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• Petronila Claros

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F´ısica III 1 Taller 1: F´ısica III 1. Es una pelota que rebota un ejemplo de movimiento arm´onico simple? Es el movimiento diario de un estudiante de la casa a la escuela y de la escuela a la casa un movimiento arm´onico simple? Por qu´e o por qu´e no? 2. Si la coordenada de una part´ıcula var´ıa como ξ(t) = −A cos ωt , cu´al es la constante de fase en la ecuaci´on ξ(t) = A cos (ωt + φ)? Cu´al es la posici´on de la part´ıcula en el instante t = 0? 3. Es el desplazamiento de una part´ıcula oscilante entre t = 0 y un tiempo posterior t, necesariamente igual a la posici´on de la part´ıcula en el instante t? Explique. 4. Determinar si las siguientes cantidades pueden tener o no, la misma direcci´on para un oscilador arm´onico simple: a) posici´on y velocidad, b) velocidad y aceleraci´on, c) posici´on y aceleraci´on. 5. Puede determinarse la amplitud A y la constante de fase φ para un oscilador si s´olo especifican la posici´on en el instante t = 0? Explique. 6. La posici´on inicial, velocidad y aceleraci´on de un objeto movi´endose con movimiento arm´onico simple son ξi , vi y ai ; la frecuencia angular de oscilaci´on es ω. (a) Mostrar que la posici´on y velocidad del objeto en cualquier tiempo puede ser escrita como v  i ξ(t) = ξi cos ωt + sin ωt ω v(t) = −ξi ω sin ωt + vi cos ωt (b) Si la amplitud del movimiento es A muestre que v 2 − ax = vi2 − ai ξi = ω 2 A2 7. En un motor, un pist´on oscila con movimiento arm´onico simple de manera que su posici´on var´ıa en funci´on de la expresi´on ξ(t) = (5.00cm) cos (2t + π/6) donde ξ est´a dado en cent´ımetros y t est´a en segundos. En t = 0, encuentre (a) la posici´on del pist´on, (b) su velocidad y (c) su aceleraci´on. (d) Encuentre el periodo y la amplitud del movimiento. 1 J.

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8. Una part´ıcula que cuelga de un resorte oscila con frecuencia angular ω. El muelle est´a suspendido desde el techo de una cabina del ascensor y cuelga inm´ovil(con respecto al movimiento del ascensor) ya que el ascensor desciende a una velocidad constante v. El ascensor se detiene de repente. (a) Con qu´e amplitud oscila la part´ıcula? (b) Cu´al es la ecuaci´on de movimiento para la part´ıcula? Elija la direcci´on hacia arriba como positiva. 9. Un bloque de masa desconocida est´a unido a un resorte con una constante de elasticidad de 6.5N/m con movimiento arm´onico simple con una amplitud de 10.0cm. Cuando el bloque se encuentra en la mitad entre su posici´on de equilibrio y el punto final, su velocidad es de 30cm/s. Calcular (a) la masa del bloque, (b) el periodo del movimiento y (c) la aceleraci´on m´axima del bloque. 10. Un objeto de 50 g sujeto a un resorte con una constante de fuerza de 35N/m oscila en una superficie horizontal sin fricci´on con una amplitud de 4.0cm. Hallar: (a) la energ´ıa total del sistema, (b) la velocidad del objeto cuando la posici´on es 1.0cm , (c) la energ´ıa cin´etica y (d) la energ´ıa potencial cuando la posici´on es de 3.0cm. 11. La amplitud de un sistema que se mueve en un movimiento arm´onico simple se duplica. Determine el cambio en (a) la energ´ıa total, (b) la velocidad m´axima, (c) la aceleraci´on m´axima y (d) el periodo. 12. Considere el p´endulo f´ısico de la figura (1). (a) Si su momento de inercia alrededor de un eje que pasa por su centro de masa y es paralelo al eje que pasa por su punto pivote es ICM , demuestre que su periodo es s ICM + md2 T = 2π mgd donde d es la distancia entre el punto pivote y el centro de masa. (b) Muestre que el periodo tiene un valor m´ınimo cuando d satisface md2 = ICM . 13. Muestre que la tasa de cambio en el tiempo de la energ´ıa mec´anica correspondiente a un oscilador amortiguado sin accionamiento est´a dada por dE/dt = −bv 2 y, en consecuencia, siempre es negativa. (Sugerencia: Diferencie la expresi´on para la energ´ıa mec´anica d2 x de un oscilador, E = 12 mv 2 + 12 κx2 y utilice la ecuaci´on −κx − b dx dt = m dt2 .) 14. Un p´endulo de 1.00m de longitud se suelta desde un a´ ngulo inicial de 15.0o . Despu´es de 1000s, debido a la fricci´on su amplitud se ha reducido a 5.5o . Cu´al es el valor de b/2m? 15. Una masa de 2.00kg unida a un resorte es accionada por una fuerza externa F = (300N ) cos (2πt). Si la constante de fuerza del resorte es 20.0N/m determine, (a) el periodo y (b) la amplitud del movimiento. (Sugerencia: Suponga que no hay amortiguamiento, es decir, que b = 0 y utilice la ecuaci´on A = q F02/m bω 2 ) (ω 2 −ω0 )2 +( m ) 2

