + BA + BB 13. Considerar la matriz
[
a11 0 0 a 22 ⋮ ⋮ 0 0
0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ 0 ⋯ ann
]
a a ⋯a ≠0
nn donde 11 22 . Determinar que A es invertible y encontrar su inversa. Para que una matriz sea invertible debe poseer un determinante diferente de cero
a 11 0 0 a22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ = ⋯ 0 0 0 ¿⋮a ¿ 0 nn |¿¿| invertible y posee
a11 a 22
1 a11
…
ann
= a un número diferente de cero, por lo tanto es
0
1 a22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋯ 0 0 0 ¿ ⋮1 ¿ 0 ann ( ¿¿ ) 0
Matriz inversa =
15. a) Demostrar que una matriz con un renglón de ceros no puede tener inversa.
[ ]
2 7 , la matriz A tiene un renglón se ceros y no puede tener inversa, ya 0 0 que su determinante es cero. Determinante A = (2)(0) + (7) ( 0) = 0 A=
b) Demostrar que una matriz con una columna de ceros no puede tener inversa. 2 0 B= , la matriz B tiene una columna de puros ceros y no puede poseer 8 0 inversa, ya que su determinante es cero. Determinante B = (2) (0) + (0) (8) = 0
[ ]
16. La suma de dos matrices invertibles, ¿necesariamente es invertible? 2 7 2 0 Si tenemos a A= y B = que son matrices invertibles, 0 0 8 0 comprobemos si la suma de A + B necesariamente es invertible. 2 7 2 0 A+B= + 0 0 8 0 4 7 A+B= 8 0
[ [ ([ [
4 7 8 0
( A + B )−1 =
[ ] ] [ ] ] ]) ]
[ ]
−1
0 1/8 , así demostramos que si tenemos dos matrices invertibles 1 /7 −1/14 y estas se suman, no necesariamente su suma resultara invertible.
( A + B )−1
=
17. Sean A y B matrices cuadradas tales que AB = 0. Demostrar que si A es invertible, entonces B = 0. 4 7 A = , tiene como determinante (4) (3) + (7) (8) = 68, entonces es 8 3 invertible −1 4 7 −3 /44 7 /44 −1 = = (A) 8 3 2/ 11 −1/11
[ ]
( [ ])
[
]
[ ] [ ] [ ] [ ]
0 0 0 0 4 7 0 0 AB = 8 3 0 0 0 0 AB = =0 0 0 18. En el teorema 1.4.2, ¿por qué el inciso d) no se escribió como A0 = 0 = 0A? 1 A0 = 0 1 3 0 00 0 00 = 2 4 0 00 0 00 B=
[ ] [
] [
]
2
0A = 0 0 0 1 3 0 0 2 4
[ ][ ] [ ] 0 0 0 0
=
En los dos casos la matriz conformada por ceros es diferente, ya que la primera es una matriz de 2x3 y la segunda es de 2x2. Por ello no se puede escribir que A0 = 0 = 0A
a2 = 1 tiene exactamente dos soluciones. Encontrar por lo menos 2 I ocho matrices diferentes 3 x 3 que cumplan la ecuación matricial A = 3 . [Sugerencia. Buscar soluciones en las que todos los elementos fuera de la diagonal principal sean iguales a cero.]
19. La ecuación real
1.
2
3
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
=
1 0 0 1 0 0 = 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
2.
−1 0 0 0 1 0 0 0 1
2
1 0 0 0 1 0 0 0 1
=
3
1 0 0 1 0 0 0 1 0=0 1 0 0 0 1 0 0 1
3.
−1 0 0 0 −1 0 0 0 1
2
1 0 0 0 1 0 0 0 1
=
3
1 0 0 1 0 0 0 1 0=0 1 0 0 0 1 0 0 1
4.
−1 0 0 0 −1 0 0 0 −1
2
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
3
[ ][ [ ] [ [ ][ [ ] [ [ ][ [ ] [ [ ][ [ ] [ [ ][
1 0 0 1 0 0 0 1 0=0 1 0 0 0 1 0 0 1
5.
