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II. P´ endulos acoplados M´ ecanica Cl´ asica Alonso Guerrero Llorente 19 de enero de 2013

1.

Introducci´ on

En este ensayo estudiaremos un sistema de dos p´endulos acoplados mediante un muelle, Figura 1. Usaremos para ellos la formulaci´on lagrangiana estudi´ando el sistema en el r´egimen de peque˜ nas oscilaciones y obtendremos sus frecuencias, modos y coordenadas normales. Tambi´en compararemos este sistema con un segundo formado por tres muelles, Figura 2 (pag. 4).

Figura 1: P´endulos f´ısicos acoplados

1

2.

Determinaci´ on del lagrangiano

Para determinar el lagrangiano de nuestro sistema, empezaremos por determinar las energ´ıas potenciales: Umuelle = 12 ks2 ; donde s es la elongaci´on, la cual se puede escribir en funci´on de la distancia l y los a´ngulos ϕ y θ como s = l0 + (ϕ − θ)l − l0 , obteniendo as´ı: 1 Umuelle = kl2 (ϕ − θ)2 2 Para obtener la energ´ıa potencial de las dos masas, que cuelgan de los p´endulos, debemos hallar la altura a la que se encuentran estas respecto del origen de potencial, h la podemos hallar mediente la relaci´on cosθ = L−h . L UA = mgL(1 − cosϕ) UB = mgL(1 − cosθ) El t´ermino de la energ´ıa cin´etica vendr´a dado por el movimiento de las dos masas M 1 . 1 1 1 ˙ 2 = mI ϕ˙ 2 TA = mv 2 = m(Lϕ) 2 2 2 1 TB = mI ϕ˙ 2 2 Por lo tanto el lagrangiano nos quedar´a:

L = T −U = TA +TB −Umuelle −UA −UB =

L=

I(ϕ˙ 2 + θ˙2 ) 1 2 − kl (ϕ−θ)2 −mgL(1−cosϕ)−mgL(1−cosθ) 2 2

I(ϕ˙ 2 + θ˙2 ) 1 2 − kl (ϕ − θ)2 − M gL(2 − cosϕ − cosθ) 2 2

(1)

A partir del lagrangiano para obtener las ecuaciones de Lagrange debemos tener en cuenta que este sistema tiene dos grados de libertad, uno por p´endulo, por lo que obtendremos dos ecuaciones, una para la variable ϕ y otra para θ. d ∂L ∂L ( )− =0 dt ∂ ϕ˙ ∂ϕ ∂L ∂ ϕ˙ 1

= I ϕ; ˙

d ∂L ( ) dt ∂ ϕ˙

= I ϕ; ¨

∂L ∂ϕ

= I ϕ¨ + kl2 (ϕ − θ) + M gLsenϕ

No confundir la notaci´ on L del lagrangiano con la longitud L.

2

(2)

I ϕ¨ + kl2 (ϕ − θ) − M gLsenϕ = 0 d ∂L ∂L ( )− =0 dt ∂ θ˙ ∂θ ∂L ∂ θ˙

˙ = I θ;

d ∂L ( ) dt ∂ θ˙

¨ = I θ;

∂L ∂ϕ

(3)

= I θ¨ + kl2 (θ − ϕ) + M gLsenθ

I θ¨ + kl2 (ϕ − θ) − M gLsenθ = 0 I ϕ¨ + kl2 (ϕ − θ) + M gLsenϕ = 0 I θ¨ + kl2 (θ − ϕ) + M gLsenθ = 0

 (4)

Si volvemos a la expresi´on del lagrangiano y estudiamos el caso en el que k → 0 vemos que quedar´ıa I(ϕ2 + θ2 ) − M gL(2 − cosϕ − cosθ) k→0 2 Es decir, se nos quedar´ıa el lagrangiano equivalente a un sistema formado, u ´nicamente, por dos p´endulos; pues desaparece el t´ermino correspondiente al efecto del muelle. l´ım L =

3.

