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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERIA

OSCILACIONES ELECTROMAGNÉTICAS DOCENTE: ING.JUAN CARLOS DUCHEN CUELLAR ALUMNO: UNIV. FIDEL APAZA MIRANDA MATERIA: FISICA 200 LABORATORIO

OSCILACIONES ELECTROMAGNÉTICAS

OBJETIVOS DEL EXPERIMENTO: El objetivo principal del laboratorio es comprobar los tres tipos de respuestas en un circuito de segundo orden “RLC” en serie excitado por un voltaje constante. DESCRIPCIÓN TEÓRICA: Si consideramos el siguiente circuito: R

L

V C

Circuito llamado de segundo orden por que es caracterizado por una ecuación diferencial de segundo orden. Realizando el respectivo balance de energía en cuanto el interruptor es cerrado; tenemos….

Trabajo del F.e.m. = Energía interna del resistor + Incremento de energía del inductor + incremento de energía en el capacitor

(Velocidad del Trabajo de la F.e.m.) ……………………………………

dW V  dq  dt dt

(Velocidad con la que disipa energía el resistor) ………………………

dU  i2R dt

(Velocidad de incremento de energía del inductor)…………..………..

dU di  L i  dt dt

(Velocidad de incremento de energía del capacitor)…………………...

dU q dq  dt C dt

Igualando términos obtenemos…

V

dq 2 di q dq  i R  Li   dt dt C dt

V  iR  L vC 

q C

di q  dt C

i C

y como

dq i dt

la ecuación queda como…

llevemos todo en función al voltaje sobre el capacitor

dvC dt

CdvC  d  dt   dvC   V  C  vC R  L dt  dt 

d 2 vC R dvC 1 V   vC  2 L dt LC LC dt

finalmente nuestra ecuación resulta…

Ecuación diferencial de segundo orden.

Realizando unos cambios de variables…..

R   llamada constante de amortiguación. 2L

1   o llamada frecuencia natural no amortiguada. LC

d 2 vC dvC 2  2    o vC   C  V 2 dt dt

Esta ecuación pude tener tres tipos de soluciones

dependiendo de las raíces de su ecuación característica.

1. Respuesta sobreamortiguada

si   ωo

  1 1  t  t   2 1 vC  V 1  e 1  e 2   1  1    1    1            1    2   1 2     Con…

1 

1



   2  o 2

2. Respuesta con amortiguamiento crítico

t t t   vC  V 1  e   e     

3. Respuesta subamortiguada

Con

 

1

   2  o 2

si  = ωo

1



si   ωo

  t    vC  V 1  o e   Sen   t  Arctg      

Con

DESCRIPCIÓN DEL MATERIAL Y EQUIPOS:

 

Generador de funciones Osciloscopio

 

1



y

  0 2   2

Resistencia de 470 Ω nF.

Reóstato de 10 KΩ

Inductancia 39 mHy

Capacitor

12

TOMA DE DATOS:

Para realizar el laboratorio usamos un generador de funciones que genere una función cuadrada que oscile entre 0 y 4 volts. a una frecuencia 400 Hz. Luego armamos el siguiente circuito.

Iniciamos el laboratorio colocando el reóstato en su máximo valor y para diferentes tiempos medimos el voltaje sobre el capacitor con el osciloscopio. Respuesta sobreamortiguada t [ μs]

v C [volts]

0,0 15 25 40 60 100 150 200 300 400 500 600

0,0 0,38 0,68 1,10 1,55 2,10 2,80 3,20 3,60 3,70 3,80 3,80

Rv = 8,84 KΩ

Enseguida ajustamos la resistencia variable a un valor que haga que todas las resistencias del circuito sean igual a la resistencia crítica, y luego llenamos la tabla. Respuesta con amortiguamiento crítico t [ μs] v C [volts] 0,0 10 20 30 40 50 60 80 100 150 200

0,0 0,20 0,88 1,90 2,00 2,40 2,80 3,25 3,50 3,70 3,80

Rv = 3,6 KΩ

Por último colocamos la resistencia variable a su mínimo valor y con la señal obtenida en el osciloscopio medimos los picos máximos y mínimos y las intersecciones correspondientes a los 4 volts.

Respuesta subamortiguada t [ μs]

v C [volts]

0,0 56 68 110 140 180 210 250 280 320 340 390 420

0,0 4,0 6,5 4,0 2,6 4,0 4,9 4,0 3,5 4,0 4,4 4,0 3,8

Rv = 1,2 Ω

VcMM = 6,5 [volts] T = 144 [μs]

TRATAMIENTO DE DATOS: 1. En base a las tablas de la toma de datos, elaborar una tabla t , vC exp , vC teo . Esta última magnitud debe evaluarse en base a la ecuación correspondiente de la descripción teórica y considerando la resistencia total en el circuito. Dibujar la

curva v C teo vs. t y en el mismo gráfico, ubicar los puntos correspondientes a

vC exp .