1 0 0 0 1 0 0 0 −1
2
1 0 0 0 1 0 0 0 1
=
1 0 0 1 0 0 0 1 0=0 1 0 0 0 1 0 0 1
6.
1 0 0 0 −1 0 0 0 −1
2
=
7.
2
=
8.
2
=
]
]
3
]
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 1 0=0 1 0 0 0 1 0 0 1
]
3
]
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 1 0=0 1 0 0 0 1 0 0 1
12 0 0 0 12 0 0 0 12
]
3
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 = 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
−1 0 0 0 1 0 0 0 −1
]
]
3
]
Habría más posibilidades si se elevara la matriz identidad a cualquier valor numérico diferente de cero. 20. a) Encontrar una matriz A 3 x 3 diferente de cero tal que A
T
= A.
[
A=
At
2 3 8 3 2 10 8 10 2
[
=
]
es diferente de cero, y sus elementos de la misma manera.
2 3 8 3 2 10 8 10 2
]
, la matriz transpuesta de A es la matriz A
T b) Encontrar una matriz A 3 x 3 diferente de cero tal que A 0 −4 −8 A= 4 0 3 8 −3 0
[
= - A.
]
-A =
[
At
=
0 4 8 −4 0 −3 −8 3 0
Entonces
[
0 −4 −8 t A
]
4 8 0 −3 3 0 = -A
]
21. Una matriz cuadrada A se denomina simétrica si A -A Demostrar que si B es una matriz cuadrada, entonces T a) B B
T y B+ B
t B= B
B Bt
=
= A y antisimétrica si
son simétricas
[ ] [ ][ ] [ ]
=
T
1 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1
=
1 0 0 1
si es simétrica
t B+ B
b) B - B
T
es antisimétrica
22. Si A es una matriz cuadrada y n es un entero positivo, ¿es cierto que T
n
n ) = ( A T ) ? Justificar la respuesta. ( A Si es cierto, se comprueba se la siguiente forma. Si: 4 7 A= 8 3
[ ]
A
T
=
At A
n
[ ] ( [ ]) 4 8 7 3
= =
n
4 7 8 3
=
([ ][ ] [ ]) [ ] 4 7 4 7 4 7 … 8 3 8 3 8 3
=
a b c d
“n” veces Supongamos que n = 2 A
2
=
2
( [ ]) 4 7 8 3
=
t
[ ][ ] 4 7 4 7 8 3 8 3
n
Entonces ( An ) = ( At ) seria ( A2 ) t 2 Efectuando ( A2 ) = ( At ) tenemos: 2 t
= t
[
72 49 56 65
]
2
= ( At )
t 2
([ ] ) ([ ] ) ([ ]) ([ ]) [ ] [ ] 4 7 8 3
72 49 56 65
4 7 8 3
=
t
=
4 8 7 3
2
72 56 72 56 = 49 65 49 65 2 2 t Comprobando asi que ( A ) = ( At ) , cuando “n=2” del mismo modo se efectuara para t n cualquier valor de “n” cumpliendo así la propiedad de ( An ) = ( At ) 23. Sea A la matriz
[ ] 1 0 1 1 1 0 0 1 1
Determinar si A es invertible y, en caso afirmativo, encontrar su inversa. [Sugerencia. Resolver AX = I igualando los elementos correspondientes de ambos miembros.] Toda matriz será invertible si tiene determinante diferente de cero 1 0 1 En A = 1 1 0 0 1 1
[ ] | |
1 0 1 1 1 0 0 1 1 Por Gauss Jordan
