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Ejercicios Resueltos: Integrales de Superficie Matematicas 4 (Universidad Técnica Federico Santa María)

StuDocu no está patrocinado ni avalado por ningún colegio o universidad. Descargado por Maria Jesusa Arahuallpa Arias ([email protected])

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Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´atica

R.Geraldo

Coordinaci´ on de Matem´ atica IV (MAT024) Ejercicios Resueltos: Integrales de Superficie A continuaci´on encontrar´ a el enunciado de una serie de ejercicios, y sus respectivas soluciones en hojas posteriores. Las formas de resolver (la mayor´ıa de) los problemas, casi nunca es u ´nica, por eso es importante que primero intente usted resolver los problemas por si mismo, y posteriormente mirar la soluci´on. La mayor parte de estos ejercicios han formado parte de evaluaciones anteriores, ya sea en alg´ un Control o Certamen.

(Pr. 1). El ? ´area de la porci´on del cono z “ 4π 2. ¿Cu´ al es el valor de a?.

ld op

PROBLEMAS a x2 ` y 2 encerrado dentro del cilindro x2 ` y 2 “ ay,

a ą 0, es

(Pr. 2). Sea f px, y, zq “ x y S la superficie correspondiente al trozo olico z “ x2 , limitado por ¨ de cilindro parab´ las planos y ´ z “ 1, y ´ z “ 13 y x ` z “ 2. Calcule f px, y, zq dS. S

(Pr. 3). Rotamos la curva y “ f pxq, a ď x ď b, alrededor del eje y. Use integrales de superficie para demostrar que el ´ area de la superficie generada de este modo (superficie de revoluci´on) est´a dada por b

er a A “ 2π

ˆ

a

a |x| 1 ` rf 1 pxqs2 dx

Use lo anterior para calcular el ´ area de la superficie obtenida haciendo girar la curva y “ x2 , 0 ď x ď 1, alrededor del eje y.

rg

(Pr. 4). La curva pt, 0, et q, con 0 ď t ď 1, se gira en torno al eje z, obteniendo de esta manera una superficie S en R3 ? . Calcule la coordenada z del centro de masa de S, si la densidad en cada punto px, y, zq de la superficie es 1 ` z 2 . ¨ f px, y, zq dS, donde f px, y, zq “ xy ` 1 y S es la parte del paraboloide z “ x2 ` y 2 que est´a en (Pr. 5). Hallar S

el interior del cilindro x2 ` y 2 “ 4.

(Pr. 6). Considere la superficie S correspondiente a la porci´on de esfera x2 ` y 2 ` pz ´ 2q2 “ 4 que se encuentra por debajo del paraboloide x2 ` y 2 “ 3z. Calcule el ´ area de la superficie S.

(Pr. 7). Sea S la superficie correspondiente al trozo de plano x ` 2y ` 2z “ 4 que queda encerrado entre los planos x “ 0, y “ x ` 2, e y “ 2x.

Calcule el momento de inercia de la superficie S respecto de la recta L, paralela al eje z, que pasa por el punto p0, 2, 0q. Suponga que la densidad de la l´amina es constante igual a uno.

(Pr. 8). Calcule a el momento de inercia alrededor del eje y de la superficie S correspondiente al trozo de cono z “ x2 ` y 2 que se encuentra dentro de la esfera x2 ` y 2 ` z 2 “ 6z. Suponga que la densidad es uniforme y constante igual a 1. ¨ px2 ` z 2 q ρpx, y, zq dS, siendo ρpx, y, zq Recuerde que el momento de inercia respecto del eje y es Iy “ S

la densidad.

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(Pr. 9). Calcule la integral de superficie ¨

S

Ý F ¨Ñ n dS

con normal exterior, siendo F px, y, zq “ p2yz, 0, xyq, y S la superficie S “ tpx, y, zq P R3 : x2 ` y 2 ´ 2z “ 0, 0 ď z ă 1 u (a) Directamente (b) mediante el Teorema de Stokes (c) usando el Teorema de la Divergencia.

γ

ld op

(Pr. 10). Calcule, utilizando el Teorema de Stokes, la integral de l´ınea ˆ p2x ` y ´ zq dx ` p2x ` zq dy ` p2x ´ y ´ zq dz siendo γ la curva intersecci´on de las superficies

4x2 ` 4y 2 ` z 2 “ 4 y 2x ´ z “ 0 ¨ (Pr. 11). Calcule F ¨ n dS, siendo Fpx, y, zq “ px3 , y 3 , z 3 q y S la superficie del cono z 2 “ x2 ` y 2 , con 0 ď z ď H S

y n con tercera coordenada positiva

er a

(a) Directamente

(b) Usando el Teorema de la Divergencia.

Obs: cos4 pxq ` sen4 pxq “ 1 ´ 2 sen2 pxq cos2 pxq

(Pr. 12). Verifique que se satisface el Teorema de Stokes para el campo vectorial Fpx, y, zq “ px ` y, 2x ´ z, y ` zq y la superficie S correspondiente al tri´angulo determinado en el primer octante por el plano 3x ` 2y ` z “ 6, orientada con normal alej´ andose del origen.

rg

(Pr. 13). Sea S la porci´on del paraboloide z “ x2 ` y 2 , con z ď 1, situada en el primer octante, y sea F px, y, zq “ py ´ z, z ´ x, x ´ yq. ˆ F ¨ dr, donde γ es la curva frontera de S (la proyecci´on (a) Calcular directamente la integral de l´ınea γ

de la curva en el plano xy est´ a orientada positivamente). (b) Comprobar el c´ alculo anterior usando el Teorema de Stokes. (Pr. 14). Calcular la integral de superficie, por el Teorema de la Divergencia, del campo vectorial ` ˘ Fpx, y, zq “ xy 2 ` z 2 , x2 y ` z 2 , zpx2 ` y 2 q sobre el trozo de paraboloide tz “ x2 ` y 2 , negativa.

1 ď z ď 4u, con vector normal cuya tercera coordenada es

(Pr. 15). Sea S la parte del cilindro parab´ olico z “ 3 ´ 2x2 que queda en el interior del paraboloide z “ x2 ` 2 3y , y sea γ la curva intersecci´on de ´estas dos superficies. Considere el campo Fpx, y, zq “ p´yz, xz, xyq. Calcule la integral de l´ınea del campo F a lo largo de γ, si esta curva est´a orientada de manera tal que al mirarla desde un punto el el eje z, con z ą 3, se recorre en sentido antihorario. (a) Directamente

(b) Usando el Teorema de Stokes.

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2 2 (Pr. 16). Sea S la superficie ? dada por: la parte del cilindro x ` y2 “ 24 comprendida entre el plano XY y la as la tapa dada por el disco x ` y ď 4 en el plano XY (es decir, S es el superficie z “ 3 ´ y, , m´ trozo de cilindro con tapa en la parte de abajo, pero sin tapa en la parte de arriba). ˆ ˙ ¨ 1 3 1 3 1 2 x z, y z, z Calcule el flujo hacia afuera de la superficie S del campo F, F ¨ n dS, donde Fpx, y, zq “ 3 3 2 S ˆ 1 Ayuda: sen3 puq du “ ´ p2 ` sen2 puqq cospuq 3

(Pr. 17). Considere la superficie S “ tpx, y, zq P R3 : px ´ 1q2 ` y 2 “ 1, 0 ď z ď 9 ´ x2 u

ld op

y el campo vectorial Fpx, y, zq “ pxy, z, xyq. ¨ F ¨ n dS Calcule

ď tpx, y, 0q : px ´ 1q2 ` y 2 ď 1u

S

(Pr. 18). Sea S “ S1 Y S2 , siendo " * 1 S1 “ x2 ` y 2 “ 1, ďzď1 , 2

S2 “ x2 ` y 2 ` pz ´ 1q2 “ 1, z ě 1

(

S

˛

(Pr. 19). Calcular

C

er a

y sea el campo vectorial Fpx, y, zq “ pzx ` z 2 y ` x, z 3 yx ` y, z 4 x2 q. ¨ rot F ¨ n dS , con n apuntando hacia afuera, utilizando el teorema de Stokes. Calcular F ¨ dα,

donde

F px, y, zq “

ˆ

´y x , 2 ,z 2 2 x ` y x ` y2

˙

y

C es:

a) La intersecci´on entre el cilindro px ´ 2q2 ` y 2 “ 1 y el plano x ` z “ 1

b) La intersecci´on entre el cilindro x2 ` y 2 “ 1 y el plano x ` z “ 1

rg

(Pr. 20). Considere el s´ olido Q acotado por el paraboloide x “ y 2 ` 3z 2 y por el cilindro parab´olico x “ 3 ´ 2y 2 . Sea el campo vectorial Fpx, y, zq “ px2 y, 1 ´ xy 2 , 2zq. Calcule ¨

BQ

Ñ Fpx, y, zq Ý n dS

Ý donde BQ es la frontera de Q y Ñ n es el normal a la superficie que apunta hacia afuera. (Pr. 21). Sea S la porci´on del elipsoide x2 `2y 2 `4z 2 “ 1 con z ě 0 y sea Fpx, y, zq “ pP px, y, zq, Qpx, y, zq, Rpx, y, zqq un campo vectorial que satisface BQ BP ` “ 3, Bx By

Rpx, y, zq “ x2 ` y 2

en una regi´on de R3 que contiene a S. ¨ Calcule F ¨ n dS siendo n la normal unitaria que apunta hacia afuera del elipsoide. S

(Pr. 22). Calcule

ˆ

γ

py ´ zq dx ` pz ´ xq dy ` px ´ yq dz,

donde γ es la intersecci´on del cilindro x2 ` y 2 “ a2 con

x z el plano ` “ 1 , con a ą 0 y b ą 0. La proyecci´on de γ sobre el plano x y es recorrida en sentido a b antihorario.

