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• LeonardoArteaga

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Ondas Sonoras

18-1 Ondas audibles, ultrasónicas e infrasónicas Tipos de ondas sonoras

Las ondas sonoras son ondas mecánicas longitudinales. Se pueden propagar en sólidos, líquidos y gases. Las partículas materiales transmiten las ondas como éstas, oscilando en la dirección de la onda misma. Hay un margen muy amplio de frecuencias para las ondas mecánicas longitudinales que se pueden producir, las ondas sonoras se encuentran comprendidas dentro del margen de frecuencias que pueden estimular el oído humano y al cerebro para dar la sensación de oír. Este margen se encuentra aproximadamente entre 20 ciclos/s (o Hz) hasta 20 000 Hz y se llama margen audible. Las ondas mecánicas longitudinales cuya frecuencia se encuentra abajo del margen audible se llaman ondas infrasónicas y las que tienen una frecuencia superior al margen audible se llaman ondas ultrasónicas. Las ondas infrasógicas de interés, son producidas comúnmente por fuentes grandes, los temblores de tierra son un ejemplo. Las altas frecuencias asociadas con las ondas ultrasónicas, pueden producirse por las vibraciones elásticas de un cristal, inducidas por resonancia con un campo eléctrico alternante (efecto piezoeléctrico). En esta forma se pueden producir frecuencias ultrasónicas tan altas como 6 x 108 Hz (= 600 MHz); la longitud de onda correspondiente en el aire, es aproximadamente de 5 x 10-5 cm, la misma que la longitud de onda de las ondas visibles de la luz. Las ondas audibles se producen por cuerdas vibrantes (violín, piano, guitarra), columnas de aire vibratorias (órgano, clarinete) y placas o membranas vibrantes (xilófono, altoparlante, tambor, cuerdas vocales humanas). Todos estos elementos vibratorios, alternativamente comprimen el aire que los rodea en su movimiento hacia adelante y lo expanden en su movimiento hacia atrás. El aire transmite astas alteraciones alejándose de la fuente de cada onda. Al entrar en el oído, estas ondas producen la sensación de sonido. Las formas de las ondas que sean aproximadamente periódicas, o que se encuentran formadas por un número pequeño de componentes aproximadamente periódicas, a menudo dan lugar a una sensación placentera (si la intensidad no es demasiado grande), como, por ejemplo, los sonidos musicales. Por otro lado, el ruido es un sonido que no es agradable y que puede resultar, por ejemplo, cuando la forma de la onda no es periódica. En este capítulo nos ocuparemos de las propiedades de las ondas mecánicas longitudinales, usando a las ondas sonoras como el prototipo.

342 Fundamentos de Física

18-2 Rapidez y propagación de las ondas longitudinales

Fig. 18-1 Ondas sonoras producidas en un tubo por un pistón oscilante. Las líneas verticales dividen al medio compresible que se encuentra en el tubo, en capas de la misma masa. Suponemos que el tubo es infinitamente largo, de tal manera que no hay confusión provocada por reflexión de la onda en el extremo del tubo.

Cálculo de la rapidez del sonido

Las ondas sonoras, si no se obstruyen , se propagan en todas direcciones a partir de una fuente . Sin embargo , es más sencillo considerar la propagación unidimensional, por lo que vamos a considerar primero la transmisión de ondas longitudinales en un tubo. La Fig . 18-1 muestra a un pistón en uno de los extremos de un tubo largo lleno con un medio compresible . Las líneas verticales dividen el medio compresible ( fluido) en capas delgadas , cada una de las cuales contiene la misma masa de fluido. Cuando las líneas se encuentran relativamente más juntas , la presión y la densidad son más grandes que las que tienen en el fluido normal no alterado , y a la inversa. Consideraremos el fluido como un medio continuo , ignorando, por tanto , el hecho de que se encuentra formado por moléculas animadas de un movimiento aleatorio. Si empujamos el pistón de la Fig . 18-1 hacia adelante , el fluido que se encuentra frente a él se comprime , la presión y la densidad aumentan sobre los valores normales que tenían cuando no estaba alterado . El fluido comprimido se mueve hacia adelante, comprimiendo las capas de aire cercanas a él, con lo que se mueve un pulso de compresión a lo largo del tubo. Si después movemos el pistón hacia atrás , el fluido que se encuentra delante de él se expande, su presión y densidad caen abajo de los valores normales que tenía cuando no estaba alterado; un pulso de rarefacción se mueve hacia adelante en el tubo. Estos pulsos son semejantes a los pulsos transversales que se mueven a lo largo de la cuerda, excepto en que los elementos oscilantes del fluido se desplazan a lo largo de la dirección de propagación (longitudinal), en lugar de hacerlo perpendicularmente con dicha dirección (transversal). Si el pistón oscila hacia adelante y hacia atrás , se moverá hacia adelante del tubo un tren continuo de compresiones y rarefacciones (Fig. 18-1). Como lo hicimos para las ondas transversales en una cuerda (véase la Sec . 17-4), estamos capacitados para expresar la rapidez de propagación de la onda longitudinal , usando las leyes de Newton del movimiento, en términos de una propiedad elástica y una inercia¡ del medio . Ahora lo haremos. Por lo pronto , supondremos que el tubo es muy largo, de tal manera que podemos ignorar las reflexiones del extremo muy lejano . Lo mismo que para la cuerda de la Fig. 17-6 , no consideraremos una onda completa , sino un pulso separado (compresión), que podemos producir dando al pistón indicado en la Fig . 18-1, un movimiento corto , rápido y hacia adelante. La Fig. 18-2 muestra un pulso como ése (marcado por "zona de compresión") que se mueve con la rapidez v a lo largo del tubo, de izquierda a derecha. Para simplificar hemos supuesto que este pulso tiene un borde de ataque y otro de salida perfectamente definidos y que tiene presión y densidad uniformes en su interior. Cuando analizamos el movimiento de un pulso transversal en una cuerda, encontra-

F

p

Zona de compresión r Tv

+9P

rP

L Ilt

--I r- uát

-ami f-- (u + :áu)Ot

Fig. 18-2 Un pulso de compresión se mueve a lo largo de un tubo lleno de gas. En un marco de referencia en el que el gas no está alterado se encuentra en reposo, el pulso se mueve de izquierda a derecha con la rapidez v. Sin embargo, vemos el pulso, desde un marco de referencia en el que el pulso se encuentra estacionario; en dicho marco el gas que está fuera del pulso, se mueve en el tubo de derecha a izquierda con la rapidez v, como se indica. Nótese que .5v es negativa.

Ondas Sonoras 343 mos conveniente elegir un marco de referencia en el que el pulso permanece estacionario; también haremos esto aquí. En la Fig. 18 - 2, entonces, la zona de compresión permanece estacionaria en nuestro marco de referencia , mientras el fluido se mueve en él de derecha a izquierda con la rapidez v, como se muestra. Sigamos el movimiento del elemento de fluido contenido entre las líneas verticales en P , de la Fig . 18-2. Este elemento se mueve hacia adelante con la rapidez v, hasta que choca con la zona de compresión. Cuando entra en esta zona , encuentra una diferencia de presión Ip entre los bordes de ataque y de salida . El elemento se comprime y desacelera , moviéndose con una rapidez más baja v + á v dentro de la zona, siendo negativa la cantidad A v. El elemento eventualmente sale de la cara izquierda de la zona, donde se expande hasta su volumen original y la diferencia de presión .Sp, actúa para acelerarla hasta su rapidez original v. La figura muestra al elemento en el punto R, habiendo pasado a través de la zona de compresión y se mueve con la rapidez v, como en P. Apliquemos las leyes de Newton al elemento del fluido, mientras entra en la zona de compresión . La fuerza resultante que actúa en los puntos de entrada es hacia la derecha en la Fig . 18-2 y tiene la magnitud F=(p+.Xp)A-pA=.pA en donde A es el área de la sección recta del tubo. El largo del elemento fuera de la zona de compresión ( digamos, en P) es vdt, donde -S i es el tiempo que se necesita para que el elemento que se mueve pase por cualquier punto dado . Así, el volumen del elemento es vA.lt y su masaPovA át, dondePo es la densidad del fluido fuera de la zona de compresión. La aceleración a que experimenta el elemento cuando entra a la zona es - .v/.át; como á v es esencialmente negativo , a es positiva , lo que significa que, como la fuerza XpA de la Fig. 182 apunta a la derecha . Así la segunda ley de Newton F =' nut. nos lleva a -SpA = (povA -lt)

.5s. Al

que podemos escribir en la forma - ^p

Ahora el fluido que ocuparía el volumen V(= Avát) en P, se comprime en una cantidad .4(.1v)Jt = . V al entrar en la zona de compresión. De aquí que: AV 4 ,c ,t C v -1r..Xt L

y obtenemos - .sp Poi' _ , `. `..

Rapidez del sonido

La relación del cambio en la presión sobre un cuerpo , Jp, al cambio fracciona) de volumen , - J V/V, se llama módulo volumétrico de elasticidad B del cuerpo. Esto es, B = - V. p/-1 V. B es positivo debido a que un aumento en presión provoca una disminución en volumen . En términos de 8, la rapidez del pulso longitudinal en el medio de la Fig. 18-2 es B Po

(18-1u)

Un análisis más amplio que el que acabamos de dar , muestra que la Ec. 18-1a se aplica no sólo a los pulsos rectangulares del tipo desarrollado en la Fig. 18 - 2, sino también a cualquier forma de un tren de ondas extenso. Nótese que la rapidez de la onda

344 Fundamentos de Física se encuentra determinada por las propiedades del medio en que se propaga , y que intervienen una propiedad elástica B y una propiedad inercialP0 . La Tabla 18-1 da la rapidez de las ondas longitudinales ( sonido ) en varios medios. Si el medio es un gas, como el aire , se puede expresar B en términos de la presión del gas no alterado po. Para una onda sonora en un gas obtenemos v = p o

Rapidez del sonido en un gas

(18-lb:

donde -y es una constante llamada relación de los calores específicos para el gas (véase la Sec. 21-6). Tabla 18-1 Rapidez del sonido. Rapidez" Medio~

m/s pies/s

Aire (seco, a 0 °C)

331

1087

Aire (seco, a 20 °C) Vapor (a 134 °C) Hidrógeno

343 494 1330

1130 1620 4360

Agua (destilada)

1486

4876

Agua (de mar) Plomo Cobre Aluminio

1519 1190 3810 5000

4984 3900 12 500 16 400

Vidrio (Pyrex) Acero

5170 5200

17 000 17 100

12 900

42 300

Berilio

A1.0atmy20°C. Valores para los sólidos en varillas largas y delgadas.