| A| =
= 2 (es diferente de cero)
( | ) ( | ) ( ( | ) A
−1
1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 1 10 0 1
=
-1
F1 +
(
F2
|
1 0 1 1 0 0 0 1 −1 −1 1 0 0 1 1 0 0 1
)
-1 F2
+
F3
1 0 1 1 0 0 0 1 −1 −1 1 0 0 0 2 1 −1 1
½
F3
1 0 1 1 0 0 -1 0 1 0 −1/2 1/2 1/2 0 0 1 1/2 −1 /2 1/2 Por Gauss Jordan se tiene que 1/ 2 1/ 2 −1/ 2 −1 = −1/ 2 1/ 2 1/ 2 A 1/ 2 −1/ 2 1/ 2
[
|
1 0 1 1 0 0 0 1 −1 −1 1 0 0 0 1 1/ 2 −1/2 1/2
F3 +
)
F3
+
( |
F2
1 0 0 1/2 1/2 −1 /2 0 1 0 −1/2 1/2 1/2 0 0 1 1/2 −1 /2 1/2
F1
)
]
24. Demostrar lo siguiente: La demostración de cada propiedad aritmética matricial es necesario tener en cuenta que las matrices son del mismo tamaño. 2 8 2 9 2 1 A= B= C= ; a= 2(escalar) 0 1 7 3 1 7 a) Inciso b) del teorema 1.4.1. A + (B + C) = (A + B) + C 2 9+ 2 1 2 8+ 2 9 2 8 2 1 + = + 7 3 1 7 0 1 7 3 0 1 1 7
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ([ ] [ ]) ([ ] [ ]) [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 0 6 8
8 + 4 10 = 1 8 10 18 6 18 = 11 8 11
4 17 7 4
b) Inciso i) del teorema 1.4.1. a(B – C) = aB - aC 2 9 2 1 − 2 =2 7 3 1 7 2
([ ] [ [ ] [ ] 0 8 6 −4 0 16 12 −8
=
=
+
2 1 1 7
]) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 4 18 14 6 0 16 12 −8
2 9 7 3 -
c) Inciso m) del teorema 1.4.1. a(BC) = (aB)C = B(aC) 2 9 2 1 2 9 2 = 2 7 3 1 7 7 3
-2
2 1 1 7
4 2 2 14
([ ][ ]) ( [ ]) [ ] [ ] ( [ ]) 2 1 1 7
=
2 9 7 3
2 2 1 1 7
[
2
[
] [ ] [
13 65 17 28 26 130 34 56
][ ] [ ][ ] [ ]
4 18 2 1 2 9 4 2 = 14 6 1 7 7 3 2 14 26 130 26 130 = 34 56 34 56
=
=
]
25. Aplicar los incisos d) y m) del teorema 1.4.1. a las matrices A, B y ( -1)C para obtener el resultado del inciso f). 2 8 2 9 2 1 A= B= C= 0 1 7 3 1 7 2 1 −2 −1 (-1)C = (-1) = 1 7 −1 −7 Inciso f : A(B – C) = AB – AC 2 9 2 1 2 8 2 8 2 9 2 8 2 1 − = 7 3 1 7 0 1 0 1 7 3 0 1 1 7
[ ]
[ ] [ ] [
[ ] ([ ] [ ] ([ [ ] [ [ ] [ ] [ ][ 2 8 0 1
0 8 6 −4
[ ] ]
[ ]) [ ][ ] [ ] [ ] ]) [ ] [ ] ] =
60 42 7 3
48 −16 48 −16 = 6 −4 6 −4 26. Demostrar el teorema 1.4.2 2 8 A= 0 1 a) A + 0 = 0 + A = A 2 8 0 0 + = 0 1 0 0 2 8=2 8=2 8 0 1 0 1 0 1
12 58 1 7
-
[ ] [ ] ][ ] 0 0 0 0
[ ] [ ] 2 8 0 1
+
=
2 8 0 1
b) A – A = 0 2 8−2 8=0 0 0 1 0 1 0 0
[ ][ ][ ]
c) 0 – A = -A 0 0−2 8 0 0 0 1
[ ][ ] [
d) A0 = 0 2 8 0 0 0 1 0 0
=
−2 −8 0 −1
]
[ ][ ] [ ] =
0 0 0 0
27. Considerar las leyes de los exponentes A 7 5 Supongamos que r = 2, s= 3, A= 3 −1
[
]
r
A
S
= A
r+ S
y( A
r
S
)
= A
rS
.
