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• NICOLAS ALEJANDRO SANCHEZ SAENZ

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ONDAS Y FÍSICA MODERNA Periodo académico: 2020-1 JORGE ANDRES CARDONA VASQUEZ

DOCENTE DE FÍSICA j a c a rd o n av @ u d i s t r i t a l . e d u . c o 3168399544

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD TECNOLÓGICA

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD TECNOLÓGICA

Ondas sonoras Representación de desplazamientos moleculares Representación de variaciones de presión

Desplazamiento y Variación de presión

Ondas sonoras

Los puntos blancos representan las posiciones de equilibrio de las moléculas y los puntos negros las posiciones desplazadas por la onda sonora.

Las ondas sonoras más sencillas son las senoidales, las cuales tienen la frecuencia, la amplitud y la longitud de onda completamente especificadas. Las ondas sonoras suelen dispersarse en todas direcciones a partir de la fuente sonido, con una amplitud que depende de la dirección y la distancia a la fuente. 𝑠 𝑥, 𝑡 = 𝑠𝑚𝑎𝑥 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

𝑠(𝑥, 𝑡) representa los desplazamientos producidos en el medio de propagación (comúnmente moléculas de aire).

Velocidad de las ondas sonoras La rapidez de las ondas sonoras en un medio depende de la compresibilidad y la densidad del medio; si éste es un líquido o un gas y tiene un módulo volumétrico 𝐵 y densidad 𝜌, la rapidez de las ondas sonoras en dicho medio es

𝑣=

𝐵 ; 𝜌

Δ𝑝 −𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝐵 = −𝑉 = Δ𝑉 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

La rapidez del sonido también depende de la temperatura del medio. La relación entre la rapidez de la onda y la temperatura del aire, para sonido que viaja a través del aire, es 𝑇𝐶 𝑣 = 331m/s 1 + 273°C

Velocidad de las ondas sonoras

Tabla tomada de: Serway & Jewett, Física para ciencias e ingeniería, septima Ed. Vol 1, Cap. 17, Cengage Learning Editores, Canadá (2008)

Ejercicio Autoenfoque con ondas sonoras. Las cámaras de autoenfoque más antiguas determinan la distancia emitiendo un pulso de sonido de muy alta frecuencia (ultrasónica), que viaja al objeto por fotografiarse e incluye un sensor que detecta el sonido reflejado de retorno, como se indica en la figura. Para tener una idea de la resolución temporal del detector, calcule el tiempo de viaje del pulso para un objeto a) a 1.0 m de distancia b) a 20 m de distancia.

Ondas sonoras y variaciones de presión

Las ondas sonoras también pueden describirse en términos de variaciones de presión en diversos puntos. En una onda sonora senoidal en aire, la presión fluctúa por arriba y por debajo de la presión atmosférica (𝑃𝑎 ) en forma senoidal.

El movimiento de las partículas de aire genera regiones donde estas de comprimen aumentando la presión, así como regiones en las que la presión disminuye dado que la densidad de partículas es menor

Ondas sonoras El cilindro azul representa una porción de fluido sin perturbar en 𝑡 = 0, el volumen de éste está dado por el producto entre el área de las tapas circulares 𝐴 por la longitud del cilindro 𝛥𝑥 𝑉 = 𝐴𝛥𝑥 = 𝐴(𝑥2 − 𝑥1 )

Cuando la onda sonora perturba la porción de fluido, en un tiempo 𝑡 la tapa de la izquierda se mueve hasta 𝑥1 + 𝑠1 y la tapa 2 hasta 𝑥2 + 𝑠2, de tal manera que Δ𝑉 = 𝐴 𝑥2 + 𝑠2 − 𝑥1 + 𝑠1

− 𝐴(𝑥2 − 𝑥1 )

Δ𝑉 = 𝐴[𝑠2 𝑥2 , 𝑡 − 𝑠1 𝑥1 , 𝑡 ]