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(Pr. 23). Calcule, usando el Teorema de Stokes, la integral de l´ınea ˆ y dx ` z dy ` x dz γ

siendo γ la curva intersecci´on de la esfera x2 ` y 2 ` z 2 “ a2 y el plano x ` y ` z “ 0. La curva est´a orientada de manera que su proyecci´on sobre el plano x y es recorrida en sentido horario. Ayuda: la proyecci´on de la curva sobre el plano x y es una elipse, rotada en 45˝ , cuyos v´ertices del eje mayor se encuentran sobre la recta y “ ´x y los v´ertices del eje menor sobre la recta y “ x.

ld op

(Pr. 24). Use el Teorema de Stokes para calcular la integral de l´ınea siguiente ˆ x´y x`y dx ` 2 dy ` z 2 dz 2 2 x ` y2 γ x `y siendo γ la curva intersecci´on entre pz ` 1q2 “ x2 ` y 2 y proyecci´on sobre el plano xy se recorre en sentido antihorario. (Pr. 25). Un campo vectorial en R3 es de la forma

2z ` y “ 6, orientada de manera que su

F px, y, zq “ pP1 px, yq ` P2 px, zq, x ` Qpy, zq, Rpx, y, zq q

er a

con P1 , P2 , Q, R teniendo primeras derivadas parciales continuas en R3 . Suponga adem´as que Si Γh es la curva intersecci´on del cilindro x2 ` y 2 “ 1 con el plano z “ h, demostrar que independiente de h.

BP1 “ x`y. ˆBy Γh

F ¨ dr es

(Pr. 26). Sea R una regi´on cerrada en R3 acotada por una superficie S. Sea g una funci´ on de clase C 2 tal que ∇2 g “ 0 (esto es ∇ ¨ ∇g “ 0 ), definida en un dominio que contiene a R Y S.

rg

Pruebe que

Bg dS “ g B~ n S

¨

˚

R

}∇g}2 dV

Bg donde ~n es la normal unitaria exterior a S y indica la derivada direccional de g en la direcci´on del B~n vector unitario ~n. (Pr. 27). Sea S un s´ olido, con frontera suave BS. Sea F: A Ď R3 Ñ R3 un campo vectorial de clase C 1 , y 3 f : A Ď R Ñ R un campo escalar de clase C 1 . Suponga que S Ď A y que ~n es la normal exterior a BS Denotemos px, y, zq “ ~x. Demuestre que ˚ ¨ ∇f p~xq ¨ Fp~xq dV “ S

BS

f p~xq Fp~xq ¨ ~n dS ´

˚

S

f p~xq ∇ ¨ Fp~xq dV

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SOLUCIONES. (Pr. 1). Primero debemos buscar el ´ area de la superficie. Vemos la proyecci´on de la superficie sobre el plano x y ´ a2 a ¯2 ď u. es R “ tpx, yq P R2 : x2 ` y ´ 2 4 Una parametrizaci´on de la superficie es rpρ, θq “ pρ cospθq , ρ senpθq , ρq,

0 ď θ ď π, 0 ď ρ ď a senpθq

ld op

Para esta parametrizaci´on tenemos rρ ˆ rθ “ p´ρ cospθq , ´ρ senpθq , ρq As´ı el ´area de la superficie puede ser calculada mediante ApSq “

¨

dS “

S

¨

R

}rρ ˆ rθ }dA “

Para calcular el valor de a:

ˆ

π

0

ˆ

a senpθq

0

? ? a2 π 2 2 ρ dρ dθ “ 4

er a

? ? a2 π 2 “ 4π 2 ðñ a “ 4 4



rg

(Pr. 2). Evidentemente, la proyecci´on de la superficie sobre el plano x z es (una parte) de z “ x2 . Para determinar los l´ımites de x, hacemos z “ x2 ^ x ` z “ 2 ùñ x “ ´2 ^ x “ 1 y adem´ as notamos que 1 ` z ď y ď 13 ` z. Una parametrizaci´on de la superficie es

rpx, yq “ px, y, x2 q,

De esta parametrizaci´on se obtiene rx “ p1, 0, 2xq, rx ˆ ry “ p´2x, 0, 1q, La integral que buscamos queda ¨ “ 12

S

ˆ

x dS “ 1

´2

ˆ

1

´2

ˆ

13`x2 1`x2

1 ` x2 ď y ď 13 ` x2

´2 ď x ď 1,

ry “ p0, 1, 0q y por lo tanto a }rx ˆ ry } “ 1 ` 4x2

ˆ a x 1 ` 4x2 dy dx “

1

´2

ˆ ˇ 2˙ a ˇ13`x x 1 ` 4x2 y ˇ 2 dx 1`x

a ? ? ` ˘3{2 ˇˇ1 x 1 ` 4x2 dx “ 1 ` 4x2 ˇ “ 5 5 ´ 17 17 ´2

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(Pr. 3). Una parametrizaci´on de la superficie es rpx, θq “ px cos θ, x sen θ, f pxqq,

a ď x ď b,

0 ď θ ď 2π

rx “ pcos θ, sen θ, f 1 pxqq,

rθ “ p´x sen θ, x cos θ, 0q

Para Entonces de donde rx ˆ rθ “ p´x f 1 pxq cos θ, ´x f 1 pxq sen θ, xq ùñ }rx ˆ rθ } “

ApSq “

¨

S

dS “

ˆ

2π 0

ˆ

b a

ld op

Se tiene entonces

a x2 p1 ` pf 1 pxqq2

b

ˆ a 2 1 2 x p1 ` pf pxqq qdx dθ “ 2π

a

a |x| 1 ` pf 1 pxqq2 dx

Para calcular el ´ area de la superficie obtenida haciendo girar la curva y “ x2 , 0 ď x ď 1, alrededor del eje y, hacemos

0

0

er a

A “ 2π

¨ ˇ1 ˛ ? ˇ a p5 5 ´ 1q π 1 ˇ 2 3{2 2 |x| 1 ` 4x dx “ 2π ˝ p1 ` 4x q ˇ ‚ “ ˇ 12 6

1

ˆ



(Pr. 4). Es evidente que la proyecci´on de la superficie sobre el plano x y es el conjunto tpx, yq P R2 : x2 ` y 2 ď 1 u.

rg

Una parametrizaci´on de la superficie es

rpρ, θq “ pρ cospθq, ρ senpθq, eρ q ,

0 ď ρ ď 1,

0 ď θ ď 2π

Para esta parametrizaci´on

rρ ˆ rθ “ p´ρ cospθq eρ , ´ρ senpθq eρ , ρq ùñ }rρ ˆ rθ } “ ρ

¨ 1 z f px, y, zq dS Recordemos que z “ M S ¨ f px, y, zq dS. La masa es M “

a 1 ` e2ρ

S

M“

ˆ

2π 0

M “ 2π

ˆ

0

Por otro lado ¨

S

1

ˆ

z f px, y, zq dS “

0 1

a a ρ 1 ` e2ρ 1 ` e2ρ dρ dθ

˘ ` ˘ π` 3 ` e2 ρ 1 ` e2ρ dρ “ 2

ˆ

2π

0

Se resuelve lo anterior para llegar a

ˆ

1

ˆ a a 2ρ 2ρ 1`e 1 ` e dρ “ 2π ρe

1

ρ

0

¨

S

z f px, y, zq dS “

˘ 2π ` 10 ` 2e3 9

0

` ˘ ρ eρ 1 ` e2ρ dρ dθ

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Por lo tanto π 2 2 3`e 2π 3 9 p10 ` 2e q