Resoluci´ on de las ecuaciones de Lagrange

Las ecuaciones de Lagrange (4) las puedo particularizar para oscilaciones peque˜ nas haciendo la aproximaci´on senα ≈ α. De forma que las ecuaciones de Lagrange quedan simplificadas:  I ϕ¨ + kl2 (ϕ − θ) + M gLϕ = 0 (5) I θ¨ + kl2 (θ − ϕ) + M gLθ = 0 Dividimos por I para que no queden las derivadas segundas multiplicadas por una constante y sea as´ı m´as manejable el sistema. ) 2 ϕ¨ + klI (ϕ − θ) + MIgL ϕ = 0 2 θ¨ + kl (θ − ϕ) + M gL θ = 0 I

I

El siguiente paso que haremos ser´a sumar y restar ambas ecuaciones. SUMA ¨ + M gL (ϕ + θ) = 0 (ϕ¨ + θ) I 3

RESTA 2 ¨ + M gL (ϕ − θ) + 2kl (ϕ − θ) = 0 (ϕ¨ − θ) I I Hacemos los cambios de variable u = ϕ + θ y v = ϕ − θ.

M gL u=0 I

(6)

2kl2 + M gL )v = 0 I

(7)

u¨ +

v¨ + (

Vemos que las ecuaciones (6) y (7) son las ecuaciones de un M.A.S, con frecuencias 2 gL ωu = MIgL y ωv = 2kl +M respectivamente. Al ser las ecuaciones de un M.A.S sabemos I resolverlas.

ϕ(t) ≡

u+v u0 v0 = cos(ωu t + δu ) + cos(ωv t + δv ) 2 2 2

(8)

θ(t) ≡

u0 v0 u−v = cos(ωu t + δu ) − cos(ωv t + δv ) 2 2 2

(9)

Nos damos cuenta tambi´en de que, de forma natural, hemos llegado a dos ecuaciones, (6) y (7), en unas coordenadas u y v que en un inicio no son para nada intuitivas. Llegamos a unas ecuaciones en las que el sistema se desacopla en dos osciladores arm´onicos, asociado cada uno a una de las nuevas coordenadas. Como veremos m´as tarde, con un an´alisis m´as riguroso, estas nuevas coordenadas son las denominadas coordenadas normales del sistema y nos permiten descomponer el sistema en una serie de subsistemas mucho m´as sencillos.

4

4.

An´ alisis de un sistema de tres muelles unidos por dos masas

Figura 2: Puntos materiales acoplados entre paredes r´ıgidas (cf. apuntes ”Oscilaiciones peque˜ nas”, Jose Mar´ıa Arroyo, curso 2007/8). En esta secci´on analizamos el sistema que aparece en la Figura 2, el cual est´a formado por tres muelles unidos con dos masas que est´an entre dos paredes r´ıgidas. Procederemos de la misma forma que en los dos apartados anteriores, planteando el lagrangiano, sus correspondientes ecuaciones de Lagrange y resolviendo las mismas. En primer lugar empezamos por hallar el lagrangiano del sistema. 1 T = (x˙ 2 + y˙ 2 ) 2 1 1 1 U = kx2 + ky 2 + k(x − y)2 2 2 2 Quedando el lagrangiano como: 1 1 1 1 L ≡ T − U = (x˙ 2 + y˙ 2 ) − kx2 − ky 2 − k(x − y)2 2 2 2 2

(10)

Este sistema tiene dos grados de libertad por lo que, al igual que en el anterior, tambi´en obtendremos dos ecuaciones de Lagrange, una para x y otra para y: ∂L ∂ x˙

= mx; ˙

∂L ∂x

= −kx − k(x − y) = −2kx + ky

∂L ∂ x˙

= my; ˙

∂L ∂x

= −ky + k(x − y) = kx − 2ky

Quedando as´ı un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas:  m¨ x + 2kx − ky = 0 m¨ y − kx + 2ky = 0 5

(11)

Las podemos resolver de la misma forma que aparece en la segunda secci´on, es decir, tomando la suma y resta de las dos ecuaciones y haciendo los cambios de variable u = x+y y v = x − y. SUMA m(¨ x + y¨) + k(x + y) = m¨ u + ku = 0 u¨ +

k k u = 0 → ωu2 = m m

RESTA m(¨ x − y¨) + 3k(x − y) = m¨ v + 3kv = 0 3k 3k v = 0 → ωv2 = m m Quedando una soluci´on an´aloga a las ecuaciones (8) y (9): v¨ +

x(t) ≡

u+v u0 v0 = cos(ωu t + δu ) + cos(ωv t + δv ) 2 2 2

(12)

y(t) ≡

u0 v0 u−v = cos(ωu t + δu ) − cos(ωv t + δv ) 2 2 2

(13)