a) Demostrar que si A es cualquier matriz cuadrada, entonces estas leyes son válidas para todos los valores enteros no negativos de r y s. A r A s = A r +s
([ ([ [
7 5 3 −1
2
]) ([ ][
s
( Ar )
([ ([ [
2 +3
7 5 3 −1
=
5
39652 20780 12468 6404
=
A rs
=
7 5 3 −1
7 5 3 −1
=
64 30 538 290 18 16 174 74
39652 20780 12468 6404
3
]) ([ ]) ]) ([ ]) ] [ ]
7 5 3 −1
2 3
]) ])
64 30 18 16
=
3
=
2∗3
[ ] [ ] ] [ 7 5 3 −1
7 5 3 −1
339904 177480 106488 55936
=
6
339904 177480 106488 55936
]
b) Demostrar que si A es invertible, entonces estas leyes son válidas para todos los valores enteros negativos de r y s. 7 5 A= , tiene como determinante -22 entonces si es invertible 3 −1 1/22 5/22 A−1 = 3 /22 −7/22 Ahora comprobaremos para los valores negativos de r = -2 y s = -3 −2 −2 7 5 A = 3 −1
[
]
[
]
([
A
−2
=
])
[
4 /121 −15 /242 −9 /242 16/121
]
−1
Teniendo comoinversa a : ( A−2 )
([
A−3= 7 5 3 −1 A−3 =
[
[
=
64 30 18 16
]
−3
])
−37 /5324 145/5324 87 /5324 −269/5324
] [
]
538 290 174 74 Así comprobamos que los valores negativos de r y s también son invertibles. −1
Teniendo comoinversa a : ( A−3 )
=
28. Demostrar que si A es invertible y k es cualquier escalar diferente de cero, entonces ( n
kA) = k n A n para todos los valores enteros de n. Supongamos que K = 1 (valor escalar)
[
A=
[
A−1
]
7 5 , tiene como determinante -22 entonces si es invertible 3 −1 1/22 5/22 = 3 /22 −7/22
]
Valor negativo de n = -2 ( k A )n=k n A n −2
−2
( [ ]) [ ] ([ ]) [ [ ][ 1 7 5 3 −1 7 5 3 −1
−2
=1−2 7 5 3 −1
=1 4 / 121 −15 / 242 −9 /242 16/ 121
]
4 /121 −15 /242 = 4 /121 −15 /242 −9 /242 16/121 −9 /242 16/121
]
Valor positivo de n = 2 ( k A )n=k n A n 2
2
( [ ]) [ ] ([ ]) [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] 1 7 5 3 −1
7 5 3 −1
=1 7 5 3 −1 2
2
=1 64 30 18 16
64 30 = 64 30 18 16 18 16
29.
A= 2 1 0 −4
a b c d
B=
C=
e f g h
a) Demostrar que si A es invertible y AB = AC, entonces B = C A= 2 1 Tiene como determinante | A| = -8 y es invertible 0 −4 1 /2 1/8 −1 = ( se comprueba que es invertible) A 0 −1 /4 AB = AC 2 1 a b 2 1 e f = 0 −4 c d 0 −4 g h 2a+ c 2 d +b 2e+ g 2 f + h = −4 c −4 d −4 g −4 h
[
]
[
[ [
]
] [ ] [ ] [
][ ] ]
Como las dos matrices son iguales entonces sus termines también son iguales.
