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Prof. Andrea Campillo – Análisis Matemático II Integrales de superficie Recordemos la definición de área de una superficie alabeada. Sea la superficie S , siendo S simple y regular, imagen de la función f : D ⊂ R 2 → R 3 (cumpliendo la función f con las condiciones necesarias para definir una superficie simple a través de su conjunto imagen). Definimos el área de S mediante la siguiente expresión: Área S =

∫∫

S

dσ = ∫∫

D

∂f ∂f × du dv ∂u ∂v

La expresión anterior permite el cálculo del área de S siempre que tengamos la superficie parametrizada. Evaluaremos ahora los casos en que la superficie está definida mediante una ecuación cartesiana, en forma explícita o implícita. Superficie dada en forma explícita. Si la superficie S (simple y regular), está dada mediante una ecuación explícita, dicha ecuación será del tipo z = f ( x, y ) ∨ x = g ( y , z ) ∨ y = m( x, z ) 1) Analizamos en primer lugar el caso z = f ( x, y ) z

y

D xy

x

En este caso podemos parametrizar la superficie de la siguiente manera: h : D xy ⊂ R 2 → R 3 / h ( x, y ) = ( x, y, f ( x, y )) , siendo D xy la proyección de la superficie S sobre el plano (xy). Utilizando la fórmula para el cálculo del área de S obtenemos: ∂h ∂h × dx dy ⊗ Área S = ∫∫ dσ = ∫∫ S Dxy ∂x ∂y Realizamos los cálculos para hallar el producto vectorial de la expresión ⊗ . ∂h ∂h = (0 , 1 , f y′ ) = (1 , 0 , f x′ ) ∂y ∂x

1

Prof. Andrea Campillo – Análisis Matemático II ( ( i j ∂h ∂h × =1 0 ∂x ∂y 0 1

( k f x′ = (− f x′ , − f y′ , 1) . Este vector resulta siempre distinto del vector f y′

nulo, ya que su tercera componente es una constante distinta de cero. Por lo tanto, para calcular el área de S evaluamos la norma del vector obtenido. ∂h ∂h 2 2 × = ( f x′ ) + ( f y′ ) + 1 ∂x ∂y Reemplazando en la expresión ⊗ resulta: Área S =

∫∫

S

dσ = ∫∫

Dxy

( f x′ )2 + ( f y′ )2 + 1

dx dy

siendo D xy el recinto que resulta de

proyectar la superficie S en el plano (xy). 2) Analizamos el caso x = g ( y , z ) z

D yz

y

x

En este caso podemos parametrizar la superficie de la siguiente manera: h : D yz ⊂ R 2 → R 3 / h ( y, z ) = ( g ( y, z ), y, z ) , siendo D yz la proyección de la superficie S sobre el plano (yz). Utilizando la fórmula para el cálculo del área de S obtenemos: ∂h ∂h Área S = ∫∫ dσ = ∫∫ ⊗ × dy dz S Dxy ∂y ∂z Realizamos los cálculos para hallar el producto vectorial de la expresión ⊗ . ∂h ∂h = (g ′y , 1 , 0 ) = ( g ′z , 0 , 1) ∂z ∂y ( ( ( i j k ∂h ∂h × = g ′y 1 0 = (1 , − g ′y , − g ′z ) . Este vector resulta siempre distinto del vector ∂y ∂z g ′z 0 1 nulo, ya que su primera componente es una constante distinta de cero. Por lo tanto, para calcular el área de S evaluamos la norma del vector obtenido. 2

Prof. Andrea Campillo – Análisis Matemático II ∂h ∂h 2 2 × = (g ′y ) + (g ′z ) + 1 ∂y ∂z Reemplazando en la expresión ⊗ resulta:

Área S =

∫∫

S

dσ = ∫∫

(g ′ ) + (g ′ ) 2

D yz

y

2

z

+ 1 dy dz

siendo D yz el recinto que resulta de

proyectar la superficie S en el plano (yz). 3) Analizamos el caso y = m( x, z )

z

Dxz

y

x

En este caso podemos parametrizar la superficie de la siguiente manera: h : D xz ⊂ R 2 → R 3 / h ( x, z ) = ( x, m( x, z ), z ) , siendo D xz la proyección de la superficie S sobre el plano (xz). Utilizando la fórmula para el cálculo del área de S obtenemos: ∂h ∂h ⊗ Área S = ∫∫ dσ = ∫∫ × dx dz S Dxy ∂x ∂z Realizamos los cálculos para hallar el producto vectorial de la expresión ⊗ . ∂h ∂h = (1 , m′x , 0) = (0 , m′z , 1) ∂x ∂z ( ( ( i j k ∂h ∂h × = 1 m′x 0 = (m′x , − 1 , m′z ) . Este vector resulta siempre distinto del vector ∂x ∂z 0 m′z 1 nulo, ya que su segunda componente es una constante distinta de cero. Por lo tanto, para calcular el área de S evaluamos la norma del vector obtenido. ∂h ∂h 2 2 × = (m ′x ) + (m ′z ) + 1 ∂x ∂z Reemplazando en la expresión ⊗ resulta:

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Prof. Andrea Campillo – Análisis Matemático II

Área S =

∫∫

S

dσ = ∫∫

Dxz

(m′x )2 + (m′z )2 + 1

dx dz

siendo D xz el recinto que resulta de

proyectar la superficie S en el plano (xz).