Adem´as, con el uso de las relaciones x2 + y 2 = u+v y x˙ 2 + y˙ 2 = 2 una nueva forma de expresar el lagrangiano para este sistema. L=

u+ ˙ v˙ 2

podemos encontrar

k1 2 k 1 m 2 1 k 2 1 m 2 1 3k 2 m1 2 (u˙ + v˙ 2 ) − (u + v 2 ) − v 2 = u˙ − u + v˙ − v 22 22 2 22 22 22 2 2

Tomamos

m 2

= m,

k 2

= ku y

3k 2

= kv y nos queda:

1 1 1 1 L = mu˙ 2 − ku u2 + mv˙ 2 − kv v 2 2 2 2 2 Donde podemos identificar Lu con los t´erminos que dependen de u y Lv con los que dependen de v y nos queda finalmente L(u, v) = Lu + Lv

(14)

Hemos llegado a un sistema desacoplado en las variables u y v. Como podemos ver el lagrangiano se expresa como la suma del lagrangiano para las energ´ıas que dependen de u por un lado y, por otro, las que dependen de v.2 2

Las semejanzas y diferencias entre las soluciones obtenidas en este apartado y en el de los p´endulos acoplados se comentan con extensi´ on en el siguiente apartado.

6

5.

Frecuencias, modos y coordenadas normales de ambos sistemas

Ahora lo que haremos ser´a buscar, de forma sistem´atica, las frecuencias, modos y coordenadas normales que ya hemos encontrado anteriormente de forma natural. Para ello usaremos un m´etodo algebraico que nos permitir´a hallar las frecuencias y coordenadas normales a trav´es de los autovalores y autovectores que obtenemos de la expresi´on matricial de las ecuaciones de Lagrange.

5.1.

P´ endulos acoplados

Para encontrar las frecuencias, modos y coordenadas normales debemos expresar las f~q¨+e ecuaciones de Lagrange, para oscilaciones peque˜ nas, matricialmente de la forma M k~q = ~0:          2 ϕ¨ ϕ ϕ M gL 0 I 0 kl −kl2 + = + 2 2 ¨ −kl kl 0 M gL 0 I θ θ θ       2 ϕ¨ ϕ I 0 kl + M gL −kl2 =0 = + 2 2 ¨ −kl kl + M gL 0 I θ θ A partir de esta ecuaci´on matricial podemos conseguir las frecuencias, modos y coordenadas normales. En primer lugar hallamos las frecuencias normales del sistema, es decir, calculamos los autovalores: f 2 e (15) M ω − k = 0     2 I 0 kl + M gL −kl2 2 = ω − 2 2 0 I −kl kl + M gL = (Iω 2 − LM g)(−2kl2 + Iω 2 − LM g) = 0 Y obtenemos que las frecuencias normales son las mismas que obtuvimos al resolver las ecuaciones de Lagrange: ωp1 =

LM g I

(16)

2kl2 + M gL (17) I Los modos normales los hallamos con la obtenci´on de los correspondientes autovectores correspondientes a cada autovalor obtenido, ωp1 y ωp2 . ωp2 =

fω 2 − e ~j = ~0 (M k)A j

7

~j = fωj2 − e ~0 = (M k)A

   2 ap1 kl2 Iωj − M gL − kl2 2 2 2 kl Iωj − M gL − kl bp1

Aplicamos la f´ormula para ωp1 en primer lugar, obteniendo as´ı:      ap1 0 −kl2 kl2 = → −kl2 ap1 + kl2 bp1 = 0 → ap1 = bp1 2 2 kl −kl bp1 0 ~t M fA~k = δjk A j

1 = ap1

    
Iap1
I 0 1 ap1 ap1 = 2a2p1 I = 1 → ap1 = bp1 = ± √ = ap1 ap1 0 I Iap1 ap1 2I

Y para ωp2 obtenemos:  2     ap2 0 kl kl2 = → kl2 ap2 + kl2 bp2 = 0 → ap2 = −bp2 2 2 kl kl bp2 0

1 = ap2

    
I 0
Iap2 ap2 1 −ap2 = ap2 −ap2 = 2a2p2 I = 1 → ap2 = −bp2 = ± √ 0 I −ap2 −Iap2 2I

Y las coordenadas normales:     1 1 1 a b p1 p1 ep = A = ±√ ap2 bp2 2I 1 −1     1 ϕ 1 1 I 0 t ~p = A e M~ fq = ± √ Q p 0 I θ 2I 1 −1 r r I I ~p = ((ϕ + θ) Q , (ϕ − θ) ) 2 2

5.2.

