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Diseño de controlador por retroalimentación de espacio de estados basado en observador de orden reducido. 104682 Estrada Gaspar Ariadna María, 105684 Mercado Esquivel Adolfo Alexis, 105729 Monroy Reyes Alejandro, 98312 Rodríguez Aldaba Tomas, 105442 Vargas Piña Fernando Ernesto.

Resumen.- Con la aplicación de control moderno se puede llevar a cabo el diseño de un controlador con la estrategia de espacio de estados, el cual, a diferencia del control clásico basado en función de transferencia, permite el manejo de varias entradas y salidas. El presente documento muestra el diseño de un controlador por retroalimentación de estados, basado en observador de orden reducido para el control de voltaje en un capacitor de un circuito RC de tercer orden. Se realizan tres pruebas para comparar la robustez cuando se implementan observadores de orden reducido contra observadores de orden completo. Palabras clave: microcontrolador, espacio de estados, controlador, observador de orden reducido, robustez, retroalimentación de estados, perturbación. I.

Siendo x (t) el vector de estados Fig(1):

Fig (1) Vector de estados.

El vector de entrada u (t) y vector de salida y (t) se muestran a continuación Fig(2):

INTRODUCCIÓN

U

n observador de orden completo es aquel en el cual se mide un solo estado, y estima todos los estados del sistema, sin embargo en la práctica no todas las variables necesitan ser observadas, habrá algunas que se podrán medir directamente y con buena precisión, por tanto no será necesario un observador que estime todos los estados, sino uno que solo estime algunos de ellos, lo que lleva a la implementación de un observador de orden reducido en el que se puede elegir cuales de los estados se estimaran. Tomando en cuenta que se medirán directamente uno o mas estados, y los restantes serán estimados, se pondrá a prueba la robustez de los distintos sistemas al utilizar diferentes tipos de observadores (orden completo, orden reducido con 1 estado medido y 2 estados medidos) al ser sometidos a cualquier tipo de perturbaciones. La representación en espacio de estados de un sistema lineal e invariante en el tiempo toma la siguiente forma: ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Fig (2) Vectores de entrada y salida.

La estimación de estados es un problema que se presenta ampliamente en diversos artículos científicos. En la mayoría de los casos solo la entrada(s) y la salida(s) de un sistema son medibles y por lo tanto, la estimación de variables juega un papel importante en el proceso de control [2], [3]. Conociendo lo mencionado anteriormente, al trabajar con sistemas en los cuales es difícil medir mediante sensores algunos de los componentes del vector de estados, se puede recurrir, si el sistema lo permite, a la estimación por medio de un observador (de orden completo u orden reducido) de algunos de los componentes de dicho vector, para así reducir el número de sensores, pudiendo en algunos casos reducirse hasta la aplicación de un único sensor en el sistema. Existen dos tipos de observadores:

( )

Donde la Ec(1) representa la parte dinámica del sistema, mientras que Ec(2) representa la relación ente el estado del sistema y su salida.



Observador de orden completo: Estiman todos los componentes del vector de estados de un sistema.



Observador de orden reducido: Estiman algunos de los componentes del vector de estados del sistema.

Para determinar si el sistema que se está analizando es observable, es decir, que se pueden medir las variables de estado, se emplea la matriz A y la matriz C para determinar la

matriz de observabilidad, si el rango obtenido de la matriz de observabilidad es igual al grado del sistema, se establece que el sistema es observable Fig(3).

Donde P-1 es la matriz inversa de controlabilidad anteriormente definida (P= [B AB A2B…An-1B]) yα(A) representa lo siguiente [4]: α(A) = An + αn−1An−1 +· · ·+α2A2 + α1A + α0I … Ec (4) Ec (4) Alpha.

Una vez obtenido el vector K de retroalimentación de estados el diagrama de bloques de espacio de estados de lazo cerrado queda d8e la siguiente manera (Fig 6). Fig(3) Confirmación de la observabilidad del sistema.

Además de la observabilidad, se debe determinar si el espacio de estados es o no controlable, para comprobar si el sistema que se está analizando es controlable se emplea el rango de la matriz de controlabilidad P= [B AB A2B…An-1B] como se muestra en la Fig (4).

Fig (4) Prueba de la controlabilidad del sistema.

Si el rango es igual a número de variables de estado entonces el sistema es controlable. La representación en diagrama de bloques del espacio de estados en lazo abierto de un sistema se presenta a en la Fig (5).

Fig (6) Diagrama de bloques espacio de estados en lazo cerrado.

II. PROCEDIMIENTO La realización de las experimentaciones está basados en un circuito RC de tercer orden que se utilizó en la practica 4. Se realizaran dos experimentos el primero está basado en un observador de estados de orden reducido con un solo estado medido y dos estados observados, el segundo experimento consta de dos estados medidos y un solo estado estimado. Se parte de los espacios de estados del sistema original Fig (#).

̇ [ ̇] ̇

[ ] [

[

]

( )

[

][ ]

[ ]

Fig (#) Ecuaciones de estado.

Para el primer experimento lo primordial es separar las matrices medidas de las observadas, se rediseña el sistema con el nuevo conjunto de matrices, este se puede observar en la Fig. (#) que se muestra a continuación. [

( )

Ec (3)Fórmula de Ackerman para el cálculo del vector K de retroalimentación.

]

]

Fig(5) Diagrama de bloques espacio de estados en lazo abierto.

En la figura anterior no existe ningún tipo de retroalimentación, por lo que el sistema no está siendo controlado. El vector K de ganancia de retroalimentación de estado es necesario para controlar el sistema y se obtiene por medio de la fórmula de Ackerman como se muestra en la siguiente ecuación.

[

̇

̇

]

[

][ [

(

Donde: [ [

] ]

] )] [

[ ]

]

[

]

[

]

Con lo obtenido anteriormente se procede a la realización de una simulación en el software MATLAB, en la herramienta de simulink que se muestra en la Fig (#).

[ ] [ ] Fig (#) Ecuaciones de estados con un estado medido

Luego se obtiene la ecuación característica del sistema de la forma: |

|

Fig (#) Diagrama de observador con un estado medido

Donde:

Teniendo como resultado la siguiente gráfica. [

]

[

]

Dando como resultado la siguiente ec. (

)

(

Ec. (#) Ecuación característica del sistema.

Luego se obtiene la ecuación característica deseada utilizando los polos para la respuesta requerida. Los polos propuestos para la implementación de la ecuación característica se muestran a continuación. La ec. característica deseada se muestra en la ec. (#). Fig (#) Respuesta observador de orden reducido 1 estado medido. Polos para respuesta deseada.

Ec. (#) Ecuacion característica del sistema.

Igualando las ecuaciones características se obtiene que:

Formando con estos estos la matriz L. Una vez teniendo los datos anteriores, se obtiene la matriz K de retroalimentación, utilizando los mismos polos se obtuvo que: [

]

Debido que el sistema presenta un gran error de estado estable se utiliza una ganancia (Nbar = 9.68) que multiplica a la entrada, para así lograr la respuesta deseada.

En la Fig (#) se muestra los estados medidos en la planta con los estados estimados, al ser iguales se asume que el observador de estados funciona de manera correcta. Verificando que se los resultados en la simulación son los deseados se planea llevar a cabo la programación del microcontrolador arduino con el siguiente código fuente como base, en la Fig () se muestran algunas capturas del mismo. #include #define DEVICE (0x60) #include #include byte byteRead; void setup() { Wire.begin(); Serial.begin(9600); Serial.println("Start"); writeTo(I1);

cli(); TCCR1A=0; TCCR1B=0; OCR1A=250; TCCR1B |= (1