Ondas sonoras De tal manera que

Δ𝑉 𝑠2 (𝑥2 , 𝑡) − 𝑠1 (𝑥1 , 𝑡) Δ𝑝 = =− 𝑉 Δ𝑥 𝐵 donde hemos usado la definición de modulo volumétrico 𝐵. Tomando el limite cuando Δ𝑥 tiende a cero tenemos 𝑑𝑠 𝑥, 𝑡 Δ𝑝 𝑥, 𝑡 = −𝐵 = −𝐵[−𝑘𝑠𝑚𝑎𝑥 sen 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 ] 𝑑𝑥 y por lo tanto Δ𝑝 𝑥, 𝑡 = 𝐵𝑘𝑠𝑚𝑎𝑥 sen(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

Δ𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝐵𝑘𝑠𝑚𝑎𝑥

Δ𝑝 𝑥, 𝑡 = Δ𝑝𝑚𝑎𝑥 sen(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

Δ𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝜌𝑣 2 𝑘𝑠𝑚𝑎𝑥

Nodos de desplazamiento y Nodos presión Nodo de desplazamiento: 𝑠 = 0, en estos puntos las partículas de aire mantienen su posición de equilibrio. Nodo de presión: Δ𝑝 = 0 , en estos puntos a pesar del movimiento de las partículas, la presión permanece constante, es decir, la presión atmosférica. Los nodos de presión y desplazamiento no coinciden en sus posiciones, al contrario, la posición de un nodo de desplazamiento corresponde a un antinodo de presión y viceversa.

Nodos de desplazamiento y Nodos de presión s 𝑥, 𝑡 = 𝑠𝑚𝑎𝑥 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) Δ𝑝 𝑥, 𝑡 = Δ𝑝𝑚𝑎𝑥 sen(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) Un nodo de presión siempre es un antinodo de

desplazamiento sen(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 0 ⇒ cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 1 y un antinodo de presión siempre es un nodo de desplazamiento. sen(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 1 ⇒ cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 0

Ejercicio En una onda sonora senoidal de moderada intensidad, las variaciones máximas de presión son del orden de 3.0 × 10−2 Pa por arriba y por debajo de la presión atmosférica 𝑃𝑎𝑡𝑚 (nominalmente 1.013 × 10−5 Pa al nivel del mar). Calcule el desplazamiento máximo correspondiente, si la frecuencia es de 1000 Hz. En aire a presión atmosférica y densidad normales, la rapidez del sonido es de 344 m/s y el módulo de volumen es de 1.42 × 105 Pa.

𝑘=

2𝜋 λ

𝑠𝑚𝑎𝑥 =

𝑓 𝑣

= 2𝜋 = 18.3 rad/m

𝑃𝑚𝑎𝑥 𝐵𝑘

= 1.2 × 10−8 m

Ejercicio Cuando una onda sonora entra en el oído, pone a oscilar el tímpano que, a la vez, hace oscilar los tres huesecillos del oído medio. Esta oscilación se transmite finalmente al oído interno, que está lleno de fluido. El movimiento del fluido perturba a las células pilosas que transmiten impulsos nerviosos al cerebro, para informarle que está presente un sonido. La parte móvil del tímpano tiene un área de unos 43 mm2, y el estribo (el huesecillo más pequeño) en su contacto con el oído interno, de unos 3.2 mm2. Para el sonido del ejemplo anterior, determine a) la amplitud de presión b) la amplitud de desplazamiento de la onda en el fluido del oído interno. La rapidez del sonido en este fluido es del orden de 1500 m/s.

Ejercicio En el ejemplo anterior tenemos que las variaciones de presión en el aire son Δ𝑃𝑚𝑎𝑥 = 3.0 × 10−2 Pa Ahora, por el equilibrio presente en el tímpano, la fuerza ejercida por la onda sonora debe ser igual a la fuerza ejercida por el estribo entonces mediante la definición de presión tenemos que 𝑃𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝐴𝑡𝑖𝑚𝑝 = 𝑃𝑜𝑖𝑑𝑜 ∙ 𝐴𝑒𝑠𝑡𝑟 Finalmente, a partir de la velocidad del sonido en el fluido 2𝜋 𝑓 𝑘= = 2𝜋 λ 𝑣