Si el medio es un sólido, para una varilla delgada, el módulo volumétrico se reemplaza por un módulo de deformación (llamado módulo de Young). Si el sólido es extenso, debemos admitir el hecho de que, a diferencia de un fluido, el sólido ofrece resistencia elástica a fuerzas tangenciales o de corte y la rapidez de las ondas longitudinales dependerá del módulo de corte, lo mismo que el módulo volumétrico.

18-3 Ondas viajeras longitudinales Considérese de nuevo un tren continuo de compresiones y expansiones moviéndose en el tubo de la Fig. 18 - 1. Mientras la onda avanza a lo largo del tubo, cada volumen pequeño de fluido oscila alrededor de la posición de equilibrio . El desplazamiento se efectúa hacia la derecha o hacia la izquierda a lo largo de la dirección x de propagación de la onda . Por conveniencia representemos el desplazamiento de cualquiera de estos elementos de volumen ( o capa de elementos que se mueva de la misma manera) de su posición de equilibrio en x por la letra y. Entenderá que el desplazamiento y se encuentra a lo largo de la dirección de propagación de la onda longitudinal, mientras que, para una onda transversal el desplazamiento y se encuentra en ángulo recto a la dirección de propagación . En general , la ecuación de una onda longitudinal que se mueve hacia la derecha como en la Fig. 18-1 se puede escribir en la forma y =f(x-ut). Para el caso particular de una onda armónica simple, tendremos 2-,7 _v = v cos (x - ut).

Ondas Sonoras 345 En esta ecuación v es la rapidez de la onda longitudinal, y„, es su amplitud y ? es su longitud de onda; y da el desplazamiento de una partícula en el tiempo t, a partir de su posición de equilibrio en x. Como antes, podemos escribir esto en una forma más corta como y = v cos (kx - w1).

(18-2)

Casi siempre es más conveniente tratar con variaciones de presión en cada onda

sonora que con los desplazamientos reales de las partículas que transportan la onda. Por ello, escribamos la ecuación de la onda en términos de variaciones de presión, en lugar de hacerlo en términos del desplazamiento. A partir de la definición del módulo volumétrico de elasticidad, dado con anterioridad,

tenemos -^p = -B ^^. De la misma manera que hicimos que y representara el desplazamiento a partir de la posición de equilibrio x, ahora haremos quep represente el cambio a partir de la presión del estado no alterado po. Entonces , p reemplaza a Ip, y p = - B j-. V Si una capa de fluido a la presión po tiene el espesor .5.y y un área de sección recta A, su volumen es V = A. x. Cuando la presión cambia, este volumen cambiará en AJy, donde Jy es el valor en el que cambia el espesor de la capa durante la compresión y la expansión . Por ello, 4 \y p = -8 VV = - B Conforme hacemos que 1x-0 para reducir la capa de fluido hasta un espesor infinitesimal, obtenemos p= - B

dr d.r

(18-3)

Hemos usado la notación de la derivada parcial porque (véase la Ec. 18-2) y es una función tanto de x como de t y tomamos esta última cantidad como constante en nuestra discusión. Si el desplazamiento de la partícula es armónico simple, se tiene, a partir de la Ec. 18-2, dy

_ -kv,,, sen (kr - cut).

d .C

y de la Ec. 18-3, p = BkY,, sen(kx - wt). (18-4) Por tanto , la variación de presión en cada posición x también es armónico simple. Como v = v BíP0 , podemos escribir la Ec. 18-4 en forma más conveniente como Una onda de presión

p = [kp„c=}',,,] sen (kx - (w). Recuerde que p representa el cambio de la presión a partir de la presión a partir de la presión normal po. Por tanto, el término entre paréntesis rectangulares , representa el cambio máximo en presión desde el equilibrio y se llama amplitud de la presión; si a representamos por p,,,, obtenemos p = p,,, sen (k.v - (w(.

( 18-5)

346 Fundamentos de Física

donde P. = kpnt'2v'm.

Amplitud de la presión

(18-6)

Por tanto, una onda sonora puede considerarse como una onda de desplaza-

miento o como una onda de presión. Si la primera se representa como una función coseno, la última será una función seno o viceversa. La onda de desplazamiento se encuentra con una diferencia de fase de 90° respecto a la onda de presión. Esto es, cuando el desplazamiento a partir del equilibrio en un punto es un máximo o un mínimo, la presión en exceso en ese lugar es nula; cuando el desplazamiento en un punto es cero, el exceso o deficiencia de presión es un máximo. La Ec. 18-6 da la relación entre la amplitud de la presión (variación máxima de presión desde el equilibrio) y la amplitud del desplazamiento (variación máxima de la posición a partir del equilibrio). Verifique la dimensión de cada lado de la Ec. 18-6 para asegurar la consistencia. ¿Qué unidades tiene la amplitud de la presión?

Ejemplo 1 (a) La variación máxima de presión p,- que puede tolerar el oído en los sonidos fuertes, es como de 28 N/mz ( = 28 Pa). La presión atmosférica normal es - 1.0 x 105 Pa (= 1 bar). Determine el desplazamiento máximo correspondiente para una onda sonora en el aire, teniendo una frecuencia de 1000 Hz. De la Ec. 18-6 tenemos = PM tipnv:-

_27r 27rv_2zrx 103

z 330

Las amplitudes del desplazamiento para los sonidos muy fuertes, son aproximadamente de 10-5 m, o sea 0 . 01 mm, en efecto un valor pequeño. (b) En los sonidos más débiles que podemos oír, a 1000 Hz, la amplitud de la presión es como de 2.0 x 10-5 Pa. Determine la amplitud del desplazamiento correspondiente.

De y = p-,/kv0v2 , usando los valores para k, v y PO, con p., = 2.0 x 10- 5 N/m2, se obtiene

de la Tabla 18-1, v = 330 m/s. por lo que

k

vm = 28 m = 1.1 x l0-'m. i l9)(1.22)(330)2

ym_8x 10-11m=10-11m.

m'=19m `.

La densidad del aireP0 es 1.22 kg /m3. De aquí que para p., = 28 Pa obtenemos

¡Esto es más pequeño que el radio de un átomo , que es aproximadamente de 10-10 m! ¿Cómo puede ser que el oído responda a un desplazamiento tan pequeño?

18-4* Intensidad del sonido En la Sec. 17-5 desarrollamos la idea de la potencia de la onda, que es la rapidez a la que la energía se transmite pasando por un punto dado. Para una onda tridimensional también definimos a la intensidad I como la potencia transmitida por unidad de área. Ahora determinaremos la intensidad media de una onda sonora. Encontramos que la potencia media en la onda de una cuerda es P = 27r21'm2_ v=µv' [17-141 donde y,, es la amplitud de la partícula, v es la frecuencia, v es la rapidez de la onda, y µ es la masa por unidad de longitud de la cuerda. En esta derivación se pueden aplicar a las ondas sonoras las mismas consideraciones, si í¿ se interpreta como la masa por unidad de longitud en la dirección de la propagación de las ondas. Así, si consideramos un área A perpendicular a la dirección de la propagación de las ondas u = POA, donde P, es la densidad en el equilibrio del fluido (suponemos que la variación de Po debida al movimiento de la onda es pequeña), la intensidad media es

P

(18-7)

En la última sección encontramos que la relación entre la amplitud de la presión p,,, y la amplitud de la partícula y,,, era (Ec. 18-6) p,,, = kPov y.,,, donde k = 2a/X =

Ondas Sonoras 347 2av/v, de tal manera quepo , = 2irPovy„,v. Usando esto para eliminar ay,,,, determinamos una expresión para la intensidad media como función de la amplitud de presión

2

(18-8a) vp0

Otra forma útil se obtiene aplicando la Ec. 18-1 para la rapidez de la onda:

i = 1 p,,,°

(18-8/,

- V Bpo

En el Ej. 1 vimos que la presión en las ondas sonoras que actúan sobre el oído humano, varía de 28 Pa para el sonido más fuerte tolerable a 2.0 x 10-5 Pa para el sonido más débil audible. Como la intensidad varía con el cuadrado de la presión, la relación de las intensidades es 2 x 1012, un margen impresionante. Debemos distinguir cuidadosamente entre la intensidad f de una onda sonora -una cantidad objetiva medible- y la sensación subjetiva de la intensidad de la sensación producida en la mente del oyente. Una pregunta básica es: cuando una onda sonora de intensidad í llega al oído, ¿qué cambio JI hará que el oyente reporte un cambio perceptible en la sensación de la intensidad del sonido? Nuestro sistema auditivo se encuentra formado de tal manera que -II sea proporcional a 1. Esto es, entre más intenso es el sonido, más grande debe ser .I. Así, de hecho, esta característica de la respuesta humana, nos permite considerar intensidades de sonido sobre un margen muy amplio. Es común no especificar los sonidos por su intensidad I, sino por un parámetro relacionado J3, llamado nivel del sonido y definido por /3 = 10 logto (/,'lo).

(18-9)

Aquí la es una intensidad de referencia (= 10-12 W/m2), escogida debido a que es muy cercana al límite inferior de la audibilidad humana. La unidad en que se expresan los niveles del sonido es el decibel (abreviado, dB), denominado así en honor de Alexander Graham Bel!. Vemos que si 1 = lo se tiene que J3 = 10 log 1 = 0, de tal manera que nuestra norma de referencia corresponde a cero decibeles. Para investigar más ampliamente la naturaleza de /3, como una medida de la intensidad de un sonido, tomemos las diferenciales de la Ec. 18-9. Con ello obtenemos d/3 = 101 log,oe) 11 = 4.3 dl.

(18-10)

Esto nos muestra que para producir un cambio determinado en el nivel del sonido /3, deberemos cambiar 1 en una cantidad que sea exactamente proporcional a I. Como hemos visto, ¡ésta es, en efecto, la forma en que funciona e! sistema auditivo humano! Concluimos que los niveles del sonido en decibeles deben relacionarse cuando menos razonablemente bien con nuestra sensación subjetiva de intensidad del sonido. En realidad este es el caso. En ',a Tabla 18-2 se indica una lista aproximada de los niveles del sonido para varias fuentes diferentes. La respuesta del oído en realidad no es la misma en todas las frecuencias. La Fig. 18-3 muestra que los umbrales de audición (audibilidad) y sensibilidad (dolor), dependen de la frecuencia. El margen audible se encuentra entre estos dos límites. Tabla 18-2 Niveles de sonido (¡3).` Umbral de audición Susurro de las hojas

O dB l O dB

Punto más ruidoso de las Cataratas del Niágara

Cuchicheo (a 1 m) Calle, sin tráfico

20 dB 30 dB 50 dB

Perforadora neumática ( a 3 m) Fonógrafo de alta fidelidad , 10 W (a 3 m)

90 dB 110 dB

Umbral doloroso Motor de reacción la 50 ml Cohete Saturno la 50 m)

120 dB 130 dB 200 dB

Oficina, salón de clases Conversación normal (a ! m) Calle, ron tráfico nten'o

r,0 dB -0 dB

Los niveles del sonido ion relativos a lo = 10"° W/m2.

85 dB

348 Fundamentos de Física

20

1o-12

20

100

1000 Frecuencia. Hz

10000 20000

Fig. 18-3 El margen promedio entre las intensidades del sonido, tanto para el umbral de audición como el doloroso, dependen de la frecuencia. También se indican los márgenes aproximados de las intensidades que se presentan en la música. (Cortesía de Bell Telephone Laboratories.)

Ejemplo 2 (a) Suponga que se le dan dos intensidades I, e I2. ¿Cómo se relacionan los niveles del sonido 3, y /32? Para determinar esto, encuentre la relación I21II. Para ello, tenemos ¡ ^z 10 log,0 /z = 10 Iog,0 10) = l0 log !Z + 10 log 1° I1 Io 1, 10 I,

Ejemplo 3 (a) ¿Qué tanto más intenso es un grito de 80 dB que un murmullo de 20 dB?

Use la forma 1^ = 10'x: omo La sustitución de los valores dados nos lleva a

= 1 0 log /0 - 10 log a N1

r,,.

Así, tenemos q3 ¡¡^^ N2 - NI g,°

= 10 lo

De manera que la relación de las intensidades está dada por la diferencia de los niveles del sonido en decibeles.

(b) Determine la diferencia en los niveles del sonido para 12/11 = 100, 1/100y5.2 x 105. Si 1•,;7, = 100. !32 - f3, = 10 log,0 100 = 20 dB. Si/2111 = 1¡100, f32 - /3, = 10log10 1/100 = -20 dB. Jf 1 /1, = 5.2 < 105, fa2 - 3, = 10 log10 5.2 x 105 = 57 dB. (c) ¿Cuanto aumenta la intensidad si el nivel del sonido aumenta en 10 dB? Primero determine la forma exponencial de la Ec. 18-9, 12/11 = 1015:-`S,r10, de tal manera que en este caso 101 = 10. 1, Así, si se multiplica la intensidad por 10 se agregan 10 dB al nivel del sonido. Verifique que si se multiplica la intensidad por 2 se agregan 3.0 dB al nivel del sonido.

= 10180-20)¡10 = 1061

¿Hubiera usted pensado que un grito requiere más energía que '1n murmullo? (b) ¿Qué cantidad de energía se necesita para gritar continuamente durante 5 min, suponiendo que el nivel del sonido se mide a 2.0 m e la fuente, la que se considera puntual?

Para obtener la intensidad del grito usamos la forma exponencial de la Ec. 18-9, recordando que 4 = 10-12 W/m2. Igrito

-1^- W 1080110 = l0_4 W = 10100.100 = 10

m

Como la intensidad es energía por unidad de área por unidad de tiempo y como se puede considerar que el área es la de una esfera, con la fuente puntual en el centro , la energía E es W') 60s J )2 (10-'m_(5min)min W•s -1.5J. Usted puede demostrar que esta energía es suficiente para levantar una moneda de 1 centavo de dólar (con la masa de 3 g) una distancia aproximada de 5 cm.

Ondas Sonoras 349

18-5 Sistemas vibrantes y fuentes de sonido Instrumentos de cuerda

Frecuencias permitidas

Si una cuerda fija en ambos extremos se roza con un arco, se mueven vibraciones transversales a lo largo de la cuerda; estas deformaciones se reflejan en los extremos fijos y se forma un patrón de ondas estacionarias. Se excitan las formas naturales de vibración de la cuerda y estas vibraciones dan lugar a ondas longitudinales en el aire que la rodea, las que se transmiten hasta nuestros oídos como un sonido musical. Hemos visto (Sec. 17-9) que una cuerda de longitud 1, fija en ambos extremos, puede resonar a las frecuencias dadas por /1 n 'F u„_21c=21 Vµ'

n = 1,2,3,. . . . (18-11)

Aquí v es la rapidez de las ondas transversales en la cuerda , cuya superposición puede tomarse como la causa que provoca las vibraciones ; la rapidez v (= es la misma para todas las frecuencias . En todas estas frecuencias la cuerda contendrá un número entero n de bucles entre sus extremos y se satisface la condición de que los extremos sean nodos ( Fig. 18-4).

Fig. 18-4 Las primeras cuatro formas de vibración de una cuerda fija en ambos extremos . Nótese que v, A., = v = F/µ .

Sobretonos y armónicos

Ondas longitudinales estacionarias

La frecuencia más baja, ,/F/µ /21, se llama frecuencia fundamental VI, y las otras se llaman sobretonos. Sobretonos cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la fundamental, es decir, forman una serie armónica. La fundamental es el primer armónico. La frecuencia 2p1 es el primer sobretono, o o segundo armónico, la frecuencia 3vt, es el segundo sobretono o el tercer armónico, y así sucesivamente. Si la cuerda se deforma inicialmente de tal manera que su forma sea igual a la de cualquiera de sus armónicos posibles, cuando se libera vibrará a la frecuencia de dicho armónico. Usualmente las condiciones iniciales se alcanzan golpeándola o frotándola con un arco, en esos casos, en la vibración resultante se presentan no sólo la fundamental, sino también muchos de los sobretonos. Tenemos entonces la superposición de varios modos de oscilación. El desplazamiento real es la suma de varios armónicos con varias amplitudes. Los impulsos que se mandan a través del aire hacia el oído y el cerebro provocan un efecto neto que es característico del instrumento de cuerda de que se trata. La cualidad del sonido de una nota determinada (frecuencia fundamental) emitida por un instrumento se encuentra determinada por varios sobretonos presentes y sus respectivas intensidades. La Fig. 18-5 muestra los espectros y las correspondientes formas de las ondas para el violín y el piano.* Las ondas longitudinales que se mueven a lo largo de un tubo se reflejan en los extremos del tubo, de la misma manera que las ondas transversales en una cuerda se reflejan en sus extremos. La interferencia entre las ondas que se mueven en direcciones opuestas da lugar a ondas longitudinales estacionarias. Si el extremo del tubo está cerrado, la onda reflejada tiene una diferencia de fase de 180° con la onda incidente. Este resultado es una consecuencia necesaria, que • Vea "The Physics oi the Piano", por E . Dunneil Slackharn, Sctentrjic .-tnrerrcan . diciembre, 1965. } "The Physics of the V ioiin'', por Carleen M. Hutchins, Scrennfic -lmer,cmr, noviembre, 1962.

350 Fundamentos de Física Fig. 18-5 Forma de la onda y espectro del sonido para dos instrumentos de cuerda, el violín y el piano. En cada caso la forma de la onda es la curva que se muestra, de la amplitud del sonido como una función del tiempo. Abajo de la forma de la onda, está el espectro del sonido, que muestra las amplitudes de los diferentes armónicos componentes de la onda, relativas al fundamental, el que en ambos casos, es de 440 Hz (A de concierto). Las amplitudes relativas se representan por barras verticales. Nótese la presencia de armónicos superiores débiles (especialmente el quinto) en el espectro del violín.

Nodos y antinodos de desplazamiento

Tubos de órgano

Violín '11.0 E 0.5

< 0 0

500

1000. 1500 2000 2500 Frecuencia

3000 3500 4000

Piano

y 500

1000 1500 2000 2500 3000 Frecuencia

3500 4000

proviene del hecho de que el desplazamiento de un pequeño elemento de volumen, en el extremo cerrado, debe ser siempre nulo. De aquí que un extremo cerrado es un nodo del desplazamiento. Si el extremo del tubo está abierto, los elementos de fluido pueden moverse libremente. Sin embargo, la naturaleza de la reflexión allí, depende de si el tubo es ancho o angosto comparado con la longitud de onda. Si el tubo es angosto comparado con la longitud de onda, como sucede con la mayor parte de los instrumentos musicales, la onda reflejada tiene casi la misma fase que la onda incidente. Entonces el extremo abierto es casi un antinodo del desplazamiento. El antinodo exacto se encuentra comúnmente en un lugar cercano a la abertura, pero la longitud efectiva de las columnas de aire, por ejemplo de los instrumentos de viento, en realidad no se encuentra tan bien determinada, como el largo de una cuerda fija en ambos extremos. Un tubo de órgano es un ejemplo sencillo de sonido originado en una columna de aire vibrante. Si ambos extremos de un tubo están abiertos y se dirige una corriente de aire contra el borde de un extremo, se pueden producir ondas longitudinales estacionarias en el tubo. Entonces la columna de aire resonará a sus frecuencias naturales de vibración, dadas por v„=nV,

n= 1,2,3.

Aquí v es la rapidez de las ondas longitudinales en la columna, cuya superposición puede inferirse, al producir las vibraciones, y n es el número de medias longitudes de onda en la longitud 1 de la columna. Como sucede en una cuerda frotada con un arco, se excitan al mismo tiempo los tonos fundamentales y los sobretonos. En un tubo abierto, la frecuencia fundamental corresponde (aproximadamente), a un antinodo del desplazamiento en cada extremo y un nodo de desplazamiento en el centro, como se muestra en la Fig. 18-6a. Los dibujos sucesivos de la Fig. 18-6a muestran tres de los sobretonos, el segundo, tercero y cuarto armónicos. Por tanto, en un tubo abierto, la frecuencia fundamental es v/21 y se encuentran presentes todos los armónicos. En un tubo cerrado, el extremo cerrado es un nodo del desplazamiento. La Fig. 18-6b muestra los modos de vibración de un tubo cerrado. La frecuencia fundamental es v/41 (aproximadamente), la que es igual a la mitad de la de un tubo abierto del mismo largo. Los únicos sobretonos presentes son aquellos que dan un nodo del desplazamiento en el extremo cerrado y un antinodo en el extremo abierto (aproximadamente). De aquí que se pierden el segundo, el cuarto, etc., armónicos, como se muestra en la Fig. 18-6b. En un tubo cerrado, la frecuencia fundamental es v/4l y sólo se presentan los armónicos impares. La calidad de los sonidos que provienen de un tubo abierto, es diferente de los que provienen de un tubo cerrado.

