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• Juan Marcos Hernandez Orozco

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Péndulo acoplado Eider Vivas1, Alvaro Garcia2. 1Departamento

de Fisica Universidad de Cartagena, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Bolivar colombia.

Objetivos Estudio del sistema de dos péndulos acoplados, comparando el modelo teórico de dos partículas sin rozamiento acopladas con un hilo, con los resultados experimentales, donde la posición de las partículas se determina con el programa Tracker y el análisis se realiza en Origing, se evalúa la aproximación del modelo por comparación directa. Palabras claves: péndulo acoplado, modelo teórico.

1.

Introducción

Ecuaciones del movimiento Para estudiar un sistema formado por dos osciladores acoplados, tomaremos como modelo el sistema formado por dos osciladores masa resorte con masas iguales m1=m2=m situadas en los extremos de dos resortes de constante elástica k iguales. El acoplamiento se efectúa uniendo las dos partículas mediante un resorte de constante kc, tal como se puede ver en la figura.

En la práctica estudiaremos un sistema de dos osciladores acoplados, consistente de dos péndulos iguales, atados por una cuerda en dos puntos simétricos, como se indica en la figura. Cuando se desplaza uno de los péndulos (negro) de su posición de equilibrio y se suelta. El péndulo empieza a oscilar pero su amplitud disminuye notoriamente con el tiempo, simultaneamente el otro péndulo (azul) que estaba inicialmente en reposo, empieza a oscilar con una amplitud cresiente.

Sean x1 y x2 los desplazamientos de cada una de las partículas a partir de su posición de equilibrio, medidos como positivos hacia la derecha como lo indica el sistema de referencia. Mientras que el muelle de la masa m1 se elonga x1, el muelle de la masa m2 se comprime x2 y el central se ha deformado x2-x1. Las fuerzas y los desplazamientos sobre cada una de las partículas se indican en la figura.

Al cabo de un cierto tiempo, el péndulo negro se detiene momentáneamente, y el péndulo azul oscila con la máxima amplitud. Luego, cambian su tendencia de movimiento, el péndulo azul disminuye su amplitud con el tiempo, y el péndulo rojo va aumentando su amplitud Desde el punto de vista energetico, cómo la energía fluye de un péndulo al otro a través del acoplamiento. Si el acoplamiento es débil, como es éste el caso, la suma total de las energías de los dos péndulos debe ser constante.

1

Autor principal et al.: Titulo

Sumando y restando las dos ecuaciones diferenciales tenemos, la ecuación diferencial de un MAS. 𝑑2 (𝑥1 +𝑥2 ) 𝑑𝑡 2 𝑑2 (𝑥1 −𝑥2 ) 𝑑𝑡 2

𝑘

+ 𝑚 (𝑥1 + 𝑥2 ) = 0 +

𝑘+2𝑘𝑐 𝑚

(𝑥1 − 𝑥2 ) = 0

ec. 3 ec. 4

la solución corresponde a dos movimientos armónicos simples con frecuencias: 𝑘

𝜔𝑎2 = 𝑚 Figura 1. esquema de dos sistemas masa resorte acoplados con m1=m2=m, constantes de elasticidad k y constante de acople kc. 



Sobre la partícula m1, se ejerce una fuerza hacia la izquierda de magnitud 𝐹⃗1 = −𝑘𝑥1 𝑖̂, y una fuerza hacia la derecha debido a la deformación del muelle central 𝐹⃗𝑐 = 𝑘𝑐 (𝑥2 − 𝑥1 )𝑖̂, suponemos que x2 es mayor que x1. Sobre la partícula m2, se ejerce una fuerza hacia la derecha 𝐹⃗2 = −𝑘𝑥2 𝑖̂ y otra fuerza hacia la izquierda debido a la deformación del muelle central 𝐹⃗𝑐 = −𝑘𝑐 (𝑥2 − 𝑥1 )𝑖̂.

𝑚

𝑑𝑡 2 𝑑 2 𝑥2 𝑑𝑡 2

= −𝑘𝑥1 + 𝑘𝑐 (𝑥2 − 𝑥1 )

ec. 1

= −𝑘𝑥2 − 𝑘𝑐 (𝑥2 − 𝑥1 )

ec. 2

𝑘+2𝑘𝑐 𝑚

ec. 5

𝜑𝑎 = 𝑥1 + 𝑥2

ec. 6

𝜑𝑏 = 𝑥1 − 𝑥2

ec. 7

Quedando 𝑑2 (𝜑𝑎 ) 𝑑𝑡 2 𝑑2 (𝜑𝑏 ) 𝑑𝑡 2

𝑘

+ 𝑚 (𝜑𝑎 ) = 0 +

𝑘+2𝑘𝑐 𝑚

(𝜑𝑏 ) = 0

ec. 8 ec. 9

Las soluciones de estas dos ecuaciones, son respectivamente

Aplicamos la segunda ley de Newton a cada una de las partículas, y escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden. 𝑑 2 𝑥1

𝜔𝑏2 =

Al descoplar las ecuaciones diferenciales se definen dos nuevas variables asi:

El muelle central ejerce fuerzas iguales y de sentido contrario sobre cada una de las partículas.

