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• Cristian Guillermo Reyes Reategui

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Definición:

⃗ )

⃗(

) (

) (

) (

) (

)

)+

⃗

a) ⃗( )

⃗(

b)

{

* (

( ( (

) ) ( )

* (

(

)

)

+

⃗( )

)

⃗( )

“u” y “v” son los parámetros )

⃗(

c) ⃗( )

⃗( )

Al procedimiento de encontrar la aplicación ⃗ (

.

) y su respectivo dominio

, le llamaremos técnicas de parametrizar una superficie. Para cada superficie encontraremos su respectiva parametrizacion.

1

CASOS DE PARAMETRIZACION:

CASO 1 Parametrizacion del plano En este caso, se puede despejar cualquiera de las 3 variables. Si despejamos la variable Z en función de (

La parametrizacion de

⃗(

)

) obtenemos:

, es:

(

)

(

)

CASO 2 Parametrizacion de un plano que pasa por tres puntos

(

)y

(

)

En este caso, conviene fijar el punto

⃗

(

⃗⃗

2

y hallar los vectores

),

La parametrizacion de este plano es:

⃗(

)

(

⃗⃗)

⃗

(

)

P1

𝑎⃗

P0

P2

𝑏⃗⃗

CASO 3 La parametrizacion de triángulos de vértices:

⃗( (

)

CASO 4

*(

) )

⃗ ⁄

⃗⃗ +

PARAMETRIZACION CANONICA

Esta parametrizacion, solo es posible cuando una de las tres variables de la ) ecuación cartesiana ( , es de fácil despeje

3

Pueden presentarse tres casos: ( ) a) Cuando de la ecuación se puede despejar ) ( ), el dominio de la parametrizacion ⃗( ( )) es la PROYECCION de la superficie sobre el plano ( . ) b) Cuando la ecuación ( se puede despajar ( dominio de la parametrizacion ⃗( ) ( PROYECCION de la superficie sobre el plano .

) c) Cuando la ecuación ( se puede despajar dominio de la parametrizacion ⃗( ) ( ( ) PROYECCION de la superficie sobre el plano .

( ) , el ) ) es la

( ) , el ) es la

CASO 5 Parametrizacion de superficies, por coordenadas cilíndricas, algunas superficies tienes ecuaciones cartesianas que contiene los términos . En este caso, se puede recurrir a las coordenadas cilíndricas

CASO 6 Parametrizacion de superficies, por coordenadas esféricas, algunas superficies tienes ecuaciones cartesianas que aparecen la suma de los términos En este caso, se puede recurrir a las coordenadas esféricas.

4

CASO 6 PARAMETRIZACION DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCION 𝑍

𝛼(𝑣)

𝑦

𝑂

𝐴

(𝑜 𝑓(𝑣) 𝑔(𝑣))

𝑄

𝑥 𝑓(𝑣) P(x,y,z) í

La superficie de revolución se obtiene haciendo una curva contenida en un plano alrededor de una recta (eje de rotación). Por ejemplo, si elegimos una curva contenida en el plano cuya parametrizacion sea:

ó

( ) ( ( ) ( )) de parámetro “ ” y el eje de rotación sea el EJE

𝑌

Cuando la curva gira alrededor del eje genera una superficie cuya representación paramétrica queremos saber.

𝑋

Cada punto perteneciente a la curva genera una circunferencia de centro en el eje y radio ( ). Si el punto

gira hasta el punto

se genera el ángulo “ ”.

Queremos hallar las coordenadas ( En el triángulo rectángulo {

) del punto

, recto en , se tiene:

( ) ( )

5

.

( ), entonces las ecuaciones paramétricas de la superficie , son:

Como

( ) {

( )

( )

La variación del parámetro “ ” depende cuánto giramos la curva . La variación del parámetro “ “depende de las condiciones que se plantean al inicio del problema. Si la curva da una vuelta entera, entonces y si función vectorial que parametriza a la superficie de revolución

⃗(

)

( )

( ( )

CASO 8

, entonces la es:

( ))

PARAMETRIZACION DE SUPERFICIES REGALDAS

Una superficie reglada, es una superficie generada por una recta que se mueve sobre una curva .

𝐿

𝐿

Sea: la parametrizacion

𝐿

𝐿 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡 ) 𝑊

⃗⃗⃗⃗ (𝑡 ) 𝑊

𝛼(𝑡 ) 𝛼(𝑡 )

⃗⃗⃗⃗ (𝑡 ) 𝑊

de una curva

⃗⃗⃗⃗ (𝑡) 𝑊

( )

( ( ) ( ) ( ))

Se sabe que la ecuación paramétrica de una recta queda

𝛼⃗(𝑡 )

𝛼(𝑡)

bien definida por un punto y su vector dirección para cada

6

.