Ondas Sonoras 351

ful

Fig. 18-6 (a) Los primeros cuatro modos de vibración de un tubo de órgano abierto. La distancia desde la línea central del tubo hasta las líneas rectas dibujadas dentro del tubo, representan la amplitud del desplazamiento en cada lugar . N y A marcan la localización de los nodos y los antinodos. Nótese que ambos extremos del tubo son abiertos. (b) Los primeros cuatro modos de vibración de un tubo de órgano cerrado. Nótese que los armónicos de número par no se presentan y que el extremo superior del tubo está cerrado.

Membranas vibrantes, etc.

La mayoría de los instrumentos de viento -trompeta, flauta, oboe, etc.- son ejemplos de tubos abiertos. En el órgano cada tubo tiene sólo un tono, mientras que en los instrumentos mencionados la longitud efectiva del tubo se cambia abriendo y cerrando válvulas. El ejecutante selecciona un tono soplando de tal manera que hace sobresalir un modo, sobre los otros, ajustando las válvulas para una longitud del tubo determinada. Las varillas, placas y membranas estiradas vibratorias, también producen ondas sonoras. Considérese una membrana estirada, como la de un tambor. Si se golpea una vez, se mueve un pulso bidimensional, alejándose del punto en que se efectúa el golpe, reflejándose una y otra vez en los límites de la membrana. Si algún punto de la membrana se fuerza a vibrar periódicamente, se mueven trenes de ondas a lo largo de la membrana. De la misma manera que en el caso unidimensional de la cuerda, en este caso también se pueden producir ondas estacionarias en una membrana bidimensional. Cada una de estas ondas estacionarias, tiene una cierta frecuencia natural para (o característica de) la membrana. De nuevo la frecuencia más baja se llama fundamental y las otras son los sobretonos. Generalmente, se encuentran presentes varios sobretonos junto con el fundamental cuando la membrana vibra. Los nodos de una membrana vibrante son líneas en lugar de puntos (como sucede es una cuerda vibrante), o planos (como en un tubo). Como el límite de la membrana se encuentra fijo, debe ser una línea nodal. Para una membrana circular fija en sus bordes, los modos posibles de vibración a lo largo de sus líneas nodales se muestran en la Fig. 18-7. La frecuencia natural de cada modo de vibración se encuentra dado en términos de la fundamental vt. Nótese que las frecuencias de los sobretonos no son armónicos; esto es, no son múltiplos enteros de vt. Las varillas vibrantes también tienen un grupo de frecuencias naturales, que no son armónicas. Por esta razón, las varillas y las placas tienen un uso limitado como instrumentos musicales.

352 Fundamentos de Física

Fig. 18-7 (a) Los primeros modos de vibración del parche de un tambor circular sujeto alrededor de su periferia. Las líneas representan nodos, siendo nodo la circunferencia en todos los casos. Los signos + y representan desplazamientos opuestos; en un instante cuando las áreas + se elevan, las áreas - bajarán. Nótese que la frecuencia de cada modo es un múltiplo entero de la fundamental vl, como sucede para las cuerdas y los tubos. (b) Un diagrama de un tambor vibrando en el modo v6. El desplazamiento mostrado aquí se exagera por claridad.

v,

1,4 = 2.30vi

P-2 = 1.59v1

=2.65v1

v;;=

2.13 v,

v(; = 2.92 v,

(u)

Ejemplo 4 Un diapasón con la frecuencia v = 1080 Hz provoca una resonancia en un tubo abierto en uno de sus extremos y cerrado en el otro, que tiene una longitud variable (como sucede en un tubo parcialmente lleno de agua). La longitud efectiva más corta de 1 para la que se presenta la resonancia es de 7.65 cm. Determine la rapidez del sonido en el aire. Refiriéndose a la Fig. 18-6b, la relación entre la longitud de onda X del sonido a la longitud efectiva del tubo es 1=A 4.

Conociéndose la frecuencia y la longitud de onda , obtenemos la velocidad en la forma v = vA = (1080/x)(4)(7.65 cm) = 330 m/s. ¿Qué serie de mediciones deberá hacerse para eliminar el efecto del borde? Sugerencia: Considérese la medida de la distancia del nivel del agua al borde real físico para varias resonancias usando la misma frecuencia. Después vea si puede o no deducir la longitud de onda, sin usar la posición del borde físico.

18-6 Pulsaciones

Interferencia en el espacio y el tiempo

Cuando dos trenes de ondas de la misma frecuencia se mueven a lo largo de la misma línea en direcciones opuestas, se forman ondas estacionarias de acuerdo con el principio de superposición. Podemos caracterizar estas ondas dibujando una gráfica de la amplitud de oscilación, en función de la distancia, como aparece en la Fig. 18-4. Esto ilustra lo que podemos llamar interferencia en el espacio. El mismo principio de superposición nos lleva a lo que llamamos interferencia en el tiempo. Esto sucede cuando dos trenes de ondas de frecuencias ligeramente diferentes se mueven en la misma región. Con el sonido se presenta una condición como ésta cuando, por ejemplo, dos teclas adyacentes del piano se golpean simultáneamente. Considérese cierto punto en el espacio por el que pasan las ondas. En la Fig. 188a dibujamos la gráfica de los desplazamientos producidos en dicho punto por las dos ondas separadamente, como una función del tiempo. Para simplificar hemos supuesto que las dos ondas tienen la misma amplitud, aunque esto no es necesario. Las vibraciones resultantes en ese punto, como una función del tiempo, es la suma de las vibraciones individuales y se encuentra indicada en la Fig. 18-8b. Vemos que la amplitud de la onda resultante en el punto dado no es constante, sino que varía con el tiempo. En el caso del sonido, la amplitud variable da lugar a variaciones de su intensidad, que se llaman pulsaciones. Dos cuerdas se pueden afinar a la misma frecuencia, estirando paulatinamente una de ellas mientras se hacen sonar ambas, hasta que desaparecen las pulsaciones.

Ondas Sonoras 353

(a)

ffi

l 1f f A n A N 1,

t

(h)

Fig. 18-8 El fenómeno de las pulsaciones. Dos ondas de frecuencias ligeramente diferentes, indicadas en (a), se combinan en (b), para dar una onda cuya envolvente (línea de trazos), varia periódicamente con el tiempo.

Representemos el desplazamiento en el punto producido por una onda como ^'1 = Y,„ cos'„vit.

y el desplazamiento en el punto , producido por la otra onda de igual amplitud, es k'2 = Y„, cos '_T v.,t. Por el principio de la superposición , el desplazamiento resultante es Y = VI + Y2 = Y„,(cos 2TV,r + cos '_•TVZt),

y como cosa+cosh=2cos" , cos`I 2 h, lo anterior se puede escribir en la forma Ecuación de las pulsaciones

= I _ v,„ cos 2 t cos _

VI

+ vz }

) t. (18-12)

Entonces, se puede considerar que la vibración resultante tiene una frecuencia v =

v, +v.,

que es la frecuencia media de las dos ondas y una amplitud dada por la expresión que se encuentra entre paréntesis rectangulares. Por ello, la amplitud misma, varía con el tiempo con una frecuencia

Si v, y v2 son muy cercanas, este término es pequeño y la amplitud fluctúa lentamente. Este fenómeno es una forma de modulación de la amplitud, que tiene su contraparte (bandas laterales) en los receptores de radio. Una pulsación, esto es, un máximo de amplitud, se presenta siempre que v, - v., SUS 2T f I

sea igual a 1 o - 1. Como cada uno de estos valores se tiene una sola vez en cada ciclo, el número de pulsaciones por segundo es el doble de la frecuencia indicada arriba o Frecuencia de las pulsaciones

De aquí que e! número de pulsaciones por segundo es igual a la diferencia entre las frecuencias de las ondas componentes. Con el oído se pueden percibir pulsaciones

354 Fundamentos de Física

entre dos tonos, hasta como de siete por segundo. A frecuencias más altas ya no se pueden distinguir en el sonido producido las pulsaciones individuales.

18-7 Efecto Doppler Cuando un oyente se encuentra en movimiento hacia una fuente estacionaria de sonido, el tono (frecuencia) del sonido que escucha, es más alto que el que percibiría si estuviera en reposo. Si el oyente se encuentra en movimiento alejándose de la fuente estacionaria, oye un tono más bajo que el que percibe cuando se encuentra en reposo. Obtenemos resultados similares cuando la fuente está en movimiento, acercándose o alejándose de un oyente en reposo. El tono del silbato de una locomotora es más alto cuando la fuente se acerca al oyente que cuando pasa y se aleja. Christian Johann Doppler (1803-1853), un austriaco, en una publicación escrita en 1842, llamó la atención sobre el hecho de que el color de un cuerpo luminoso debería cambiar por el movimiento relativo del cuerpo y el observador. Este efecto Doppler, como se llama, se aplica a las ondas en general. Doppler mismo mencionó la aplicación de su principio a las ondas sonoras. Buys Ballot llevó a cabo una prueba experimental en Holanda en 1845, "usando una locomotora que jalaba un carro abierto con varios trompeteros". Consideremos ahora la aplicación del efecto Doppler a las ondas sonoras, refiriéndose sólo al caso especial en el que la fuente y el observador se mueven a lo largo de la línea que los une. Adoptemos un marco de referencia en reposo en el medio en el que se mueve el sonido. La Fig. 18-9 muestra una fuente de sonido S en reposo en dicho marco y un observador O (notando de oído), que se mueve hacia la fuente con una rapidez va. Los círculos representan los frentes de onda, separados por una longitud de onda, que se mueven en el medio. Si el observador se encontrara en reposo en el medio, recibiría vt/a ondas en el tiempo t, donde v es la rapidez del sonido en el medio y X es la longitud de onda. Sin embargo, debido a su movimiento hacia la fuente recibe vot/X ondas adicionales en ese mismo tiempo t. La frecuencia «-" que oye es el número de ondas recibido por unidad de tiempo, o L7/Á - rnl,'ñ U Cp U t

-

-

L'

%

+ L'0 v

-

Esto es, L' L' U0 v" = v = v (I + C

Fig. 18-9 El efecto Doppler debido al movimiento del observador (oído). La Cuente en reposo.