(18)

Muelles

Para hallar los modos, frecuencia y coordenadas normales del sistema de muelles procedemos de la misma forma que lo hicimos para los p´endulos acoplados. Usando la ecuaci´on de autovalores (16) tenemos en este caso 2k − mω 2 −k = (2k − ω 2 )2 − k 2 = (k − mω)(3k − mω 2 ) = 0 −k 2k − mω 2 ωm1 =

k ω

(19)

ωm2 =

3k ω

(20)

8

Si ahora buscamos los autovectores obtendremos los modos normales para cada una de las frecuencias normales.        am1 0 k − 2k −(−k) ~ −k k Am1 = = −(−k) k − 2k k −k bm1 0 De esta ecuaci´on nos queda am1 = bm1 y podemos obtener sus valores.   
a 1 −k k m1 fA~m1 = am1 am1 = 1 → am1 = bm1 = ± √ A~tm1 M k −k am1 2m Procedemos an´alogamente para ωm2 :        am2 0 3k − 2k −(−k) k k ~ Am2 = = → am2 = −bm2 −(−k) 3k − 2k k k bm2 0   
k k am2 1 t f ~ ~ Am2 M Am2 = am2 −am2 = 1 → am2 = −bm2 = ± √ k k −am2 2m e que nos permitir´a obtener las coordenadas De esta forma podemos definir una matriz A normales del sistema:     1 a b 1 1 m1 m1 em = A = ±√ am2 bm2 2m 1 −1     x 1 1 1 m 0 t em M~ fq = ± √ Q~m = A 0 m y 2m 1 −1 r r m m , (x − y) ) (21) Q~m = ((x + y) 2 2

5.3.

Similitudes y diferencias entre ambos sistemas

Los resultados obtenidos para ambos sistemas los podemos comparar y/o analizar desde una perspectiva f´ısica y desde otra matem´atica. Podemos estudiar tambi´en cu´al de ambos estudios es m´as eficiente para nuestros objetivos. Desde un punto de vista matem´atico vemos que en ambos sistemas hemos llegado a dos ecuaciones diferenciales del tipo y¨ + cy = 0 cada una de ellas con una c distinta, constante que no tiene ning´ un significado, por lo que podr´ıamos considerar equivalentes los dos sistemas de ecuaciones diferenciales, pues su expresi´on general ser´a la misma. En el estudio de los modos y coordenadas normales obtenemos nuevamente ecuaciones id´enticas salvo constantes, pues en ambos tenemos a1 = b1 = a2 = −b2 y valores absolutos de estos t´erminos que var´ıan en la constante, en los muelles la constante es m mientras que en los p´endulos es I. La forma general de |a| es |a| = √12c , donde c es la constante en cuesti´on que en un caso hemos llamado m y en otro I. Si damos el paso siguiente y pasamos al estudio de

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las coordenadas p normales p seguimos viendo que estas tienen una forma general id´entica Q = ((a + b) 2c , (a − b) 2c ), donde a y b denotan coordenadas y c es una constante. En conclusi´on, haciendo un an´alisis matem´atico de ambos sistemas vemos que son id´enticos, pues su forma general es la misma tanto en las ecuaciones de Lagrange, como en sus modos y coordenadas normales, solo var´ıa la notaci´on empleada para la descripci´on de cada sistema. Desde el punto de vista de la f´ısica vemos que la diferencia entre las constantes antes mencionadas es esencial para la caracterizaci´on de cada sistema. Cada una de esas constantes representa un a´specto f´ısico como la frecuencia, la masa o el momento de inercia; los cuales son caracter´ısticos del movimiento del sistema. Si partimos de las ecuaciones diferenciales vemos que las consantes ah´ı presentes son las frecuencias angulares del sistema. Teniendo que las frecuencias para el sistema de muelles dependen de las caracter´ısticas de los mismos. Para los p´endulos acoplados la frecuencia de una de las ecuaciones nos da informaci´on sobre su oscilaci´on natural, mientras que la otra nos dice c´omo es la acci´on del acoplamiento debido al muelle. Con los valores de las aes y las bes en los modos normales, o tomando mejor la matriz e A, que los recoge a todos, vemos que tenemos dos matrices id´enticas salvo las constantes m e I; con estas constantes podemos descifrar que en el caso de los muelles tenemos un movimiento rectil´ıneo mientras que para los p´endulos el movimiento es de rotaci´on, en un caso tenemos la resistencia de un cuerpo a moverse, m, y en otro la resistencia de un cuerpo a rotar, I. Dicha analog´ıa se puede comprobar tambi´en observando las ecuaciones F = ma y M = Iα. Pudiendo describir la primera la fuerza que necesitamos para mover un cuerpo con una aceleraci´on teniendo este una caracter´ıstica, m, que determina la dificultad para que este cuerpo sea movido (en nuestro caso un movimiento rectil´ıneo) y en la segunda como el momento de fuerza que debemos aplicar para hacer rotar un cuerpo con una aceleraci´on angular, siendo I el an´alogo rotacional de la masa. Tras estos dos an´alisis queda claro que mientras que matem´aticamente llegamos a resultados equivalentes la f´ısica nos dice algo totalmente distinto.