2a + c = 2e + g a=e c=g
-4c = -4g c=g
2d + b = 2f + h d=f b=h
-4d = -4h d=h
[ ]
[ ]
a b e f = ( B = C) c d g h b) Explicar por qué el inciso a) y el ejemplo 3 no se contradicen entre sí. Porque la multiplicación y suma con una matriz igual , resultará el mismo resultado en las respectivas operaciones. En el teorema 1.4.1 podemos observar las propiedades matriciales comprobadas en los ejercicios anteriores A( B + C) = AB + AC Entonces
30. Demostrar el inciso c) del teorema 1.4.1. [Sugerencia. Suponer que A es m x n, que B es n x p y que C es p x q. El ij-ésimo elemento en el miembro izquierdo es
lij = ai 1 [BC ]1 j + ai 2 [BC ]2 j + … + ain [BC ]nj , y el ij-ésimo elemento rij = [AB ]i1 c1 j + [AB ]i 2 c 2 j + … + [AB ]ip c pj . en el miembro derecho es l r Comprobar que ij = ij .]
AB =
a11 a12 a21 a22
b11 b 12 b21 b 22
⋯ a1 n ⋮ ⋮ ⋯ a2 n am 1 am 2 ¿ ⋮a ¿ ⋯ mn [ ¿¿ ]
⋯ b1 p ⋮ ⋮ ⋯ b2 p bn 1 b n 2 ¿⋮ b ¿ ⋯ np [ ¿ ¿]
c 11 c 12 c 21 c 22
[ aih ]
⋯ c1 q ⋮ ⋮ ⋯ c 2 q c p 1 c p2 ¿⋮c ¿ ⋯ cq [ ¿¿ ] [ bhj ]
Se tiene que n
c 11 = a11 b 11 + a12 b21
⋯
a1 n bn 1 =
∑ a1 h b h1 h=1
n
c 12 =
∑ a1 h b h 2 h=1 n
c1 q =
∑ a1 h b hp h=1 n
c 21 =
∑ a2 h b h 1 h=1
=
n
c p1 =
∑ a2 h b hp h=1
Ejercicios resueltos por Cinthia Valverde Sotelo −1 Ejercicios de la Sección 1.5-Matrices elementales y un método para determinar A
1. De las siguientes matrices, ¿Cuáles son elementales?
a)
[ ] 1 0 −5 1
b)
[ ] [ ]
[ ] −5 1 1 0
c)
[ √] 1 0
0 3
d)
0 0 1 0 1 0 1 0 0
[ ]
1 1 0 0 0 1 0 0 0
e) f) RESOLUCIÓN Los elementales son :c ¿ , d ¿ y e ¿
1 0 0 0 1 9 0 0 1
g)
[ ] 2 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 1
2. Encontrar una operación en los renglones que convierta la matriz elemental dada en una matriz identidad.
a)
[ ] 1 0 −3 1
b)
[ ] 1 0 0 0 1 0 0 0 3
c)
[ ] 0 0 0 1
[ ] 1 0
− 17
0
0 1 0 0 0 0
0 1 0
0 0 1
RESOLUCIÓN a ¿ Sumar tres veces el primerenglón al segundo renglón . 1 b ¿ Multiplicar por eltercer renglón . 3 c ¿ Intercambiar el primer renglón y elcuarto r englón . 1 d ¿ Sumar veces eltercer renglon al primer renglon 7
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
d)
3. Considerar las matrices 1 3 4 2 7 1 8 1 5 A= ,
[
3 4 1 2 −7 −1 2 −7 3
5 8 1 2 7 1 3 4 1 B= ,
C
=
]
E Encontrar matrices elementales E1 , E2 , 3 a) E1 A = B RESOLUCIÓN
tales que
E b) E2 B = A c) 3 A = C d) E4 C = A
[ ] [ ] [
0 0 1 a¿ 0 1 0 1 0 0
y E4
1 0 0 b¿ 0 1 0 0 0 1
1 0 0 c¿ 0 1 0 −2 0 1
] [ ] 1 0 0 d¿ 0 1 0 2 0 1
4. En el ejercicio 3, ¿es posible encontrar una matriz elemental E tal que EB = C? Justificar la respuesta. RESOLUCIÓN No , porqueC no se puede obtener efectuando una sola operacionen los reglones de B . En los ejercicios 5, 6 y 7, aplicar el método mostrado en los ejemplos 4 y 5 para encontrar la inversa de la matriz dada si la matriz es invertible, y comprobar la respuesta por multiplicación.