Intensidad del sonido 1 2

2 𝜆 Por La energía por ciclo de la onda transversal que viaja en la cuerda 𝐸𝜆 = 𝜇𝜔2 𝑦𝑚𝑎𝑥

analogía podemos escribir para una onda sonora 1 2 𝐸𝜆 = (𝜌𝐴)𝜔2 𝑠𝑚𝑎𝑥 𝜆 2 y por lo tanto la potencia asociada sería 𝐸𝜆 1 2 ℘= = 𝜌𝐴𝑣𝜔2 𝑠𝑚𝑎𝑥 𝑇 2 Finalmente la intensidad ℘ 1 2 𝐼 = = 𝜌𝑣𝜔2 𝑠𝑚𝑎𝑥 𝐴 2

Nivel de intensidad del sonido: decibeles Debido a esta relación entre la sensación subjetiva y la cantidad físicamente medible de la intensidad, es frecuente especificar los niveles de intensidad del sonido mediante una escala logarítmica. La unidad en esta escala es un bel, en honor de su inventor, Alexander Graham Bell, o más comúnmente, el decibel (10 dB = 1 bel). El nivel de sonido β, de cualquier sonido se define en términos de su intensidad, I, como 𝐼 𝛽 = 10 log 𝐼𝑜

nivel de sonido en decibeles

Por lo general, 𝐼0 se toma como la intensidad mínima audible para una persona, o “umbral de audición”, que es 𝐼0 = 1.0 × 10−12 W/m2.

Diferencia de niveles Es común que en ciertas situaciones sea necesario comparar la intensidad de dos fuentes de sonido, las fuente 1y 2 con intensidades 𝐼1 e 𝐼2 respectivamente, el nivel de sonido en decibeles para estas dos fuentes estará dado por: 𝐼1 𝛽1 = 10 log ; 𝐼𝑜

𝐼2 𝛽2 = 10 log 𝐼𝑜

Por lo tanto la diferencia de niveles entre las dos fuentes será 𝐼1 𝐼2 𝐼1 /𝐼𝑜 Δ𝛽 = 𝛽2 − 𝛽1 = 10 log − 10 log = 10 log 𝐼𝑜 𝐼𝑜 𝐼2 /𝐼𝑜 𝐼2 Δ𝛽 = 10 log 𝐼1

Ejemplos Nivel en decibeles. Calcule el nivel (volumen) en decibeles de una onda de sonido con una intensidad 𝐼 = 1.0 × 10−8 W/m2. Intensidad de sonido en una calle. En una esquina congestionada, el nivel de sonido es de 75 dB. ¿Cuál es la intensidad del sonido en esta situación?

Imagen tomada de: http://www.aspasleehablacomunica.com/escala-de-ruido/

Ejemplos Relación entre la intensidad y la amplitud de desplazamiento y de presión

a. Calcule el desplazamiento de las moléculas de aire (𝜌 = 1.29 kg/m3 ) para un sonido que está en el umbral de audición (𝐼0 = 1.0 × 10−12 W/m2), con frecuencia de 1000 Hz

b. Determine la variación máxima de la presión en tal onda sonora.

Referencias 1. Serway & Jewett, Física para ciencias e ingeniería, septima Ed. Vol 1, Cengage Learning Editores, Canadá (2008)

2. Douglas C. Giancoli, física para ciencias e ingeniería, Cuarta edición, Vol 1, Pearson Educación, México, (2008)

3. Sears & Zemansky, Física universitaria, decimosegunda Ed. Vol 1, AddisonWesley, Latinoamérica (2009)

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Ondas sonoras estacionarias Tubos abiertos Tubos cerrados

Nodos de desplazamiento y presión

𝑆 𝑥, 𝑡 = 𝑆𝑚𝑎𝑥 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝑝 𝑥, 𝑡 = 𝑝𝑚𝑎𝑥 sen(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝑝𝑚𝑎𝑥 = 𝐵𝑘𝑠𝑚𝑎𝑥 = 𝜌𝑣 2 𝑘𝑠𝑚𝑎𝑥

Ondas sonoras estacionarias Cuando las ondas longitudinales (de sonido) se propagan en un fluido dentro de un tubo con longitud finita, se reflejan en los extremos igual que las ondas transversales en una cuerda. La superposición de las ondas que viajan en direcciones opuestas forma también una onda estacionaria.

Tubos abiertos Un extremo abierto de un tubo es un nodo de presión

porque está abierto a la atmósfera, donde la presión es constante. Por ello, tal extremo siempre es un antinodo de desplazamiento, análogo al extremo

libre de una cuerda; las partículas oscilan con amplitud máxima, pero la presión no varía.