C

(18-13a)

Ondas Sonoras 355 La frecuencia v' oída por el observador es la frecuencia ordinaria v oída en reposo, más el aumento v(v0/v) debido al movimiento del observador. Cuando el observador se encuentra en movimiento alejándose de la fuente estacionaria, hay un decrecimiento en la frecuencia de v(va/v), correspondiente a las ondas que no llegan al observador en cada unidad de tiempo, debido a su movimiento de alejamiento. Entonces v'

U - L'o Lp =v v

(18-13b)

De aquí que la relación general que se puede aplicar cuando la fuente está en reposo con respecto al medio, pero el observador se mueve a través de él, es Ecuación de Doppler para la fuente en reposo

v' = v

(

L•

`

L•o

D

(18-13)

donde el signo más se aplica para el movimiento hacia la fuente y el signo menos se aplica para el movimiento de alejamiento de la fuente. Nótese que la causa del cambio, es que el observador intercepta más o menos ondas cada segundo, debido a su movimiento a través del medio. Cuando la fuente se encuentra en movimiento hacia un observador estacionario el efecto es un acortamiento de la longitud de onda (véase la Fig. 18-10), porque a la fuente la siguen las ondas que se acercan y las crestas, por ello, quedan más cercanas entre sí. Si la frecuencia de la fuente es v y su rapidez es v., durante cada vibración se mueve una distancia v,/v y cada longitud de onda se acorta en esa cantidad. Por tanto, la longitud de onda del sonido que llega al observador no es X = v/v, sino X' = v/v- v,/v, así que la frecuencia del sonido oído por el observador aumenta, siendo ( 18-14a) Si la fuente se mueve alejándose del observador, la longitud de onda emitida es v2/v, más grande que X, de tal manera que el observador oye una frecuencia disminuida, que es ( e (t•+e)/v `v+e

(18-14b)

De aquí que, la relación general que se aplica cuando el observador está en reposo con respecto al medio, pero la fuente se mueve a través de él, es L'

Ecuación de Doppler para el observador en reposo

v'=v( -

v

Fig. 18 -10 El efecto Doppler debido al movimiento de la fuente. El observador está en reposo. El frente de onda 1 fue emitido por la fuente cuando estaba en St, el frente de onda 2 fue emitido cuando estaba en S2, etc. En el instante en que se tomó la "instantanea", la fuente estaba en S.

V) -

(18-14)

356 Fundamentos de Física donde el signo menos se aplica para el movimiento hacia el observador y el signo más para el movimiento de alejamiento del observador . Nótese que ahora la causa del cambio es el hecho de que el movimiento de la fuente a través del medio acorta o alarga la longitud de onda transmitida a través del medio. Si tanto la fuente como el observador se mueven a través del medio transmisor, usted podrá demostrar que el observador oye la frecuencia t•^c v' = v (L. V,

Ecuación general de Doppler

(18-15)

donde los signos superiores (+ en el numerador, - en el denominador) corresponden a la fuente y al observador moviéndose a través del medio sobre la línea que une a los dos, en la dirección de uno hacia el otro, y los signos inferiores en la dirección en que se alejan uno del otro (cuatro casos diferentes). Nótese que la Ec. 18-15 se reduce a la Ec. 18-13 cuando v, = 0 y a la Ec. 18-14 cuando vo = 0, como debe ser. Si un diapasón que se encuentra vibrando sobre su caja de resonancia se mueve rápidamente hacia una pared, el observador oirá dos notas de diferente frecuencia. Una es la nota oída directamente del diapasón que se aleja y su tono está disminuido por el movimiento. La otra nota se debe a las ondas reflejadas y su tono está aumentado. La superposición de estos dos trenes de ondas produce pulsaciones.

Ejemplo 5 Un submarino que se mueve hacia el norte con una rapidez de 75 km/h con respecto al fondo del océano, emite una señal de sonar (ondas sonoras en el agua , usadas de la misma manera que el radar ), con la frecuencia de 1000 Hz. Si el océano en ese punto tiene una corriente que se mueve hacia el norte con la velocidad de 30 km/h con respecto a la Tierra, ¿qué frecuencia se observa en un barco que se encuentra al norte del submarino en el que no funcionan las máquinas? En la ecuación de Doppler, todas las rapideces se deben tomar con respecto al medio, en este caso, el agua. Como el agua y el submarino se mueven en la misma dirección, la rapidez del agua con respecto al fondo del océano debe sumarse a la rapidez del submarino con respecto al agua v—, para tener la rapidez del submarino con respecto al fondo del océano, v„ = v,,, + v.,. Ahora bien, la rapidez de la fuente que es la pertinente para el sonido, es la relativa al medio ( agua) o sea v,,, que por ello vale

Ondas de choque

= U'- o,,,,=(75 -30)km/h =45km/h. El barco que lleva el equipo de recepción del sonar tiene una rapidez con respecto al agua de cero, porque sus máquinas no están operando. El hecho de que el barco está arrastrado hacia el norte con la corriente oceánica, no afecta al sonido. Ahora aplicamos la ecuación de Doppler, Ec. 18-15, teniendo en cuenta que la Tabla 18-1 indica que la rapidez del sonido en el agua es de 1519 m/s (= 5470 km/h). El signo que debe usarse en el denominador de la ecuación de Doppler es el negativo, debido a que la fuente se mueve a través del medio hacia el observador. La frecuencia recibida es, por tanto

t t = (1000 Hz) 5470 km/ h = 1008 Hz. ` = (5470 - 45) km/h

Cuando vo o v, se hacen comparables en magnitud con v, usualmente deben modificarse las fórmulas que se acaban de dar para el efecto Doppler. Se necesita una modificación porque la relación lineal entre la fuerza de restitución y el desplazamiento, que habíamos supuesto hasta ahora, ya no es aplicable al medio. La rapidez de propagación de la onda, ya no es. entonces la velocidad normal de la fase y las formas de la onda cambian con el tiempo. Las componentes del movimiento perpendiculares a la línea que une la fuente y el observador también contribuyen al efecto Doppler a estas altas velocidades. Cuando vo o v, son más grandes que v, la fórmula de Doppler ya no se aplica; por ejemplo, si v, < v, la fuente quedará delante de la onda en una dirección; si v0< v y el observador se mueve alejándose de la fuente, la onda nunca alcanzará al observador. Hay muchos casos en los que la fuente se mueve en un medio a una rapidez mayor que la rapidez de la onda en dicho medio. En estos casos el frente de onda toma la forma de un cono, con el cuerpo que se mueve en su vértice. Algunos ejemplos son la onda frontal de una lancha rápida sobre el agua y la "onda de choque" de un aeroplano o proyectil, que se mueven a través del aire con una rapidez mayor que la del sonido en dicho medio (rapideces supersónicas). La radiación de Cerenkov está

Ondas Sonoras 357

(o)

Fig. 18- 11 (a) Una representación de un grupo de frentes de onda esféricos asociados con un proyectil angosto en movimiento . Note la envolvente cónica . (b) Una sombra fotografiada del modelo de una nave aérea con alas en delta , lanzado por un cañón a aproximadamente Mach 2. (Cortesía de Exterior Ballistics Laboratory, Aberdeen Proving Ground, Maryland.)

formada por ondas luminosas emitidas por partículas cargadas , las que se mueven a través de un medio con una rapidez mayor que la rapidez de la luz en él. En la Fig. 18-1 la, se muestran las porciones que presentan las ondas esféricas originadas en varias posiciones de la fuente ( suponiendo que ésta es un pequeño proyectil en movimiento) durante su movimiento. El radio de cada esfera en ese tiempo es el producto de la rapidez de la onda v en el tiempo t que ha transcurrido desde que la fuente estaba en su centro . La envolvente de estas ondas es un cono cuya superficie forma un ángulo B con la dirección del movimiento de la fuente . De la figura obtenemos el resultado (18-16) Para las ondas en el agua, el cono se reduce a un par de líneas que se cortan. En la aerodinámica a la relación v,/v se llama número de Mach.

GUJA DE REPASO Y RESUMEN Ondas sonoras

Las ondas sonoras son ondas mecanicas longitudinales que se propagan en sólidos , líquidos o gases. El margen audible es desde 20 Hz, hasta 20 000 Hz aproximadamente . Abajo de estos límites las ondas son intrasónicas , y arriba, son ultrasónicas . Se originan en cuerdas, columnas de aire, placas y membranas vibrantes. La rapidez v de la onda en un medio que tenga un módulo volumétrico de elasticidad B y una densidad de Po es B r= `P'

Rapidez de la onda

[ 18-1u]

Si el medio es un gas que tenga una presión po, cuando no está alterado , y una relación de calores especificos -, la rapidez se convierte en Rapidez de la onda en un gas

_

`

-.

71'x,

l

18

-

I

hJ

358 Fundamentos de Física

Ecuación del desplazamiento de las ondas

La ecuación que describe una onda viajera armónica simple, se encuentra dada en el Cap. 17 en la forma v = Y. cos (k_v - cút), [ 18-2] donde y„ es el desplazamiento máximo a partir del equilibrio , k = 27r/X, y w = 2 rv, siendo X y v la longitud de onda y la frecuencia , respectivamente . En términos de lo que se apartap de la presión del medio en equilibrio , la ecuación es p = pm sen (Lv - wt).

Ecuación de la onda para la presión

[18-5]

donde la amplitud de la presión es pm = kpnv2v m •

[18-6]

El Ej. 1 ilustra el margen de presiones y desplazamientos para ondas sonoras en el aire.

Se encuentra que la intensidad media , que es la potencia por unidad de área, es Pm' Pm 2 t'Po 2 V Bp

Intensidad del sonido

[18-8]

El margen de intensidades que puede percibir el oído humano es - 2 x 1012. El nivel del sonido 3 en decibeles (dB), se define que corresponde a la sensación humana de la sonoridad , se encuentra dado por

Nivel del sonido en decibeles

Modos de vibración

Sobretonos y armónicos

10 lo l /3 = gto

[18-9]

lo, usualmente se considera como 10-12 W/m2, es el nivel de la intensidad de referencia con el que se compara I. Para todo factor de 10 en intensidad , agregue 10 dB al nivel del sonido. El margen del oído humano es aproximadamente de 120 dB . Los Ejs. 2 y 3, ilustran los cálculos usando la intensidad y el nivel del sonido. La mayoría de las fuentes de sonido pueden vibrar en muchos modos de ondas estacionarias, teniendo cada una de ellas diferente frecuencia. El movimiento real del medio en un caso particular se representa por la superposición de todos los modos, teniendo cada uno una amplitud particular . La frecuencia más baja es la fundamental ; aumentando a otras más altas llamadas sobretonos. Dichos sobretonos, que tienen frecuencias que son múltiplos enteros de la fundamental , se llaman armónicos.