5. a)
[ ] 1 4 2 7
b)
RESOLUCIÓN
]
−3 6 4 5
[ ]
−5 a ¿ −7 4 ; b ¿ 39 2 −1 4 39
[
[ ]
c)
[
6 −4 −3 2
2 13 ; c ¿ No es invertible 1 13
]
[ ] [ [ ]
3 4 −1 1 0 3 6. a) 2 5 −4 1 0 1 −1 1 1 0 1 0
−1 3 −4 2 4 1 b) −4 2 −9
] [ ] [ ] 1 0 1 0 1 1 c) 1 1 0
2 6 6 2 7 6 d) 2 7 7
e)
RESOLUCIÓN
[
]
3 2 a ¿ −1 −1 2
7. a)
[
1 5 1 5 1 5
1 5 1 5
2
−5 1 10 1 10
4
−5
[ ] [ 1 1 1 1
0 3 3 3
0 0 5 5
−11 −6 10 5 1 1 ; b ¿ No es inventible ; c ¿ 7 2 10 5
]
[ ][ ][ ] 1 2 −1 2 1 2
1 2 1 ;d ¿ 2 −1 2
−1 2 1 2 1 2
b)
[
√2 3 √2 0 −4 √ 2 √2 0
e)
[
0 0 2 0 1 0 0 1 0 −1 3 0 2 1 5 −3
0
0
1
]
1 7 0 −3 2 2 ; e¿ 0 −1 1 0 1 0 −1 1 2
−1 2 0 1 2
c)
0 0 0 7
−8 17
2
4 0 0 0 −1 13
2 5
1 3
−9 0 0 4 2
d) RESOLUCIÓN
[
]
[
] √2
1 3 1 26 a ¿ 0 1 −1 ; b ¿ 4 √ 2 −2 2 0 26 0
−3 √2 26 √2 26 0
0
][
] ]
1 0 0 0 0 0 ; d ¿ No es invertible ; c ¿ −1/3 1/3 0 0 −1/5 1 /5 0 0 0 −1/7 1/7 1
k 8. Encontrar la inversa de cada una de las siguientes matrices 4 x 4, donde k 1 , k 2 , 3 , k 4 y k son, todos, diferentes de cero.
1 2 1 −1 2
a)
[
k1 0 0 0
0 0 k2 0 0 k3 0 0
0 0 0 k4
]
b)
[ ] [ ] [ [ ] k 1 0 0
0 k 1 0
0 0 k 1
[
0 0 0 k4
0 0 k3 0
0 k2 0 0
k1 0 0 0
]
c)
0 0 0 k
RESOLUCIÓN
a¿
1/ k 1
0 0 0
0 0 0
1/k 2 0 0 1/k 0 0 3 1/k 4 0 0
b¿
0
0 0 1/k 1
0 1/k 1 0 0 1/k 1 0 0 0 1/k 1 0 0 0
]
1/k 0 0 0 2 −1/k 1/k 0 0 c¿ 1/k 3 −1/k 2 1/k 0 2 4 3 −1/ k 1/k −1/k 1/k
9. Considerar la matriz
A=
[ ] 1 0 −5 2
a) Encontrar matrices elementales E1 y E2 tales que E2 E1 A = I. −1 b) Escribir A como un producto de dos matrices elementales. c) Escribir A como un producto de dos matrices elementales. RESOLUCIÓN
[ ]
1 1 0 a ¿ E 1= ; E 2= 0 5 1
[ ]
11. Expresar la matriz.
0 1 2
b ¿ A −1=E 2 E1
−1 c ¿ A=E−1 1 E2
A=
[
0 1 7 8 1 3 3 8 −2 −5 1 −8
]
en forma A = EFGR, donde E, F y G escalonada. RESOLUCIÓN 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 −2 1 1 0 1 0 0 1 0
[
][ ][ ] [
son matrices elementales y R está en forma
3 3 8 1 7 8 0 0 0
]
16. a) Demostrar: Si A y B son matrices m x n, entonces A y B son equivalentes por renglones si y sólo si A y B tienen la misma forma escalonada reducida. b) Demostrar que A y B son equivalentes por renglones, y encontrar una sucesión de operaciones elementales en los renglones que produzca B a partir de A.