Tanto en los tubos abierto como cerrados, la fuente sonora se considera abierta, ya que es necesario que las partículas de aire oscilen libremente en este punto.

Tubos abiertos

Tubos cerrados Cuando hay reflexión en un extremo cerrado de un tubo

(con

una

barrera

o

tapón

rígido),

el

desplazamiento de las partículas en ese extremo siempre debe ser cero, como en el extremo fijo de una cuerda. Así, el extremo cerrado del tubo es un nodo de desplazamiento y un antinodo de presión; las partículas no se mueven, pero las variaciones de presión son máximas.

Tubos cerrados

Ejemplo Un altavoz direccional dirige una onda sonora de longitud de onda λ a una pared (figura). ¿A qué distancias de la pared podríamos pararnos y no escuchar nada?

Tubo abierto modos normales En el tubo abierto ambos extremos son antinodos de desplazamiento y por lo tanto 𝜆 𝐿=𝑛 2 De forma similar a una cuerda fija en sus extremos

2𝐿 𝜆𝑛 = 𝑛 𝑣 𝑓𝑛 = 𝑛 2𝐿

𝑛 = 1, 2, 3, …

Tubo cerrado modos normales En los tubos cerrados la entrada en un antinodo de desplazamiento mientras el extremo cerrado es un nodo y por lo tanto se cumple que:

entonces

𝜆 𝐿 = (2𝑛 − 1) 4

4𝐿 𝜆𝑛 = (2𝑛 − 1) 𝑣 𝑓𝑛 = 2𝑛 − 1 4𝐿

𝑛 = 1, 2, 3, …

Ejemplos 1. Tubos de órgano: ¿Cuál será la frecuencia fundamental y los primeros tres sobretonos para un tubo de órgano de 26 cm de longitud a 20°C, si está

a) abierto b) Cerrado

2. Flauta: Una flauta está diseñada para tocar el do central (262 Hz) como la frecuencia fundamental cuando todos los agujeros están cubiertos ¿Qué distancia debe haber aproximadamente de la boquilla hasta el extremo lejano de la flauta? (Esto es sólo

aproximado, pues el antinodo no ocurre exactamente en la boquilla.) Suponga que la temperatura es de 20°C.

Ejemplo 3. En un día en que la rapidez del sonido es de 345 m/s, la frecuencia fundamental de un tubo cerrado en un órgano es 220 Hz. a) ¿Qué longitud tiene el tubo? b) El segundo sobretono de este tubo tiene la misma longitud de onda que el tercer armónico de un tubo abierto. ¿Qué longitud tiene el tubo abierto?

Ondas estacionarias en tubos

Tubos cerrados

Tubos abiertos

𝑣 𝑓𝑛 = 2𝑛 − 1 4𝐿

𝑣 𝑓𝑛 = 𝑛 2𝐿

Fuentes de sonido La fuente de cualquier sonido es un objeto en vibración. Casi cualquier objeto puede vibrar y, por lo tanto, ser una fuente de sonido.

Las frecuencias de las ondas son las mismas que las de la fuente; pero la rapidez y las longitudes de onda pueden ser diferentes.

Instrumentos de cuerda Las ondas estacionarias son la base para todos los instrumentos de cuerdas. 𝑣 𝑓1 = ; 2𝑙

𝑛𝑣 𝑓𝑛 = 𝑛𝑓1 = 2𝑙

En un instrumento musical de cuerda hay dos formas para producir cambios de frecuencia 1.Acortando la longitud de la cuerda: 𝑙’ < 𝑙 2.Cambiando la densidad de la cuerda 𝜇′ ≠ 𝜇

Instrumentos de cuerda Los instrumentos de cuerdas no serían muy sonoros si se confiara en sus cuerdas vibratorias para producir las ondas acústicas, ya que las cuerdas son simplemente demasiado delgadas para comprimir y expandir mucho el aire. Por ello, los instrumentos de cuerdas usan un tipo de amplificador mecánico conocido como tablero sonoro (piano) o caja resonante (guitarra, violín), cuya función es amplificar el sonido poniendo una mayor área superficial en contacto con el aire.

