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• Daniela Valenzuela

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DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE TALCA 

PAUTA PRUEBA Nº 2 FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES Profesora: Marcela González A. Profesor Auxiliar: Gustavo Verdugo V. Fecha: 29 de octubre de 2009 1. (1,5 puntos) Un vendedor viajero dispone de 9 días para visitar tres Ciudad ciudades: A, B y C. Las ventas que consiga realizar en cada ciudad dependen Días del número de días que pueda permanecer en cada una de ellas, según una A B C relación decreciente mostrada en la tabla al lado. De esta manera, 1 30 50 40 permanecer un día en la ciudad A puede generar $30 en ventas; dos días en 2 20 20 30 A serían los $30 más $20 adicionales, etc. Además, el número máximo de 3 15 15 20 días que el vendedor puede permanecer en una ciudad es cuatro. Se debe 4 10 15 10 tener en cuenta que una vez que el vendedor deja una ciudad, no puede volver a ella. Formule el modelo que permita al vendedor viajero determinar cuántos días pasar en cada ciudad, de manera de maximizar las ventas estimadas. 2. (2,5 puntos) Una empresa distribuidora de fertilizantes debe realizar hoy cinco entregas a los siguientes clientes: al cliente 1 debe entregar 1.000 kilogramos de fertilizante, al cliente 2 debe entregar 2.000 kilogramos, al cliente 3 debe entregar 3.000 kilogramos, al cliente 4 debe entregar 5.000 kilogramos, y al cliente 5 debe entregar 7.000 kilogramos. Estas entregas deben ser hechas en cargas únicas (no es posible dividir un pedido) y, por lo tanto, deben ser entregadas en un único viaje. La empresa tiene la oportunidad de arrendar cuatro camionetas, cada una con diferentes capacidades. La camioneta A puede transportar 3.000 kilogramos, la camioneta B puede transportar 6.000 kilogramos, la camioneta C puede transportar 8.000 kilogramos, y la camioneta D puede transportar 11.000 kilogramos. El costo por arrendar la camioneta j es cj, j = {A, B, C, D}. a) Formule el modelo que permita a la empresa determinar las camionetas a arrendar, satisfaciendo la demanda de los clientes. Asuma que una camioneta sólo puede realizar un único viaje, aunque es posible que atienda a más de un cliente. b) Muestre cómo se modifica su formulación en a) si además existe un costo cij cuando el cliente i es atendido por la camioneta j, i = 1, ..., 5, j = {A, B, C, D}. 3. (2,0 puntos) VTN va a transmitir un importante Punto de Localización Sector Cubierto partido de fútbol, para lo cual instalará cámaras de 1 5, 6, 7, 11, 12 televisión en diferentes puntos del Estadio Nacional. 2 1, 3, 5, 6, 10 El campo de juego ha sido dividido en 12 sectores, 3 2, 3, 7, 9 los cuales pueden ser cubiertos por las cámaras 4 1, 2, 3, 4, 5 desde 10 puntos del estadio, tal como se muestra 5 2, 3, 4, 5, 6 en la tabla al lado. 6 1, 7, 8, 9, 10 Formule el modelo que permita a VTN localizar el 7 9, 10, 11, 12 menor número de cámaras, de manera que sean 8 6, 7, 8, 9 cubiertos todos los sectores. 9 8, 9, 11, 12 10 1, 2, 3, 5, 8, 9 PAUTA FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Resolución Problema 1 (1.5 Puntos) Definición de variables: (0.3 puntos) xij ∈ {0,1}, donde xij = 1 si el vendedor viajero permanece i días en la ciudad j. i = 1,2,3,4 j = 1,2,3 = A,B,C xij = 0 en caso contrario. Función Objetivo: Maximizar las ventas estimadas. (0.4 puntos) Maximizar Z = 30x11 + 50x21 + 65 x31 + 75x41 + 50x12 + 70x22 + 85x32 + 100x42 + 40x13 + 70x23 + 90x33 + 100x43

 

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DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE TALCA 