𝑚

𝑦

𝜑𝑎 = 𝜑0𝑎 sin(𝜔𝑎 𝑡 + 𝜃𝑎 )

ec. 10

𝜑𝑏 = 𝜑0𝑏 sin(𝜔𝑏 𝑡 + 𝜃𝑏 )

ec. 11

Donde las amplitudes ay b y las fases iniciales a y b están determinadas por las condiciones iniciales: posición inicial y velocidad inicial de cada una de las partículas. Para regresar a las variables originales despejanmos x1 y x2 de las dos ecuaciones anteriores tenemos

2

rev. col. fís.(c), vol. 41, No. 2, (2009)

𝑥1 = 𝑥1 =

(𝜑0𝑎 sin(𝜔𝑎 𝑡+𝜃𝑎 )+𝜑0𝑏 sin(𝜔𝑏 𝑡+𝜃𝑏 ))

ec. 12

2 (𝜑0𝑎 sin(𝜔𝑎 𝑡+𝜃𝑎 )±𝜑0𝑏 sin(𝜔𝑏 𝑡+𝜃𝑏 )) 2

ec. 13

El movimiento general de dos osciladores acoplados puede considerarse como la superposición de dos modos normales de oscilación de frecuencias angulares a y b. Condiciones iniciales

Figura 2. Condiciones iniciales para observar el modo simetrico de oscilacion, velocidades iniciales va=vb=0 desplazamientos iniciales de las masas m1 y m2 x01=x02.

En el instante t=0, las posiciones iniciales de las partículas son respectivamente x01 y x02. Las velocidades iniciales son cero.

El segundo modo normal (modo asntisimetrico) de frecuencia b se obtiene cuando los dos osciladores se mueven en oposición de fase x01=-x02. Las ecuaciones del movimiento de cada oscilador se reducen a las siguientes.

Las ecuaciones se transforman después de algunas operaciones en 𝑥1 = 𝑥2 =

𝑥01 +𝑥02 2 𝑥01 +𝑥02 2

cos(𝜔𝑎 𝑡) + cos(𝜔𝑎 𝑡) −

𝑥01 −𝑥02 2 𝑥01 −𝑥02 2

cos(𝜔𝑏 𝑡) ec. 14 cos(𝜔𝑏 𝑡) ec. 15

𝑥1 = 𝑥01 cos(𝜔𝑏 𝑡)

ec. 18

𝑥2 = −𝑥01 cos(𝜔𝑏 𝑡)

ec. 19

Modos normales de vibración El primer modo normal (modo simetrico) de vibración de frecuencia a se obtiene cuando los dos osciladores se mueven en fase x01 es igual a x02. El muelle central no sufre ninguna deformación y por tanto, no ejerce ninguna fuerza sobre las partículas, las cuales se mueven como si no estuvieran acopladas ver figura 2. 𝑥1 = 𝑥01 cos(𝜔𝑏 𝑡)

ec. 16

𝑥2 = 𝑥01 cos(𝜔𝑏 𝑡)

ec. 17

Figura 3. Condiciones iniciales para observar el modo simetrico de oscilacion, velocidades iniciales va=vb=0 desplazamientos iniciales de las masas m1 y m2 -x01=x02.

Simulación de la experiencia en el laboratorio

Supongamos que x02 es cero, tal como se hace en la se muestra en la practica. Las ecuaciones del movimiento de las partículas se pueden escribir 3

Autor principal et al.: Titulo

de forma más simple usando las relaciones trigonométricas cos+cos y cos-cos. 𝜔𝑎 −𝜔𝑏

𝑥1 = 𝑥01 cos (

2

𝜔𝑎 −𝜔𝑏

𝑥2 = 𝑥01 sin (

2

𝜔𝑎 +𝜔𝑏

) 𝑡 cos (

) 𝑡 sin (

2

𝜔𝑎 +𝜔𝑏 2

)𝑡

)𝑡

que se deforma x1, del muelle derecho que se deforma x2, y del muelle central que se deforma x2x1.

ec. 20

𝐸 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑝

ec. 21

𝐸=

x1 (cm)

4 2 0 0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

-2

1

1

1

𝐸 = [2 𝑚𝑣1 2 + 2 (𝑘 − 𝑘𝑐 )𝑥12 ] + [2 𝑚𝑣2 2 +

-4

1 4

x2 (cm)

1 1 1 1 𝑚𝑣1 2 + 𝑚𝑣2 2 + 𝑘𝑥12 + 𝑘𝑥22 2 2 2 2 1 2 + 𝑘𝑐 (𝑥2 − 𝑥1 ) 2

2

(𝑘 − 𝑘𝑐 )𝑥22 ] − 𝑘𝑐 𝑥1 𝑥2

ec. 22

2 0 0

10

20

30

Una vez agrupados los términos, el primer paréntesis depende solamente de x1, y puede llamarse energía del primer oscilador, el segundo término depende solamente de x2, y puede llamarse energía del segundo oscilador. El último término, que depende de x1 y x2, (−𝑘𝑐 𝑥1 𝑥2 ) se denomina energía de acoplamiento o de interacción. Este término es el que describe el intercambio de energía entre los dos osciladores.

