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• Arturo Medina

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PRÁCTICA N° 5 REDES DE COMPENSACION MEDIANTE LUGAR GEOMETRICO DE RAICES 1. OBJETIVO  Conocer las diferentes técnicas de compensación de sistemas de control.  Realizar diseño de controladores mediante LGR, para satisfacer especificaciones de desempeño en el proceso transitorio y en estado estable.  Conocer el empleo del paquete Matlab, orientado al ajuste de los compensadores diseñados. 2. FUNDAMENTO TEORICO  Conocer los conceptos de respuesta en el tiempo.  Conocer los conceptos de lugar geométrico de raíces.  Conocer los métodos de diseño de controladores adelanto, atraso y atraso adelanto. 3. TRABAJO PREPARATORIO 3.1. Dado el sistema dado por:

Realimentación unitaria; diseñar un compensador tal que la curva de respuesta ante una entrada escalón unitario exhiba un sobrepaso máximo del 25% o menos, y un tiempo de establecimiento de 5 segundos o menos. Gráfica del lugar de raíces: Root Locus

% Lugar de raices n=[8]; d=[1 6 0 0]; rlocus(n,d)

20

15

0.72

0.58

0.44

0.3

0.14

0.84

Imaginary Axis (seconds-1)

10 0.92

5 0.98 25 0

20

15

10

5

-5 0.98

-10 0.92 -15

0.84

-20 -25

0.72 -20

0.58 -15

0.44 -10

0.3

0.14

-5

0 -1

Real Axis (seconds )

5

10

26

Step Response

x 10

% Respuesta escalón unitario n=[8]; d=[1 6 0 8]; step(n,d) grid

4

3

Amplitude

2

1

0

-1

-2

-3 460

480

500

520

540

Time (seconds)

Hallando los polos deseados en lazo cerrado con las condiciones dadas: −πζ

√ 1−ζ2

Mp=e =0.25 4 t s= =5 ζ ωn ζ =0.4 ω n=2 Sd =−0.8 ± j 1.833 Calculo de la deficiencia angular:

|

8 s (s +6) 2

|

s=−0.8+ j 1.833

ϕ=66.57 ° Hallando el polo y cero del compensador de la parte en adelanto:

Z o=−0.797 6 Po =−5.0153K c =6.9131 Grafica del lugar de raíces del sistema compensado y sin compensar:

560

580

600

Root Locus 0.5

0.34

0.16

3.5

3.5

Imaginary Axis (seconds-1)

3 0.64

2

0.76

1.5 System: Sistema compensado Gain: 0.999 Pole: -0.7991 + 1.83i Damping: 0.4 Overshoot 0.5(%): 25.4 Frequency (rad/s): 2

1.5 0.86 1

Sistema sin compensar

2.5

2.5 2

Sistema compensado

3

0.94

0.5 0.985 0 -0.5 0.985

0.5

0.94

-1 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

10

0.5

1

1.5

2

Real Axis (seconds -1)

Grafica de la respuesta en el tiempo ante una entrada en escalón: Step Response Sistema sin compensar

Amplitude

Sistema compensado

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Time (seconds)

3.2. Dado el sistema dado por:

Realimentación unitaria; diseñar un compensador tal que la curva de respuesta ante una entrada escalón unitario exhiba un sobrepaso máximo del 25% o menos, y un tiempo de establecimiento de 5 segundos o menos

Root Locus 10

Gráfica del lugar de raíces:

0.72

0.84

0.6

0.46

0.3

0.16

8 6 0.92 4

Imaginary Axis (seconds-1)

% Lugar de raices n=[8]; d=[1 7 12 0]; rlocus(n,d)

0.98

2 14 0 -2

12

10

8

6

4

2

0.98

-4 -6 0.92 -8 0.84 -10 -14

0.72 -12

-10

0.6 -8

0.46 -6

0.3

0.16

-4

-2

0

2

4

Real Axis (seconds -1)

% Respuesta escalón unitario n=[8]; d=[1 7 12 8]; step(n,d)

Step Response 1.4

1.2

Amplitude

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Time (seconds)

Hallando los polos deseados en lazo cerrado con las condiciones dadas: −πζ

√ 1−ζ2

Mp=e =0.25 4 t s= =5 ζ ωn ζ =0.163 ω n=4.908 Sd =−0.8 ± j 4.84 Calculo de la deficiencia angular:

3

3.5

4

4.5

|

8 s (s +3)(s +4 ) s =−0.8+ j 4.84

|

ϕ=41.47 ° Hallando el polo y cero del compensador de la parte en adelanto:

Z o=−2.52 Po =−9.55K c =36.87 Gráfica del LGR del Sistema compensado y no compensado: Root Locus 30

0.76

0.64

0.5

0.34

0.16

Sistema sin compensar Sistema compensado

0.86 20

Imaginary Axis (seconds-1)

0.94 10 0.985 40 0

35

30

25

20

15

10

5

0.34

0.16

0.985 -10 0.94 -20 0.86 0.76

-30 -40

0.64

0.5

-30

-20

-10

0

10

20

Real Axis (seconds -1)

Gráfica de la respuesta en el tiempo: Step Response 1.6 Sistema sin compensar Sistema compensado

1.4

1.2

Amplitude

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4

Time (seconds)

5

6

7

3.3.

Dado el sistema dado por:

G ( s )=

1 s (s +4 ) 2

Diseñe un compensador tal que la curva de respuesta escalón unitario exhiba un sobrepaso máximo de 40% o menor y un tiempo de asentamiento de 5 seg o menos. Sistema Lazo Cerrado:

C ( s) 1 = 3 R (s ) s + 4 s 2 +1 Respuestas del Sistema: Root Locus 15

L.G.R:

0.76

0.64

0.5

0.34

0.16

0.86

n=8; d=[1 4 0 0]; a=tf(n,d); A=feedback(a,1); rlocus(a)

10

)

0.94 Imaginary Axis (seconds

-1

5 0.985 20 0

17.5

15

12.5

10

7.5

5

2.5

0.985 -5 0.94 -10 0.86 -15 -20

0.76

0.64 -15

0.5 -10

0.34

0.16

-5

0

5

10

Real Axis (seconds -1)

26

6

Step Response

x 10

5 4 3

n=8; d=[1 4 0 0]; a=tf(n,d); A=feedback(a,1); step(A)

2

Amplitude

Entrada Escalon:

1 0 -1 -2 -3 -4 0

50

100

150 Time (seconds)

200

250

300

Diseño del Compensador: De acuerdo a los parámetros dados, hallamos los polos deseados de la siguiente forma:

Mp=0.4 −ε

Mp=e

y

tss=5

π

√1−ε 2

y tss=4 T =

4 ε ωn

Obteniendo:

ε =0.078 y ωn=10.2 Entonces el polo deseado es:

sd =−0.7956+ j10.170 Hallamos la deficiencia angular del sistema:

D . A .=−212.56−40.57+180=73.13º Suponemos un compensador de la forma:

Gc ( s )=K c

s +s c s+ s p

De la D.A. hallada ubicamos el cero y el polo mediante el método de la bisectris

Cero : s=−1.1569 Polo s=−89.93 Entonces:

G c ( s )=K c

s+1.1569 s +89.93

G c ( s ) G( s)=K c

s+ 1.1569 1 2 s+ 89.93 s (s+ 4)

Hallamos K c con la condición de magnitud:

K c =9780 El compensador queda:

G c ( s )=9780

s+ 1.1569 s+ 89.93

El sistema compensado:

G c ( s ) G( s)=9780

s +1.1569 1 2 s +89.93 s (s +4 )

Respuestas del Sistema Compensado: L.G.R:

Root Locus 40

Imaginary Axis (seconds-1)

30

20

10

0

-10

-20 -20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Real Axis (seconds -1)

Entrada Escalón:

25

Step Response

x 10 3

2

Amplitude

1

0

-1

-2 1700

1750

1800 Time (seconds)

1850

1900

30

3.4. Realizar un programa en Matlab que diseñe un controlador en adelanto, atraso y/o atraso adelanto. Verificar soluciones anteriores con el programa. clear; clc %% compensacion retraso - adelanto con LGR % funcion de transferenci T=20; n=input('INGRESE EL NUMERADOR EN LAZO ABIERTO []:'); d=input('INGRESE EL DENOMINADOR EN LAZO ABIERTO []:'); dato=input('factor / Wn / kv (0)-- POLO / kv (1) -- Mp /ts /kv (2):'); if dato==0 % hallamos los polos deceados sd % s=-facamor*Wn +/- j*Wn*saqrt(1-facamor^2) facamor=input('factor de amortiguamiento relativo DESEADO(E):'); Wn=input('frecuencia natural no amortiguada DESEADA (Wn):'); kvd=input('CONSTANTE DE ERROR ESTATICO kV :'); disp('*****************POLO DECEADO*******************') sd=complex(-facamor*Wn,Wn*sqrt(1-facamor^2)) sdp=[abs(sd) (angle(sd)*180/pi)]; elseif dato==1 pol=input('INGRESE POLO DECEADO complex(1,2i) []:'); kvd=input('CONSTANTE DE ERROR ESTATICO kV :'); disp('*****************POLO DECEADO*******************') sd=pol sdp=[abs(sd) (angle(sd)*180/pi)]; elseif dato==2 mp=input('sobrepaso maximo (Mp):'); ts=input('tiempo de asentamiento (ts):'); kvd=input('CONSTANTE DE ERROR ESTATICO kV :'); Mp=mp/100 ; facamor=sqrt(log(Mp)^2/(pi^2+log(Mp)^2)); % con el tiempo de establecimiento hallamos la frecuencia natural no % amoartiguada con criterio del 5% Wn=4/(facamor*ts); disp('*****************POLO DECEADO*******************') sd=complex(-facamor*Wn,Wn*sqrt(1-facamor^2)) sdp=[abs(sd) (angle(sd)*180/pi)]; end % funcion de tranferencia en lazo abierto LA LA=tf(n,d); figure(1);rlocus(LA,'r'); hold on ;grid on ;%v=[-4 3 -3 5];axis(v) title('LUGAR DE RAICES') % funcion de transferencia LC disp('********* LAZO CERRADO ************') LC=feedback(LA,1) figure(2);step(LC,'r');hold on ;grid on; title('RESPUESTA ENTRADA ESCALON') % entrada rampa t=0:0.001:50;

[nlc dlc]=tfdata(LC,'v'); % numerador de rampa figure(3) ; a=lsim(nlc,dlc,t,t);plot(t,t,'-',t,a,'-')%v=[25 30 25 30];axis(v) title('RESPUESTA ENTRADA RAMPA') % hallamos el polo dominantes del sistema disp('****************polos en lazo cerrado*********************') [W E P]=damp(LC); W=min(W) ; f=min(E); s=complex(-f*W,W*sqrt(1-f^2)) disp( '************** VALORES SIN COMPENSAR E / Wn ************') disp(f) disp(W) % calculamos el error constante de velocidad Kv del sistema sin compensar disp('************ Kv ********************') kv=polyval(n,0)/polyval(deconv(d,[1 0]),0) %% Determinar la deficiencia angular a partir de la FT LA al polo deseado disp('*****************DEFICIENCIA ANGULAR***************') fhi=180-angle(polyval(n,sd)/polyval(d,sd))*180/pi bisec=(angle(sd)*180/pi)/2; disp('*****************UBICACION DEL POLO Y CERO***********') polo=(abs(sd)*sind(bisec+fhi/2))/(sind(abs(angle(sd)*180/pi)-(bisec+fhi/2))) cero=(abs(sd)*sind(bisec-fhi/2))/(sind(abs(angle(sd)*180/pi)-(bisec-fhi/2))) % funcion de transferencia del compensador disp('*****************FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL COMPENSADOR****') nca=[1,cero] ; dca=[1,polo]; %numerador Gca=tf(nca,dca)% faltando kc %% funcion de transferencia compensada disp('******FUNCION DE TRANFERENCIA FALTANDO K *****') % teniendo encuenta k=ganancia*kc ganancia=n(1,1) nfc=conv(n/ganancia,nca) ; dfc=conv(d,dca); fcom=tf(nfc,dfc) % faltando k % La ganancia k se calcula a partir de la condición de magnitud, k=rlocfind(nfc,dfc,sd); disp('**********K**********') k disp('**********Kc**********') kc=k/ganancia %% nuestra funcion de tranferencia comopensada seria disp('******FUNCION DE TRANFERENCIA DEL SITEMA COMPENSADO *****') nftc=k*nfc ; dftc=dfc ; %numerador de la funcion totalmente compensada ftc=tf(nftc,dftc) figure(1); rlocus(ftc,'b');text(real(sd),imag(sd),'