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NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** SEGUNDO TRIMESTRE 2.015 RUTA DE APRENDIZAJE SEGUNDO TRIMESTRE

ABRIL 27 AL

DE AGOSTO

MATEMATICAS

11°B

Y 11°C

DOCENTE : MARLENY ALVAREZ DIAZ

¿Cuáles procesos y conceptos de la matemática escolar debo consolidar para fortalecer el desarrollo del pensamiento matemático en mi formación académica?

ALEATORIO

NUMERICO

PENSAMI ENTO

ESTANDAR BASICO DE COMPETENCIA

• Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales. • Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada

Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad

ESTANDARDES DE CONTENIDOS

INECUACIONES

FUNCIONES Y GRAFICAS

SUCESIONES Y PROGRESIONES

LIMITES Y CONTINUIDAD DERIVACION

Probabilidad: Generalidades Técnicas de conteo

DESEMPEÑO ACTITUDINAL

INDICADORES DE DESEMPEÑO

1. Resuelve inecuaciones lineales, cuadráticas, racionales y de valor absoluto. 2.Identifica los conceptos de relación y función. Identifica diversas gráficas de funciones y determina su dominio y su rango. Resuelve situaciones problemicas que requieren el uso de funciones. 3. Deduce e interpreta las fórmulas relacionadas con las progresiones aritméticas, geométricas, sucesiones y series y resuelve tipos de problemas relacionados con ellas. 4. Comprende las características y las propiedades de los límites. 5. Calcula la derivada de una función e interpreta las diferentes reglas de derivación.

1. Aplica conceptos básicos de probabilidad en la resolución de problemas. 2. Determina el número de elementos de un espacio muestral aplicando diferentes técnicas de conteo.

Demuestra gran interés y entusiasmo frente a su proceso de aprendizaje. Se esmera por mejorar y alcanzar las metas de propuestas mostrando una actitud positiva y receptiva en todo momento. Acepta y valora las sugerencias que se le brindan para mejorar y fortalecer su proceso formativo. Actúa responsablemente para alcanzar las metas propuestas.

CRITERIOS DE EVALUACION:       

Adquisición puntual de la temática en material impreso y trabajo responsable del mismo en clase. Manejo de la carpeta de matemáticas de forma completa y ordenada (organizada) . Puntualidad y Responsabilidad en el cumplimiento de sus compromisos académicos: actividades para la casa, talleres, consultas, etc. Participación e interés durante el momento pedagógico en actividades individuales o en equipo Preparación responsable de quices, evaluaciones escritas . Preparación responsables de la trimestral ó evaluación periódica : ( valor: 25% ) Presentación de acciones de seguimiento que le permitan superar sus dificultades.

FIRMA DEL ACUDIENTE

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4. FUNCIONES Una función es una relación establecida entre dos variables que asocia a cada valor de la primera variable (variable independiente x), un único valor de la segunda variable (variable dependiente y). Esta relación se representa mediante 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Para que una relación sea una función debe cumplir las siguientes condiciones: 1. Cada elemento del conjunto A debe estar relacionado con un elemento del conjunto B. 2. Un elemento de A no puede relacionarse con dos o más elementos diferentes de B.

4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN. DOMINIO, RECORRIDO Y GRÁFICA : Las funciones se pueden determinar de varias formas:  numéricamente: por medio de una tabla  algebraicamente: por medio de una formula  gráficamente: por medio de una gráfica. Dada una función

𝑦 = 𝑓(𝑥)

 Se llama dominio de f al conjunto de valores que toma la variable independiente, 𝒙. Se indica como 𝑫𝒐𝒎 𝒇. El dominio está formado, por tanto, por los valores de 𝒙 para los que existe la función, es decir, para los que hay un 𝒇(𝒙).  El recorrido es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, 𝒚, esto es el conjunto de las imágenes. Se representa como 𝑰𝒎 𝒇.