Ejemplo 1. La tecla más alta en un piano corresponde a una frecuencia de aproximadamente 150 veces la de la tecla más baja. Si la cuerda para la nota más alta es de 5.0 cm de largo, ¿qué longitud debería tener la cuerda para la nota más baja, si la cuerda tuviera la misma masa por unidad de longitud y estuviera bajo la misma tensión?

2. Una cuerda de violín de 32 cm de longitud está afinada para tocar la nota la arriba del do central a 440 Hz. a) Cuál es la longitud de onda de la vibración fundamental de la cuerda?,

b) cuáles son la frecuencia y la longitud de onda de la onda sonora producida? c) Por qué hay una diferencia?

Instrumentos de cuerda Cuando la onda sonora sale del instrumento de cuerda, su frecuencia se mantiene constante, pero la velocidad de propagación cambia

𝑣𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 =

𝐹 ; 𝑣𝑎𝑖𝑟𝑒 = 343 m/s 𝜇

Por lo tanto las longitudes de onda también cambiaran al pasar de un medio al otro

𝜆𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎

𝑣𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 = ; 𝑓

𝜆𝑎𝑖𝑟𝑒

𝑣𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝑓

Instrumentos de viento Los instrumentos de viento producen sonidos por las vibraciones de ondas estacionarias en una columna de aire dentro de un tubo. Debido a la perturbación, cualquiera que sea su fuente, el aire dentro

del tubo vibra con una variedad de frecuencias; pero sólo persistirán las frecuencias que corresponden a ondas estacionarias. En este caso la onda al salir del tubo no cambia de medio de propagación y por lo tanto, tampoco cambiaran su frecuencia ni velocidad de propagación, es decir, su longitud de onda permanece constante.

Ejemplo Un tubo vertical abierto en ambos extremos se sumerge parcialmente en agua y un diapasón oscilante con una frecuencia desconocida se coloca cerca de la parte superior del tubo.

La longitud 𝐿 de la columna de aire se ajusta al mover el tubo verticalmente. Las ondas sonoras generadas por el diapasón se refuerzan cuando 𝐿 corresponde a una de las frecuencias de

resonancia del tubo. Para cierto tubo, el valor más pequeño de 𝐿 para el que se presenta un pico en la intensidad sonora es 9.00 cm. ¿Cuál es la frecuencia del diapasón?

Ejemplo

Resonancia

Hablamos de resonancia en un tubo (abierto o cerrado) cuando la relación entre la frecuencia de la onda que entra en el tubo y la longitud de éste, generan un máximo en la intensidad del sonido producido. Este fenómeno se da a causa de la interferencia entre la onda incidente y las múltiples reflexiones en los extremos del tubo. En la figura de la derecha, hay resonancia en los picos altos, mientras en los mínimos se observa interferencia destructiva atenuando la intensidad sonora.

Referencias 1. Serway & Jewett, Física para ciencias e ingeniería, septima Ed. Vol 1, Cengage Learning Editores, Canadá (2008)

2. Douglas C. Giancoli, física para ciencias e ingeniería, Cuarta edición, Vol 1, Pearson Educación, México, (2008)

3. Sears & Zemansky, Física universitaria, decimosegunda Ed. Vol 1, AddisonWesley, Latinoamérica (2009)

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Interferencia Interferencia espacial Interferencia temporal Pulsos

Interferencia espacial El fenómeno de interferencia espacial involucra la superposición de dos o más ondas que tienen la misma frecuencia. Esto causa que la amplitud de la oscilación de los elementos del medio varía con la posición en el espacio del elemento en dicha onda. Las ondas estacionarias en cuerdas y tubos son ejemplos comunes de interferencia espacial.

Constructiva

Destructiva

Parcial

Interferencia espacial La interferencia espacial ocurre cuando hay 2 (o más) fuentes de ondas que emiten en una misma frecuencia, pero a diferentes distancias del observador. En esta situación, la diferencia de caminos entre las ondas provenientes de cada fuente producen una diferencia de fase en la posición del observador: 𝑥1 = 𝑥𝑜𝑏𝑠 − 𝑥𝐹1 ൡ

𝑥2 = 𝑥𝑜𝑏𝑠 − 𝑥𝐹2

Δ𝑥 = |𝑥2 − 𝑥1 |

Interferencia espacial constructiva Interferencia constructiva Δ𝑥 = 𝑛𝜆 (𝑛 = 1, 2, 3, … )