`

z“

˘

“

ˆ

4 9

10 ` 2e3 3 ` e2

˙ 

(Pr. 5). Una parametrizaci´on de la superficie es rpρ, θq “ pρ cos θ, ρ sen θ, ρ2 q, rρ “ pcos θ, sen θ, 2ρq,

0 ď θ ď 2π

ld op

Para esta parametrizaci´on se tiene

0 ď ρ ď 2,

rθ “ p´ρ sen θ, ρ cos θ, 0q ùñ rρ ˆ rθ “ p´2ρ2 cos θ, ´2ρ sen2 θ, ρq

a Para este caso entonces dS “ }rρ ˆ rθ } “ ρ 1 ` 4ρ2

Por lo tanto ¨ ˆ pxy ` 1q dS “ S

2π

0

“ “

ˆˆ

0

ˆ

2

0

2π

0

2

` 2 ˘ a ρ sen θ cos θ ` 1 ρ 1 ` 4ρ2 dρdθ

ˆ a 3 2 ρ 1 ` 4ρ sen θ cos θ dρdθ `

0

sen θ cos θdθ

0 2

2π

ˆ

2

ρ

0

a 1 ` 4ρ2 dρdθ

er a

2π

ˆ

ˆ

˙ ˆˆ

2

0

˙ ˆˆ a 3 2 ρ 1 ` 4ρ dρ `

2π

dθ

0

˙ ˆˆ 2 a ˙ a ρ3 1 ` 4ρ2 dρ ` 2π ¨ “0¨ ρ 1 ` 4ρ2 dρdθ 0 0 ˆ ˇρ“2 ˙ π ´ ? ¯ ˘ 1 ` 3{2 ˇ 1 ` 4ρ2 17 17 ´ 1 “ “ 2π ˇ 12 6 ρ“0

(Pr. 6).

2

0

˙ a 2 ρ 1 ` 4ρ dρdθ

rg

ˆˆ

˙ ˆˆ



Vamos a encontrar la proyeci´ on de la superficie sobre el plano x y: * 2 2 2 x ` y ` pz ´ 2q “ 4 ùñ 3z ` pz ´ 2q2 “ 4 ùñ z “ 0 _ z “ 1 x2 ` y 2 “ 3

Reemplazando z “ 1 en x2 ` y 2 “ 3z se obtiene que la proyecci´on sobre el plano x y es el conjunto P “ tpx, yq : x2 ` y 2 “ 3u Daremos cuatro parametrizaciones diferentes: ´ ¯ a (i) rpx, yq “ x, y, 2 ´ 4 ´ x2 ´ y 2 , px, yq P P ¯ ´ a ? (ii) rpρ, θq “ ρ cospθq , ρ senpθq , 2 ´ 4 ´ ρ2 , 0 ď ρ ď 3, (iii)

0 ď θ ď 2π

Haciendo

x “ y “ z “

ρ cospθq senpφq ρ senpθq senpφq ρ cospφq

y reemplazando en la ecuaci´ on de la esfera, encontramos que la ρ “ 4 cospφq es la ecuaci´ on de dicha esfera y entonces una parametrizaci´on en estas coordenadas es: MAT024 (Ejercicios Resueltos: Integrales de Superficie) Descargado por Maria Jesusa Arahuallpa Arias ([email protected])

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` ˘ rpθ, φq “ 4 cospφq cospθq senpφq , 4 cospφq senpθq senpφq , 4 cos2 pφq 0 ď θ ď 2π,

π 3

(iv) Haciendo

ďφď

π 2

x “ y “ z´2 “

ρ cospθq senpφq ρ senpθq senpφq ρ cospφq

y reemplazando en la ecuaci´ on de la esfera, encontramos que ρ “ 2 es la ecuaci´ on de dicha esfera y entonces una parametrizaci´on en estas coordenadas es: rpθ, φq “ p2 cospθq senpφq , 2 senpθq senpφq , 2 cospφqq 0 ď θ ď 2π,

2π 3

ďφďπ

ld op

Para calcular el ´ area de la superficie usaremos la parametrizaci´on dada en (ii). Recordamos que ¨ }rρ ˆ rθ } dρ dθ ApSq “ R

Para esta parametrizaci´on tenemos

˜

rρ ˆ rθ “

2π

?

3

¸

er a

En este caso lo anterior queda

´ρ2 cospθq ´ρ2 senpθq a , a ,ρ 4 ´ ρ2 4 ´ ρ2

ApSq “

ˆ

ˆ

0

0

2ρ a dρdθ “ 4π 4 ´ ρ2



rg

(Pr. 7). La proyecci´on de la superficie sobre el plano xy es la que se muestra a continuaci´on: 5

4

y“x`2 3

R

2

y“2x

1

-1

0

1

2

3

4

Por otro lado, resulta evidente que la distancia desde cualquier punto del plano x ` 2y ` 2z “ 4 a la recta L :“ a p0, 2, zq, no depende de z, y es equivalente a la distancia desde px, yq a p0, 2q. Esto es δpx, y, zq “ x2 ` py ´ 2q2 .

La integral que debemos resolver para encontrar el momento de inercia respecto de L es: IL “

¨

R

δ 2 px, y, zq ¨ 1 dS “

Una parametrizaci´on de la superficie es ˆ ˙ 1 rpx, yq “ x, y, 2 ´ x, y , 2

¨

R

px2 ` py ´ 2q2 q dA

0 ď x ď 2,

2x ď y ď x ` 2

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Para esta parametrizaci´on rx ˆ ry “

ˆ

1 , 1, 1 2

˙

ùñ }rx ˆ ry } “

3 2

ld op

La integral queda entonces ˙  ˆ ˆ ˆ „ˆ 3 2 py ´ 2q3 ˇˇy“x`2 3 2 x`2 2 px ` py ´ 2q2 q dy dx “ x2 y ` dx IL “ ˇ 2 0 2x 2 0 3 y“2x ˙ ˆ ˆ p2x ´ 2q3 x3 3 2 3 2 ´ 2x ´ dx x px ` 2q ` “ 2 0 3 3 ˙ ˆ ˆ 8 3 2 2x3 ` 2x2 ´ px ´ 1q3 dx “ ´ 2 0 3 3 ˙ˇ ˆ 3 2 2 1 ˇx“2 3 8 “ “4 “ ´ x4 ` x3 ´ px ´ 1q4 ˇ 2 6 3 3 2 3 x“0



(Pr. 8). Primero encontramos la proyecci´on de la superficie sobre el plano x y. Para ello, notamos que la intersecci´ on del cono con la esfera se da cuando z “ 0 o bien cuando z “ 3. Por lo tanto, la proyecci´on de la superficie es el conjunto tpx, yq P R2 : x2 ` y 2 ď 9 u.

er a

Una parametrizaci´on de la superficie del problema es : rpρ, θq “ pρ cos θ, ρ sen θ, ρq,

0 ď θ ď 2π,

0ďρď3

Para esta parametrizaci´on se tiene

rρ ˆ rθ “ p´ρ cos θ, ´ρ sen θ, ρq ùñ dS “ }rρ ˆ rθ } “

? 2ρ

rg

Por lo tanto ˆ 2π ˆ 3 ? Iy “ pρ2 cos2 θ ` ρ2 q 2 ρ dρ dθ 0

? ˆ “ 2

0 2π

2

0

p1 ` cos θq

ˆ

ρ4 ˇˇ3 ˇ 4 0

? 81 ˆ 2π 2 p1 ` cos2 θq dθ 4 0 ? ? 81 243 2π 3π “ “ 2 4 4 “

˙

dθ



(Pr. 9). (a) Directamente. Parametrizaci´on de S: ˆ ˙ 1 2 rpρ, θq “ ρ cos θ, ρ sen θ, ρ , 2

0ďρď

? 2,

0 ď θ ď 2π

Con esto rρ “ pcos θ, sen θ, ρq ,

rθ “ p´ρ sen θ, ρ cos θ, oq

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` ˘ ` ˘ y con esto un vector normal a la superficie es rρ ˆrθ “ ˘ ´ρ2 cos θ, ´ρ2 sen θ, ρ . Usaremos ρ2 cos θ, ρ2 sen θ, ´ρ , dado que las condiciones del problema exigen que la normal apunte hacia abajo (z ă 0).