( ) ⃗⃗⃗⃗ ( )

Asi por ejemplo: Para

, definimos la recta

( )

⃗⃗⃗( ) ,

Para

, definimos la recta

( )

⃗⃗⃗( ) ,

Para

, definimos la recta

( )

⃗⃗⃗( ) ,

. . . . . . Para

, definimos la recta

( )

⃗⃗⃗( ) ,

De esta manera obtenemos una familia uniparamétrica de rectas * ( ) ⃗⃗⃗( )+

⃗⃗

⃗⃗⃗( )

Vector dirección de la recta Punto de la recta

Para cada

,

la recta

que pasa por el punto

( )

y es paralela al vector

⃗⃗⃗( ) se denomina la recta de la familia en .

Dada una familia uniparamétrica de rectas (

)

( )

⃗⃗⃗⃗⃗( )

, REGLADA generada por la familia * ( ) ⃗⃗⃗( )+. parametrizada

7

* ( ) ⃗⃗⃗( )+,

la superficie

se denomina la SUPERFICIE

Las rectas

se llaman generatrices y la curva

( )

se llama directriz de la

superficie .Los ejemplos más simples de superficies regladas son: el cono. El cilindro y las superficies tangentes a una curva regular. a) Un cono es un superficie regañada con parametrizacion de forma:

𝑋(𝑢 𝑣)

𝑃 (

𝑣(𝛼 (𝑢) 𝑣 )𝑃

𝑃 𝑣𝛼(𝑢)

Donde P es el vértice y

( )

( ( ) ( ) ( ))

es la curva directriz contenida en un plano

𝑃

𝑥 (𝑢 𝑣)

𝑤 ⃗⃗⃗(𝑢)

𝒫

𝛼(𝑢)

𝛼(𝑢)

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(𝛼(𝑢)

𝑃)

𝑃

(𝛼 (𝑢)

𝑃)

b) Un cilindro es una superficie reglada con parametrizacion de la forma:

𝑋(𝑢 𝑣)

𝛼 (𝑢)

𝑣𝑏⃗⃗

Donde

( )

( ( ) ( ) ( )) , es la curva directriz y ⃗⃗ es un vector dirección fijo. Todas las rectas

plano vector

contenida en un son paralelas al

⃗⃗.

𝑥

𝑙𝑢

𝑝

𝛼(𝑢)

𝛼(𝑢)

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(𝑢 𝑣)𝛼 (𝑢)

𝑣𝑏⃗⃗

c) SUPERFICIE TANGENTE

Sea:

una curva parametrizada regular

()

( ) ( ) ( ))

Una superficie tangente es una superficie reglada con parametrizacion de la forma:

(

)

( )

( ),(

)

EJEMPLO GRAFICO

𝛼 (𝑡) Por cada punto

()

de la curva se traza

su respectivo vector tangente Conocidos un punto

α( )

dirección rectas:

( )

( )

()

( ), y su vector

definimos la familia de

( ),

Esta familia de rectas define la superficie reglada:

(

10

)

( )

( ),(

)

La parametrizacion de superficies es importante porque: a) Nos permite recubrir una superficie mediante una función vectorial de dos parámetros

(

)

(

)

( (

) (

) (

))

b) Nos permite hallar fácilmente los vectores tangentes:

(

)

(

)

( ) de la superficie

Que son los generadores del plano tangente

en el punto

. c) Nos permite hallar la NORMAL a la superficie

,

que es el vector

denominado producto vectorial fundamental de la superficie

respecto a la parametrizacion

(

d) Con la parametrizacion

( )

fundamental

(

).

) se define la primera forma

( )

( )

donde los

siguientes productos internos: se llaman los coeficientes de la primera forma fundamental. Además

e) Los coeficientes de la primera fundamental se aplican: para hallar el área de una superficie, para hallar el ángulo entre dos curvas contenidas en la superficie.

f) Con los vectores unitario

(

se forma la función vector normal

)

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g) Con la función

( )

( ) ,

(

)se define la segunda forma fundamental ( ) . Dónde: ,

en suma, la parametrizacion de una superficie es el inicio para proseguir estudios de las propiedades intrínsecas de la superficie. dicho estudio corresponde al curso de geometría diferencial que puede dictarse en dos semestres: un semestre respecto al estudio de superficies en y un segundosemestre, ale studio de superficies abstractas.

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