6.

Lagrangiano desacoplado de los p´ endulos

Tras obtener las coordenadas normales del sistema de p´endulos acoplados podemos obtener una expresi´on del lagrangiano que dependa de Q1 y Q2 y en el que no est´en acopladas estas variables. r r 2 2 → ϕ˙ + θ˙ = Q˙ 1 ϕ + θ = Q1 I I r r 2 2 ϕ − θ = Q2 → ϕ˙ − θ˙ = Q˙ 2 I I

10

Q21 + Q22 Q˙ 2 + Q˙ 22 → ϕ˙ 2 + θ˙2 = 1 I I Con estas relaciones entre coordenadas podemos desacoplar el lagrangiano para oscilaciones peque˜ nas, tomando los dos primeros t´erminos del desarrollo en serie de Taylor 2 para el coseno cos(x) ≈ 1 − x2 : ϕ2 + θ2 =

I ϕ2 + θ2 Q˙ 2 + Q˙ 22 kl2 1 L = (ϕ˙ 2 + θ˙2 ) − kl2 (ϕ − θ)2 −M gL( )= 1 − (Q2 | {z } 2 | {z } 2 2 } 2 2 q | {z ˙2 ˙ 2 +Q Q 2 1 I

Q2

→L=

2 I

r

2 2 Q2 + Q22 ) −M gL( 1 )→ I 2I

2 Q2 1 +Q2 2I

Q˙ 21 M gL 2 Q˙ 22 kl2 Q22 M gL 2 − Q1 + − − Q2 = LQ1 + LQ2 I {z 2I |2 {z2I } |2 } LQ1

(22)

LQ2

Si de esta expresi´on del lagrangiano hallamos las correspondientes ecuaciones de Lagrange y obtenemos unas ecuaciones id´enticas a (6) y (7): ¨ 1 + M gL Q1 = 0 Q I

(23)

2 ¨ 2 + 2kl + M gL Q2 = 0 Q I

(24)

Con estas u ´ltimas expresiones verificamos que ya hab´ıamos encontrado unas coordenadas normales del sistema que nos permit´ıan desacoplar nuestras ecuaciones en dos coordenadas alternativas a ϕ y θ, sin embargo, hemos usado un m´etodo algebraico m´as general que nos ha permitido encontrar las mismas expresiones, adem´as de los modos normales. De esta forma hemos visto que ambos caminos son v´alidos, aunque el m´etodo algebraico es mucho m´as sistem´atico. Si intentamos dotar de significado f´ısico a estas soluciones observamos por un lado que 2 ωQ = MIgL donde si sustitu´ımos I = M L2 tenemos la frecuencia de un p´endulos simple 1 2 ωQ = Lg . Es decir, la coordenada Q1 nos describe el movimiento de un p´endulo simple, 1 2 gL 2 sin acoplamiento alguno. Por otro lado tenemos ωQ = 2kl +M la cual podemos escribir I 2 2 2kl 2 2 tambi´en en funci´on de la frecuencia ωQ1 como ωQ = I + ωQ ; para esta coordenada 2 1 tenemos que su frecuencia es la de un p´endulo simple m´as una correcci´on (a la que nos referiremos como λ) debida a la acci´on del muelle que acopla ambos p´endulos. La magnitud de dicha correcci´on λ est´a cuantificada atendiendo a caracter´ısticas geom´etricas del sistema; pues depende de la distancia a la que coloquemos el muelle respecto del centro de giro, de la longitud de la barra L y la masa M , tambi´en de las caracter´ısticas del muelle, concretamente de su constante el´astica k. 11