Entonces

¨

S

ˆ

Ý F ¨Ñ n dS “

ˆ

2π

ˆ

2π

ˆ

? 2

` ˘ p2ρ sen θ, 0, ρ cos θρ sen θq ¨ ρ2 cos θ, ρ2 sen θ, ´ρ dρdθ

0

0

? 2

(b) Usando Teorema de Stokes.

ld op

` ˘ sen θ cos θ ρ5 ´ ρ3 dρ dθ 0 0 ¸ ˆˆ 2π ˙ ˜ˆ ?2 ` 5 ˘ 1 3 “ sen θ cos θ dθ ρ ´ ρ dρ “ 0 ¨ “ 0 3 0 0 “

Para usar el Teorema de Stokes, debemos encontrar un campo vectorial Gpx, y, zq tal que ∇ ˆ G “ F . ˘ ` El campo Gpx, y, zq “ y , 21 x2 y ` x , y 2 z satisface la condicion. Entonces

¨

S

Ý F ¨Ñ n dS “

Una parametrizaci´on de γ es rptq “ ?

dx “

Entonces ˆ Gpx, y, zq dr γ

2π

0

Gpx, y, zq dr

γ

? dy “ ´ 2 senptq,

2 cosptq,

dz “ 0

˙´ ˆ ˆ ¯˙ ? ? ? ? ? 1 ´ 2 senptq dt 2 sen2 ptq 2 cosptq ` 2 senptq 2 cosptq 2 cosptq ` 2

2π

` ˘ 2 cos2 ptq ´ sen3 ptq cosptq ´ 2 sen2 ptq dt “ 0 ˆ ˙ sen4 ptq ˇˇ2π “ senp2tq ´ ˇ “0 2 0 “

ˆ

? `? ˘ 2 senptq, 2 cosptq, 1 , con 0 ď t ď 2π.

rg “

ˆ

ˆ

S

Ý p∇ ˆ Gq ¨ Ñ n dS “

er a

Para esta parametrizaci´on

¨

ˆ

0

2π

` ˘ 2 cosp2tq ´ 2 sen3 ptq cosptq dt

(c) Usando el Teorema de la Divergencia.

Para poder usar el Teorema de la Divergencia, debemos cerrar la superficie: sea S ˚ “ S Y T , donde T es la superficie (tapa) T “ tpx, y, zq P R3 : x2 ` y 2 ď 2, z “ 1u.

Entonces

¨

S˚

Ñ F ¨Ý n dS “

˚

Q

p∇ ¨ F q dV

siendo Q el s´ olido encerrado por S ˚ . La igualdad anterior es equivalente a ¨

S

Ý F ¨Ñ n dS `

¨

T

Ý F ¨Ñ n dS “

˚

Q

p∇ ¨ F q dV

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es decir ¨

Ý F ¨Ñ n dS “ ´

S

¨

T

Ý F ¨Ñ n dS `

˚

Q

p∇ ¨ F q dV

Como ∇ ¨ F “ 0, la igualdad anterior queda ¨

S

Ý F ¨Ñ n dS “ ´

¨

T

Ý F ¨Ñ n dS

Solamente nos resta calcular la integral de superficie de F sobre T . Con esto rρ “ pcos θ, sen θ, 0q,

? 2

ld op

rpρ, θq “ pρ cos θ, ρ sen θ, 1q, 0 ď θ ď 2π, 0 ď ρ ď

Parametrizaci´on de T :

rθ “ p´ρ cos θ, ρ cos θ, 0q

de donde rρ ˆ rθ “ ˘p0, 0, ρq. Usamos (por las condiciones del problema) p0, 0, ρq.

Entonces

¨

Ý F ¨Ñ n dS “

T

“

Por lo tanto

ˆ

2π

ˆ

2π

ˆ

? 2

0

0

? 2

0

0

ˆˆ

2π

` ˘ 2ρ sen θ, 0, ρ2 sen θ cos θ ¨ p0, 0, ρq dρ dθ

ρ3 sen θ cos θ dθ ˙ ˜ˆ

0

sen θ cos θ dθ ¨

¨

rg

S

(Pr. 10).

? 2

er a

“

ˆ

3

ρ dρ

0

¸

“ 0¨1 “0

Ý F ¨Ñ n dS “ 0 

Sea Fpx, y, zq “ p2x ` y ´ z, 2x ` z, 2x ´ y ´ zq. Seg´ un el Teorema de Stokes ˆ

γ

F ¨ dr “

¨

S

p∇ ˆ Fq ¨ n dS

siendo S cualquier superficie que tenga como borde a γ En este caso F“ p2x ` y ´ z, 2x ` z, 2x ´ y ´ zq

ùñ

∇ ˆ F “ p´2, ´3, 1q

Usaremos como superficie S el trozo de plano 2x´z “ 0 que est´a en el interior del elipsoide 4x2 `4y 2 `z 2 “ 4. Busquemos la proyecci´on de S sobre el plano xy. "

4x2 ` 4y 2 ` z 2 “ 0 2x ´ z “ 0

Sea D “ tpx, yq P R2 : 2x2 ` y 2 ď 1u.

ðñ

Una parametrizaci´on de S es rpx, yq “ px, y, 2xq,

Por lo tanto

"

z “ 2x 2x2 ` y 2 “ 1pproyecci´onq

px, yq P D. En este caso rx ˆ ry “ p´2, 0, 1q.

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ˆ

γ

“

F ¨ dr “

¨

S

p∇ ˆ Fq ¨ n dS “

¨

D

p´2, 3, 1q ¨ p´2, 0, 1q dA

5π 5 dA “ ? 2 D

¨



(Pr. 11). (a) Parametrizamos el cono: 0 ď u ď H,

0 ď v ď 2π

ld op

rpu, vq “ pu cospvq, u senpvq, uq, Entonces

ru “ pcospvq, senpvq, 1q,

rv “ p´u senpvq, u cospvq, 0q

de donde ru ˆ rv “ p´u cospvq, ´u senpvq, uq

Por lo tanto

S

F ¨ n dS “

2π

ˆ

0

ˆ

0

H

pu3 cos3 pvq, u3 sen3 pvq, u3 q ¨ p´u cospvq, ´u senpvq, uq du dv

er a

¨

Desarrollando el integrando, usando la identidad de la observaci´ on, se llega a ¨

S

F ¨ n dS “

ˆ

2π

0

ˆ

H

u4

0

1 sen2 p2vq du dv “ πH 5 2 10

rg

(b) Sea Q el s´ olido encerrado entre el cono z 2 “ x2 ` y 2 y el plano z “ H. Sea S ˚ “ S Y S1 , siendo S1 la superficie correspondiente al disco D˚ “ tpx, y, zq P R3 : x2 ` y 2 ď H 2 ,

z “ H u.

Por el Teorema de la Divergencia ¨ ¨ ¨ F dS “ F ¨ n dS ` S˚

S

S1

F ¨ n dS “

˚

Q

∇ ¨ F dV

y entonces ¨

S

F ¨ n dS “

˚

Q

∇ ¨ F dV ´

¨

S1

F ¨ n dS

p˚ q

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˚

Calculamos primero

∇ ¨ F dV

Q

˚

Q

∇ ¨ F dV “ 3

¨

px2 ` y 2 ` z 2 q dV

Q

Describiendo el s´ olido en coordenadas cil´ındricas x “ r cosptq,

0 ď r ď H,

y “ r senptq,

0 ď t ď 2π,

rďzďH

tenemos:

3

¨

Q

Ahora, para calcular

2

2

ld op

z “ z,

2

px ` y ` z q dV “ 3

¨

ˆ

2π

0

ˆ

0

H

ˆ

H

pr2 ` z 2 q r dz dr dt “

r

9 πH 5 10

F ¨ n dS, parametrizamos S1 por

S1

px, yq P D “ tpx, yq P R2 : x2 ` y 2 ď H 2 u

rpx, yq “ px, y, Hq,

Con esta parametrizaci´on tenemos que rx ˆ ry “ p0, 0, 1q y as´ı F ¨ n dS “

¨

px3 , y 3 , H 3 q ¨ p0, 0, 1q dA “ H 3

er a

¨

S1

D

¨

dA

D

Como el ´ area de D es πH 2 , se tiene

¨

F ¨ n dS “ H 3 πH 2 “ πH 5

S1

rg

Entonces, reemplazando en p˚ q:

¨

.

S

F ¨ n dS “

9 1 πH 5 ´ πH 5 “ ´ πH 5 10 10

Como para el c´ alculo de la integral directa (a) hemos utilizado el vector normal con tercera coordenada positiva (es decir apunta hacia el interior del cono), y el teorema de la divergencia lo hemos usado con vector normal apuntando hacia afuera del cono, debemos cambiar el signo de nuestro u ´ltimo resultado. As´ı, ¨

S

F ¨ n dS “

1 πH 5 10

igual que antes. 