Observamos en la figura que si la diferencia de camino entre las fuentes es un múltiplo entero de la longitud de onda, en la posición del observador las ondas se encontraran en fase (diferencia de fase igual a cero) produciendo interferencia constructiva

Interferencia espacial destructiva Interferencia destructiva

Δ𝑥 = 2𝑛 − 1 𝜆/2 (𝑛 = 1, 2, 3, … )

Por otro lado si la diferencia de camino entre las fuentes es un múltiplo impar de media longitud de onda, en la posición del observador las ondas se encontraran en antifase (diferencia de fase igual a 180°) produciendo interferencia destructiva

Ejemplo Dos altavoces pequeños, A y B (figura), son alimentados por el mismo amplificador y emiten ondas senoidales puras en fase. Si la rapidez del sonido es de 350 m/s,

a) ¿para qué frecuencias se presenta interferencia constructiva en el punto P? b) ¿ para qué frecuencias se presenta interferencia destructiva en el punto P?

Interferencia temporal Ahora consideremos la superposición de dos ondas que tienen frecuencias ligeramente diferentes. En este caso, cuando las dos ondas se observan en un punto en el espacio, están periódicamente en fase y antifase. Es decir: hay una alternación temporal de interferencia constructiva y destructiva. Debido a este fenómeno se le refiere como interferencia temporal.

Interferencia temporal Observe que el eje horizontal representa al tiempo, es decir, la superposición de ondas con frecuencias ligeramente diferentes genera un patrón periódico de máximos y mínimos de intensidad sonora que puede percibirse en una posición fija del espacio.

Pulsos La onda resultante semeja una onda senoidal con amplitud variable que va de cero a un máximo y de nuevo a cero y este patrón se repite. La variación de amplitud causa variaciones de volumen llamados pulsos, y la frecuencia con que varía el volumen es la frecuencia del pulso. La frecuencia del pulso es la diferencia de las dos frecuencias de las ondas individuales.

Periodo y frecuencia de pulso Para demostrar que la frecuencia del pulso siempre es la diferencia de las dos frecuencias 𝑓𝑎 y 𝑓𝑏 : • Suponemos que 𝑓𝑎 es mayor que 𝑓𝑏 • los periodos correspondientes son 𝑇𝑎 y 𝑇𝑏 , con 𝑇𝑎 < 𝑇𝑏 .

Si las dos ondas inician desfasadas en 𝑡 = 0, volverán a estar en antifase cuando la primera onda haya pasado por exactamente un ciclo más que la segunda, como puede verse en la figura.

Periodo y frecuencia de pulso Entonces el periodo de pulso (𝑇𝑝 ) cumplirá las siguientes condiciones. 𝑇𝑝 = 𝑛𝑇𝑏 ;

𝑇𝑝 = (𝑛 + 1)𝑇𝑎

por lo tanto 𝑇𝑝 𝑇𝑝 = −1 𝑇𝑏 𝑇𝑎

Despejando 𝑇𝑝 tenemos 𝑇𝑎 𝑇𝑏 𝑇𝑝 = 𝑇𝑏 −𝑇𝑎

⇒

1 𝑇𝑏 − 𝑇_𝑎 𝑓𝑝 = = = 𝑓𝑎 −𝑓𝑏 𝑇𝑝 𝑇𝑎 𝑇𝑏

Ejercicio cuerdas de piano desafinadas: Dos cuerdas de piano idénticas, de 0.750 m de longitud, se afinan cada una exactamente a 440 Hz. La tensión en una de las cuerdas después aumenta en 1.0%. Si ahora se golpean, ¿cuál es la frecuencia de pulso entre las fundamentales de las dos cuerdas?

