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• Jesús Antonio Cubillos Manrique

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Refiriéndose al sistema en lazo cerrado de la siguiente figura, diseñe un compensador de adelanto

3,2 -8,992 180,06° 3,3 -12,026 180,890° Tabla 1. Valores de los coeficientes.

Gc(s) tal que el margen de fase sea de 45, el margen de ganancia no sea menor que 8 dB y la constante de error estático de velocidad Kv sea de 4.0 seg-1.

 El punto donde la ganancia es muy cercana a cero será donde calcularemos el margen fase 𝜔 = 1.861

𝐺𝑑𝐵 = 1,82𝐸 − 3

𝜃𝑝 = 162,29°

 Se procede a calcular el margen de fase de la siguiente manera  Se supone un compensador de la forma:

𝑀𝑝 = 180° − 𝜃𝑝 = 180° − 162,29° = 17,71 𝐺𝑐 (𝑆) =

𝑗𝜔𝜏 + 1 𝑗𝜔𝛼 + 1

 Ya conociendo el margen de fase del sistema y el margen de fase deseado, se procede a calcular el adelanto de fase requerido

Se define:

𝑀𝑝 = 17,71° 𝐾𝑐𝛼 = 𝐾

∅𝑚 = 𝑀𝑝𝑑 − 𝑀𝑝 + 12° = 45° − 17,71° + 12° = 39,29°

 Buscamos K para que el sistema cumpla con el error estático de velocidad con Kp=1 𝐾𝑐𝑠𝜏 + 1 1 1 lim 𝑠 ∗ ∗ = 𝐾𝑐 (1) ( ) = 4 𝑠→0 𝑠𝛼𝜏 + 1 𝑠(0.1𝑠 + 1)(𝑠 + 1) 1

 Obtenemos el factor de atenuación α ∝=

𝐾𝑐𝐺 (𝑠) =

4 𝑠(0.1𝑠 + 1)(𝑠 + 1)

𝐾𝑐𝐺 (𝑠) =

4 𝑗𝜔(0.1𝑗𝜔 + 1)(𝑗𝜔 + 1)

1 − 𝑠𝑒𝑛∅𝑚 1 − 𝑠𝑒𝑛(39.29) = = 0.2245 1 + 𝑠𝑒𝑛∅𝑚 1 + 𝑠𝑒𝑛(39.29)

 Calculando el cambio de magnitud que se obtiene al agregar al compensador

 Procedemos a encontrar los coeficientes para el diagrama de bode:

1 1 ) = 12,9756 20𝐿𝑜𝑔 ( ) = 20𝐿𝑜𝑔 ( ∝ 0.2245  En nuestra tabla con los coeficientes del diagrama de bode buscamos el punto donde la ganancia se acerque mucho a 12.9756 siendo 𝜔 = 4 𝜔𝑚 = 𝜔𝑐 = (

 Aplicamos las expresiones para encontrar ganancia y fase de 𝜔 𝑚

𝑛

𝜏=

|𝐺 (𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔𝐾 + ∑ 20𝑙𝑜𝑔|1 + 𝑗𝜔𝑇𝑧𝑖| − ∑ 20𝑙𝑜𝑔|1 + 𝑗𝜔𝑇𝑝𝑘| 𝑖=1 𝑚

𝑘=1

(1 )

√∝ 𝑤𝑐

=

1 = 0,5276 0.2245 ∗ 4

 Con ∝ 𝑦 𝐾𝑐 calculamos K

1 𝑝𝑜𝑙𝑜 = ( ) = 8.4426 𝜏∝

 Evaluamos las expresiones (1) y (2) dándole valores a 𝜔 y buscando encontrar puntos donde la ganancia se acerque a cero; también el punto donde la fase pasa por 180° GdB 1,861 1,82 E-3 2 -1,1394 3 -7,8775 4 -12.9449

)

𝑘=1

𝐴𝑟𝑔[𝐺 (𝑗𝜔)] = −𝐴𝑟𝑔[𝑗𝜔] − 𝐴𝑟𝑔[1 + 0.1𝑗𝜔] − 𝐴𝑟𝑔[1 + 𝑗𝜔]

𝜔 𝐻𝑧

√∝ 𝜏

1 𝑐𝑒𝑟𝑜 = ( ) = 1,8952 𝜏

|𝐺 (𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20 log(4) + 20𝑙𝑜𝑔|0 + 𝑗𝜔| − 20𝑙𝑜𝑔|1 + 0.1𝑗𝜔| − 20𝑙𝑜𝑔|1 + 𝑗𝜔| (2)

1

1

 Calculamos las posiciones del cero y el polo

𝑛

𝐴𝑟𝑔[𝐺(𝑗𝜔)] = ∑ 𝐴𝑟𝑔[1 + 𝑗𝜔𝑇𝑧𝑖] − ∑ 𝐴𝑟𝑔[1 + 𝑗𝜔𝑇´𝑘] 𝑖=1

𝑀𝑝𝑑 = 45°

𝜃𝑝 162,29° 164,74° 178,26° 187,76°

𝐾=

𝐾𝑐 = 17.8173 ∝

 El compensador resultante es el siguiente 𝐺𝑐 (𝑆) = 17.8173

(𝑠 + 1.8952) (𝑠 + 8.4426)