40

-2 -4

tiempo (s)

Figura 4. Grafico de las funsiones x1

y x2.

Cuando la amplitud de un oscilador varía con el tiempo, se denomina amplitud modulada. La amplitud del primer oscilador x01cos(a-b)/2 es una función coseno que está adelantada /2 respecto de la amplitud modulada del segundo oscilador, que es una función seno. Debido a la diferencia de fase entre las dos amplitudes modulantes hay un intercambio de energía entre los dos osciladores. Durante un cuarto de periodo modulante, la amplitud de un oscilador disminuye y la del otro aumenta, dando lugar a una transferencia de energía del primero al segundo. Durante el siguiente cuarto de periodo, la situación se invierte y la energía fluye en dirección opuesta. El proceso se repite continuamente.

Actividades Realice el montage de la figura 4 correspondiente a dos pendulos acoplados

Estudio energético Calculemos la energía total del sistema, la suma de las energías cinética y potencial. Tenemos la energía cinética de cada una de las partículas, la energía potencial elástica del muelle izquierdo 4

rev. col. fís.(c), vol. 41, No. 2, (2009)

5. Haga un video y mediante el programa tracker represente de la posición en función del tiempo para una de las particulas, apartir de este mida la frecuencia de oscilación de este modo, compare con lo esperado.

3

Amplitud (10-2m)

0 0

5

10

-3

Tb=1,0662s

Amplitud (10-2m)

0,04

20

25

30

35

30

35

-1

b=5,8933s

0,02

0,00 2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

-0,02

-0,04

4

15

Ta/2=19,891182s

tiempo (s)

a=0,1579s

2 0 0

5

10

15

20

25

-2 -4

tiempo (s)

Figura 4. Captura de pantalla en el ambiente del programa Tracker con vista superior de dos pendulos acoplados mediante una cuerda con m1=m2=m, longitudes (l) iguales, resultado de las mediciones editado en programa Origing.

modo simetrico esperimental modo simetrico teorico

6





4

Escriba las ecuaciones del movimiento de dos pendulos acoplados basado en las ecuaciones 12.

Amplitud (10-2m)



Haga un video desplazando de su posición de equilibrio uno de los péndulos (ma) y liverandolo asi las condiciones iniciales del sistema son: va=vb=0, amplitudes iniciales xa0, xb=0 ver figura 4. Haga un video cargelo en el programa tracker, tenga en cuenta de inscribir el sistema de referencia y la barra de calibración y crear la particula puntual, represente la posición en función del tiempo para cada particula, apartir de este haga la medida directa dela amplitud inicial y periodo de oscilación tanto de la amplitud modulada ( a-b)/2, como la funsion interna amplitud modulada ( a+ b)/2, calcule las frecuencias correspondientes.

𝑔 𝑙

𝑦

𝜔𝑏2 =

0

2

4

-2

-4

tiempo (s) A0=0,043cm T=1,133s

𝑔+2𝑘𝑐 𝑙

A partir de esta calcule el termino de acople. Compare estos resultados con los del inciso anterior ¿que concluye? Modos normales de vibración 

0

-6

Mida la longitud del péndulo y calcule las frecuencias de los modos normales 𝜔𝑎2 =

2

Primer modo normal de oscilación (modo simetrico): desplace las dos masas amplitudes iguales y libérelas simultáneamente con lo indica la firgura 5

=5,546s-1



Figura 4. Captura de pantalla en el ambiente del programa Tracker con vista superior de dos pendulos acoplados con condiciones iniciales para oscilar en modo simetrico



Segundo modo normal (modo anti simétrico): desplace las dos masas amplitudes iguales y opuestas y liberelas simultáneamente. Haga un video y mediante el programa tracker represente de la posición en función del tiempo para una de las particulas, apartir de este mida la frecuencia de oscilación de este modo, compare con lo esperado.

Autor principal et al.: Titulo

0 0

5

10

15

20

25

30

35

-2

Amplitud (10 m)

3

-3

Tb=1,0662s

0,04

-1

 =5,8933s b

-2

Amplitud (10 m)

0,02

4

0,00 2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

-0,02

-0,04

tiempo (s)

Ta/2=19,891182s

 =0,1579s a

2 0 0

5

10

15

20

-2

modo antisimetrico

-4

4 3

Amplitud (10-2m)

2 1 0 0

5

10

15

20

-1 -2 -3

tiempo (s)

-4

T=0,99956s

=2,2859s

-1

Figura 4. La captura de pantalla de la izquierda es una vista superior de dos pendulos acoplados con condiciones iniciales para oscilar en modo antisimetrico, grafico de la respuesta de amplitud contra tiempo para el modo antisimetrico del pedulo acoplado para una de las particulas. Simulación de la práctica de aula Mediante un programa de análisis grafico, como origing, scilab, Matlab genere las ecuaciones 20 y 21 teniendo en cuenta las medidas directas de x01, a y b. posteriormente superponga la grafica del resultado esperado (teorico) con la medida y discuta sobre el alcace del modelo.

6

tiempo (s)

25

30

35