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INTEGRALES DE SUPERFICIE. Podemos imaginarlos la integral de superficie como el equivalente en dos dimensiones a una integral de línea siendo la región de integración una superficie en lugar de una curva. Antes de estudiar las integrales de superficie, se requerirá del conocimiento de algunos hechos básicos acerca de las superficies. Se tiene tres maneras de representar una superficie. 1. En forma implícita. Una superficie es un conjunto de puntos tal que

(x , y , z)

F ( x , y , z ) =0 , en la cual “no se puede” despejar ninguna variable.

2. En forma explícita. Una superficie está dada en forma explícita, si a partir de la ecuación F ( x , y , z ) =0 , se despeja una de las variables en función de las otras dos. Por ejemplo

z=f ( x , y ) .

3. En forma paramétrica. Que es la más utilizada en el estudio de las superficies, también llamada representación vectorial, expresada por x , y , z en función de dos medio de tres ecuaciones que expresan parámetros

u

y

v

:

x=X ( u , v ) , y=Y ( u , v ) , z=Z (u , v ) El punto

(u , v )

en el plano

puede variar en un conjunto conexo bidimensional

u , v , y los puntos

(x, y ,z)

correspondientes contribuyen x , y , z . Este método es análogo

una porción de superficie en el espacio al de la representación de una curva

T

R3

mediante tres ecuaciones con

un parámetro. La presencia de los dos parámetros (1) permite transmitir dos grados de libertad al punto

u,v

en la relación

(x, y ,z).

Dos ejemplos sencillos de parametrización de superficies son los siguientes: a) Parametrización del plano en coordenadas polares. El plano z = k se puede parametrizar utilizando coordenadas polares:

b) Parametrización de una esfera mediante coordenadas esféricas. Una esfera de radio R se puede parametrizar utilizando dos ángulos:

De modo que la esfera S es:

Observación: Consideraremos en todo momento superficies diferenciables S=S(u , v) . Fijado uno de los parámetros, pongamos que v, al variar el otro obtendríamos una curva en R3. Las tangentes a esta curva en cada punto se pueden obtener por derivación respecto a u:

y de similar forma podríamos obtener el vector tangente a la superficie a lo largo de la dirección de v:

Dado un punto de la superficie S, como ambos vectores Tu y Tv son tangentes a dos curvas contenidas en S, ambos son ortogonales al vector normal a la superficie en ese punto y por lo tanto, por las propiedades del producto vectorial,

es normal a las superficie, siempre, claro está, que en el punto en cuestión (si esto es así, diríamos que la superficie parametrizada no es suave; consideraremos que esto no ocurre). Comentario: Esto nos permite obtener la ecuación del plano tangente en un punto

Ejemplo: Considerando la parametrización de la esfera antes considerada, tendríamos que

Integral de una función escalar sobre una superficie parametrizada:

Definición: Si

F ( x , y , z ) es una función escalar continua, definida sobre una superficie S,

estando S parametrizada por el campo vectorial

r ( u , v ) , con u y v variando

en un dominio D, se define la integral de f sobre S como:

Producto Vectorial Fundamental.

EJERCICIOS: