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MEDICIÓN DE LA GRAVEDAD EN BARRANQUILLA Beltran Pedro Luis, De Moya Jorge Luis Facultad de ingeniería-Ingeniería química Universidad del Atlántico

Para el cálculo de la gravedad del sitio donde se realizó el experimento (Universidad del Atlántico) basados en el principio físico de un péndulo simple, para ello es necesario medir la longitud del hilo del péndulo simple con una cinta métrica, con la finalidad de encontrar el error de la medición se realiza un análisis de repetitividad. 1. REPETIBILIDAD Para ello se hicieron 5 mediciones de la longitud, las cuales se consignan en la siguiente tabla. Tabla 1. Datos obtenidos de la longitud del hilo MEDICIÓN 1 2 3 4 5

LONGITUD (cm) 101,7 101,9 102,0 101,8 101,6

Teniendo en cuenta el análisis de repetibilidad se tomaron pares de datos para dicho análisis, obteniendo un valor promedio (Xpro) y un rango entre los valores (R). Los valores obtenidos se presentan tabulados en la siguiente tabla. Tabla 2. Análisis de los pares de datos MEDICIÓN 1 2 3 4 5 PROMEDIO

LONGITUD (cm) 101,7 101,9 102,0 101,8 101,6 101,8

Xpro

R

101,80 101,95 101,90 101,70 101,838

0,2 0,1 0,2 0,2 0,175

Con los valores obtenidos y en base a la siguiente ecuación, se estima la desviación estándar de repetibilidad de las mediciones.

σrep =

R prom d2

El valor de d2 se encuentra tabulado en función del número de operarios (j), unidades (n) y mediciones realizadas (m). En este caso, el número de operarios que realizó las mediciones es 1, las unidades medidas fueron 1 y las mediciones realizadas fueron 5, en base a esto, el valor reportado en la tabla es d2=2,48. Reemplazando los valores en la ecuación se tiene. σrep =

0.175 = 0.0706 cm 2.48

Se encontró una desviación estándar de repetibilidad en las mediciones de longitud de σrep = 0,0706 cm. La longitud del hilo del péndulo se expresa como 101,8 ± 0,0706 cm, dado que esta desviación para la medición de la longitud es equivalente a la incertidumbre (UL). 2. DISTRIBUCIÓN DE LOS DATOS Al tener el valor de la longitud de la cuerda utilizado y previamente sabiendo el centro de masa del cuerpo utilizado (candado) se procede a hallar el periodo del péndulo arrojándolo desde un ángulo de aproximadamente 10°, para calcular el error y tener confianza en los datos obtenidos se realizó la experiencia 50 veces, los datos obtenidos se organizaron y se encuentran en la siguiente tabla: Tabla 3. Periodos obtenidos en la experiencia. Medición Periodo (s) 1 1,54 2 1,55 3 1,58 4 1,60 5 1,60 6 1,60 7 1,61 8 1,61 9 1,63 10 1,64 11 1,65 12 1,65 13 1,66 14 1,66 15 1,66 16 1,67 17 1,67

18

1,68

Tabla 3. (Continuación) 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1,69 1,69 1,69 1,69 1,70 1,70 1,71 1,71 1,71 1,72 1,72 1,73 1,73 1,73 1,73 1,74 1,74 1,75 1,75 1,75 1,76 1,78 1,78 1,79 1,80 1,81 1,81 1,81 1,82 1,84 1,85 1,86

El periodo fue medido utilizando el cronometro de un celular Motorola moto G4 y el ángulo de tiro se halló mediante la aplicación transportador de la App Store. Para la distribución de los datos se realiza un tratamiento estadístico a la variable, en este se halla el rango, la medio el tamaño de la muestra, el número de clases y la amplitud de los intervalos del número de clases: 

Rango R = Xmax − Xmin

R = 1.86 − 1.54 = 0.32 

Número de clases N. C = √Tamaño de muestra

N. C = √50 ≈ 7 

Amplitud de Intervalos Amplitud de intervalos =

Amplitud de intervalos =

Rango N. C

0.32 = 0.0457 7

Determinado la amplitud y el número de clases se realizan los intervalos de las clases y se calcula la frecuencia de cada clase, como se muestra en la siguiente tabla. Tabla 3. Cálculo de la frecuencia Clase 1 2 3 4 5 6 7

Intervalos Frecuencia Marca de clase 1,540 1,586 3 1,563 1,586 1,631 6 1,609 1,631 1,677 8 1,654 1,677 1,723 12 1,700 1,723 1,769 10 1,746 1,769 1,814 7 1,791 1,814 1,860 4 1,837 Total 50

Frecuencia acumulada 3 9 17 29 39 46 50

Se construyó el Histograma utilizando el software EasyFit, graficando la frecuencia de cada clase como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Histograma de frecuencia para la medición del periodo

Con ayuda del software de ajuste estadístico EasyFit se comparó la distribución de los datos con una distribución normal para determinar si los datos configuran ese comportamiento, tal como se muestra en la figura 2. Figura 2. Comparación del ajuste de distribución normal con los datos obtenidos.

