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DEPARTAMENTO DE MODELACIÓN Y GESTIÓN INDUSTRIAL FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE TALCA

Ingeniería Civil Industrial

PAUTA PRUEBA Nº 2 FORMULACIÓN DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES Profesora: Marcela González A. Profesor Auxiliar: Gustavo Verdugo V. 1.

Fecha: 10 de junio de 2010

(2,0 puntos) Se ha construido un nuevo mall y los dueños de esta inversión necesitan determinar que tipo de tiendas comerciales podrían arrendar el espacio disponible. El mall cuenta con 1.000 metros cuadrados de área total. En la tabla 1 se muestra el área que ocuparía cada tipo de tienda y el número mínimo y máximo de tiendas de cada tipo permitidas en el mall.

Tipo de Tienda Calzado Electrodomésticos Joyas Libros Vestuario

Tabla 1 Área (m2) Nº Mínimo 60 1 150 1 50 0 70 0 90 1

Tipo de Tienda Nº Máximo 3 3 3 3 3

Calzado Electrodomésticos Joyas Libros Vestuario

Tabla 2 Ganancia por Tienda según Número de Tiendas Instaladas (en millones de pesos) 1 tienda 2 tiendas 3 tiendas 11 8 6 29 17 15 14 12 9 22 11 7 25 15 10

La ganancia anual de cada tienda depende de cuántas tiendas del mismo tipo existan en el mall, tal como se muestra en la tabla 2 (en millones de pesos). Cada tienda paga un arriendo al mall correspondiente al 5% de la ganancia anual. Formule el modelo que permita a los dueños del mall maximizar su ganancia anual. Desarrollo Pregunta N°1: (2,0 Puntos) a) Variables de Decisión: xi = número de tiendas a arrendar del tipo i, i = 1,2,3,4,5. (0,1 Punto) Donde 1 = Calzado; 2 = Electrodomésticos; 3 = Joyas; 4 = Libros; 5 = Vestuario. zij

∈ {0,1}

zij = 1 Si se arriendan j tiendas del tipo i. (0,2 Puntos) zij = 0 En caso contrario. j = 0,1,2,3.

b) Función Objetivo: Maximizar la ganancia anual de los dueños del mal, esto es: (0,4 Puntos) Maximizar Z = 0,05*(11z11 + 16z12 + 18z13 + 29z21 + 34z22 + 45z23 + 14z31 + 24z32 + 27z33 + 22z41 + 22z42 + 21z43 + 25z51 + 30z52 + 30z53) c) Restricciones: •

El número de tiendas de cada tipo debe relacionarse con las variables binarias, esto es: (0,8 Puntos) o

Calzado)

x1 = 0z10 + z11 + 2z12 + 3z13 z10 + z11 + z12 + z13 = 1

o

Electrod.)

x2 = 0z20 + z21 + 2z22 + 3z23 z10 + z11 + z22 + z23 = 1

o

Calzado)

x3 = 0z30 + z31 + 2z32 + 3z33 z30 + z31 + z32 + z33 = 1

o

Libros)

x4 = 0z40 + z41 + 2z42 + 3z43 z40 + z41 + z42 + z43 = 1

o

Vestuario)

x5 = 0z50 + z51 + 2z52 + 3z53

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Ingeniería Civil Industrial

z50 + z51 + z52 + z53 = 1 •

•

•

Número mínimo de tiendas de cada tipo: (0,1 Punto) o

Calzado)

x1 ≥ 1

o

Electrod.)

x2 ≥ 1

o

Vestuario)

x3 ≥ 1

Número máximo de tiendas de cada tipo (estas restricciones pueden ser redundantes dadas las restricciones en donde se relaciona xi con zij):mínimo de tiendas de cada tipo: (0,1 Punto) o

x1 ≤ 3

x4 ≤ 3

o

x2 ≤ 3

x5 ≤ 3

o

x3 ≤ 3

Área total disponible en el mall: (0,2 Puntos) 60x1 + 150x2 + 50x3 + 70x4 + 90x5 ≤ 1000

d) Restricción de Integralidad: (0,1 Punto)

∈ Z+ , i = 1,2,3,4,5 zij ∈ {0,1} , i = 1,2,3,4,5; j = 0,1,2,3. xi

Otra alternativa para resolver este problema, es la siguiente: (2,0 Puntos) a) Variables de Decisión: zij

∈ {0,1}

zij = 1 Si se instalan i tiendas del tipo j. (0,2 Puntos) zij = 0 En caso contrario. i = 0,1,2,3; j = 1,2,3,4,5. Donde 1 = Calzado; 2 = Electrodomésticos; 3 = Joyas; 4 = Libros; 5 = Vestuario.

b) Función Objetivo: Maximizar la ganancia anual de los dueños del mal, esto es: (0,4 Puntos) Maximizar Z = 0,05*(11z11 + 16z21 + 18z31 + 29z12 + 34z22 + 45z32 + 14z13 + 24z23 + 27z33 + 22z14 + 22z24 + 21z34 + 25z15 + 30z25 + 30z35) c) Restricciones: •

•

•

Existe un número mínimo y máximo de tiendas que se deben construir de cada tipo (esta restricción puede ser redundante dada la restricción siguiente), esto es: (0,5 Puntos) o

Calzado)

1 ≤ 0z01 + 1z11 + 2z21 + 3z31 ≤ 3

o

Electrod.)

