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ÍNDICE 1.

ORIENTACIÓN DE UNA SUPERFICIE ............................................................................... 2 1.1.

DEFINICIÓN ...................................................................................................................... 2

2.

INTEGRALES DE FLUJO ...................................................................................................... 4

3.

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE FLUJO ............................................................................. 5

4.

DEFINICIÓN DE CÁLCULO DE INTEGRALES DE FLUJO ............................................ 5

5.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA ....................................................................................... 7

6.

TEOREMA ............................................................................................................................... 10

7.

PROBLEMAS PROPUESTOS ............................................................................................ 11

1

1. ORIENTACIÓN DE UNA SUPERFICIE Al usar integrales curvilíneas para calcular el trabajo, desarrollaremos la forma ⃗⃗⃗ 𝑇 ⃗ . 𝑑𝑠, donde el vector tangente unitario 𝑇 ⃗ vectorial de una integral de línea ∫𝐶 𝐹. indica la orientación positiva a lo largo de C, en forma similar usaremos vectores normales unitarios para indicar una orientación sobre una superficie S en el espacio. 1.1.

DEFINICIÓN

Una superficie es orientable si se puede definir en todo punto de S que no esté en ⃗ de modo tal que los vectores varíen de forma la frontera un vector normal unitario 𝑁 continua sobre la superficie S. Una superficie orientable S tiene dos caras distintas, orientar a la superficie consiste en escoger uno de los dos posibles vectores normales unitarios. Si S es una superficie cerrada, tal como una esfera, se suele escoger como vector ⃗ el que apunta hacia fuera. unitario 𝑁 Las superficies más comunes, esfera, elipsoide, paraboloide y planos son orientables, además en una superficie orientable el vector gradiente proporciona un método conveniente para hallar un vector unitario para una superficie orientable S dada por 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), sea 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 − 𝑓(𝑥, 𝑦), entonces S admite las dos orientaciones asociadas a los dos vectores normales unitarios. ⃗

⃗ = ∇𝐹(𝑥,𝑦,𝑧) = −𝑓𝑥 (𝑥,𝑦)𝑖−𝑓𝑦 (𝑥,𝑦)𝑗+𝑘 , normal unitario hacia arriba. 𝑁 ∥∇𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)∥ √1+𝑓𝑥2 (𝑥,𝑦)+𝑓𝑦2 (𝑥,𝑦)

⃗ = − ∇𝐹(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑁 ∥∇𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)∥

⃗ 𝑓𝑥 (𝑥,𝑦)𝑖+𝑓𝑦 (𝑥,𝑦)𝑗−𝑘 √1+𝑓𝑥2 (𝑥,𝑦)+𝑓𝑦2 (𝑥,𝑦)

, normal unitario hacia abajo.

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En forma similar, podemos usar los vectores gradientes ∇𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) , 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑧) ; ∇𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) , 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 − 𝑓(𝑦, 𝑧) Para orientar superficies dadas por 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑧) ò 𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑧)

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2. INTEGRALES DE FLUJO Una de las aplicaciones principales que permite la forma vectorial de las integrales de superficies, tiene que ver con el flujo de un fluido a través de una superficie S. Supongamos una superficie S inmersa en un flujo que tiene un campo de velocidades continuas 𝐹 . Sea ∆𝑆 el área de un trozo pequeño de la superficie S sobre el cual 𝐹 es aproximadamente constante. Entonces, la cantidad de fluido que atraviesa ésta región por unidad de tiempo viene ⃗ , esto es aproximada por el volumen de la columna de altura 𝐹 . 𝑁 ⃗ )∆𝑆 ∆𝑉 = (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎)(á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) = (𝐹 . 𝑁

Z

0

⃗ 𝑁

𝐹

Y

X Campo de velocidades 𝐹 en la dirección del fluido

Por lo tanto el volumen del fluido que atraviesa de la superficie S por unidad de tiempo (conocido como flujo 𝐹 a través de S) viene dado por la integral de superficie de la definición siguiente.

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3. DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE FLUJO ⃗ , donde P, Q, R tienen derivadas Sea 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘 parciales primeras continuas en la superficie S orientada mediante un vector normal ⃗. unitario 𝑁 ⃗ 𝑑𝑠 La integral de flujo de 𝐹 a través de S viene dado por: ∬𝑠 𝐹 . 𝑁 Geométricamente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre S de la componente normal de 𝐹 . Si 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) es la densidad del fluido en (𝑥, 𝑦, 𝑧) entonces ⃗ 𝑑𝑠 representa la masa de fluido que fluye a través de S la integral de flujo ∬ 𝜌 𝐹 . 𝑁 𝑠

por unidad de tiempo. 4. DEFINICIÓN DE CÁLCULO DE INTEGRALES DE FLUJO Sea S una superficie orientada dado por 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦) y sea R su proyección sobre el plano XY.  Orientada hacia arriba ⃗ ) 𝑑𝐴 ⃗ 𝑑𝑠 = ∬ 𝐹 . (−𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑖 − 𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑗 + 𝑘 ∬ 𝜌𝐹 . 𝑁 𝑠

𝑠

 Orientada hacia abajo ⃗ ) 𝑑𝐴 ⃗ 𝑑𝑠 = ∬ 𝐹 . (𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑖 + 𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑗 − 𝑘 ∬ 𝜌𝐹 . 𝑁 𝑠

𝑠

Ejemplo Hallar el flujo a través de la esfera S dada por: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑎2 , donde 𝐹 es el 𝑞

𝑟

𝑞𝑟

campo cuadrático inverso 𝐹 (𝑟) = ‖𝑟‖2 . ‖𝑟‖ = ‖𝑟‖3 , supongamos S orientada hacia afuera, como en la figura.

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Solución Sólo es necesario calcular el flujo por el hemisferio superior 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦) = √𝑎2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 puesto que la esfera y el campo son simétricas respecto al origen. La proyección de este hemisferio sobre el plano XY es la región circular R dado por: 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑎2 , además como las derivadas parciales: 𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦) =

−𝑥 √𝑎2 −𝑥 2 −𝑦 2

, 𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦) =

−𝑦 √𝑎2 −𝑥 2 −𝑦2

no son continuas en la frontera de R.

Consideremos una región circular más pequeña 𝑅𝑏 dada por: 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑏 2 donde 0