[ ] 1 2 3 1 4 1 2 1 9
[ ] 1 0 5 0 2 −2 1 1 4
A= B= RESOLUCIÓN b ¿ Sumar−1 veces el primer renglón al segundo renglón . Sumar−1 veces el primer renglón altercer renglón . Sumar−1 veces el segundo renglón al primer renglón . Sumar el segundo renglón al tercer renglón .
Ejercicios resueltos por Yosi Falcón Olivas EJERCICIOS 6: 1) X 1=3 X 2=−1 SE DIVIDIO LA FILA 1 ENTRE 1, SE MULTIPLICO LA FILA 1 POR -1 Y SE LE SUMO A LA FILA 2 ENTRE 1, SE MULTIPLICO LA FILA 2 POR -1 Y SE LE SUMO A LA FILA 1 a)
b)
X 1=−3 X 2=−3
SE DIVIDIO LA FILA 1 ENTRE 4, SE MULTIPLICO LA FILA 1 POR -4 Y SE LE SUMO A LA FILA 2, SE DIVIDIO LA FILA 2 ENTRE -3,5, SE MULTIPLICO LA FILA2 POR 3.5 Y SE LE SUMO A LA FILA 1. c) X 1=−1 X 2=4 X 3=7 SE DIVIDIO LA FILA 1 ENTRE 1, SE MULTIPLICO LA FILA 1 POR -1 Y SE LE SUMO A LA FILA 2, SE MULTIPLICO LA FILA 1 POR -1 Y SE LE SUMO A LA FILA 3, SE DIVIDIO LA FILA 2 ENTRE -4, SE MULTIPLICO LA FILA 2 POR 4 Y SE LE SUMO A LA FILA 1, SE MULTIPLICO LA FILA 2 POR 4 Y SE LE SUMO A LA FILA 3,SE DIVIDIO LA FILA 3 ENTRE -0.25, SE MULTIPLICO LA FILA 3 POR 0.25 Y SE LE SUMO A LA FILA 1, SE MULTIPLICO LA FILA 3 POR 0.25 Y SE LE SUMO A LA FILA 2. d) X 1=−4.33 X 2=15.66 X 3=−10.66
e)
X =−1 Y =5 Z =−1
f) W =−6 X =1 Y =10 Z =−7
g) 3 b1−5 b 2 b1 +2 b2 h) −7.5 b 1+ 0.5 b2 +2. 5 b3 0.5 b1 +0. 5 b2−0. 5 b3 2.5 b1−0. 5 b2−0.5 b 3 2) X 1 +2 X 2 + X 3 = b1 X 1 − X 2 + X 3 = b2 X1+ X2 = b3 a)
X 1 +2 X 2 + X 3 =-1 X 1− X 2+ X 3 =3 X1+ X2 =4
X 1=5.33 X 2=1.33 X 3=−3.67
b)
X 1 +2 X 2 + X 3 =5 X 1− X 2+ X 3 =0 X1+ X2 =0
X 1=−1.66 X 2=1.66 X 3=3.33 c)
X 1 +2 X 2 + X 3 =-1 X 1− X 2+ X 3 =-1 X1+ X2 =3
X 1=3 X 2=0 X 3=−4
3) 1)
2=¿ b1 X 1−5 X ¿ 2=¿ b2 3 X 1−2 X ¿
a)
X 1=1.29 X 2=0.058
b)
X 1=1.23 X 2=0.64
2)
−X 1+ 4 X 2+ X 3 = b1 X 1 +9 X 2 −2 X 3 = b2 6 X 1 +4 X 2−8 X 3 = b3
a)
b)
X 1=−18 X 2=−1 X 3=−14
X 1=−210.5 X 2=−1 2.5 X 3=−163.5
3)
2=¿ b 1 4 X 1−7 X ¿ 2=¿ b2 X 1 +2 X ¿