1 ≤ 0z02 + 1z12 + 2z22 + 3z32 ≤ 3

o

Calzado)

0 ≤ 0z03 + 1z13 + 2z23 + 3z33 ≤ 3

o

Libros)

0 ≤ 0z04 + 1z14 + 2z24 + 3z34 ≤ 3

o

Vestuario)

1 ≤ 0z05 + 1z15 + 2z25 + 3z35 ≤ 3

Solo una variable binaria de cada tipo de tienda puede tomar el valor 1. (0,5 Puntos) o

Calzado)

z01 + z11 + z21 + z31 ≤ 1

o

Electrod.)

z02 + z12 + z22 + z32 ≤ 1

o

Calzado)

z03 + z13 + z23 + z33 ≤ 1

o

Libros)

z04 + z14 + z24 + z34 ≤ 1

o

Vestuario)

z05 + z15 + z25 + z35 ≤ 1

Área total disponible en el mall: (0,3 Puntos)

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Ingeniería Civil Industrial

60z11 + 120z21 + 180z31 + 150z12 + 300z22 + 450z32 + 50z13 + 100z23 + 150z33 + 70z14 + 140z24 + 210z34 + 90z15 + 180z25 + 270z35 ≤ 1000 d) Restricción de Integralidad: (0,1 Punto) zij 2.

∈ {0,1} , i = 0,1,2,3; j = 1,2,3,4,5.

Tabla 3 (2,0 puntos) Una cafetería está abierta diariamente desde las 08:00 a las 22:00 Turno Duración de cada turno Costo por cada trabajador ($) 1 07:00 a 11:00 32 horas. Además de las horas en que está 2 07:00 a 15:00 80 abierto, la cafetería requiere de trabajadores 3 11:00 a 15:00 32 una hora antes de abrir, con el fin de que 4 11:00 a 19:00 80 queden las máquinas listas para la 5 15:00 a 19:00 32 preparación del café, y una hora después de 6 15:00 a 23:00 80 cerrar, para hacer el aseo del local. La 7 19:00 a 23:00 32 cafetería opera con trabajadores de media jornada (4 horas) y jornada completa (8 horas) en los turnos definidos en la tabla 3. Los trabajadores mínimos necesarios durante cada bloque de hora se muestran en la tabla 4. Tabla 4

Se sabe que al menos un trabajador de jornada completa debe estar disponible una hora antes de abrir el local y una hora después de cerrar el local. Además, al menos el 30% de los empleados debe ser de jornada completa durante los bloques más ocupados de la cafetería, siendo éstos los de las 11:00 a las 13:00 y de las 17:00 a las 19:00 horas.

Bloque de Horas

Trabajadores Mínimos Necesarios

07:00 a las 11:00

11

11:00 a las 13:00

24

Formule el modelo que permita a la cafetería minimizar los costos de contratación de empleados.

13:00 a las 15:00

16

15:00 a las 17:00

10

17:00 a las 19:00

22

19:00 a las 21:00

17

21:00 a las 23:00

6

Desarrollo Pregunta N°2: (2,0 Puntos) a) Variables de Decisión: xij = número de trabajadores contratados por jornada i para el turno j. (0,3 Puntos) Donde i = {1,2} = {completa,media}; j = 1,2,3,4,5,6,7. b) Función Objetivo: minimizar los costos de contratación de empleados (Costos empleados jornada completa + costos empleados media jornada), esto es: (0,3 Puntos) Minimizar Z = 80*(x12 + x14 + x62) + 32*(x21 + x23 + x25 + x27) c) Restricciones: •

Existe una cantidad de trabajadores mínimos para cada uno de los bloques, esto es: (0,7 Puntos) o

Bloque 1)

x12 + x21 ≥ 11

o

Bloque 2)

x12 + x23 + x14 ≥ 24

o

Bloque 3)

x12 + x23 + x14 ≥ 16

o

Bloque 4)

x14 + x25 + x16 ≥ 10

o

Bloque 5)

x14 + x25 + x16 ≥ 22

o

Bloque 6)

x16 + x27 ≥ 17

o

Bloque 7)

x16 + x27 ≥ 6

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•

•

Ingeniería Civil Industrial

Al menos un trabajador de jornada completa debe estar disponible, (0,2 Puntos) o

Una hora antes de abrir el local)

x12 ≥ 1

o

Una hora después de cerrar el local)

x16 ≥ 1

El 30% de los empleados debe ser de jornada completa durante los bloques más ocupados: (0,4 Puntos) o

11:00 a las 13:00)

x12 + x14 ≥0,3*(x12 + x23 + x14)

o

17:00 a las 19:00)

x14 + x16 ≥0,3*(x14 + x25 + x16)

d) Restricción de Integralidad: (0,1 Punto) xij

∈ Z+ , i = 1,2. ; j = 1,2,3,4,5,6,7.