Referencias 1. Serway & Jewett, Física para ciencias e ingeniería, septima Ed. Vol 1, Cengage Learning Editores, Canadá (2008)

2. Douglas C. Giancoli, física para ciencias e ingeniería, Cuarta edición, Vol 1, Pearson Educación, México, (2008)

3. Sears & Zemansky, Física universitaria, decimosegunda Ed. Vol 1, AddisonWesley, Latinoamérica (2009)

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Efecto Doppler Observador en movimiento Fuente en movimiento Observador y fuente en movimiento

Efecto Doppler El efecto Doppler permite explicar la sensación auditiva que tenemos cuando una fuente de sonido se mueve respecto a nosotros. Por ejemplo el zumbido de una moto que se acerca a toda velocidad es más agudo que cuando ésta se aleja, o la distorsión que percibimos de la sirena de una ambulancia también cunado esta se acerca o se aleja de nosotros. Pero los conductores no perciben ningún cambio en la sensación auditiva, ya que éstos se mueven junto con su vehículo, es decir, no hay movimiento relativo.

Ef. Doppler para fuentes y observadores en reposo Cuando una fuente de luz emite ondas a una determinada frecuencia, los frentes de onda viajan con velocidad constante 𝑐, de tal manera que un observador estático detectará los frentes de onda consecutivos con la misma frecuencia que la fuente está emitiendo. Entonces se cumplirá que: 𝑐 = 𝜆𝑓 = 𝜆′ 𝑓 ′

𝜆 = 𝜆′

𝑦

𝑓 = 𝑓′

𝜆, 𝑓: frecuencia y longitud de onda emitidas 𝜆′ , 𝑓′: frecuencia y longitud de onda observadas 60

Receptor en movimiento Como la fuente sonora está en reposo, los frentes de onda son constantes y la longitud de onda no varía, pero el movimiento del receptor hace que choque de forma más rápida (o lenta) con los máximos sucesivos es decir la velocidad (relativa) de la onda se altera. 𝜆′ = 𝜆 𝑣 ′ = 𝑣 ± 𝑣𝑜

aquí 𝜆′ y 𝑣 ′ corresponden a la longitud de onda y a la velocidad del sonido percibidas por el observador en movimiento, 𝜆 y 𝑣 corresponden a la longitud de onda y velocidad del sonido emitidos por la fuente y 𝑣𝑜 es la velocidad con la que se mueve el observador

Observador en movimiento ACERCÁNDOSE

ALEJÁNDOSE

𝜆′ = 𝜆

𝜆′ = 𝜆

𝑣 ′ = 𝑣 + 𝑣𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟

𝑣 ′ = 𝑣 − 𝑣𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟

Ef. Doppler para un observador en movimiento Entonces la frecuencia 𝑓 ′ percibida por el observador será alterada por el movimiento relativo ′ 𝑣 𝑣 ± 𝑣𝑜 ′ 𝑓 = = 𝜆′ 𝜆

𝜆′ = 𝜆 𝑣 ′ = 𝑣 ± 𝑣𝑜

Ahora la longitud de onda de la fuente está relacionada con la frecuencia emitida por medio de la velocidad del sonido 𝑣 = 𝜆𝑓 entonces podemos escribir la frecuencia percibida por el observador en términos de la frecuencia emitida por la fuente 𝑓′

𝑣 ± 𝑣𝑜 = 𝑓 𝑣

Ejercicio La frecuencia predominante de la sirena de cierto camión de bomberos es 1350 Hz cuando está en reposo. ¿Qué frecuencia detectará si usted se mueve con una rapidez de 30.0 m/s

a) hacia el camión de bomberos b) alejándose del camión? c) A qué velocidad debería moverse para percibir una frecuencia de 1450 Hz? d) En la pregunta anterior se estaría acercando o alejado?

Pregunta conceptual Usted está de pie sobre una plataforma en una estación de tren y escucha un tren que se aproxima a la estación con velocidad constante. Mientras el tren se aproxima, pero antes de que llegue, ¿qué escucha?

a) la intensidad y la frecuencia del sonido aumentan, b) la intensidad y la frecuencia del sonido disminuyen, c) la intensidad aumenta y la frecuencia disminuye, d) la intensidad disminuye y la frecuencia aumenta, e) la intensidad aumenta y la frecuencia permanece igual,

f) la intensidad disminuye y la frecuencia permanece igual.

Fuente (source) en movimiento Como la fuente sonora está en movimiento, los frentes de onda se comprimen en la dirección del movimiento y la longitud de onda se acorta frente a la fuente. Lo contrario ocurre en la otra dirección, los frentes de onda se extienden y la longitud de onda se alarga. En este caso la velocidad es constante ya que el receptor está quieto.

