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• Didier David Santamaria

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TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

Unidad 2: Paso 3 – Planificar métodos y herramientas para el diseño de filtros digitales

Presentado por: John Jairo Gómez Código: 1143949873

Grupo: 208052A_614

Presentado a: MAURICIO ALBERTO GARCIA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD CEAD CALI OCTUBRE DE 2019

INTRODUCION

cuenta diagramas encontrados y/o copiados de internet.

Desarrollo de las actividades.  Cada estudiante escogerá una (1) ecuación de diferencia de las expuestas a continuación, luego reportará en el foro su decisión, esto con el fin de que cada estudiante tenga una ecuación diferente. Ecuaciones de diferencia: 𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] + 𝑏1𝑥[𝑛 − 1] + 𝑏2𝑥[𝑛 − 2] − 𝑎1𝑦[𝑛 − 1] + 𝑎2𝑦[𝑛 − 2] 𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] + 𝑏1𝑥[𝑛 − 1] − 𝑎1𝑦[𝑛 − 1]

 Cada estudiante realizará la transformada Z de la ecuación de diferencias. Esta debe realizarse en el editor de ecuaciones de Word. No se aceptan pantallazos. y[n] = b0 x[n] + b1 x[n − 1] + b2 x[n − 2] − a1 y[n − 1] + a2 y[n − 2]

𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] + 𝑏1𝑥[𝑛 − 1] + 𝑎1𝑦[𝑛 − 1] 𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] − 𝑎1𝑦[𝑛 − 1] − 𝑎2𝑦[𝑛 − 2] 𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] + 𝑏1𝑥[𝑛 − 1] + 𝑏2𝑥[𝑛 − 2] Para esta actividad se trabajará con la siguiente ecuación: 𝑦[𝑛] = 𝑏0𝑥[𝑛] + 𝑏1𝑥[𝑛 − 1] + 𝑏2𝑥[𝑛 − 2] − 𝑎1𝑦[𝑛 − 1] + 𝑎2𝑦[𝑛 − 2]  Cada estudiante realizará el diagrama de bloques de su ecuación de diferencia en la página de internet:

y(z) = b0 x(z) + b1 x(z)z −1 + b2 x(z)z −1 − a1 y(z)z −1 +a2 y(z)z −2 y(z) + a1 y(z)z −1 −a2 y(z)z −2 = b0 x(z) + b1 x(z)z −1 + b2 x(z)z −2 y(z)(1 + a1 z −1 −a2 z −2 ) = x(z)(b0 + b1 z −1 + b2 z −2 )

https://www.draw.io/ Para ingresar a la aplicación, deben dar click donde aparece: “Decide Later”. Una vez realicen el diagrama, pueden tomar pantallazo y copiarlo al informe. NOTA: También puede realizarlo en otro software que permita realización de diagramas de flujo, no se tendrán en

 Una vez se tenga la transformada Z de la ecuación de diferencia, cada estudiante hallará la función de transferencia del sistema H(Z). Esto también se realizará con el editor de ecuaciones de Word. Recordar que la función de transferencia es: Y(Z) H(Z) = X(z)

y(z)(1 + a1 z −1 −a2 z −2 ) = x(z)(b0 + b1 z −1 + b2 z −2 )

H(ω) = b0 +b1 cos(ω)+b2 cos(2ω)−j( b1 sin(ω)−b2 sin(2ω)) 1+a1 cos(ω)−a2 cos(2ω)−j(a1 sin(ω)+a2 sin(2ω))

Reemplazando Y(z) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 = X(z) 1 + a1 z −1 −a2 z −2

A= b0 + b1 cos(ω) + b2 cos(2ω) B= b1 sin(ω) − b2 sin(2ω) C= 1 + a1 cos(ω) − a2 cos(2ω)

−1

H(z) =

−2

b0 + b1 z + b2 z 1 + a1 z −1 −a2 z −2

 Una vez se tenga la función de transferencia, se hallará la respuesta en frecuencia del sistema, remplazando: Z = ejw H(ω) =

b0 + b1 e−jω + b2 e−2jω 1 + a1 e−jω − a2 e−2jω

 Una vez se cuente con la respuesta en frecuencia del sistema, se hallará la magnitud de la respuesta en frecuencia, para ello se aplicará la identidad de Euler, que según el caso se podría utilizar cualquiera de las siguientes ecuaciones: ejw = cos(ω) + j sin(ω) e−jw = cos(ω) − j sin(ω) Para hallar la función de magnitud, recordar utilizar la siguiente ecuación: |a + bj| = √a2 + b 2 Donde a y b son los coeficientes del número imaginario (𝒂 + 𝒃𝒋) Reemplazando j sin(ω) en H(ω) H(ω) =

e−jw = cos(ω) −

b0 +b1 (cos(ω)−j sin(ω))+b2 (cos(2ω)−j sin(2ω)) 1+a1 (cos(ω)−j sin(ω))−a2 (cos(2ω)−j sin(2ω))

D=(a1 sin(ω) + a2 sin(2ω) Tenemos: A − jB C − JD Multiplicando por el complejo conjugado H(ω) =

A − jB C + jD ∗ C − JD C + JD AC + jAD − jBC − BDj2 H(ω) = 2 C + jCD − jCD − D2 j2 AC + BD + j(AD − BC) H(ω) = C2 + D2 AC + BD AD − BC H(ω) = 2 + j C + D2 C2 + D2 |H(ω)| = |a + bj| H(ω) =

AC + BD 2 AD − BC 2 = √( 2 ) + ( ) C + D2 C2 + D2

 Se hallará la función que represente la respuesta en Fase del sistema, recordar utilizar la siguiente ecuación: b θ(a + bj) = arctan = a Donde a y b son los coeficientes del número imaginario (𝒂 + 𝒃𝒋) NOTA: Para los sistemas recursivos (retrasos en salida) y no recursivos (retrasos en entrada), deben separar los términos reales de los imaginarios, con el fin de hallar las funciones de magnitud y fase. En el caso de los sistemas recursivos, deben multiplicar

el numerador y denominador de la función racional, por el complejo conjugado del denominador. Recordar realizar todas las ecuaciones en el editor de Word (No se aceptan imágenes) AD − BC 2 2 θH(ω) = arctan = C + D AC + BD C2 + D2 AD − BC θH(ω) = arctan = AC + BD

 Diagrama de Bode

 Realizar simulación en Matlab (Simulink), para hallar los siguientes diagramas: H(z) = H(z) =

b0 + b1 z −1 + b2 z −2 1 + a1 z −1 −a2 z −2

0.4 + 0.3z −1 + 0.7z −2 1 + 0.4z −1 − 0.5z −2

 Respuesta al impulso del sistema

 Cada estudiante realizará de manera individual, aportes teóricos (incluir ecuaciones con editor de word) sobre los siguientes temas: 1) ¿Qué es la transformada Z? 2) ¿Qué representa Z en una función? 3) ¿Cuál es la diferencia entre la transformada Z bilateral y la unilateral? 4) ¿Cómo se calcula los polos y ceros de una transformada Z? 5) ¿Qué es la respuesta en frecuencia de un sistema? 6) ¿Qué es la respuesta en fase de un sistema?

 Diagrama de polos y ceros

CONCLUSIÓN

BIBLIOGRAFIA