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UNIVERSIDAD CATÓLICA LOS ÁNGELESDE CHIMBOTE FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN ESTADÍSTICA INFERENCIAL – ESTADÍSTICA APLICADA PRACTICA Nº 03

Nombre: Roberto Job Alameda Castro Escuela: Administración

1.

Grupo: A

Una máquina llena un determinado producto en bolsas cuyo peso medio es  gramos. Suponga que la población de los pesos es normal con desviación estándar 20 gramos. a) Estime  de manera que el 99.38% de las bolsas tengan pesos no superiores a 550 gramos. b) Estime  mediante un intervalo de confianza del 95%, si una muestra aleatoria de 16 bolsas ha dado una media de 495 gramos Solución a) Debemos encontrar un valor K tal que P(X < 550) = 0.9938. Pasando a N (0, 1): P (Z K) P (|ε| > K) = P (| X - μ|> K) = 1 – P (| X - μ| ≤ K) = 1- P (Z ≤ 10K/10) = 0.01 De esto P (Z ≤ K) = 0.99; con lo cual, K Es superior a 5?

c)

Se debería aumentar el tamaño de muestra? ¿Por qué? Qué implica aumentar el tamaño de muestra? Qué ocurre con el Error de la Estimación si se aumenta el tamaño de muestra? Rp. a) 70  196 b) No, es 2.33, c) aumentar el tamaño de la muestra. .

3. El tiempo en minutos que utilizan los clientes en sus distintas operaciones en un banco local es una variable aleatoria cuya distribución se supone normal con una desviación estándar de 3 minutos. Se han registrado los tiempos de las operaciones de 9 clientes del banco resultando una media igual a 9 minutos: a) Hallar el nivel de confianza si la estimación de  es el intervalo de 7 a 11 minutos.

b) Si  se estima por x , calcular la probabilidad de que la media de los tiempos de todas las muestras de tamaño 9 esté entre 6.5 y 11.5 minutos. SOLUCION ̅ a. Intervalo: [ b. ̅

̅

] ̅

̅

(

√

)

( ) ( )

̅ [ [

] ] Rp. a) 0.9544, b) 0.9876

4. Un fabricante afirma que el peso promedio de las latas de fruta en conserva que saca al mercado es 19 onzas. Para verificar esta afirmación se escogen al azar 20 latas de la fruta y se encuentra que el peso promedio es 18.5 onzas Suponga que la población de los pesos es normal con una desviación estándar de 2 onzas. a) Utilizando un intervalo de confianza del 98% para , ¿se puede aceptar la afirmación del fabricante? b) ¿Qué tamaño de muestra se debe escoger para estimar  si se quiere un error no superior a 0.98 onzas con confianza del 95%?. Solución ¿Cuál es la afirmación del fabricante? Según los datos: n =..........; i)

............... = 18.5;

.............. = 19.

Estaremos resolviendo el problema si encontramos el intervalo y luego verificamos si el promedio poblacional, 19, se encuentra en dicho intervalo? .......................... X 

Reemplace los valores correspondientes en

Z

1

2

s   n

Al final debe obtener el intervalo (17.46, 19.54). Aceptaría Usted la afirmación del fabricante? ......................

X 

Z

1

2

s n

n  Z 1

²

2

ii)

Según la fórmula del tamaño de muestra para la media

1-α/2 = .......... ;

...........;

Z



2

, y de acuerdo a los datos: ε =



2 1

2

2

............

Luego n =.............. ̅

(

)

= Z0.99 =2.33

18.5 - 2.33

18.5 + 2.33

√

√

19.542

e=

√

(

)(

( )

)

N= 16

Nota: Se puede usar la distribución t de Student para estimar el tamaño de muestra para la media poblacional?. Por qué? Rp. a) 18.5  0.932 ,si, b) n  16.

5. Se quiere hacer una encuesta para estimar el tiempo promedio por semana que los niños ven televisión. Por estudios anteriores se sabe que la desviación estándar de dicho tiempo es de 3 horas. Con el nivel de confianza del 99%.

a) ¿Qué tamaño de muestra se debería elegir si el error de la estimación puntual no es superior a media hora? b) ¿Qué costo se debe presupuestar para hacer la encuesta si ésta tiene un costo fijo de $5000 más un costo variable de $2 por cada entrevista? solucion X; tiempo promedio por semana que niños ven tv

(

)

√

Z0.995 = 2.575 a).(

)(

)

($ 2 por c/ entrevista)

b)._ C = 5000 + 2x (

)

u=500

Rp. a) n 238.7  239, b) $5478.

6.

Un fabricante produce focos cuya duración tiene distribución normal. Si una muestra aleatoria de 9 focos da las siguientes vidas útiles en horas 775, 780, 800, 795, 790, 785, 795, 780, 810

a) Estimar la duración media de todos los focos del fabricante mediante un intervalo de confianza del 95%.

b) Si la media poblacional se estima en 790 horas con una confianza del 98%, ¿cuánto es el error máximo de la estimación si se quiere una confianza del 98%? Solución Se conoce σ²? No, es desconocido. Tamaño de n? n = 9 Qué distribución usamos? Usaremos t de Student. Ingresamos los datos al Excel o Minitab para hallar los estadísticos Luego

= 790

s² = 125 y

, n y s²

s = 11.18034

Usaremos t de Student con 9-1 grados de libertad. El valor de t (9-1) y con un nivel de confianza del 95% es 2.306

Usando Obtenemos: 781.406 £ µ £ 798.594

Rp. Utilizando el paquete MCEST se tiene, a) 790  8.59, b) 10.79.

7. Para determinar el rendimiento anual de ciertos valores, un grupo de inversionistas tomó una muestra aleatoria de 49 de tales valores encontrando una media de 8.71% y una desviación estándar s  2.1% .

a) Estime el verdadero rendimiento anual promedio de tales valores mediante un intervalo de confianza del 96%. b) Calcule el riesgo  si el rendimiento anual promedio de todos los valores se estima entre 7.96% y 9.46%. Solución ̅ Para a)

̂

̅

[

]

√

Para b) [

]

√

Rp. a) 8.71  0.615, b) 0.0124.

8. La duración de cierto tipo de batería es una variable aleatoria cuya distribución se supone normal. Inicialmente se estima que la duración media es de 500 horas y que el 95% duran entre 480.4 y 519.6 horas. Si se eligen 9 baterías al azar y se encuentra que la duración media es 480 horas. Utilizando un intervalo de confianza del 95% para la media, ¿se debería inferir que la duración media es diferente de 500 horas? Datos σ x

horas

γ 0.95horas n 9

horas

X 480 horas Determinando el error del intervalo, [480.4,519.6] =

19.6

Determinando el σ cuando n es indeterminado

Como Zo=1.95 Luego el intervalo de confianza al 95% de 9 baterias

Datos n=9 σ=10 Zo=1.96 X=480

480-6.53σ