Otra alternativa para resolver este problema, es considerar el turno para decidir si se trata de un trabajador a media jornada o jornada completa: (2,0 Puntos) a) Variables de Decisión: xj = número de trabajadores contratados para el turno j. (0,3 Puntos) Donde j = 1,2,3,4,5,6,7. b) Función Objetivo: minimizar los costos de contratación de empleados (Costos empleados jornada completa + costos empleados media jornada), esto es: (0,3 Puntos) Minimizar Z = 80*(x2 + x4 + x2) + 32*(x1 + x3 + x5 + x7) c) Restricciones: •

•

•

Existe una cantidad de trabajadores mínimos para cada uno de los bloques, esto es: (0,7 Puntos) o

Bloque 1)

x2 + x1 ≥ 11

o

Bloque 2)

x2 + x3 + x4 ≥ 24

o

Bloque 3)

x2 + x3 + x4 ≥ 16

o

Bloque 4)

x4 + x5 + x6 ≥ 10

o

Bloque 5)

x4 + x5 + x6 ≥ 22

o

Bloque 6)

x6 + x7 ≥ 17

o

Bloque 7)

x6 + x7 ≥ 6

Al menos un trabajador de jornada completa debe estar disponible, (0,2 Puntos) o

Una hora antes de abrir el local)

x2 ≥ 1

o

Una hora después de cerrar el local)

x6 ≥ 1

El 30% de los empleados debe ser de jornada completa durante los bloques más ocupados: (0,4 Puntos) o

11:00 a las 13:00)

x2 + x4 ≥0,3*(x2 + x3 + x4)

o

17:00 a las 19:00)

x4 + x6 ≥0,3*(x4 + x5 + x6)

d) Restricción de Integralidad: (0,1 Punto) xj

∈ Z+ , j = 1,2,3,4,5,6,7.

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3.

Ingeniería Civil Industrial

(2,0 puntos) La Tiempo de Viaje desde Barrios a Locales Potenciales (en minutos) Población empresa de Barrios (en miles) L1 L2 L3 L4 L5 L6 supermercados Home B1 15 17 27 5 25 22 12 Delivery realiza entregas B2 10 12 24 4 22 20 8 a domicilio en el mismo B3 5 6 17 9 21 17 11 día a sus clientes. En B4 7 6 8 15 13 10 14 estos momentos, la B5 14 12 6 23 6 8 22 empresa está analizando B6 18 17 10 28 9 5 18 B7 11 10 5 21 10 9 16 expandirse a la ciudad de B8 24 22 22 33 6 16 20 Metrópolis, donde ha identificado ocho barrios donde podría concentrar su negocio. El área de logística de la empresa ha detectado seis locales factibles donde ubicar sus supermercados, desde donde podría atender a los barrios de la ciudad. La tabla de arriba muestra el tiempo promedio (en minutos) necesarios para viajar desde cada local potencial hacia cada barrio. Además, se presenta la población (en miles de habitantes) que podría ser atendida por la empresa en cada barrio. La empresa espera instalar dos supermercados, de manera de maximizar la población atendida en a lo más 12 minutos. Formule el modelo que permita a la empresa Home Delivery alcanzar este objetivo.

Desarrollo Pregunta N°3: (2,0 Puntos) a) Variables de Decisión: xi

∈ {0,1}

xi = 1 Si se instala el supermercado en el local i.(0,2 Puntos) xi = 0 En caso contrario. i = 1,2,3,4,5,6 = {L1,L2,L3,L4,L5,L6}

yj

∈ {0,1}

yj = 1 Si el barrio j es atendido en menos de 12 minutos por algún supermercado. (0,2 Puntos) yj = 0 En caso contrario. j = 1,2,3,4,5,6,7,8 = {B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B8}

b) Función Objetivo: Maximizar la población atendida, esto es: (0,4 Puntos) Maximizar Z = 12y1 + 8y2 + 11y3 + 14y4 + 22y5 + 18y6 + 16y7 + 20y8 c) Restricciones: •

•

Un barrio puede ser atendido sólo si existe un supermercado instalado a menos de 12 minutos, esto es: (0,8 Puntos) o

Barrio 1)

y1 ≤ x4

o

Barrio 2)

y2 ≤ x1 + x2 + x4

o

Barrio 3)

y3 ≤ x1 + x2 + x4

o

Barrio 4)

y4 ≤ x1 + x2 + x3 + x5 + x6

o

Barrio 5)

y5 ≤ x2 + x3 + x5 + x6

o

Barrio 6)

y6 ≤ x3 + x5 + x6

o

Barrio 7)

y7 ≤ x1 + x2 + x3 + x5 + x6

o

Barrio 8)

y8 ≤ x5

Sólo se instalarán dos supermercados, esto es: (0,3 Puntos) 6

∑x i =1

d) Restricción de Integralidad: (0,1 Punto)

i

=2

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∈ {0,1} yj ∈ {0,1} xi

i = 1,2,3,4,5,6 = {L1,L2,L3,L4,L5,L6} j = 1,2,3,4,5,6,7,8 = {B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B8}

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