Se infiere que los datos presentan similitud en el comportamiento de la campana típica de la distribución normal pero la punta de la campana no cubre completamente la distribución de los mismos, por lo que se evaluó la similitud de una distribución tipo triangular como se muestra en la figura 3. Figura 3. Comparación del ajuste de distribución triangular con los datos obtenidos.

Se determinó que el mejor ajuste de la tendencia de los datos obtenidos es una distribución de tipo triangular, cuyo límite mínimo (a) y máximo (b) son 1.5188 s y 1.8854 s, respectivamente; y un valor medio (m) de 1.71 s. Para una distribución triangular se tiene que la desviación estándar puede ser estimada como: σest =

σest =

√a2 + b 2 + m2 − ab − am − bm 18

√1.51882 + 1.88542 + 1.712 − (1.5188)(1.8854) − (1.5188)(1.71) − (1.8854)(1.71) 18

σest = 0.0749 s

Con el valor de la desviación estándar de la distribución del periodo, se puede reportar la incertidumbre (UT) asociada a la estimación del mismo, como:

UT =

UT =

σest √No. de Datos

0.0749 s √50

= 0.01059 s

Por lo tanto, el valor del periodo promedio determinado para el péndulo construido es de 1.71 ± 0.01059 s. Con este último valor y el de la longitud previamente estimado, se puede calcular la gravedad de la ciudad de Barranquilla de manera indirecta. 4. CÁLCULO DE LA GRAVEDAD Para el cálculo de la gravedad, se recurrió a emplear la ecuación del periodo de oscilación de un péndulo simple: L T = 2π√ g

Despejando el termino gravedad de la ecuación, se obtiene: g =

4π2 L T2

El valor de la gravedad calculado a partir de la longitud y periodo promedio es: g =

4π2 (101.8 cm) (1.71 s)2

g = 1374.41

cm m ≈ 13.7441 2 2 s s

El valor anteriormente calculado difiere en aproximadamente un 28.9% del valor estipulado por la Oficina Internacional de Pesas y Medidas que es de 9.80665 m/s2. Las razones de esta diferencia pueden recalar en las diferentes perturbaciones que se pudieron dar a la hora de realizar el experimento como corrientes de aires dentro del laboratorio ya que al ser un lugar cerrado es inevitable las corrientes de aire por parte del aire acondicionado del lugar. Además de lo anterior, también se debe tener en cuenta los errores inducidos por quien realiza la medición del periodo y de quien acciona el péndulo, pues no siempre se garantiza que el sistema se perturbe de la misma manera (posición del péndulo, punto de partida, etc.).

El análisis del valor de la gravedad calculado de manera indirecta no solo debe hacerse con la longitud y periodo promedio, sino también debe incluirse la incertidumbre asociada a la medida (Ug). Para ello se procede a emplear la siguiente ecuación: dg 2 dg 2 Ug = √ ( ) UL 2 + ( ) UT 2 dL dT El uso de la anterior ecuación se justifica debido a que la gravedad, en este caso, es una función matemática que depende de dos variables: longitud (L) y periodo (T). A continuación, se presentan las expresiones matemáticas correspondientes a las derivadas: dg 4π2 = dL T2 dg 8π2 L = − 3 dT T Reemplazando los valores promedios, tenemos: dg 4π2 = = 13.5010 s−2 dL (1.71 s)2

dg 8π2 (101.8 cm) cm = − = −1607.4933 (1.71 s)3 dT s3 Con los valores obtenidos, reemplazamos para estimar la incertidumbre de la gravedad (Ug). Ug = √(13.5010 s−2 )2 (0.0706 cm)2 + (−1607.4933

Ug = 17.0500

cm 2 ) (0.01059 s)2 s3

cm m ≈ 0.1705 2 2 s s

Se reporta el valor de la gravedad en Barranquilla estimado por medio de esta experiencia, el cual resultó ser de 13.7441 ± 0.1705 m/s2 .