Respuesta Sobreamortiguada

t [ μs]

Para utilizar la ecuación de la respuesta sobreamortiguada calculamos los valores…

o 





1  46225,02 rad s LC

0,0 15 25 40 60 100 150 200 300 400 500 600



 

Rtotal  120288,46 s 1 2L

v C [volts]

v C [volts]

teórico 0,0 0,38 0,69 1,12 1,61 2,35 2,96 3,34 3,74 3,90 3,96 3,98

experimental 0,0 0,38 0,68 1,10 1,55 2,10 2,80 3,20 3,60 3,70 3,80 3,80

1  108,27 s

 2  4,32 s

gráfico t vs. Vc (teo.) 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0

200

400

600

800

Respuesta con amortiguamiento crítico

t [ μs]

Para utilizar la ecuación de la respuesta con amortiguamiento crítico calculamos los valores…

0,0 10 20 30 40 50 60 80 100 150 200

  53108,97 s -1 

  1  18,83 s

v C [volts]

v C [volts]

teórico 0,0 0,40 1,15 1,89 2,51 2,97 3,31 3,70 3,88 3,99 3,998

experimental 0,0 0,20 0,88 1,90 2,00 2,40 2,80 3,25 3,50 3,70 3,80

200

250

Gráfico t vs. Vc (teo) 4,5 4 3,5 3 2,5

2 1,5 1 0,5 0 0

50

100

150

Respuesta subamortiguada v C [volts]

v C [volts]

0,0 56 68 110 140 180 210 250 280 320 340 390 420

teórico 0,01 5,98 6,47 3,81 2,47 4,13 4,95 3,91 3,41 4,06 4,34 3,96 3,77

experimental 0,0 4,0 6,5 4,0 2,6 4,0 4,9 4,0 3,5 4,0 4,4 4,0 3,8

400

500

t [ μs]

Para utilizar la ecuación de la respuesta subamortiguada calculamos los siguientes valores….

 = 6970,51 [s  1 ]

  1  143,46 s



ωo = 46225,02 rad



ω = 45696,44 rad

s

s



 Gráfico t vs. Vc (teo)

8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

100

200

300

2. Comparar los valores teóricos y experimentales de  y ω de la respuesta subamortiguada.

Los valores de  y ω experimental y teórico pueden obtenerse por las ecuaciones…

 exp 

2  V ln  T  VCMM  V

 teo 

Rtotal 2L

  (***) 

 exp 

2 T

teo  o 2   2

Realizando cálculos….

 ω

Experimental 6527,83 43633,23

Teórico 6970,51 45696,44

Dif % 6,3 % 4,5 %

CONCLUSIONES Y COMENTARIOS: La experiencia en el laboratorio demuestra efectivamente el comportamiento de un circuito de segundo orden, se observó como la resistencia tiene una gran influencia en el circuito y su respuesta, al momento de la carga del voltaje sobre el capacitor. Se observó un problema al iniciar el laboratorio ya que uno de los generadores de función no entregaba una señal correcta, cosa que se evidenció en el osciloscopio, se recomienda revisar todos los equipos y si es posible tratar de calibrarlos antes de iniciar un laboratorio así se evita de de errores grandes a la hora de las mediciones.

CUESTIONARIO 1. Deducir la ecuación (***).

R. Ahora se considerará la función de la respuesta subamortiguada en el instante en que adquiere su valor máximo. Dicho instante, corresponde a la mitad del periodo. Dicha afirmación, se puede ver del gráfico, o razonando el hecho de que la función tiene como factor la función menos Seno. De este mismo hecho, se concluye que el valor del factor seno, debe ser también máximo. Vale decir uno.

  t    vC  V 1  o e   Sen   t  Arctg      

VCMM

e

T   2



1

 0  T2   V (1  e )  

V  (1  CMM ) 0 V

V T    ln  ln(1  CMM ) 2 0 V

Donde el valor ln

 0 0

Ya que nos sale un valor muy pequeño si reemplazamos valores experimentales, dicho valor es más o menos una millonésima parte del valor de alfa que se espera obtener. Luego es despreciable. Con esa consideración, se tiene:



T V  VCMM   ln 2 V



2 V ln T V  VCMM

2. Para un circuito RLC serie con respuesta subamortiguada, dibujar en forma correlativa, indicando valores literales notables, las formas de onda de: El voltaje de entrada (igual a V a partir de t = 0) El voltaje sobre el capacitor. La corriente.

El sobre la resistencia total. El voltaje sobre el inductor (despreciando su resistencia óhmica) R. voltaje de entrada

t 0 Voltaje s obre el c apacitor

V

0 Corriente (A) i(0)

0 i(0)*RT Voltaje s obre la resis tencia total

0

V Voltaje s obre el inductor

0

3. En el caso de la respuesta oscilatoria ¿por qué causa física el voltaje sobre el capacitor continua aumentando después de que ha alcanzado el voltaje de excitación V?.

R. El inductor es el responsable de tal efecto ya que la energía de su campo magnético hace que la corriente siga aumentando y por lo tanto el voltaje sobre el capacitor también aumente

4. En el caso de la respuesta oscilatoria ¿por qué causa física disminuye la amplitud de las oscilaciones?

R. La resistencia asociada al circuito es el responsable de tal efecto por que disipa la energía acumulada en forma de calor.

5. Cuando la señal del generador cae a 0 volts. (lo que equivale a regresar el conmutador a su estado inicial) también se presenta fenómenos transitorios en vc ¿A que se debe esto?

R. Se debe que aún existe energía dentro del circuito, por más de que ya no circule corriente por él la energía del inductor en disminución provoca los fenómenos en la descarga. BIBLIOGRAFIA Física Experimental – Manuel Soria