(Pr. 12). Sea Γ la curva frontera de la superficie indicada. Debemos verificar que ¨

S

p∇ ˆ Fq dS “

ˆ

Γ

F ¨ dr

Es f´acil verificar que ∇ ˆ F “ p2, 0, 1q. MAT024 (Ejercicios Resueltos: Integrales de Superficie) Descargado por Maria Jesusa Arahuallpa Arias ([email protected])

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(i) Calcularemos primero

¨

S

p∇ ˆ Fq dS

Parametrizaci´on de S: rpx, yq “ px, y, 6 ´ 3x ´ 2yq,

0 ď x ď 2,

3 0ďy ď3´ x 2

Para esta parametrizaci´on

Por lo tanto ˆ ¨ p∇ ˆ Fq dS “ S

2

0

“

ˆ

0

2

ˆ

0

ˆ

0

3´ 32 x

ry “ p0, 1, ´2q ùñ rx ˆ ry “ p3, 2, 1q

ld op

rx “ p1, 0, ´3q,

p2, 0, 1q ¨ p3, 2, 1q dy dx

3´ 32 x

7 dy dx “ 21

(ii) Calcularemos ahora la integral de l´ınea correspondiente. La orientaci´on que debemos tomar es la que mirada desde un punto en el primer octante, lo suficientemente lejano, es recorrida en el sentido antihorario. z

er a

6

γ3

γ2

3

0

y

γ1

2

rg

x

Calcularemos cada integral de l´ınea por separado. (a) Para γ1 , una parametrizaci´on es rptq “ p2 ´ 2t, 3t, 0q, pdx, dy, dzq “ p´2, 3, 0q.

0 ď t ď 1, y para la cual se tiene dr “

y 3 γ1

2

ˆ

γ1

F ¨ dr “

ˆ

x

1 0

rp2 ` tqp´2q ` p4 ´ 4tqp3qs “ 1

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(b) Para γ2 , una parametrizaci´on es rptq “ p0, 3 ´ 3t, 6tq, pdx, dy, dzq “ p0, ´3, 6q.

0 ď t ď 1, y para la cual se tiene dr “

z 6 γ2

y

ˆ

γ2

F ¨ dr “

ld op

3

ˆ

1

rp0 ´ 6tqp´3q ` p3 ` 3tqp6qs “ 36

0

(b) Para γ3 , una parametrizaci´on es rptq “ p2t, 0, 6 ´ 6tq, pdx, dy, dzq “ p2, 0, ´6q.

0 ď t ď 1, y para la cual se tiene dr “

z 6

er a

γ3

ˆ

rg

γ3

F ¨ dr “

ˆ

x

2

1

rp2tqp2q ` p6 ´ 6tqp´6qs “ ´16

0

Por lo tanto,

ˆ

Γ

F ¨ dr “

ˆ

γ1

F ¨ dr `

ˆ

γ2

F ¨ dr `

ˆ

γ3

F ¨ dr “ 1 ´ 16 ` 36 “ 21 

(Pr. 13). La frontera de la superficie S es curva γ “ γ1 Y γ2 Y γ3 , donde

γ1 : r1 ptq “ pt, 0, t2 q con 0 ď t ď 1 es la intersecci´on de la superficie con el plano y “ 0,

z “ 1, x “ 0.

γ2 : r2 ptq “ pcosptq, senptq, 1q con 0 ď θ ď

π 2,

es la intersecci´on de la superficie con el plano

γ3 : r3 ptq “ p0, 1 ´ t, p1 ´ tq2 q, con 0 ď t ď 1 es la intersecci´on de la superficie con el plano

Entonces ˆ ˆ F ¨ dr “

γ1

γ

“

ˆ

0

F dr1 `

ˆ

γ2

Fdr2 `

ˆ

1

Fpr1 ptqq ¨ r11 ptq dt `

Fdr3

γ3

ˆ

0

π{2

Fpr2 ptqq ¨ r21 ptq dt `

ˆ

0

1

Fpr3 ptqq ¨ r31 ptq dt

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“

ˆ

R.Geraldo

1 2

ˆ

2

p´t , t ´ t, tq ¨ p1, 0, 2tq dt `

0

` 1

ˆ

ˆ

pp1 ´ tq ´ p1 ´ tq2 , p1 ´ tq2 , ´p1 ´ tqq ¨ p0, ´1, ´2p1 ´ tqq dt

0 π{2

“ “

1 π 1 8 π `2´ ` “ ´ 3 2 3 3 2

t dt `

0

0

psen θ ´ 1, 1 ´ cos θ, cos θ ´ sen θq ¨ p´ sen θ, cos θ, 0q dθ

0

1

ˆ

2

π{2

ˆ

psen θ ` cos θ ´ 1q dθ `

1

p1 ´ tq2 dt

0

ld op

(b) No es dificil calcular ∇ ˆ F “ p´2, ´2, ´2q. Por otro lado, una parametrizaci´on de la superficie es rpρ, θq “ pρ cos θ, ρ sen θ, ρ2 q con 0 ď ρ ď 1 y 0 ď θ ď π2 , cuyo vector normal (compatible con la orentaci´on de la curva γ) es rρ ˆ rθ “ p´2ρ2 cos θ, ´2ρ2 sen θ, ρq.

La integral pedida es ˆ π{2 ˆ 1 ¨ p∇ ˆ Fq dS “ p´2, ´2, ´2q ¨ p´2ρ2 cos θ, ´2ρ2 sen θ, ρq dr dθ S

0

π{2

ˆ

0

1 2

0

p4r pcos θ ` sen θq ´ 2rq drdθ “

ˆ

π{2

0

ˆ

4 pcos θ ` sen θq ´ 1 3

er a

“

0

ˆ

˙

dθ “

4 π 8 π 2´ “ ´ 3 2 3 2 

(Pr. 14). Para poder usar el Teorema de la Divergencia, debemos cerrar la superficie. Sea S ˚ “ S Y S1 Y S2 , donde S es el trozo de paraboloide, S1 es la tapa tx2 ` y 2 ď 4, z “ 4u y S2 es la tapa tx2 ` y 2 ď 1, z “ 1u. Sea Q el s´olido delimitado por S, S1 y S2 .

¨

rg

As´ı

S˚

Que en este caso toma la forma ¨ ¨ F ¨ n dS `

S1

S

F ¨ n dS “

F ¨ n dS `

¨

¨

S2

div F dV Q

F ¨ n dS “ 2

˚

Q

px2 ` y 2 q dV

De donde ¨ (i) Calculemos

¨

S

S1

F ¨ n dS “ ´

¨

S1

F ¨ n dS ´

¨

S2

F ¨ n dS ` 2

˚

Q

px2 ` y 2 q dV

p˚˚q

F ¨ n dS

? ? Una parametrizaci´on de la superficie S1 es rpx, yq “ px, y, 4q, con ´2 ď x ď 2, ´ 4 ´ x2 ď y ď 4 ´ x2 . Con esta parametrizaci´on, el vector normal (que nos sirve) es n“ rx ˆ ry “ p0, 0, 1q y la integral queda ¨

S1

F ¨ n dS “

ˆ

2

´2

“

ˆ

? 4´x2

? ´ 4´x2

ˆ

2

´2

ˆ

` 2 ˘ xy ` 16 , x2 y ` 16 , 4px2 ` y 2 q ¨ p0, 0, 1q dy dx

? 4´x2

? ´ 4´x2

4px2 ` y 2 q dy dx

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R.Geraldo

Hacemos un cambio de variable a coordenadas polares x “ r cos θ, y “ r sen θ, y obtenemos ˆ 2π ˆ 2 ¨ F ¨ n dS “ 4r2 r dr dθ “ 32π S1

¨

(ii) Calculemos

S2

0

0

F ¨ n dS

? ? Una parametrizaci´on de la superficie S2 es rpx, yq “ px, y, 1q, con ´1 ď x ď 1, ´ 1 ´ x2 ď y ď 1 ´ x2 . Con esta parametrizaci´on, el vector normal (que nos sirve) es n“ rx ˆ ry “ p0, 0, ´1q y la integral queda

S2

F ¨ n dS “

ˆ

1

? ´ 1´x2

´1

“

? 1´x2

ˆ

ˆ

1

´1

ˆ

` 2 ˘ xy ` 1 , x2 y ` 1 , 1px2 ` y 2 q ¨ p0, 0, ´1q dy dx

ld op

¨

? 1´x2

´px2 ` y 2 q dy dx

? ´ 1´x2

Hacemos un cambio de variable a coordenadas polares x “ r cos θ, ¨

S2

(iii) Vamos a calcular ahora

˚

2π

ˆ

0

ˆ

1

0

r2 r dr dθ “ ´

Haciendo un cambio a coordenadas ? cil´ındricas, x “ r cos θ, integraci´on 1 ď z ď 4, 0 ď r ď z, 0 ď θ ď 2π ˚

Q

π 2

px2 ` y 2 q dV

er a

Q

F ¨ n dS “ ´

y “ r sen θ, y obtenemos

2

2

px ` y q “

ˆ

0

2π

ˆ

1

4

ˆ

0

y “ r sen θ, z “ z se tienen los l´ımites de

? z

r2 r dr dz dθ “

21π 2

rg

Reemplazando estos resultados en (**)

´ π¯ 21π 21π “´ F ¨ n dS “ ´32π ´ ´ `2¨ 2 2 2 S

¨



(Pr. 15).