Figura 1: P´endulo f´ısico

16. Un peso de 40.0N se suspende de un resorte cuya constante de fuerza es de 200N/m. El sistema es subamortiguado y se somete a una fuerza arm´onica de 10.0Hz de frecuencia, lo que origina una amplitud de movimiento forzado de 2.00cm. Determine el valor m´aximo de la fuerza. 17. Una masa M est´a unida al extremo de una barra uniforme de masa M y longitud L que puede girar en su parte superior (ver figura 2). (a) Determine las tensiones en la barra en el pivote y en el punto P cuando el sistema est´a estacionario. (b) Calcule el periodo de oscilaci´on para desplazamientos peque˜nos desde la posici´on de equilibrio, y determine este periodo para L = 2.00m. (Sugerencia: Suponga que la qmasa en el extremo de la 2π I barra es una masa puntual y utice la ecuaci´on T = ω = 2π mgd ).

Figura 2: P´endulo f´ısico

18. Una esfera s´olida de radio R rueda sin deslizar en un canal cil´ındrico de radio 5R como se indica en la figura (3). Demuestre que, para peque˜nos desplazamientos desde el punto 3

de equilibrio perpendicular a la longitud pdel canal, la esfera ejecuta un movimiento arm´onico simple con un periodo T = 2π 28R/5g .

Figura 3: Esfera s´olida

19. Un recipiente c´ubico ligero de volumen a3 al principio est´a lleno de un l´ıquido de densidad de masa ρ. El cubo est´a soportado inicialmente, por una cuerda ligera y forma un p´endulo de longitud L0 medida desde el centro de masa del recipiente lleno. Se deja que el l´ıquido fluya desde el fondo del recipiente a una tasa constante (dM/dt). En cualquier tiempo t, el nivel del fluido en el recipiente es h y la longitud del p´endulo es L (medida en relaci´on con el centro de masa instant´aneo). (a) Dibuje el aparato y denote las dimensiones a , h , L0 y L. (b) Encuentre la tasa de cambio en el tiempo del periodo como una funci´on del tiempo t. (c) Encuentre el periodo como una funci´on del tiempo. 20. Un p´endulo de longitud L y masa M tiene un resorte de constante de fuerza κ conectado a e´ l a una distancia h abajo de su punto de suspensi´on (ver figura 4). Encuentre la frecuencia de vibraci´on del sistema para valores peque˜nos de la amplitud θ. (Suponga que la suspensi´on vertical de longitud L es r´ıgida, pero ignore su masa.)

Figura 4: P´endulo - Resorte

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21. Un tabl´on horizontal de masa m y longitud L est´a articulado en un extremo, y en el otro est´a unido a un resorte de constante de fuerza κ (ver figura 5). El momento de inercia del tabl´on alrededor del pivote es 31 mL2 . Cuando el tabl´on se desplaza un a´ ngulo peque˜no θ a partir de la horizontal y se suelta, pruebe p que se mueve con un movimiento arm´onico simple cuya frecuencia angular es ω = 3κ/m.

Figura 5: Tabl´on - Resorte

22. Una masa m est´a conectada a dos ligas de hule de longitud L, cada una bajo una tensi´on T, como en la figura (6). La masa se desplaza verticalmente una peque˜na distancia y. Suponga que la tensi´on no cambia, demuestre que (a) la fuerza restauradora es −(2T /L)y y (b)p que el sistema efect´ua movimiento arm´onico simple con una frecuencia angular ω = 2T /mL.

Figura 6: Masa suspendida de ligas de hule

23. Una masa m se conecta a dos resortes de constantes de fuerza κ1 y κ2 como se muestra en la figura (7). En cada caso la masa se mueve sobre una mesa sin fricci´on y se desplaza de la posici´on de equilibrio y se suelta. Demuestre que en cada caso la masa tiene movimiento arm´onico simple con periodos s m(κ1 + κ2 ) (a) T = 2π κ1 κ2 r m (b) T = 2π κ1 + κ2 5

Figura 7: Masa - Resorte

24. Una part´ıcula de masa m se desliza sin fricci´on dentro de una taza semiesf´erica radio R. Muestre que si inicia desde el reposo con un peque˜no desplazamiento desde la posici´on de equilibrio la part´ıcula se mueve en un movimiento arm´onico simple p con frecuencia angular igual a la de un p´endulo f´ısico de longitud R. Es decir, ω = g/R. 25. Un bloque de masa M se conecta a un resorte de masa m y oscila con movimiento arm´onico simple sobre la horizontal, sin fricci´on (ver figura 8). La constante de fuerza del resorte es κ y su longitud de equilibrio es l. Asuma que todas las partes del resorte oscilan en fase y que la velocidad de un segmento dx es proporcional a la distancia x desde el extremo fijo; que, la velocidad vx = (x/l)v. Tambi´en, note que la masa de un segmento del resorte es dm = (m/l)dx. Encuentre (a) la energ´ıa cin´etica del sistema cuando el bloque tiene una velocidad v y (b) el periodo de oscilaci´on.

Figura 8: Masa - Resorte

26. La polea que se muestra en la figura (9) de un dispositivo es un cilindro maciso homog´eneo que puede girar en torno a su eje sin fricci´on. La masa de la polea es M = 5.00kg, el radio R = 10.00cm. El coeficiente de elasticidad del resorte es κ = 1000N/m. Las masas del resorte y la cuerda que pasa a trav´es de la polea son despreciables. La masa del peso suspendido de la cuerda es m = 1.00kg. Suponiendo que la cuerda no se desliza sobre la polea, hallar: 6

a) La frecuencia ω de las oscilaciones peque˜nas del dispositivo. b) La tensi´on m´axima de la cuerda a la izquierda (F1m ) y a la derecha (F2m ) en la polea en el caso, cuando la amplitud de las oscilaciones es a = 5.00cm. Respuesta: (a) ω = 16.9s−1 , (b) F1m = 60N , F2m = 24N .

27. Por el di´ametro de un disco horizontal puede desplazarse, resbalando sin fricci´on a lo largo de una varilla que la dirige, una peque˜na masa m = 0.100kg. La masa est´a acoplada al extremo de la varilla por medio de un resorte sin masa cuyo coeficiente de rigidez es κ = 10.0N/m . (Ver figura 10) Cuando el resorte no est´a comprimido, la masa se encuentra en el centro del disco. Hallar la frecuencia ω de las peque˜nas oscilaciones de la masa en el caso cuando el disco gira en torno a su propio eje con velocidad angular φ˙ =: (a) 6.00s−1 (b) 10.1s−1 . ˙ 2 > ( κ ) , no surgen oscilaciones. Respuesta: (a) ω = 8.0s−1 , (b) en el caso, cuando(φ) m 28. Una varilla de hierro suspendida de un resorte es desplazada de su posici´on de equilibrio con lo cual realiza oscilaciones libres de frecuencia ω 0 = 20.0s−1 , adem´as la amplitud de las oscilaciones se reduce en η = 2 veces en un intervalo de tiempo τ = 1.11s. Cerca del extremo inferior de la varilla est´a ubicada una bobina alimentada con corriente alterna (ver figura 11). Con una frecuencia de la corriente ω = 11.0s−1 la varilla oscila con amplitud a = 1.50mm. Con qu´e frecuencia de la corriente ωres las oscilaciones de la varilla alcanzar´an su mayor intensidad. Cu´al ser´a la amplitud ares de las oscilaciones con esta frecuencia. Se asume que la amplitud de la fuerza externa no var´ıa. Considerar que la frecuencia de la fuerza externa es igual al duplo de la frecuencia de variaci´on de la corriente de la bobina. p Respuesta: ωres = 21 (ω 0 )2 − (ln η/τ )2 ≈ 12 ω 0 = 10.0s−1 , ares = 7.0mm 29. Un bloque de masa M = 20.0kg est´a suspendido de dos hilos de longitud l = 1.00m 7

cada uno. En el bloque de madera choca y se incrusta una bala de masa m = 10.0g (ver figura 12), que viaja con rapidez v = 500m/s. Encontrar la amplitud φn y el periodo T de las oscilaciones resultantes de este sistema. Despreciar la fricci´on. Respuesta: φm = 4.6o , T = 2.0s

30. Un martillo de madera se compone de un tambor cil´ındrico de radio R = 4.00cm y una agarradera de longitud l = 90.0cm. La masa del tambor es igual a 0.800kg, la masa de la agarradera es de 0.600kg. El martillo se encuentra puesto sobre dos bloques paralelos (ver figura 13). Encontrar el periodo T de las oscilaciones peque˜nas del sistema. Respuesta: T = 1.66s

´ Exitos!!! JQH

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