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Planificación de Proyectos

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2 La Estadística: Base de la Programación Pert/Cpm Como el método PERT se apoya en los medios probabilísticas para determinar el grado de incertidumbre de la ocurrencia de sucesos, vamos a hacer un somero repaso de los más elementales conceptos de la Estadística, de tal forma que nos ayude a comprender las fórmulas de valoración de las variables del PERT. 1.

ESTADÍSTICA Es la rama de las matemáticas que tiene por objeto el análisis de los datos numéricos aleatorios y suministra la técnica precisa para su interpretación.

2.

UNIVERSO O POBLACIÓN DE VALORES Es el conjunto de todas las observaciones posibles sobre los que se está investigando y muestra las peculiaridades de cualquier conjunto finito de estas observaciones.

3.

FRECUENCIA (f) Es el número de veces (en valor absoluto o relativo) que aparece en suceso dentro de un determinado valor numérico de una población.

En la programación de un proyecto, no nos pueden decir la fecha exacta de terminación de una actividad, pero si nos pueden decir el “tiempo más probable” en que la actividad se puede terminar según experiencias anteriores y a juicio de los recursos actuales disponibles.

DURACIONES DE UNA ACTIVIDAD Este tema ya fue visto, pero vamos a repetirlo a manera de recordación: -

Duración Optimista (a). Período de tiempo más corto que exigirá la terminación de una actividad.

-

Duración Pesimista (b). Período de tiempo más largo que exigirá la terminación de una actividad.

-

Duración “Más Probable” (m). estimación realista del tiempo que llevará la realización de una actividad.

Las duraciones serán discutidas y será determinada por el responsable directo que se encargará de dirigir la realización de l a actividad, cualquier otra fuente sólo servirá como base de comparación. DURACIÓN MEDIA DE UNA ACTIVIDAD (Tiempo Esperado o duración prevista) Te. Esta duración será determinada en base a las tres duraciones con la fórmula propuesta por la Distribución Beta.

Certeza del valor de Te. El valor de Te en la distribución beta (se comporta como mediana), divide al área de probabilidades en dos partes de 50% aproximadamente y su ubicación respecto a la moda nos induce a deducir lo siguiente: -

Cuando la duración media (Te) calculada es mayor que la duración más probable (m), ésta tiende a la duración optimista a, dando lugar a una distribución asimétrica a la izquierda; o sea que

am

(*) La duración más probable m, siempre coincide con la moda de la distribución.

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es menor que

mb .

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-

Cuando la duración media (Te) calculada es menor que la duración más probable (m), ésta tiende a la duración pesimista b, dando lugar a una distribución asimétrica a la derecha; o sea que

-

2

am

es mayor que

mb .

Cuando la duración media (Te) calculada es igual a la duración más probable m, dará lugar a una distribución simétrica.

Cálculo de la incertidumbre de Te. La medida adecuada de expresar la incertidumbre de Te es la varianza de la distribución de probabilidades. LA VARIANZA  ) Indica el riesgo de no acertar el empleo del valor de la duración prevista Te. Su valor se determina con la fórmula de la distribución beta.

Cuando el valor de la varianza es mayor, mayor es el riesgo de no acertar el valor de Te.

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Se observa que la varianza de A es mayor que la de B, lo que quiere decir que el Te de A es menos certero que el de B. Con algunos ejemplos despejaremos dudas respecto a la incertidumbre del empleo del valor de Te.

Se observa que Te tiene los mismos valores en las diferentes curvas, pero su grado de certeza es diferente. Veamos otros ejemplos:

Hemos expuesto que el método Pert hace uso de las tres duraciones: optimista, más probable y pesimista para determinar la “duración prevista” Te para cada actividad y a la vez poder calcular su grado de certeza al ser empleado en el proyecto.

IV.2.

DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE TERMINAR EL PROYECTO (TP) O LA ACTIVIDAD AP EN EL SUCESO n

Como la duración de cada actividad del proyecto tiene su Te con un grado de incertidumbre en su utilización y además cada actividad puede tener su propia forma de distribución de probabilidades, sin embargo la duración del proyecto, sigue una distribución de forma Normal. Para determinar la probabilidad de los plazos de entrega de la obra, consideramos la siguiente nomenclatura: DURACIÓN DEL PROYECTO (TP) El valor de la duración del proyecto es determinada por la duración de la ruta crítica (r.c.).

TP  Te r.c.

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L j  E j n

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referido a la terminación de la actividad AP en el suceso n.

La duración media Te, era aquella duración de la actividad que dividía a la función de distribución en dos partes iguales, es decir que el 50% de probabilidad (en la función Beta) quedaba a la izquierda de Te y el otro 50% a la derecha. Por eso decíamos que había una probabilidad de 0.5 de que la duración fuese mayor o menor que la duración media. Si se suman las duraciones medias de las actividades situadas en el camino más largo del grafo (el camino crítico), el total será el plazo mínimo para el suceso final, o lo que es lo mismo para el proyecto, T P y tendrá una probabilidad 0.5 de ser alcanzado antes de ese plazo. Dicho de otro modo, hay una probabilidad 0.5 de que el proyecto sea terminado en el plazo mínimo del suceso final. 