(a) Los puntos del plano donde las dos superficies se intersectan son las soluciones del sistema

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z z

*

x2 ` 3y 2 3 ´ 2x2

“ “

ùñ x2 ` y 2 “ 1

Esto quiere dcir que la proyecci´on de la curva γ sobre el plano XY es la circunferencia unitaria. Una parametrizaci´on de la curva con la orientaci´on pedida es entonces rptq “ pcos t, sen t, 3 ´ 2 cos2 tq,

0 ď t ď 2π

Se tiene entonces ˆ

ˆ

0

2π

Fprptqq ¨ r1 ptq dt “

ˆ

2π

p4 cos2 t sen2 t ` 3 ´ 2 cos2 tq dt “ 5π

0

ld op

γ

F ¨ dγ “

(b) Puede considerarse cualquiera de las superficies (el cilindro parab´olico o el paraboloide); nosotros lo haremos considerando el cilindro parab´olico z “ 3 ´ 2x2 , cuya proyecci´on (al igual que la de la otra superficie) sobre el plano XY es el conjunto R “ tpx, yq : x2 ` y 2 ď 1u Una parametrizaci´on de esta superficie es:

rpρ, θq “ pρ cos θ, ρ sen θ, 3 ´ 2ρ2 cos2 θq, De esta manera

rρ “ pcos θ, sen θ, ´4ρ cos2 θq,

0 ď θ ď 2π

rθ “ p´ρ sen θ, ρ cos θ, 4ρ2 cos θ sen θq

er a

y por lo tanto

0 ď ρ ď 1,

rρ ˆ rθ “ p4ρ2 cos θ, 0, ρq

Este u ´ltimo vector normal es justamente el que nos sirve para nuestro c´alculo, pues el normal a la supeficie debe tener tercera coordenada positiva para dar a la curva γ la orientaci´on correspondiente.

rg

Se calcula facilmente ∇ ˆ F “ p0, ´2y, 2zq, y seg´ un el Teorema de Stokes ¨ ˆ p∇ ˆ Fq dS F ¨ dγ “ S

γ

Ahora, ¨

S

p∇ˆFq dS “

ˆ

2π

0

“

ˆ

0

ˆ

0

1

2

2

2

p0, ´2ρ sen θ, 6´4ρ cos θq¨p4ρ cos θ, 0, ρq dρ dθ “

ˆ

2π

0

ˆ

0

1

p6ρ´4ρ3 cos2 θq dρ dθ

2π

p3 ´ cos2 θq dθ “ 6π ´ π “ 5π 

(Pr. 16).

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R.Geraldo

Sea S ˚ el s´ olido? limitado por el cilindro x2 ` y 2 “ 4, el disco x2 ` y 2 ď 4 en el plano z “ 0 y por la su frontera, es decir BS ˚ “ S Y T , donde T es la tapa superior del superficie z “ 3 ´ y, y sea BS ˚ ? cilindro dada por la superficie z “ 3 ´ y. Entonces, por el Teorema de la Divergencia, ˚ ¨ F ¨ n dS “ ¨

BS ˚

¨

F ¨ n dS “

S

F ¨ n dS ` ¨

S

Calculemos primero

˚

S˚

˚

S˚

T

F ¨ n dS, por lo tanto

F ¨ n dS “

˚

S˚

˚

S˚

¨

p∇ ¨ Fq dV ´

F ¨ n dS

T

Para ello escribimos S ˚ en coordenadas cil´ındricas y nos queda

p∇ ¨ Fq dV .

p∇ ¨ Fq dV “

2

2

px z ` y z ` zq dV “

ˆ

0

2π

ˆ

0

2

ˆ

0

? 3´ρ sen θ

pρ2 ` 1qzρ dz dρ dθ

˙ ˆ ˆ 1 2π 56 sen θ dθ “ 18π pρ ` ρq p3 ´ ρ sen θq dρdθ “ 18 ´ 2 0 15 0 0 ¨ Calculamos ahora la integral de superficie F ¨ n dS. T ? Parametrizamos la superficie T por rpρ, θq “ pρ cos θ, ρ sen θ, 3 ´ ρ sen θq, con 0 ď ρ ď 2 2π. ˆ

ˆ

2

3

er a

1 “ 2

2π

¨

ld op

Pero

p∇ ¨ Fq dV

S˚

BS ˚

Esto implica

Se tiene entonces: ˆ 2π ˆ ¨ F ¨ n dS “ T

ˆ ˙ ´ρ cos θ ? rθ “ ´ρ sen θ, ρ cos θ, 2 3 ´ ρ sen θ

rg

˙ ˆ ´ sen θ ? , rρ “ cos θ, sen θ, 2 3 ´ ρ sen θ

0

2π

0ďθď

˙ ˆ ρ ? ,ρ rρ ˆrθ “ 0, 2 3 ´ ρ sen θ

2

Fprpρ, θqq ¨ prρ ˆ rθ q dρ dθ

0

2

y

ˆ

˙ ˙ˆ a a 1 3 1 3 1 ρ 3 3 “ ,ρ ρ cos θ 3 ´ ρ sen θ, ρ sen θ 3 ´ ρ sen θ, p3 ´ ρ sen θq ¨ 0, ? 3 3 2 2 3 ´ ρ sen θ 0 0 ˙ ˙ ˆ 2π ˆ ˆ 2π ˆ 2 ˆ 32 1 4 1 8 “ ρ sen3 θ ` ρp3 ´ ρ sen θq dρ dθ “ sen3 θ ` 3 ´ sen θ dθ “ 6π 6 2 3 6 0 0 0 Por lo tanto ˆ

ˆ

¨

S

F ¨ n dS “

˚

S˚

p∇ ¨ Fq dV ´

¨

T

F ¨ n dS “ 18π ´ 6π “ 12π 

( (Pr. 17). Sea S ˚ “ S YT , donde T es la superficie px, y, zq P R3 : px ´ 1q2 ` y 2 ď 1, z “ 9 ´ x2 , es decir la “tapa superior” del cilindro. Por el Teorema de la Divergencia

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R.Geraldo

¨

F ¨ n dS “

S˚

˚

div Fpx, y, zq dV

Q

donde Q es el s´ olido encerrado por S ˚ y div Fpx, y, zq “ y. ¨ ¨ ¨ Como F ¨ n dS “ F ¨ n dS ` F ¨ n dS S˚

S

T

se tiene ¨

F ¨ n dS “

S

˚

Q

div Fpx, y, zq dV ´

¨

T

F ¨ n dS

p˚q

Q

˚

Q

div Fpx, y, zq dV “

ˆ

π{2

´π{2

“

ˆ

π{2

´π{2

2cosθ 0

ˆ

9´ρ2 cos2 θ

0

ˆ

2cosθ

0

ρ sen θρ dz dρ dθ

p9ρ2 sen θ ´ ρ4 cos2 θ sen θq dρ dθ

π{2

ˆ ˙ 32 3 7 “ 24 cos θ sen θ ´ cos θ sen θ dθ 5 ´π{2 ˇπ{2 ˆ ˙ ˇˇπ{2 ˇ ` ˘ 4 ˇ ˇ ` “0 “ ´6 cos4 θ ˇ cos8 θ ˇ ˇ ˇ 5

er a

ˆ

Ahora calcularemos

ˆ

ld op

Calculemos ahora cada una de las integrales del lado derecho de esta u ´ltima igualdad. ˚ div Fpx, y, zq dV , describiendo el s´olido Q en coordenadas cil´ındricas se tiene Para la integral

¨

´π{2

T

´π{2

F ¨ n dS

π 2

y0ďρď

rg

Parametrizamos la superficie T por rpρ, θq “ pρ cos θ, ρ sen θ, 9 ´ ρ2 cos2 θq, con ´ π2 ď θ ď 2 cos θ Para esta parametrizaci´on se tiene rρ ˆ rθ “ p2ρ2 cos θ, 0, ρq, entonces ¨ ˆ π{2 ˆ 2 cos θ F ¨ n dS “ pρ2 sen θ cos θ, 9 ´ ρ2 cos2 θ, ρ2 sen θ cos θq ¨ p2ρ2 cos θ, 0, ρq dρ dθ T