Una cuerda vibratoria fija en ambos extremos y un tubo de órgano abierto en ambos extremos pueden resonar a las frecuencias Frecuencias para cuerdas fijas o tubos de órgano abiertos en ambos extremos

,1 v„ _ - c, n = 1, 2, 3,

donde v es la rapidez de la onda sobre la cuerda. El Ej. 4 ilustra un caso de resonancia en un tubo cerrado en un extremo y abierto en el otro. Las pulsaciones se presentan cuando dos ondas que tienen frecuencias ligeramente diferentes, vi v2, actúan juntas. La ecuación de las pulsaciones que da el desplazamiento de la partícula como una función del tiempo es Ecuación de la pulsación

v - v2` v v2 ) t cos 2a i ) y = [2Vm cos 2rr 3

[18 -121

La frecuencia de las pulsaciones es Frecuencia de la pulsación

Vpulsación

=

VI -V2-

El efecto Doppler, describe el cambio en la frecuencia observada cuando la fuente o el observador se mueven relativamente al medio. La ecuación para la frecuencia observada v' en términos de la frecuencia de la fuente v es Ecuación de Doppler

vv

[18-15]

donde vo es la rapidez del observador relativa al medio, v, es la de la fuente y v es la velocidad del sonido en el medio; el signo superior de v, (o vo) se usa cuando la fuente (o el observador), se mueve hacia el observador (o la fuente), mientras el signo inferior se usa cuando se mueven alejándose (cuatro casos diferentes). El Ej. 5 ilustra el efecto Doppler en el agua.

Ondas Sonoras 359 Si la rapidez de la fuente relativa al medio es mayor que la rapidez del sonido en el medio, no se puede aplicar la ecuación de Doppler. En este caso se producen ondas de choque. La mitad del ángulo del frente de la onda, está dada por Mitad del ángulo de la onda de choque

sen H = - . r,.

[]8-16]

PREGUNTAS

1. Escriba una lista de algunas fuentes de ondas infrasónicas. De ondas ultrasónicas. 2. Se pueden usar ultrasonidos para revelar las estructuras internas del cuerpo. Puede, por ejemplo, distinguirse entre líquidos y tejidos blandos humanos, muchos mejor que con los rayos X. ¿Por qué? 3. ¿Qué evidencia experimental se tiene para suponer que la rapidez del sonido es igual para todas las longitudes de onda? 4. ¿Cuál es el significado de cero decibeles? 5. ¿Se puede colocar la intensidad de referencia para el sonido audible, de tal manera que permita niveles negativos del sonido en decibeles? Si es así, ¿cómo se hace? 6. ¿Son audibles siempre como sonidos las ondas longitudinales en el aire, independientemente de la frecuencia o la intensidad? ¿Qué frecuencias darán a una persona la sensibilidad más grande, la tolerancia más grande y el margen más grande? 7. ¿Cuál es el propósito común de las válvulas de una trompeta y el deslizamiento de un trombón? 8. La corneta no tiene válvulas. ¿Cómo pueden producirse diferentes notas con ella? ¿A qué notas se encuentra limitada la corneta? ¿Por qué? 9. El tono de los instrumentos de viento se eleva y el de los instrumentos de cuerda baja, mientras "se calienta" una orquesta. Explique por qué. 10. Explique cómo se puede "afinar" un instrumento de cuerda. 11. ¿Cómo se pueden localizar experimentalmente las posiciones de los nodos y de los antinodos de una cuerda? ¿En una columna de aire? ¿En una superficie vibratoria? 12. ¿Qué propiedad física de una onda sonora corresponde a la sensación humana del tono. la sonoridad y el timbre? 13. ¿Cual es fa diferencia entre una nota de violín y la misma nota cantada por una voz humana, que nos permite distinguir entre ellas?

14. ¿Realmente suena mejor su canto en una ducha? Si es así, ¿hay razones físicas para ello? 15. Explique el tono audible producido pasando un dedo húmedo alrededor del borde de una copa para vino. 16. ¿Oscilará por más o menos tiempo una cuerda tirante de violín, si éste tiene o no tiene caja de resonancia? Explique. 17. Un relámpago disipa una cantidad enorme de energía y es esencialmente instantáneo. ¿Cómo se transforma esta energía para formar las ondas sonoras del trueno? (Vea "Thunder", por Arthur A. Few, Scientific American, julio 1975.) 18. Los murciélagos pueden examinar las características de los objetos -como tamaño, forma, distancia, dirección, movimiento- percibiendo la forma en que los sonidos de alta frecuencia que emiten se reflejan en ellos para regresar al animal. Discuta cualitativamente cada uno de estos hechos. (Vea "Information Content of Bat Sonar Echoes", por J. A. Simmons, D. J. Howell y N. Suga, American Scientist, marzo-abril 1975.) 19. Dos barcos con silbatos de vapor que tienen el mismo tono se hacen sonar en un puerto. ¿Puede esperar que esto produzca un patrón de interferencia con regiones de intensidad alta y baja? 20. Suponga que, en el efecto Doppler para el sonido, la fuente y el receptor están en reposo en cierto marco de referencia, pero el medio que lo transmite se mueve con respecto a dicho marco. ¿Habrá un cambio en la longitud de onda o en la frecuencia recibidas? 21. Un satélite emite ondas de radio de frecuencia constante. Estas ondas se reciben sobre la Tierra y se hace que se produzcan pulsaciones con alguna frecuencia normal. La frecuencia de la pulsación se manda a un altoparlante y "oímos" las señales del satélite. Describa cómo cambia el sonido mientras el satélite se acerca, pasa sobre el detector y se aleja de éste que se encuentra sobre el piso.

PROBLEMAS Sección 18 -2 Propagación y rapidez de las ondas longitudinales 1. El tono más bajo que puede registrar como sonido el oído humano en promedio, es de aproximadamente 20 Hz y el más alto es de 20 000 Hz. ¿Cuál es la longitud de onda de cada uno en el aire? Respuesta : 17 m, 1.7 cm. 2. Los murciélagos emiten ondas ultrasónicas. La onda más corta emitida en el aire por un murciélago es como de 0.13 plg (3.3 mm). ¿Cuál es la frecuencia más alta que puede emitir un murciélago?

3. ¿Cuál es el valor del módulo volumétrico del oxígeno a la temperatura y presión normales si una mol de oxígeno ocupa 22.4 L bajo dichas condiciones y la rapidez del sonido en el oxígeno es de 317 m/s? Respuesta : 1.4 x 105 N/mz. 4. La frecuencia de los ultrasonidos que se usan para el diagnóstico, para examinar tumores en tejidos blandos es de 4.5 MHz. (al.¿Cuál es la longitud de onda en el aire de estas ondas sonoras?

360 Fundamentos de Física (b) Si la rapidez del sonido en los tejidos es de 1500 m/s, ¿cuál es su longitud de onda en el tejido?

del Cap. 17 y note que la intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud.)

5. (a) Un altoparlante cónico tiene un diámetro de 6.0 pig. ¿A qué frecuencia la longitud de onda del sonido que emite al aire es igual a su diámetro? ¿Diez veces su diámetro? ¿Un décimo de su diámetro? (b) Haga los mismos cálculos para un reproductor con el diámetro de 12 plg. (Nota: Si la longitud de onda es comparable al diámetro del reproductor, las ondas sonoras se dispersan casi uniformemente en todas direcciones alrededor del reproductor, pero cuando la longitud de onda es pequeña comparada con el diámetro del reproductor, la energía ondulatoria se propaga principalmente en la dirección frontal.)

13. Dos ondas provocan variaciones de presión en un cierto punto en el espacio dadas por

Respuesta : (a) 2.2, 0.22, 22 kHz; (b) 1.1, 0.11, 11 kHz. 6. Un experimentador quiere medir la rapidez del sonido en una varilla de aluminio de 10 cm de largo, midiendo el tiempo que tarda un pulso sonoro en recorrer el largo de la varilla. Si se quiere que el resultado sea exacto hasta cuatro cifras significativas, ¿qué tan precisamente debe conocerse el largo de la varilla y qué tan exactamente deben medirse los intervalos de tiempo? 7. Una regla para determinar la distancia a la que se produce un relámpago, consiste en contar los segundos que pasan entre la observación del relámpago y la audición del trueno, para dividirlos entre 5. El resultado obtenido se da en millas. Explique esta regla y determine el porcentaje de error en las condiciones normales. Respuesta : Como de 3°'o.

8. Se deja caer una piedra en un pozo. El sonido del chapoteo se oye 3.0 s después. ¿Cuál es la profundidad del pozo? 9. La rapidez del sonido en un cierto metal es V. A uno de los extremos de un tubo largo de dicho metal, de longitud 1, se le da un golpe fuerte. Un observador en el otro extremo oye dos sonidos, uno debido a la onda que se mueve a lo largo del tubo y el otro debido a la onda que se mueve en el aire. (a) Si v es la rapidez del sonido en el aire, ¿qué intervalo de tiempo t pasa entre los dos sonidos? (b) Suponiendo que t = 1.0 s y que el metal es hierro, determine el largo 1.

Respuesta : (a) 1(V- v)/Vv; (b) 360 m (= 1200 pies). 10. Dos espectadores de un juego de fútbol soccer en un estadio grande ven, y un momento después oyen, que la pelota ha sido pateada en el campo de juego. Si el tiempo que tarda un espectador en oír es de 0.90 s y el otro, 0.60 s, y las líneas de cada espectador al jugador que patea la bola forman un ángulo de 90°, (a) ¿a qué distancia se encuentra cada espectador del jugador, (b) ¿a qué distancia se encuentran los espectadores entre sí?

p, = p,, sen wt p. = p,,, sen(wt - r/4? Todos los ángulos o se encuentran medidos en radianes. Respuesta : 2.00 p,,,, 1.41 p..., 1.73 p,., 1.85 p.,.. 14. Dos ondas sonoras con la misma frecuencia, 540 Hz, se mueven a una rapidez de 330 m/s. ¿Cuál es la diferencia de fase de las ondas en un punto que está a 4.40 m de una fuente y a 4.00 m de la otra, si las fuentes están en fase? 15. Dos fuentes de sonido están separadas por una distancia de 10 m. Ambas emiten sonido a la misma amplitud y frecuencia de 300 Hz, pero tienen una diferencia de fase de 180°. ¿En qué puntos a lo largo de la línea entre ellas la intensidad será más grande? Respuesta : En ± 0.28, 0.83, 1.38, 1.93, 2.48, 3.03, 3.58, 4.13 y 4.68 m del centro. 16. Dos altoparlantes se encuentran separados por 11 pies en el foro de un auditorio. Un observador está sentado a 60 pies de uno y a 64 del otro. Un generador de señales actúa sobre los dos altoparlantes en fase con la misma amplitud y frecuencia. La frecuencia se lleva al margen de audio. (a) ¿Cuáles son las tres frecuencias más bajas en las que el observador oirá la intensidad mínima debido a la interferencia destructiva? (b) ¿Cuáles son las tres frecuencias para las que oirá la intensidad máxima? 17. Dos altoparlantes estereofónicos están separados por una distancia de 6.0 pies. Suponga que la amplitud del sonido para cada reproductor es aproximadamente la misma en la posición de un oyente, el que se encuentra a 10 pies y directamente enfrente de uno de los reproductores. (a) ¿Para qué frecuencias en el margen audible (20- 20 000 Hz) se tendrá una señal mínima? (b) ¿Para qué frecuencias el sonido tiene un máximo? Respuesta : (a) 330(1 + 2n) Hz, con n entero entre 0 y 29. (b) 660n Hz, con n entero de 1 a 30. 18. En la Fig. 18-12 se muestra un interferómetro acústico, usado para demostrar la interferencia de las ondas sonoras. S es un diafragma que vibra bajo la influencia de un electroimán. Des un detector de sonido, como el oído o un micrófono. La trayectoria SBD puede variar en longitud, mientras la trayectoria SAD es lija.

