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• Carlos Castillo

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APLICACIONES DE SUPERFICIES CUADRÁTICAS CASTILLO OLIVARES CARLOS DANIEL

UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO DIVISION DE INGENIERÍAS CAMPUS IRAPUATO-SALAMANCA

Introducción Una superficie es un conjunto de puntos de un espacio euclídeo (entiéndase como un espacio vectorial completo dotado de un producto interno; lo cual lo convierte además en un espacio normado, un espacio métrico y una variedad riemanniana al mismo tiempo) que forma un espacio topológico tridimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional.

Una superficie está representada por una ecuación de tres variables, si las coordenadas de cada punto de la superficie satisfacen la ecuación, y si cada punto cuya coordenadas verifican la ecuación pertenece a la superficie.

Resultados ELIPSOIDE Es muy utilizada en el diseño de estructuras; Gaudí lo utilizó para los nudos o capiteles que subdividen las columnas inferiores en ramas. Los diferentes nudos son el resultado de elipsoides. Además tiene una importancia en la medicina ya que para la desintegración de cálculos renales se utiliza un aparato llamado "litotriptor", usando un reflector elíptico para que concentre las ondas de choque producidas por un generador de ondas. Así mismo, en arquitectura, se construyen techos elipsoidales (llamados comúnmente capilla de los secretos) donde se puede oír a una persona ubicada en un foco desde otro foco y la persona que se encuentre entre las dos , no podrán escuchar nada. PARABOLOIDE ELÍPTICO Su utilidad radica en el interés de converger o divergir haz de luz, hondas de sonido o electromagnéticas, como por ejemplo las antenas parabólicas, donde un satélite envía información dirigida a la Tierra siendo los rayos perpendiculares a la directriz dependiendo de la distancia a la que se encuentre el satélite. Luego, al reflejarse en el plato de la antena, los rayos convergen en el foco en donde conectado a un receptor decodifica la información.

La ecuación más general que describe una superficie cuadrática es la ecuación de segundo grado:

CONO ELÍPTICO También el cono elíptico es muy utilizado para el diseño de edificios. A demás de poseer la propiedad de reflexión al igual que el paraboloide elíptico. El matemático y filósofo René Descartes desarrolló y revolucionó la geometría con su Geometría Analítica, utilizando las curvas cónicas como representación de ecuaciones de segundo grado en variables X y Y.

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA

Estas superficies tienen muchas aplicaciones en distintos campos de la ciencia pero son mas notorias en la arquitectura; la construcción de estructuras para diferentes edificaciones se ha visto enriquecidas con la utilización de diferentes superficies cuadráticas para su diseño, ya que estas permiten realizar un análisis analítico que aporta información esencial sobre sus propiedades estructurales permitiendo mejorar el rendimiento de las edificaciones. En el presente trabajo se presentan distintos ejemplos de edificaciones que han sido diseñadas con base en estas superficies y cuya construcción muestra la creatividad e innovación del hombre.

Es muy utilizada en el diseño de estructuras, en el diseño de edificios puede ser macizo o hueco: macizo para pasar de la columna a las bóvedas; hueco por donde entrará la luz hacia el interior. También es utilizado en los telescopios de tipo Cassegrain.

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Este tipo de superficies, soy muy usadas en faros de vehículos. PARABOLOIDE HIPERBÓLICO Ha sido una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura, debido al hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies los geómetras las denominan superficies regladas.

Conclusiones Metodología Se realizó una profunda investigación sobre el uso y la aplicación de las superficies cuadráticas, además de exponer una lluvia de ideas por parte de todos los integrantes exponiendo las posibles aplicaciones de estas superficies, también de sus propiedades particulares por las cuales son usadas en las distintas situaciones expuestas. Después de revisar gran cantidad de artículos se eligieron algunas de las aplicaciones más representativas sobre el uso de cada una de ellas.

A nuestro alrededor existen miles de ejemplos donde se usan estas superficies, ya sea en cosas tan básicas como una copa, algunos edificios modernistas o hasta el mismo planeta Tierra. Además el uso de estas superficies tiene su razón de ser debido a ciertas propiedades características de cada una de ellas que las hace adecuadas para la aplicación que desempeñan.

Bibliografía 1. Calculo de varias variables, James Stewar, sexta edición, capitulo 12 sección 12.6 cilindros y superficies cuadráticas. 2. Monografías, Cónicas y sus aplicaciones, Disponible en línea: http://www.monografias.com/trabajos82/conicas-y-sus-aplicaciones/conicas-y-sus-aplicaciones2.shtml 3. Cónicas y cuadráticas, Disponible en línea: http://miwikideaula.wikispaces.com/file/view/c%C3%B3nicas+y+cu%C3%A1dricas.pdf 4. Monografías, Superficies cuadráticas, Disponible en línea: http://www.monografias.com/trabajos-pdf5/superficies-cuadraticas/superficies-cuadraticas.shtml

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