Restricciones: a) Una vez que el vendedor deja una ciudad, no puede volver a ella, es decir a lo más puede pasar por una ciudad una sola vez. (0.3 puntos) Ciudad A) x11 + x21 + x31 + x41 ≤ 1 Ciudad B) x12 + x22 + x32 + x42 ≤ 1 Ciudad C) x13 + x23 + x33 + x43 ≤ 1 b) El vendedor viajero dispone de 9 días para visitar las tres ciudades: (0.4 puntos) (x11 + x12 + x13) + 2(x21 + x22 + x23) + 3(x31 + x32 + x33) + 4(x41 + x42 + x43) ≤ 9 Restricción de integralidad: (0.1 puntos) xij

∀ij

∈ {0,1}

Resolución Problema 2 (2.5 Puntos) Pregunta a) Definición de variables: (0.5 puntos) xij ∈ {0,1}, donde xij = 1 si el cliente i es atendido por la camioneta j. i = 1,2,3,4,5 j = {A,B,C,D} xij = 0 en caso contrario. yj ∈ {0,1}, donde yj = 1 si se arrienda la camioneta j yj = 0 en caso contrario. Función Objetivo: Minimizar los costos de arriendo de camionetas de la empresa distribuidora. (0.3 puntos) D

Minimizar Z =

∑c j= A

Restricciones: a) Se debe satisfacer puntos) Cliente 1) x1A + x1B Cliente 2) x2A + x2B Cliente 3) x3A + x3B Cliente 4) x4A + x4B Cliente 5) x5A + x5B

J

yj

la entrega de todos los clientes (se debe realizar en un único viaje): (0.5 + + + + +

x1C x2C x3C x4C x5C

+ + + + +

x1D x2D x3D x4D x5D

≥ ≥ ≥ ≥ ≥

1 1 1 1 1

b) No se debe superar la capacidad de transporte de cada camioneta. Además, si la camioneta no es arrendada entonces no se puede atender al cliente con dicha camioneta: (0.4 puntos) Camioneta A) 1000x1A + 2000x2A + 3000x3A + 5000x4A + 7000x5A ≤ 3000yA Camioneta B) 1000x1B + 2000x2B + 3000x3B + 5000x4B + 7000x5B ≤ 6000yB Camioneta C) 1000x1C + 2000x2C + 3000x3C + 5000x4C + 7000x5C ≤ 8000yC Camioneta D) 1000x1D + 2000x2D + 3000x3D + 5000x4D + 7000x5D ≤ 11000yD Restricción de integralidad: (0.2 puntos) xij yj

∀ij ∀j

∈ {0,1} ∈ {0,1}

Pregunta b) Si existiese un costo cij cuando el cliente i es atendido por la camioneta j, la función objetivo que en a) se modifica, quedando de la siguiente manera: (0.5 puntos) D

Minimizar Z =

∑c j= A

5

J

D

y j + ∑∑ cij xij i =1 j = A

Por otra parte, las restricciones se mantienen igual a las propuestas en la pregunta a). (0.1 puntos)

 

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Minimizar Z =

∑x i =1

i

Restricciones: a) Todos los sectores deben ser cubierto: (1.2 puntos) Sector 1) x2 + x4 + x6 + x10 ≥ 1 Sector 2) x3 + x4 + x5 + x10 ≥ 1 Sector 3) x2 + x3 + x4 + x5 + x10 ≥ 1 Sector 4) x4 + x5 ≥ 1 Sector 5) x1 + x2 + x4 + x5 + x10 ≥ 1 Sector 6) x1 + x2 + x5 + x8 ≥ 1 Sector 7) x1 + x3 + x6 + x8 ≥ 1 Sector 8) x6 + x8 + x9 + x10 ≥ 1 Sector 9) x3 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 ≥ 1 Sector 10) x2 + x6 + x7 ≥ 1 Sector 11) x1 + x7 + x9 ≥ 1 Sector 12) x1 + x7 + x9 ≥ 1 Restricción de integralidad: (0.1 puntos) xi

∈ {0,1}

∀i

                    

 

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