Siempre la duración del proyecto determinado en base a los Te de la ruta crítica, tiene una probabilidad de cumplirse de 50%.

DURACIÓN PROPUESTA O TIEMPO EXIGIBLE (TX) Es el plazo de término programado o el plazo límite que se exige para terminar el proyecto o terminar con la realización de la actividad Ap. Su valor puede ser mayor o menor que Tp ó (Ej)n, dependiendo de las imposiciones técnicas o exigencias del contrato. MARGEN DE TIEMPO (M) Cuantificación del tiempo con el que se podrá “jugar” en la terminación del proyecto o la actividad Ap. Su valor puede ser positivo o negativo.

M  TX  TP  TX   Tc r.c

M  TX  E j n

referido a la duración del proyecto.

referido a la terminación de la actividad AP en el suceso n.

DESVIACIÓN NORMALIZADA O FACTOR DE PROBABILIDAD (Z) Permite medir la “seguridad que tenemos de estar en la posibilidad del éxito”. El valor de Z puede ser positivo o negativo y estará correlacionado con el “% de probabilidad” que se encuentra en la tabla de la función de Distribución Normal. El valor de Z se obtendrá con las siguientes ecuaciones:

Z

TX  TP 3r.c.



TX  TP r.c.

referido a la duración del proyecto.

Donde:

 3 r.c. = Sumatoria de las varianzas de las actividades de la ruta Crítica.

Z

TX  E j n 3r.c.



TX  E j n n

referido a la terminación de la actividad AP en el suceso n.

Donde:

2 n = sumatoria de las varianzas de las actividades que conforman el camino más largo para llegar al suceso n.

PROBLEMA Nº 1C Las actividades de un proyecto y sus duraciones respectivas están en el siguiente cuadro; se pide: 1.1 1.2 1.3 1.4

La duración del proyecto. ¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto en 52 días? Si queremos tener una probabilidad de 97% en la terminación del proyecto, determine la duración exigible, T X. ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto esté terminado entre 3 días antes y 3 días después de la fecha esperada media, TP?

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LA EXPERIENCIA HA DEMOSTRADO QUE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE T P DE UN PROYECTO FORMADO POR UN GRAN NÚMERO DE ACTIVIDADES, ES APROXIMADAMENTE LA DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL.

SOLUCIÓN Proponemos los siguientes pasos en la solución del problema:

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a) b) c) d)

A partir de las duraciones, se calcularán los Te y las holguras para cada actividad. En una red de cálculo se determinarán los tiempos optimistas y pesimistas para comenzar y terminar cada actividad. Se determinan las holguras de actividad. Se determina la ruta crítica y la duración media del proyecto, T P.

e) f)

Se calcula la varianza total  r.c. de las actividades de la ruta crítica. Se analiza la probabilidad de terminar el proyecto en función de la curva de distribución normal. 2

En la red de cálculo se determinan: tiempos optimistas y pesimistas para comenzar y terminar cada actividad, las holguras de actividad y la ruta crítica.

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La duración y la varianza de la ruta crítica:

1)

La duración del proyecto es TP = 47.497 días. La varianza de la ruta crítica es

 2 r.c. =7.245.

La probabilidad de que el plan tenga éxito, para esta duración prevista T P, es de 50%. 1.2) La probabilidad si el contrato fija un plazo de 52 días, T X, es:

Z

Z

TX  TP  2 r.c

52  47.497 7.245

Z = 1.67 Entrando en la tabla de la distribución normal de probabilidades, para Z = 1.67, la probabilidad de finalizar el proyecto ant es de 52 días es de 95%. 1.3) Si queremos tener una probabilidad de 97% en la terminación del proyecto, la manera de calcularse será así: Entrando en la tabla de distribución se procederá a la inversa; se determina a qué valor de Z corresponde una probabili dad de 97%.

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Se encuentra así, que Z vale 1.88. De la fórmula de la desviación normalizada se despeja T X.

Z

TX  TP r.c

TX = TP +

Zr.c 7.245

TX = 47.497 + 1.88

= 52.554

El nuevo valor será entonces de 52.554 días, lo que significa que tomando aproximadamente 52.6 días, hay un 97% de probabilidad de realizar el proyecto. 1.4) La probabilidad de que el proyecto esté terminado entre 3 días antes y 3 días después de la fecha esperada T P se calculará así. Se calcula las desviaciones normalizadas (Z) para cada una de las restricciones.

Z1 

Z2 

TX1  TP r.c

TX 2  TP r.c



44.497  47.497  1.11 2.69



50.497  47.497  1.11 2.69

Entrando en la tabla de distribución de Gauss, con Z2 = 1.11 se halla que la probabilidad es de 86.6% (0.866). Pero este valor es de

Z2







a Z2, o sea que es el valor de la integral siguiente:

Z

1  22 e z 2

Y está representado por el área de la figura. Pero según lo pedido: 0.866 – 0.500 = 0.366 Y el área total será: 0.366 x 2 = 0.7323

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Es decir, que la probabilidad de cumplir con las restricciones de 3 días antes y 3 días después de la fecha esperada, es 73.2%.