Sección 18- 3 Ondas viajeras longitudinales 11. La presión en una onda sonora viajera está dada por la ecuación p = (1.; Pa) sen r{ (1.0 m-').r - (330 s -')ti. Determine (a) la amplitud de la presión, (b) la frecuencia, (c) la longitud de onda y (d) la rapidez de la onda.

Respuesta :. (a) 1.5 Pa; (b) 170 Hz; (c) 2.0 m; (d) 330 m/s. 12. Un ingeniero especialista en alta frecuencia ha diseñado un reproductor de forma esférica que emite sonido isotrópicamente (la misma intensidad en todas direcciones). El reproductor emite 10 W de potencia acústica en un salón con límites completamente absorbentes, paredes, piso y techo. (a) ¿Cuál es la intensidad (W, m-) de las ondas sonoras a 3.0 m del centro de la fuente? (b) ¿Cuál sería la amplitud de las-ondas a 4.0 m del centro de la fuente comparada con la que tiene a 3.0 m? (Sugerencia: vea el Ej. 3,

Fig. 18-12 Prob. 18. El interferómetro contiene aire, encontrándose que la intensidad del sonido tiene un valor mínimo de 100 unidades, en una posición de B y sube a un valor máximo de 900 unidades en una segunda posición a 1.65 cm del primero. Determine (a) la frecuencia del sonido emitido por la fuente y (b) las amplitudes relativas de las ondas que llegan al detector para las dos posiciones de B. (e) ¿Cómo puede suceder que estas ondas tengan amplitudes diferen-

Ondas Sonoras 361

tes, considerando que ambas se encuentran producidas por la misma fuente? 19. Una fuente esférica de sonidos se coloca en P, cerca de una pared reflectora AB y un micrófono en el punto P2, como se muestra en la Fig. 18-13. La frecuencia de la fuente de sonido P, es variable. Determine dos frecuencias diferentes para las que la intensidad del sonido, al observarse en P2, den un mínimo. La rapidez del sonido en el aire es de 330 m/s. Suponga que las trayectorias de las ondas que interfieren son paralelas.

Respuesta : 31, 94 Hz.

10 pies

L

- -- 80 pies

Fig. 18 -13 Prob. 19.

20. Dos altoparlantes, Si y S2, emiten sonidos con la frecuencia de 200 Hz, uniformemente y en todas direcciones. Si tiene una salida acústica de 1.2 x 10-3 W y S2 otra de 1.8 x 10-3 W. S, y S2 vibran en fase. Considere un punto P que esté a 4.0 m de S, y a 3.0 m de S. (a) ¿Cuáles son las fases de las dos ondas que llegan al punto P mencionado? (b) ¿Cuál es la intensidad del sonido en Psi se apaga la fuente St (dejando a S2) (d) ¿Cuál es la intensidad del sonido en Psi se apaga S2 (dejando a SI)? (Nota: La intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud.) 21. (a) Si dos ondas sonoras, una en el aire y la otra en el agua, tienen la misma intensidad, ¿cuál es la relación de la amplitud de la presión de la onda en el agua a la de la onda en el aire? (b) Si las amplitudes de la presión son iguales, ¿cuál es la relación de las intensidades de las ondas?

Respuesta : (a) 58; (b) 2.9 x 10-1. 22. Una nota con la frecuencia de 300 Hz tiene una intensidad de 1.0 IiW/m2. ¿Cuál es la amplitud de las vibraciones del aire provocadas por este sonido? 23. Un cierto altoparlante produce un sonido con una frecuencia de 2000 Hz y una intensidad de 9.6 x 10-* W%m2 a una distancia de 6.1 m. Supóngase que no hay reflexiones y que el altoparlante emite igualmente en todas direcciones. (a) ¿Cuál será la intensidad a 30 m? (b) ¿Cuál es la amplitud de desplazamiento a 6.1 m? (c) ¿Cuál es la amplitud de la presión a 6.1 m? Respuesta : (a) 4.0 x 10-5 W/ m2; (b) 1.7 x 10- m, (c) 0.88 Pa. Sección 18-4 Intensidad del sonido 24. ¿Cuál es la relación entre las intensidades de dos sonidos cuyos niveles difieren en 1.0 dB? 25. Determine las relaciones de las intensidades, las amplitudes de la presión, y las amplitudes del desplazamiento para dos sonidos cuyos niveles de intensidad difieren en 37 dB. Respuesta : !' il = 5.0 x 101, p.;. %p.,. = 7 1 , Y,', = 7 l . 26. La fuente de una onda sonora entrega 1 j1W de potencia. Si es puntual, (a) ¿cuál es la intensidad a 3.0 m? (b) ¿Cuál es el nivel del sonido en decibeles?

27. Un cuerno de 100 Hz que considera como una fuente puntual, a 1.0 km de distancia apenas se oye. ¿A qué distancia principia a ser dolorosa su audición? Respuesta : Aproximadamente a 2 cm. 28. Un vendedor sostiene que un sistema estereofónico emite 120 W de potencia de audio. Probando el sistema con varios reproductores colocados de tal manera que simulen una fuente puntual, la compradora nota que debe acercarse a 1.2 m con el volumen total, para sentir molestia en sus oídos. ¿Deberá reportar a la firma con la Procuraduria de Protección del Consumidor? 29. Para afocar sonidos se usa un reflector parabólico grande que tiene una abertura circular con el radio de 0.5 m. Si la energía se manda del foco al oído de un detective, por medio de un tubo que tiene el diámetro de 1 cm con el 12070 de eficiencia, ¿hasta qué distancia podrá conocer una conversación cuchicheada? (Suponga que el nivel de intensidad de un cuchicheo es de 20 dB a 1 m de la fuente, considerando que es un punto y que el umbral de audición es de 0 dB.) Respuesta: 346 m.

Sección 18-5 Sistemas vibrantes y fuentes de sonido 30. Determine la rapidez de las ondas sobre una cuerda de violín de 0.8 g y 22 cm de largo, si su frecuencia fundamental es de,920 Hz. ¿Cuál es la tensión en la cuerda? 31. Una onda sonora que tiene la frecuencia de 1000 Hz, se propaga a través del aire , tiene una amplitud de presión de 10 Pa. ¿Cuáles son (a) su longitud de onda, (b) la amplitud del desplazamiento de las partículas y (c) la rapidez máxima de la partícula? (d) Un tubo de órgano abierto en sus dos extremos tiene esta frecuencia como fundamental. ¿Qué longitud tiene? Respuesta : (a) 33 cm; (b) 40 µm; (c) 2.5 cm/s; (d) 17 cm. 32. Si una cuerda de violín se atina a una cierta nota, ¿en qué cantidad debe aumentarse su tensión, para emitir una nota con el doble de la frecuencia original (esto es, una nota con un tono más alto en una octava)? 33. Un tubo de órgano abierto tiene una frecuencia fundamental de 300 Hz. El primer sobretono de un tubo de órgano cerrado tiene la misma frecuencia que el primer sobretono del tubo abierto. ¿Qué longitud tiene cada tubo? Respuesta : 55, 41 cm. 34. Una cuerda para saltar de 3.0 m se usa esencialmente en su modo fundamental de oscilación. Si la cuerda tiene una masa de 1.0 kg y el niño jala hacia atrás con una fuerza de 10 N, ¿cuál es la frecuencia de oscilación? 35. Una cierta cuerda de violín tiene 50 cm entre sus extremos fijos y una masa de 2.0 g. La cuerda suena con la nota a (440 Hz), cuando se toca sin oprimirla con el dedo. ¿Dónde deberemos colocar nuestro dedo para que se produzca una nota do (528 Hz)? Respuesta : 8.3 cm de uno de sus extremos. 36. Las cuerdas de un violonchelo tienen el largo L. (a) ¿En qué longitud / debe acortarse apretándola con el dedo para modificar la frecuencia en una proporción r? (b) Determine/, si L = 0.80 m y r = 6/5, 5/4, 4/3 y 3/2. 37. Un diapasón colocado sobre un tubo vertical abierto, parcialmente lleno de agua, provoca resonancias fuertes cuando la superficie del agua se encuentra a 8 y 28 cm del borde superior del tubo y sólo en esos lugares. La rapidez del sonido en el aire en el cuarto es de 330 m/s. ¿Cuál es la frecuencia del diapasón? Respuesta : 830 Hz.

362 Fundamentos de Física 38. El nivel del agua en un tubo vertical de vidrio y 1.0 m de largo, se puede ajustar a cualquier posición en el tubo. Un diapasón que vibra a 660 Hz se mantiene exactamente sobre el extremo abierto del tubo. ¿En qué posición del nivel del agua habrá resonancia? 39. Una onda sonora que se mueve en un fluido se refleja en una barrera de tal manera que se forman ondas estacionarias. La distancia entre los nodos es de 3.8 cm y la velocidad de propagación es de 1500 m/s. Determine la frecuencia. Respuesta : 2.0 x 10' Hz. 40. En la Fig. 18-14, una varilla R se lija en su centro y el disco D, que se encuentra en su extremo, se introduce en un tubo de vidrio que tiene polvo de corcho esparcido sobre su superficie interior. En el otro extremo del tubo se introduce un émbolo P. La varilla se hace vibrar longitudinalmente y el émbolo se mueve hasta que el polvo de corcho forme un patrón de los nodos y antinodos (el polvo forma crestas bien definidos en los antinodos de presión). Si conocemos la frecuencia v de las vibraciones longitudinales de la varilla, la medida de la distancia d media entre dos antinodos sucesivos permite determinar la rapidez del sonido v en el gas que llena el tubo. Demuestre que c= 2vd.