´π{2

“

ˆ

π{2

´π{2 π{2

0

ˆ

0

2 cos θ

p2ρ4 sen θ cos2 θ ` ρ3 sen θ cos θqdρdθ

˙ 26 24 7 5 “ sen θ cos θ ` sen θ cos θ dθ 5 4 ´π{2 ˆ ˆ ˙ ˇˇπ{2 ˙ ˇˇπ{2 2 8 ˇ ˇ ´ “0 cos6 θ ˇ “ ´ cos8 θ ˇ ˇ ˇ 5 3 ˆ

ˆ

´π{2

´π{2

Reemplazando en (*) se tiene

¨

S

F ¨ n dS “ 0 

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(Pr. 18). Por el Teorema de Stokes, sabemos que ¨

S

p∇ ˆ Fq dS “

ˆ

γ

F ¨ dr

˙ * "ˆ 1 2 2 : x ` y “ 1 , que parametizamos por donde γ es la curva frontera de S, en este caso x, y, 2 ˆ ˙ 1 rpθq “ cos θ, sen θ, con 0 ď θ ď 2π. 2 Se tiene entonces

Reemplazando en la integral de l´ınea ˆ

γ

ˆ

F ¨ dr “

2π

0

y “ sen θ, dy “ cos θ,

z“

1 , dz “ 0 2

ld op

x “ cos θ, dx “ ´ sen θ,

˙ ˆ 1 1 1 ´ sen θ cos θ ´ sen2 θ ` sen θ cos2 θ dθ 2 4 8

ˇ2π ˇ2π ˆ ˙ ˇ2π ˇ 1 1 cos3 θ ˇˇ 1 θ senp2θq ˇˇ π ˇ “ cosp2θqˇ ´ ´ ˇ ´ ˇ “´ ˇ ˇ 8 4 2 4 8 3 ˇ 4



er a

(Pr. 19).

0

0

0

a) En este caso la curva C no encierra al eje Z, por teorema de Stokes se tiene ¨ ˛ Ñ rotpF q ¨ Ý n dS “ 0 F ¨ dα “ S

C

rg

porque rotpF q “ p0, 0, 0q

b) La curva C encierra al eje Z y el rotacional del campo no est´a definido. Usamos la definici´on para calcular la integral de linea. Sea αptq “ pcosptq, senptq, 1 ´ cosptqq una parametrizaci´on de C, se tiene ˆ ˛ ˆ 2π

C

F ¨ dα “

0

2π

F pαptqq ¨ α1 ptqdt “

0

p1 ` senptq ´ senptq cosptqqdt “ 2π



(Pr. 20). Dado que es una superficie cerrada, vamos a utilizar el Teorema de la Divergencia. En este caso, div F“ 2xy ´ 2xy ` 2 “ 2

Seg´ un el Teorema de la Divergencia, debemos calcular ˚ ˚ ¨ Ñ Ý 2 dV div Fpx, y, zq dV “ Fpx, y, zq n dS “ BQ

Q

Q

Para calcular esta u ´ltima integral, primero debemos buscar la proyecci´on sobre el plano z y (que es este caso es mas conveniente); para ello, vemos que x “ x “

y 2 ` 3z 2 ùñ 3 ´ 2y 2 “ y 2 ` 3z 2 ùñ y 2 ` z 2 “ 1 3 ´ 2y 2

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El s´olido puede ser descrito en coordenadas cil´ındricas por x “ y “ z “

x r cos θ r sen θ

y 2 ` 3z 2 ď x ď 3 ´ 2y 2 0ďrď1 0 ď θ ď 2π

donde

Note que reemplazando z e y en la primera desigualdad, se obtiene r2 cos2 θ ` 3r2 sen2 θ ď x ď 3 ´ 2r2 cos2 θ,

Q

ˆ

2π

2 dV “ 2

ˆ

2π

2 dV “ 2

ˆ

0

1 0

ˆ

3´2r 2 cos2 θ

r dx dr dθ r 2 cos2 θ`3r 2 sen2 θ

Entonces ˚

Q

“2¨3

ˆ

0

2π

ˆ

0

ˆ

0

1 0

ˆ

0 ď θ ď 2π

ld op

As´ı, tenemos ˚

0 ď r ď 1,

3´2r 2 cos2 θ

r dx dr dθ

r 2 cos2 θ`3r 2 sen2 θ

1

pr ´ r3 q dr dθ “ 3 ¨ 2 ¨

1 4

ˆ

2π

0

“ 3π



er a

(Pr. 21). Vamos a utilizar el Teorema de la Divergencia. Para ello, vamos primero a cerrar la superficie. Sea S ˚ “ S Y T , siendo T la superficie (tapa de abajo del elipsoide) tpx, y, 0q P R3 : x2 ` 2y 2 ď 1 u. Llamemos E al s´olido encerrado por S ˚ . Entonces, ¨

S˚

F ¨ n dS “

F ¨ n dS `

S

rg

de donde

¨

¨

S

¨

F ¨ n dS “

Sabemos que el volumen del elipsoide

x2 a2

T

F ¨ n dS “

˚

E

`

y2 b2

3 dV ´ `

z2 c2

˚ ˆ E

¨

BP BQ BR ` ` Bx By Bz

F ¨ n dS

T

“ 1 es

˙

dV “

˚

3 dV

E

p‹q

4 πabc, por lo tanto 3

1 π 3dV “ 3 pvolumen del elipsoideq “ ? 2 2 E

˚

(El c´alculo se puede hacer con integrales triples sin problemas) ¨ F ¨ ndS, parametrizamos T por rpu, vq “ pu, v, 0q con pu, vq P R2 tales que u2 ` 2v 2 ď 1. Para calcular T

De este modo ru ˆ rv “ ˘p0, 0, 1q.

Entonces

¨

T

F ¨ ndS “

¨

Fprpu, vqq ¨ p0, 0, ´1qdudv “ ´

¨

Rpu, v, 0qdudv

u2 `2v 2 ď1

u2 `2v 2 ď1

o sea, ¨

T

F ¨ ndS “ ´

¨

pu2 ` v 2 qdudv

u2 `2v 2 ď1

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Para calcular esta integral, hacemos el cambio de variable u “ r cos θ, v “ ?r2 sen θ, J “ ?r2

0ďrď1 0 ď θ ď 2π

Con esto, ´

¨

pu2 ` v 2 qdudv “ ´

ˆ

2π

ˆ

0

1

0

u2 `2v 2 ď1

˙ ˆ r r2 sen2 θ ? dr dθ r2 cos2 θ ` 2 2

¨

S

F ¨ n dS “

˚

E

ld op

˙ ˆ 2π ˆ 1 3π 3π 1 1 1 ´ sen2 θ dθ “ ´ ? 9 “´ ? “ ´? 4 8 2 0 2 8 8 2 Finalmente, reemplazando los valores calculados en p‹q, se obtiene 3 dV ´

¨

T

3π 11π π F ¨ n dS “ ? ` ? “ ? 2 8 2 8 2



er a

(Pr. 22). Resolveremos usando el Teorema de Stokes, o sea ¨ ˆ p∇ ˆ Fq ¨ ~n dS F ¨ dr “ S

γ

siendo S cualquier superficie (que satisfaga las hip´otesis del teorema) cuya frontera sea γ. Usaremos S x z como el trozo de plano ` “ 1 , con a ą 0 y b ą 0 que se encuentra al inetrior del cilindro x2 `y 2 “ a2 a b Tenemos Fpx, y, zq “ py ´ z, z ´ x, x ´ yq. Para este campo se tiene ∇ ˆ F “ p´2, ´2, ´2q.

rg

Por otro lado, no es dificil ver que una parametrizaci´on de S es

ˆ ˙ b ρ cos θ, ρ sen θ, b ´ ρ cos θ , 0 ď θ ď 2π, 0ďρďa a ˆ ˙ b Para esta parametrizaci´on, rρ ˆ rθ “ ρ, 0, ρ . Este es el que sirve por la orientaci´on de la curva. a Entonces ˙ ˆ ¨ ˆ 2π ˆ a b ρ, 0, ρ dρ dθ p∇ ˆ Fq ¨ ~n dS “ p´2, ´2, ´2q ¨ a S 0 0 ˆ ˆ ´2b ´ 2a 2π a “ ρ dρ dθ “ ´2πapa ` bq a 0 0 Por lo tanto rpρ, θq “

ˆ

γ

F ¨ dr “ ´2πapa ` bq 

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(Pr. 23). Sea Fpx, y, zq “ py, z, xq. Entonces ∇ ˆ F “ p´1, ´1, ´1q. Por el Teorema de Stokes,

ˆ

γ

F ¨ dr “

¨

S

∇ ˆ F ~n dS “

¨

S

p´1, ´1, ´1q ¨ ~n dS

siendo S una superficie que tiene como frontera a la curva γ. Consideramos como S el trozo de plano x ` y ` z “ 0 que queda en el interior de la esfera.