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EJERCICIO 1 : 1. A partir de los siguientes enunciados determina las variables dependientes e independientes y la función que establece dicha dependencia:  El coste de consumo de electricidad que se factura con la siguiente regla: un coste fijo de 11,78 € por la potencia contratada y 0,092834 € por kWh.  El importe a pagar en una gasolinera en la que cada litro de gasolina se cobra a 1,14 €.  La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y 𝑥 cm respectivamente. 2. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

3. Las siguientes curvas son las gráficas de varias funciones. Determina para cada una de ellas su dominio y recorrido:

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NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** SEGUNDO TRIMESTRE 2.015 4. Responda : a. Un recipiente vacío comienza a llenarse con agua a ritmo constante. Al cabo de un minuto la altura del nivel del agua es de 3 cm. A los dos minutos, de 6 cm, y así, sucesivamente. Escriba una función que represente la altura del nivel del agua, considerando el tiempo transcurrido. b. Un recipiente que contiene 100 mm de agua (1 cm de altura), comienza a llenarse a un ritmo constante de 3 cm por minuto. ¿Cuál es la función que representa el nivel del agua en cada instante? A los 6 minutos desde que el recipiente comienza a llenarse, ¿cuál es la altura del nivel del agua? c. Un taxista cobra un costo fijo por subir al taxi más $ 550 por kilómetro recorrido. Un pasajero que recorre 4 kilómetros en el taxi canceló $ 2.440. Cuál es la función que representa el valor que debe cancelar un pasajero que recorre 𝒙 kilómetros?

4.2 TIPOS DE FUNCIONES

FUNCION POLINOMICA

FUNCION RACIONAL

FUNCION VALOR ABSOLUTO

FUNCION CUBICA

FUNCION IRRACIONAL

FUNCION PARTE ENTERA

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NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** SEGUNDO TRIMESTRE 2.015 4.2.1 FUNCION CONSTANTE: Su expresión analítica es 𝒚 = 𝒌 , donde 𝑘 es un número real. Su gráfica es una línea recta paralela al eje de las 𝑥.

4. 2. 2 FUNCION LINEAL : Su expresión analítica es 𝒚 = 𝒎𝒙

.

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de las coordenadas y por el punto ( 1 , 𝑚) , donde 𝒎 es la pendiente de la recta y expresa su inclinación.

4. 2. 3 FUNCION AFIN : Su expresión analítica es 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 . Su dominio es ℝ . Su gráfica es una línea recta que pasa por el punto ( 0 , b ) y por el punto ( 1 , m+b )

ACTIVIDAD N° 1 : OBSERVE Y RESPONDA :

Coloca cada expresión algebraica en la correspondiente celda. Fíjate : cuanto mayor es la pendiente, más inclinada está la recta.

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NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** SEGUNDO TRIMESTRE 2.015 4. 2. 4 FUNCION LINEAL A TROZOS : Son funciones cuya gráfica está formada por trozos de recta. La expresión analítica de una función definida a trozos viene dada por las expresiones de cada recta y el intervalo en que se encuentra el trozo.

4. 2. 5 FUNCIONES LINEALES A TROZOS DISCONTINUAS A veces, los trozos de rectas que forman una función lineal a trozos no están unidos, entonces, se dice que son funciones lineales a trozos discontinuas.

ACTIVIDAD N° 2: 1. Señala la gráfica de la función : 𝒚 = 𝒇(𝒙) . Justifica su elección. x + 2 si x < -2

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NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** SEGUNDO TRIMESTRE 2.015 2. Pedro ha realizado un viaje de 500 km., con su familia y ha llevado un control minucioso de la cantidad de gasolina que había en el depósito reflejándolo en la gráfica que trazó. Ha llenado el tanque de la gasolina dos veces. Responda: a. Cuántos litros de gasolina tenía en el depósito al salir? b. Cuántos litros de gasolina tenía en el depósito al llegar? c. Cuántos litros de gasolina tanqueó por primera vez? d. ¿En qué kilómetro del recorrido tanqueó por segunda vez? e. Cuántos litros de gasolina consumió en el viaje?

4. 2. 5 FUNCIONES RACIONALES O DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Son funciones cuya expresión analítica es de la forma 𝒚 =

𝒂 𝒙

donde 𝒂 pertenece a los números reales.

 ALGUNAS CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES RACIONALES:

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NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** SEGUNDO TRIMESTRE 2.015 ACTIVIDAD 3 : 1. Cuál función de las tres indicadas se ha representado en el gráfico?

Justifique:

2. El tiempo que tarda en llenarse un estanque de agua de 2000 litros de capacidad es una función del caudal que le llega por su canal de entrada. Una función de proporcionalidad inversa. Responda: a. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse el estanque si el caudal de entrada es de 100 litros por minuto? b. Y si el caudal de entrada es de 200 litros por minuto?

c. Cuántos litros tiene que entrar por minuto para que se llene en 40 minutos? d. Y para que se llene en 50 minutos?

3. Señala la función de la gráfica :

Justifica su elección :

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NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** SEGUNDO TRIMESTRE 2.015 4.2.6 FUNCION CUADRATICA Son funciones cuya expresión analítica es de la forma 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 , siendo 𝑎 ≠ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola.

CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES CUADRATICAS: Vértice:

Eje de simetría: Recta que pasa por el vértice, su ecuación es

Ordenada al origen: es el valor que toma la función cuando x vale cero.

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NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** SEGUNDO TRIMESTRE 2.015 EJERCICIO N° 2 : 1. En una prueba de saltos de trampolín un saltador se impulsa verticalmente hacia arriba. Desde la punta del trampolín situada a 4 metros de la lámina del agua de la piscina, la altura del saltador viene dada en cada instante por la función: f(t) =

−1 2 𝑡 2

− 2𝑡 + 4

Complete : a. La altura máxima del saltador es b. El tiempo en alcanzar dicha altura es c. El instante que impacta con el agua es

2. Según una estadística, el brote de rubeola en el año 2005 en el colegio de primaria Los Álamos fue muy intenso. El número de niños afectados cada día viene dado por la función f(x) = −𝑥 2 + 20𝑥 , siendo x el número de días transcurridos desde que se descubrió el brote. Observa la gráfica y luego contesta las preguntas: a. Cuántos niños fueron contagiados por el virus de rubeola en 5 días? b. A partir de cual día deja de extenderse el virus? c. A los cuántos días desaparece por completo el brote del virus?

3. Un jugador golpea una pelota de béisbol a una altura de 6 ft sobre el nivel del suelo, a una velocidad de 100 ft/s. La trayectoria de la pelota está definida por la función cuadrática: f(x) = −0.0064 𝑥 2 + 2𝑥 + 6 en donde 𝑓(𝑥) es la altura que alcanza la pelota y X la distancia desde home, ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

4. Un fabricante de accesorios para bicicletas tiene costos diarios de producción por: C(x) = 700 − 4x + 0.5 𝑥2 en donde C(x) es el costo total en pesos y 𝑥 el número de unidades producidas. ¿Cuántas unidades debe producir diariamente para obtener un costo mínimo?

5. El arco de un puente que cruza un río, se adapta a la función cuadrática

h(x) = −

1 20

𝑥(𝑥 − 20)

, donde "h" es la

altura del arco y "x" es el ancho del río, ambos en metros. a) ¿Cuál es la altura máxima a que se elevará el arco? b) ¿A qué distancia del margen del río alcanzará el puente la altura máxima? c) ¿Qué altura tendrá el arco a 5 m de la orilla?

6. Determina en cada gráfica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y los mínimos:

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NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** SEGUNDO TRIMESTRE 2.015 4.2.7 FUNCION EXPONENCIAL Son funciones cuya expresión analítica es de la forma 𝑦 = 𝑎 𝑥 , siendo a un número real positivo distinto de 1.