Este es el método de Kundt para determinar la rapidez del sonido en varios gases. i

R

t

D

d -

Fig. 18-14 Prob. 40. 41. S, en la Fig. 18-15, es un pequeño altoparlante activado por un oscilador de audio y un amplificador, ajustables en su frecuencia desde 1000 a 2000 Hz únicamente. Des un trozo de tubo de lámina metálica de 18.0 plg de largo. (a) Si la rapidez del sonido en el aire es de 1130 pies/s a la temperatura que se presenta, ¿a qué frecuencias se producirán resonancias cuando la frecuencia emitida por el altoparlante varía de 1000 a 2000 Hz? (b) Dibuje una gráfica de los nodos de desplazamiento para cada una. Desprecie el efecto de los extremos. Respuesta : (a) 1130, 1500 y 1880 Hz.

Fig. 18-15

Prob. 41.

42. Un pozo con lados verticales y agua en el fondo, resuena con una frecuencia mínima de 7.0 Hz. El aire que hay en el pozo tiene una densidad de 1.1 kg /m', a una presión de 9.5 x 104 Pa y una relación de calores específicos de 7/5. ¿Qué profundidad tiene el pozo? 43. Se tiene un tubo de 1.0 m de largo, cerrado en uno de sus extremos. Cerca del extremo abierto se encuentra un alambre estirado. El alambre tiene 0.30 m de largo y una masa de 0.010 kg; se encuentra fijo en ambos extremos y vibra en su modo fundamental. Este, por resonancia. pone la columna de aire en vibración a

su frecuencia fundamental. Determine (a) la frecuencia de oscilación de la columna de aire y (b) la tensión en el alambre. Respuesta : (a) 83 Hz; (b) 82 N. 44. El periodo de un estrella pulsante se puede estimar considerando a la estrella como si ejecutara pulsaciones longitudinales en el modo fundamental de la onda estacionaria; esto es, el radio varía periódicamente con el tiempo, con un antinodo de desplazamiento en la superficie. (a) ¿Esperaría usted que el centro de la estrella sea un nodo o un antinodo de desplazamiento? (b) Por analogía con el tubo de órgano abierto, demuestre que el periodo de pulsación T se encuentra dado por 4R T= donde R es el radio de equilibrio de la estrella y v, es la rapidez media del sonido. (c) Las estrellas enanas blancas tienen presiones de 1022 Pa, densidades de 1010 kg/m3, relaciones de los calores específicos de 4/3 y radios de 0.009 radios solares. ¿Cuál es el periodo de pulsación aproximado de una enana blanca? (Vea "Pulsating Stars", por John R. Percy, Scientijic American, junio, 1975.) 45. Cerca de un altoparlante alimentado por un oscilador de audio de frecuencia variable, se coloca una cuerda de violín de 31.6 cm, con la densidad lineal de 0.65 g/m. Se encuentra que la cuerda se pone en oscilación sólo a las frecuencias de 880 y 1320 Hz, mientras la frecuencia del oscilador varía continuamente en el margen de 500 a 1500 Hz. ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

Sección 18-6 Pulsaciones 46. Dos cuerdas de piano tienen la frecuencia fundamental de 600 Hz cuando se mantienen bajo la misma tensión. ¿En qué fracción de la tensión de una de las cuerdas debe aumentarse ésta para que se produzcan seis pulsaciones por segundo cuando las dos cuerdas vibran simultáneamente? 47. Un diapasón de frecuencia desconocida produce tres pulsaciones por segundo con un diapasón normal a la frecuencia de 384 Hz. La frecuencia de las pulsaciones disminuye cuando se pone un trozo pequeño de cera sobre una de las ramas del primer diapasón. ¿Cuál es la frecuencia de este diapasón? Respuesta : 387 Hz.

Sección 18-7 Efecto Doppler 48. En 1845 Buys Ballot llevó a cabo la primera comprobación del efecto Doppler para el sonido. Colocó un trompetero en una plataforma de ferrocarril movida por una locomotora y otro cerca de los rieles. Si cada uno de los ejecutantes emite una nota de 400 Hz, y se producen 4.0 pulsaciones/s mientras se acercan, ¿cuál es la rapidez de la plataforma 49. Un silbato que tiene la frecuencia de 540 Hz gira en un círculo que tiene un radio de 2.00 pies con la rapidez angular de 15.0 rad/s. ¿Cuál es la frecuencia (a) más baja, (b) más alta, que percibe un oyente muy alejado y en reposo con respecto al centro del circulo? Respuesta : (a) 525 Hz; (b) 555 Hz. 50. Dos trenes se mueven uno hacia el otro a 100 pies/s en relación al piso. Uno de los trenes toca un silbato de 500 Hz. (a) ¿Qué frecuencia se oirá en el otro si el aire no se mueve? (b) ¿Qué frecuencia se oirá en el otro tren si sopla un viento de 100 pies/s hacia el silbato y alejándose del oyente? (c) ¿Qué frecuencia se oirá si la dirección del viento se invierte? 51. Un murciélago revolotea en una caverna, moviéndose con seguridad al usar las emisiones ultrasónicas (emisiones que duran

Ondas Sonoras 363 un milisegundo o menos y se repiten varias veces en cada segundo). Suponga que la frecuencia de los sonidos emitidos por el murciélago es de 39 000 Hz. Durante un vuelo directamente hacia la superficie lisa de la pared, el murciélago se mueve a 1/40 de la rapidez del sonido en el aire. ¿Qué frecuencia percibirá reflejada por la pared? Respuesta : 41 000 Hz. 52. Una fuente de ondas sonoras con la frecuencia de 1080 Hz se mueve hacia la derecha con la rapidez de 108 pies/s relativa al piso. A su derecha está una superficie reflejante que se mueve hacia la izquierda con una rapidez de 216 pies/s, relativa al piso. Considere que la rapidez del sonido en el aire sea de 1080 pies/s y determine (a) la longitud de onda del sonido emitido en el aire por la fuente, (b) el número de ondas que llegan por segundo a la superficie reflectora, (c) la rapidez de las ondas reflejadas, (d) la longitud de onda de las ondas reflejadas. 53. Una sirena que emite un sonido con la frecuencia de 1000 Hz se mueve alejándose de usted y hacia un farallón. con una rapidez de 10 m/s. (a) ¿Cuál es la frecuencia del sonido que oye que viene directamente de la sirena? (b) ¿Cuál es la frecuencia del sonido que oye reflejado del farallón (c) ¿Puede percibir la frecuencia de las pulsaciones? Considere la rapidez del sonido en el aire como de 330 m/s. Respuesta : (a) 970 Hz; (b) 1030 Hz; (c) no, es muy alta. 54. Una patrulla B persigue a un automovilista fugitivo A sobre una carretera recta. Ambos se mueven con la velocidad máxima aproximada de 100 mi/h, que es alrededor de 150 pies/s. La patrulla B, al no alcanzarlo, hace sonar su sirena de nuevo. Considere que la rapidez del sonido en el aire es de 1100 pies/s y que la frecuencia de la fuente es de 500 Hz. ¿Cuál, si hay alguno, será el cambio de Doppler en la frecuencia oída por el automovilista A? 55. Una niña está sentada cerca de una ventanilla abierta de un tren, el que se mueve con una velocidad de 10.0 m/s hacia el este. El tío de la niña parado cerca de los rieles observa el tren que se aleja. El silbato de la locomotora vibra a 500 Hz. El aire está en reposo. (a) ¿Qué frecuencia oye el tío? (b) ¿Qué frecuencia oye la niña? Principia a soplar un viento del este a 10 m/s. (c) ¿Qué frecuencia oye el tío? (d) ¿Qué frecuencia oye ahora la niña? Respuesta : (a) 485 Hz; (b) 500 Hz; (c) 457 Hz; (d) 500 Hz. 56. (a) ¿Puede usted ir tan aprisa hacia una luz roja que se vea verde? (b) Si es así, ¿le levantarían una infracción por exceso de velocidad? Considere que \ = 620 nm (= 620 nanómetros = 620 x 10-9 m; vea la Tabla 1-2) para la luz roja, ,\ = 540 nm para la luz verde y c = 3.0 x 108 m/s como la rapidez de la luz.

57. Las microondas, que se mueven con la rapidez de la luz, se reflejan en un aeroplano distante que se acerca a la fuente de las ondas. Se encuentra que cuando las ondas reflejadas forman pulsaciones contra las ondas que se radian de la fuente, la frecuencia de las pulsaciones es de 990 Hz. Si las microondas tienen la longitud de onda de 0.10 m. ¿Cuál es la rapidez de acercamiento del aeroplano? Respuesta : 50 m/s (= 110 mi/h). 58. Las medidas de radar en situaciones de persecución, son relativamente inexactas comparadas con las que se hacen en reposo. (a) Considere una unidad de radar en reposo y demuestre que la diferencia dv entre la frecuencia reflejada por un automóvil que se mueve a una rapidez V y la frecuencia transmitida v está dada aproximadamente por dv/v = 2V/c. (b) Ahora considere que la unidad de radar se encuentra en un vehículo de persecución que se mueve a una rapidez v y demuestre que dv/,' = 2(v- V)/c. Discuta varios casos y justifique la primera frase en particular, considere (c) el caso en el que el perseguidor (policía) se mueve con la misma rapidez que el automovilista. ¿Qué cambio de Doppler se observa en este caso? 59. Calcule la rapidez del proyectil ilustrado en la fotografía que está en la Fig. 18-11. Considere que la rapidez del sonido en el medio en que se mueve el proyectil es de 380 m/s. Respuesta : 110 m/s. 60. Una bala se dispara con la rapidez de 2200 pies/s. Determine el ángulo que forma la onda de choque con la línea del movimiento de la bala. 61. Un avión cohete sobrevuela a una altura de 5000 m y con una rapidez de Mach 1.5 (1.5 veces la rapidez del sonido). (a) Determine el ángulo formado por la onda de choque con la línea del movimiento del avión. (b) ¿Qué tiempo después de que el avión pasa directamente sobre un lugar, llega al piso la onda de choque? Respuesta : (a) 42°; (b) 11 s. 62. Un avión vuela a ; de la rapidez del sonido. El estampido sónico llega a un hombre que se encuentra sobre el piso, exactamente 1 min después de que el avión pasa justo sobre él. ¿Cuál es la altitud del avión? Suponga que la rapidez del sonido es de 330 m/s. 63. La rapidez de la luz en el agua, es aproximadamente tres cuartas partes de la rapidez de la luz en el vacío. Un haz de electrones de alta rapidez que provienen de un betatrón emite radiación Cerenkov en el agua, siendo el frente de onda un cono con el ángulo de 60°. Determine la rapidez de los electrones en el agua. Respuesta : 2.6 x 108 m/s.