𝑣𝑓 𝜆 =𝜆∓ 𝑓 𝑣′ = 𝑣 ′

aquí 𝑣𝑓 corresponde a la velocidad relativa de la fuente.

Emisor en movimiento

𝜆′

𝑣𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒 =𝜆+ 𝑓 𝑣′ = 𝑣

𝜆′

𝑣𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒 =𝜆− 𝑓 𝑣′ = 𝑣

Emisor en movimiento Entonces la frecuencia 𝑓 ′ percibida por el observador será alterada por el movimiento relativo ′ 𝑣 𝑣 ′ 𝑓 = = 𝜆′ 𝜆 ∓ 𝑣𝑓 /𝑓

Nuevamente escribiendo la longitud de onda original en términos de la frecuencia y velocidad tenemos

𝜆′

𝑣𝑓 =𝜆∓ 𝑓

𝑣′ = 𝑣

𝑓′

𝑣 = 𝑓 𝑣 ∓ 𝑣𝑓

Ejercicio Su alarma lo despierta con un sonido estable e irritante de 600 Hz de frecuencia. Una mañana funciona mal y no se puede apagar. Frustrado, arroja el reloj por la ventana de su dormitorio en el cuarto piso, a 15.0 m del suelo. Suponga que la rapidez del sonido es de 343 m/s. Mientras escucha al radio–reloj que cae, ¿qué frecuencia escucha justo antes de que lo oiga chocar con el suelo?

Ejercicio Una sirena policiaca emite una onda senoidal con frecuencia 𝑓 = 300 Hz. La rapidez del sonido es de 340 m/s.

a) Calcule la longitud de onda del sonido si la sirena está en reposo. b) Si la sirena se mueve a 108 km/h, calcule las longitudes de onda para las ondas adelante y atrás de la fuente. c) Calcule las frecuencias para las ondas adelante y atrás de la fuente

Emisor y receptor en movimiento

Cuando se mueven tanto el receptor como el emisor, se presentaran variaciones en la velocidad relativa de las ondas y en la longitud de estas, es decir}

𝑣𝑠 =𝜆∓ 𝑓 𝑣 ′ = 𝑣 ± 𝑣𝑜 𝜆′

Ef. Doppler para fuente y observador en movimiento

Entonces la frecuencia 𝑓 ′ de la onda percibida por el observador debido movimiento relativo será

′ 𝑣 𝑣 ± 𝑣𝑜 ′ 𝑓 = = 𝑓 𝜆′ 𝑣 ∓ 𝑣𝑓

Ejercicio Un submarino (sub A) viaja a través de agua con una rapidez de 25 m/s y emite una onda de sonar con una frecuencia de 1400 Hz. La rapidez del sonido en el agua es de 1533 m/s. Un segundo submarino (sub B) se localiza de tal modo que ambos submarinos viajan directamente uno hacia el otro. El segundo submarino se mueve a 60 m/s. a) ¿Cuál será la longitud de onda original y cuáles las observadas en cada submarino? b) ¿Qué frecuencia detecta un observador que viaja en el sub B mientras los submarinos se aproximan uno al otro? c) ¿Qué frecuencia detecta un observador en el sub B mientras los submarinos se alejan uno del otro?

d) Que frecuencia tendrá la onda reflejada en B cuando sea detectada en A.

Ejercicio Un submarino (sub A) viaja a través de agua con una rapidez de 25 m/s y emite una onda de sonar con una frecuencia de 1400 Hz. La rapidez del sonido en el agua es de 1533 m/s. Un segundo submarino (sub B) se localiza de tal modo que ambos submarinos viajan directamente uno hacia el otro. El segundo submarino se mueve a 60 m/s. e) Si la frecuencia de reflejo es de 1620 Hz, ¿Cuánto tiempo tienen los submarinos para corregir su curso si se encuentran a 1.5 km de distancia?

Referencias 1. Serway & Jewett, Física para ciencias e ingeniería, septima Ed. Vol 1, Cengage Learning Editores, Canadá (2008)

2. Douglas C. Giancoli, física para ciencias e ingeniería, Cuarta edición, Vol 1, Pearson Educación, México, (2008)

3. Sears & Zemansky, Física universitaria, decimosegunda Ed. Vol 1, AddisonWesley, Latinoamérica (2009)