PROBLEMA 2C Para cumplir una obra de ingeniería necesitamos la realización de las siguientes actividades: A, B, C, D, E, las que están relacionadas entre sí de la forma siguiente: La actividad A precede a las actividades B, D. La actividad B y C preceden a la actividad E. Las actividades tienen las siguientes estimaciones en la duración:

Se pide hallar: 2.1 el camino crítico y la duración del proyecto 2.2 La probabilidad de que el proyecto termine en 38 días. 2.3 Tiempo necesario para tener una probabilidad de 99.5% de terminarlo en el plazo previsto SOLUCIÓN Se determinan dos te y las holguras de cada actividad y posteriormente se hacen los cálculos de cuándo comenzar y terminar cada actividad.

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El camino crítico y su varianza:

La duración del proyecto TP = 33.3 UT La desviación tipo

r.c

=

10.25 =3.2UT

Para visualizar la probabilidad de obtener el plazo T, de determinación, representaremos la distribución teórica que suponemos normal con una media igual al tiempo esperado obtenido T P = 33UT. Como hemos obtenido una desviación tipo r.c =3.2 UT, tomaremos para su representación r.c =3, con estos valores podremos dibujar la siguiente curva.

En la escala de abscisas, hemos tomado las UT, la de ordenadas no representa interés, ya que la probabilidad está ligada al área encerrada por la curva. El área total de la curva cubre todas las duraciones posibles, representado por lo tanto el 100%. El área rayada representa la probabilidad de que la duración total sea inferior a 33 UT, que es el 50%, ya que la distribución normal es simétrica, siendo así cualquiera que sea la desviación tipo. 2.2 La probabilidad de que el proyecto termine en 38 UT. Calculemos la desviación normalizada por la fórmula:

Z

TX  TP  r.c 2



38  33.3 4.7   1.468 3.2 3.2

En la tabla de distribución normal, nos da para Z = 1.468, una probabilidad de 92.5% de terminar en el plazo previsto. 2.3 El tiempo necesario para tener una probabilidad de 99.5%

Calculemos la desviación normalizada (Z) para una probabilidad de 99.5%. En la tabla de distribución normal se encuentra que Z=2.6 El tiempo exigible o propuesto TL será:

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TX = TP + Z  r.c TX = 33.3 + 2.6 x 3.2 = 41.62 Ut La probabilidad de cumplir con el plazo en 99.5% es 41.62 UT.

PROBLEMA 3C La duración de un proyecto (TP) es de 250 UT y posee tres rutas críticas cuyas desviaciones tipo son respectivamente:

 r.c1 = 2;  r.c2 = 4 y  r.c3 = 6, se pide: 3.1 Determinar la probabilidad de terminar la obra en 260 UT 3.2 Determine la probabilidad de terminar la obra en 245 UT SOLUCIÓN A partir de los valores de las desviaciones tipo, vamos a construir las curvas de probabilidades.

En el gráfico se observa que la ruta crítica Nº 3 tiene mayor incertidumbre y ésta servirá de base para la solución del problema. 3.1 La probabilidad de terminar la obra en 260 UT.

Z

Tx  TP 260  250   1.67 r.c3 6

En la tabla de distribución normalizada, se tiene que para este valor, la probabilidad es de 95.3%. 3.2 La probabilidad de terminar la obra en 245 UT. La desviación normalizada.

Z

Tx  TP  r.c3 2



245  250  0.83 6

En la tabla de distribución normalizada se tiene que para este valor de Z, la probabilidad es de 21.3%.

PROBLEMA 4C Las actividades, duraciones optimistas, más probable y pesimista de un proyecto son las reportadas en el siguiente cuadro.

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Las relaciones de precedencia entre las actividades son:

4.1 dibuje el grafo PERT – CPM, calcule el camino crítico, holguras de actividad y flotantes libres de las actividades. 4.2 La posibilidad de que el proyecto termine en 30 días 4.3 Tiempo necesario para tener una probabilidad de 99% de terminar el proyecto. SOLUCIÓN Se calcula los Te de las actividades, se traza el grafo de cálculo y en ella se determina los tiempos optimistas y pesimistas para comenzar y terminar cada actividad.

Existen dos caminos críticos, los cuales tienen por duración y varianza:

La duración de los caminos críticos es 23 UT y las desviaciones tipo

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r.c1 =2.43 y r.c2 =2.55

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En los proyectos donde existen más de un camino crítico para determinar el T P, se tomará aquella que tenga una desviación tipo con mayor valor. 4.2 La probabilidad de que el proyecto termine en 30 días.

Luego la probabilidad será 99.65% (caso más desfavorable) Obsérvese que se ha tomado la desviación tipo con mayor incertidumbre, es decir, la que tiene un valor numérico más alto.

4.3 El tiempo necesario para terminar el proyecto en 99%. En la tabla de distribución normal, para 99%, el valor de Z = 2.35

Se tomará el tiempo exigible más desfavorable (mayor tiempo necesario para terminar el proyecto)

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