2

2

Atendiendo a los par´ametros de los que depende λ = 2klI = MklL2 tenemos que este 2k conforme acerquemos el muelle a la masa M del p´endulo. En otras t´ermino tender´a a M palabras, el efecto m´aximo del muelle lo conseguirmos para las posiciones de este m´as pr´oximas a la masa pues tenemos l < L y para l = L lo que har´a que el valor de sea λ es m´aximo. Adem´as podremos aumentar o disminuir el efecto del muelle colgando masas de distintos valores en nuestro p´endulo, para masas peque˜ nas el muelle tendr´a una acci´on mayor que con masas grandes, para masas grandes las energ´ıas cin´etica y potencial ser´an tambi´en mayores mientras que la energ´ıa el´astica del muelle ser´a aproximadamente igual para todos los valores de M , pues en el r´egimen de oscilaciones peque˜ nas la elongaci´on del muelle siempre es similar. Bas´andonos en el mismo criterio energ´etico vemos que tambi´en aumentar´ıa la acci´on de este tomando un muelle con mayor constante el´astica k, tambi´en se ve que λ es directamente proporcional al valor de k.

7.

Papel de las condiciones iniciales en los modos normales

Las condiciones iniciales juegan un papel imporante a la hora del estudio experimental de los p´endulos acoplados. Partiendo de unas condiciones iniciales u otras podemos conseguir que no act´ ue el muelle y medir la frecuencia angular natural de los p´endulos 2 gL . En otras palabras, ωp1 = Lg o podemos medir la otra frecuencia normal ωp2 = 2kl +M I de las condiciones iniciales depende que activemos un modo normal u otro. ˙ Si tomamos las condiciones iniciales ϕ(0) = θ(0) = ϕ0 y ϕ(0) ˙ = θ(0) = 0 tendremos que la energ´ıa potencial el´astica del muelle ser´a nula, pues tendremos U = 12 kl2 (ϕ − θ)2 = 1 2 kl (ϕ − ϕ2 ) = 0. Por lo tanto dicho t´ermino se nos va del lagrangiano y el sistema 2 ser´a equivalente a dos p´endulos que oscilan libremente, sin intervenir el movimiento de uno en el del otro. Si por el contrario tomamos las condiciones iniciales ϕ(0) = −θ(0) = ϕ0 y ϕ(0) ˙ = ˙θ(0) = 0 podremos medir la frecuencia normal ωp2 = 2kl2 +M gL . Pues, teniendo en cuenta I ϕ(t) = −θ(t), podemos restar las ecuaciones (8) y (9) y obtener as´ı: θ(t) − ϕ(t) = 2ϕ(t) = v0 cos(ωp2 t + δv ) ϕ(t) = −θ(t) = ϕ0 cos(ωp2 t + δv ) En el caso de que las condiciones iniciales no sean ningunas de las anteriores observaremos el fen´omeno de pulsaci´on. Este fen´omeno se da cuando se superponen dos oscilaciones de igual amplitud y frecuencias distintas aunque muy semejantes. Y podemos ver como, ˙ si partimos de las condiciones ϕ(0) = 0, θ(0) = θ0 y ϕ(0) ˙ = θ(0) = 0, a trav´es del muelle se transifere la energ´ıa de un p´endulo a otro hasta el momento en que el p´endulo que inicialmente estaba en reposo se mueva como el que estaba en movimiento y a la inversa. A la hora de examinar experimentalmente los p´endulos acoplados las condiciones iniciales citadas son pr´acticamente imposibles de conseguir, pues no disponemos de ning´ un instrumento para medir los ´angulos, y vemos como en los datos recogidos existe una peque˜ na oscilaci´on entre unos extremos y otros. Esto se debe a que siempre activamos los dos 12

modos normales, aunque uno de ellos m´ınimamente, por la imprecisi´on de las condiciones iniciales.

8.

Bibliograf´ıa [1] Mec´anica lagrangiana teor´ıa y pr´actica, libro libre de Alqua versi´on 2.10.1 [2] Apuntes de oscilaciones peque˜ nas, Pablo M. Garc´ıa Corzo

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