a)
b)
c)
d)
X 1=0.46 X 2=0.26 X 1=2.26 X 2=1.86 X 1=1.26 X 2=0.86
X 1=−0.2 X 2=0.6
4)
X 1 +3 X 2 +5 X 3 = b1 −X 1+ 2 X 2 = b2 6 X 1 +5 X 2 +4 X 3 = b3
a)
b)
c)
X 1=−0.4615 X 2=0.2308 X 3=0.1538 X 1=0.58 X 2=−0.79 X 3=0.359
X 1=−0.12 X 2=0.56 X 3=−0.51
4) a) X 1−2 X 2 + X 3 =-2 2 X 1−5 X 2 + X 3 =1 3 X 1−7 X 2+2 X 3 =-1 X 1=1.5 X 2=−0.6250 X 3=−4.37
b) X 1−2 X 2 + X 3 =1 2 X 1−5 X 2 + X 3 =-1 3 X 1−7 X 2+2 X 3 =0
X 1=−1 X 2=0.3750 X 3=2.62
5) a)
2=¿ b1 6 X 1−4 X ¿ 2=¿ b2 3 X 1−2 X ¿ 2=¿ 0 6 b1−4 b ¿ 2=¿ 0 3 b1−2 b¿
b) X 1−2 X 2 +5 X 3 = b1 4 X 1−5 X 2 +8 X 3 = b2 −3 X 1+3 X 2−3 X 3 = b3 b1−2b 2+5 b 3 =0 4 b1−5 b2 +8 b 3 =0 −3 b 1+3 b 2−3 b3 =0 c)
X 1−2 X 2 + X 3 = b1 −4 X 1 +5 X 2 +2 X 3 = b2 −4 X 1 +7 X 2+ 4 X 3 = b3
b1−2b 2+ b3 =0 −4 b 1+5 b 2+2 b 3 =0 −4 b 1+7 b 2+ 4 b 3 =0 d) X 1− X 2+ 3 X 3+ 2 X 4 = b1 −2 X 1 + X 2 +5 X 3 + X 4 = b2 −3 X 1+2 X 2 +2 X 3− X 4 = b3
4 X 1−3 X 2 + X 3 +3 X 4 = b 4 b1−b2 +3 b3 +2 b4 =0 −2 b 1+b 2 +5 b3 +b 4 =0 −3 b 1+ 2b 2+2 b 3−b 4 =0 4 b1−3 b2 +b 3+ 3 b4 =0
6) Considerar las matrices: 2 1 2 X1 A= 2 2 −2 y X2 3 1 1 X3 a) Demostrar que la ecuación Ax=x se puede volver a escribir como (A – I)x=0 y usar este resultado para resolver Ax=x para x. b) Resolver Ax=4x.
[ ] []
a) A-I=
1 2 3
1 1 1
2 -2 0
entonces x=0
b) Ax=4x seria A(0)=4(0) = 0 7) Resolver la siguiente ecuación matricial para x X= 1 -1 1 2 3 0 0 2 -1 11.0000 12.0000 -6.0000 -8.0000 -15.0000 -21.0000
2 -1 5 7 8 4 0 -3 0 1 3 5 -7 2 1 -3.0000 27.0000 1.0000 -18.0000 9.0000 -38.0000
Entonces X= 26.0000 -17.0000 -35.0000
8) Determinar si tiene solución trivial y si es Invertible: a) Invertible, posee solución trivial b) No es Invertible, No posee una solución trivial.
12) Usar el inciso para demostrar el inciso b) >> I=[1 0; 0 1] I= 1 0
0 1
>> A=[0.5 0;0 0.5] A= 0.5000 0 0 0.5000 >> B=[2 0; 0 2] B= 2 0
0 2
>> B*A ans = 1 0
0 1
>> inv(A) ans = 2 0 >>
0 2