ALGUNAS CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES: En los mismos ejes cartesianos se han representado las funciones exponenciales:

ACTIVIDAD 4 : 1. Qué función se ha representado en cada una de las gráficas?

a.

Justfique.

b.

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NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** SEGUNDO TRIMESTRE 2.015 2. El crecimiento de un país viene dado por la fórmula:

Un país tiene una población de 10 millones de habitantes y se espera que se duplique en 20 años. Responda de acuerdo a la gráfica: Cuántos habitantes tendrá el país dentro de : a. 40 años? b. 60 años? c. 100 años?

4.2.8 FUNCIONES PERIODICAS: Una función es periódica cuando su valor se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. El valor de este intervalo se llama periodo. 𝒇 (𝒙 + 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐) = 𝒇(𝒙)

Una cisterna se llena y vacía automáticamente expulsando 6 litros de agua cada 5 minutos, siguiendo el ritmo de la gráfica. Cuando el depósito está vacío comienza el llenado, que cuesta 1 minuto, permanece lleno 3,5 minutos y se vacía en 0,5 minutos.

Este proceso se repite periódicamente. Para conocer el volumen de agua en el depósito en cada instante es necesario conocer lo que ocurre en estos primeros 5 minutos. Así a los 14 minutos, la cantidad de agua es: 𝑓(14) = 𝑓( 4 + 2 · 5 ) = 𝑓(4) = 6 Al dividir 14:5 , cociente = 2 resto = 5

En general, si el periodo es 5:

𝒇(𝒙 + 𝟓 · 𝒏) = 𝒇(𝒙)

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NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** SEGUNDO TRIMESTRE 2.015 4.3 SIMETRIAS : La gráfica de algunas funciones puede presentar algún Tipo de simetría que si se estudia previamente, facilita su dibujo.  Una función es simétrica respecto al eje OY, Si 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥). En este caso la función se dice PAR.  Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas cuando 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). En este caso la función se dice IMPAR.

EJERCICIO N° 3 : 1.

2.

3.

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NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** SEGUNDO TRIMESTRE 2.015 4. En cada caso la gráfica representa un tramo o periodo de una función periódica, representa otros tramos, indica el periodo y calcula la imagen del punto de abscisa que se indica :

5. El gráfico muestra cómo varía la gasolina que hay en mi coche durante un viaje de 520 km por una autovía. a) ¿Cuánta gasolina había al cabo de 240 km?. En el depósito caben 40 litros, ¿cuándo estaba lleno más de medio depósito?. b) ¿En cuántas gasolineras paré?, ¿en qué gasolinera eché más gasolina?. Si no hubiera parado, ¿dónde me habría quedado sin gasolina? c) ¿Cuánta gasolina usé en los primeros 200 km?. ¿Cuánta en todo el viaje?. ¿Cuánta gasolina gasta el coche cada 100 km en esta autovía?.

6. El gráfico da el espacio recorrido por dos coches que realizan un mismo trayecto. a) ¿Cuál es la distancia recorrida?. ¿Si el primer coche salió a las 10:00, a qué hora salió el 2º?. ¿Cuánto le costó a cada uno hacer el recorrido? b) ¿Cuánto tiempo y dónde estuvo parado cada coche?. ¿En qué km adelantó el 2º al 1º?,¿y el 1º al 2º?. c) ¿Qué velocidad media llevaron en el trayecto total?, ¿en qué tramo la velocidad de cada coche fue mayor?.

7. María y Jorge son dos personas más o menos típicas. En la gráfica puedes comparar como ha crecido su peso en sus primeros 20 años . a) ¿Cuánto pesaba Jorge a los 8 años?, ¿y María a los 12?. ¿Cuándo superó Jorge los 45 kg?. b) ¿A qué edad pesaban los dos igual?. ¿Cuándo pesaba Jorge más que María?, ¿y María más que Jorge? c) ¿Cuál fue el promedio en kg/año de aumento de peso de ambos entre los 11 y los 15 años?. ¿En qué periodo creció cada uno más rápidamente? 14

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