Una parametrizaci´on de esta superficie es rpx, y, zq “ px, y, ´x´yq con px, y, zq P Ω, siendo Ω la proyecci´on de S sobre el plano xy.

S

ld op

Para esta parametrizaci´on se tiene que rx ˆ ry “ ˘p1, 1, 1q. Considerando la orientaci´on de la curva, tomamos rx ˆ ry “ p´1, ´1, ´1q, y entonces ¨ ¨ ¨ ∇ ˆ F ~n dS “ p´1, ´1, ´1q ¨ p´1, ´1, ´1q dA “ 3 dA Ω

Solo debemos calcular el ´ area de Ω.

Ω

Para encontrar la ecuaci´ on de la proyecci´on hacemos “ a2 “ 0

*

ùñ

er a

x2 ` y 2 ` z 2 x`y`z

x2 ` xy ` y 2 “

a2 2

La figura siguiente corresponde a una representaci´on de la elipse x2 ` y 2 ` xy “

a2 2

y

rg

a

a ? 3

x

el ´area de esta elipse es πa ?a3 (***) Por lo tanto ¨

S

∇ ˆ F ~n dS “ 3

? a dA “ 3πa ? “ πa2 3 3 Ω

¨

Para probar (***): un f´ acil c´ alculo nos muestra que: para y “ x, se tiene que x “ ˘ ?a6 y para y “ ´x, se tiene que x “ ˘ ?a2 A partir de los tri´angulos siguientes se pueden determinar el lado mayor y menor de la elipse:

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?a 2

Por el Teorema de Pit´agoras, tenemos que ´ 2¯ a 2 E “ 2 2 , de donde E “ a

E

?a 2

?a 6

e

?a 6

ld op

Por el ´ Teorema de Pit´agoras, tenemos que ¯ 2 e2 “ 2 a6 , de donde e “ ?a3

Atenci´ on: Otra forma de resolver es la siguiente: Por el Teorema de Stokes, ˆ

γ

F ¨ dr “

¨

S

∇ ˆ F ~n dS “

¨

S

p´1, ´1, ´1q ¨ ~n dS

er a

siendo S una superficie que tiene como frontera a la curva γ.

Consideramos como S el trozo de plano x ` y ` z “ 0 que queda en el interior de ˆ la esfera. El vector ˙ 1 1 1 Ñ Ý normal unitario a S (que nos sirve, debido a la orientaci´on de la curva) es n “ ´ ? , ´ ? , ´ ? . 3 3 3 Reemplazando en la integral de m´ as arriba 1 p´1, ´1, ´1q ¨ ~n dS “ ? 3 S

¨

3 p´1, ´1, ´1q ¨ p´1, ´1, ´1q dS “ ? 3 S

¨

¨

dS

S

rg

y como el ´ area de S corresponde al ´ area de una circunferencia de radio a, se tiene ? 3 F ¨ dr “ ? a2 π “ 3 πa2 3 γ

ˆ



(Pr. 24). No podemos usar directamente el Toerema de Stokes, pues el campo no est´a definido en el punto p0, 0, 0q. Haremos un arreglo para evitar este punto. Recordemos que lo importante es buscar una superficie cuya frontera sea la curva γ (o que parte de su frontera sea γ). Con este fin, consideramos la superficie S ˚ , correspondiente al trozo de cono pz ` 1q2 “ x2 ` y 2 comprendido entre los planos 2z ` y “ 6 y el plano z “ 0. Sea γ1 la curva dada por la intersecci´on del cono antes descrito con el plano z “ 0. La frontera de S ˚ es γ Y γ1 . Dada la orientaci´on de γ, debemos considerar sobre γ1 la orientaci´on en sentido horario. ˆ ˙ x´y x`y 2 Sea Fpx, y, zq “ , , z x2 ` y 2 x2 ` y 2 El Teorema de Stokes en este caso toma la forma ¨ ˆ ˆ p∇ ˆ Fq dS F ¨ dr “ F ¨ dr ` γ

γ1

S˚

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No es dif´ıcil ver que ∇ ˆ F “ p0, 0, 0q, por tanto lo anterior queda ˆ

F ¨ dr “ ´

γ

ˆ

γ1

F ¨ dr

Una parametrizaci´on de γ1 es rptq “ psen t, cos t, 0q, con 0 ď t ď 2π.

Entonces ˆ ˆ F ¨ dr “ ´ γ

2π

rpsen t ´ cos tq cos t ` psen t ` cos tq p´ sen tqs dt “ ´p´2πq “ 2π

0

(Pr. 25).

ld op



Usaremos el Teorema de Stokes. ¨ Debemos entonces calcular p∇ ˆ Fq dS. S

Se tiene que ∇ˆF“

ˆ

BR BP1 BR BQ BP2 ´ , ´ , 1´ By Bz Bz Bx By

Llamemos ∇ ˆ F “ pC1 , C2 , 1 ´ x ´ yq.

˙

“

ˆ

BR BQ BP2 BR ´ , ´ , 1´x´y By Bz Bz Bx

˙

er a

Una parametrizaci´on de la superficie S es

rpρ, θq “ pρ cos θ, ρ sen θ, hq,

0 ď ρ ď 1,

0 ď θ ď 2π

Para esta parametrizaci´on se tiene

rρ “ pcos θ, sen θ, 0q ^ rθ “ p´ρ sen θ, ρ cos θ, 0q ùñ rρ ˆ rθ “ p0, 0, ρq

rg

Por lo tanto

ˆ

Γh

“

ˆ

F ¨ dr “

2π

0 2π

ˆ

¨

S

p∇ ˆ Fq dS “

ˆ

2π

ˆ

0

0

1

pC1 , C2 , 1 ´ ρ cos θ ´ ρ sen θq ¨ p0, 0, ρq dρ dθ

1

0

` ˘ ρ ´ ρ2 psen θ ` cos θq dρdθ

˙ 1 1 1 ´ psen θ ` cos θq dθ “ ¨ 2π “ π “ 2 3 2 0 ˆ F ¨ dr es independiente de h. Esto demuestra que la integral de l´ınea ˆ

ˆ

Γh



(Pr. 26). ¨

S

g

Bg dS “ B~n

¨

S

g ∇g ¨ ~n dS “

¨

S

pg∇gq ¨ ~n dS

Aplicamos el Teorema de la Divergencia al campo g∇g y se obtiene ˚ ˚ ¨ ∇ ¨ pg gx , g gy , g gz q dV ∇ ¨ pg∇gq dV “ pg∇gq ¨ ~n dS “ S

R

R

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R.Geraldo

“

˚

pgx gx ` g gxx ` gy gy ` g gyy ` gz gz ` g gzz q dV

“

˚

pgx2 ` gy2 ` gz2 ` g∇2 gqdV

“

˚

pgx2

R

R

R

`

gy2

`

gz2 qdV

˚

“

R

}∇g}2 dV 

ld op

(Pr. 27). Consideramos el campo vectorial f p~xqFp~xq y le aplicamos el Teorema de la Divergencia. As´ı tenemos ˚ ¨ ∇ ¨ pf p~xqFp~xqq dV f p~xq Fp~xq ¨ ~n dS “ BS

S

Estudiemos el segundo miembro de la igualdad de arriba.

er a

Sea Fp~xq “ pP p~xq, Qp~xq, Rp~xqq. Entonces f p~xqFp~xq “ pf p~xqP p~xq , f p~xqQp~xq , f p~xqRp~xqq. Bf BP Bf BQ Bf BR ∇ ¨ pf Fq “ P `f ` Q`f ` R`f Bx Bx By By Bz Bz ˆ ˙ ˆ ˙ Bf Bf Bf BP BQ BR , , ` ` ¨ pP, Q, Rq ` f “ Bx By Bz Bx By Bz “ ∇f ¨ F ` f ∇ ¨ F Volviendo a la primera igualdad: ¨

f F ¨ ~n dS “

S

∇ ¨ pf Fq dV “

rg

de donde

BS

˚

˚

S

∇f ¨ F dV “

¨

BS

˚

S

∇f ¨ F dV `

f F ¨ ~n dS ´

˚

S

˚

S

f ∇ ¨ F dV

f ∇ ¨ F dV

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