Superficie dada en forma implícita. Si la superficie S (simple y regular), está dada en forma implícita, la ecuación que la describe será del tipo F ( x, y, z ) = 0 (en este caso la superficie S es la superficie de nivel 0 de la función F ).

z F ( x, y , z ) = 0

y x

Suponemos que la función F cumple las condiciones para definir implícitamente una función z = f ( x, y ) (recordar el teorema de las funciones definidas en forma implícita o de Cauchy-Dini). En este caso podemos parametrizar la superficie S de la siguiente manera: h : D ⊂ R 2 → R 3 / h ( x, y ) = ( x, y, f ( x, y )) Recordando el análisis anterior, el área de S puede calcularse como: Área S =

∫∫

S

( f x′ )2 + ( f y′ )2 + 1

dσ = ∫∫

D

dx dy

En el caso de las funciones definidas implícitamente, las derivadas parciales quedan dadas Fy′ F′ f y′ = − por: f x′ = − x Fz′ Fz′ Reemplazando en la expresión para el cálculo del área de S, obtenemos: Área S = ∫∫ dσ = ∫∫ S

=

∫∫

D

D

( f x′ )

(Fx′ )2 + (Fy′ )2 + (Fz′ )2 (Fz′ )2

2

+ ( f y′ ) + 1 dx dy = ∫∫ 2

D

dx dy = ∫∫

⎛ Fx′ ⎞ ⎛ Fy′ ⎞ ⎟⎟ + 1 dx dy ⎜⎜ − ⎟⎟ + ⎜⎜ − ⎝ Fz′ ⎠ ⎝ Fz′ ⎠

(Fx′ )2 + (Fy′ )2 + (Fz′ )2 Fz′

D

Por lo tanto, podemos definir el diferencial de superficie como:

4

2

2

dx dy

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dσ =

(Fx′ )2 + (Fy′ )2 + (Fz′ )2 Fz′

dx dy

Si consideramos ahora que la función F cumple las condiciones para definir implícitamente una función y = g ( x, z ) , podemos parametrizar la superficie S de la h : D ⊂ R 2 → R 3 / h ( x, z ) = ( x, g ( x, z ), z )

siguiente manera:

En este caso, el área de S puede calcularse como: Área S =

∫∫

S

dσ = ∫∫

(g ′x )2 + (g ′z )2 + 1

D

dx dz

En el caso de las funciones definidas implícitamente, las derivadas parciales quedan dadas F′ F′ g ′x = − x g ′z = − z por: Fy′ Fy′ Reemplazando en la expresión para el cálculo del área de S, obtenemos: 2

Área S = ∫∫ dσ = ∫∫ S

=

∫∫

D

(g ′x )

(Fx′ )2 + (Fy′ )2 + (Fz′ )2

(F ′ )

2

D

2

+ ( g ′z ) + 1 dx dz = ∫∫ 2

D

(Fx′ )2 + (Fy′ )2 + (Fz′ )2

dx dz = ∫∫

Fy′

D

y

2

⎛ Fx′ ⎞ ⎛ Fz′ ⎞ ⎜− ⎟ + ⎜− ⎟ + 1 dx dz = ⎜ F′ ⎟ ⎜ F′ ⎟ y ⎠ y ⎠ ⎝ ⎝ dx dz

Por lo tanto, podemos definir el diferencial de superficie como: dσ =

(Fx′ )2 + (Fy′ )2 + (Fz′ )2 Fy′

dx dz

Análogamente, si consideramos ahora que la función F cumple las condiciones para definir implícitamente una función x = m( y, z ) , podremos calcular el área de S mediante la siguiente expresión: Área S = ∫∫ dσ = ∫∫ S

=

∫∫

D

D

(m′ ) + (m′ ) 2

y

(Fx′ )2 + (Fy′ )2 + (Fz′ )2 (Fx′ )2

⎛ Fy′ ⎞ ⎛ Fz′ ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟ + 1 dy dz = ′ F x ⎠ ⎝ Fx′ ⎠ ⎝ 2

2

z

+ 1 dy dz = ∫∫

D

dy dz = ∫∫

(Fx′ )2 + (Fy′ )2 + (Fz′ )2 Fx′

D

Por lo tanto, podemos definir el diferencial de superficie como:

dσ =

(Fx′ )2 + (Fy′ )2 + (Fz′ )2 Fx′

5

dy dz

dy dz

2