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Ricardo Alejos Modelado de ondas sonoras

Modelado de ondas sonoras Enunciado Se observa que una onda sonora de frecuencia , que viaja por el aire en la dirección , tiene ⁄ una presión diferencial ( ) cuando y . Si la fase de referencia de ( ) es de , encuentre una expresión completa para ( ). La velocidad del sonido e el aire ⁄ . es de

Solución Todo buen niño y niña sabe que una onda viajera de forma sinusoidal puede modelarse como se hace en la ecuación (1). Donde es la amplitud de la onda, su período, su longitud de onda y su fase de referencia; nótese además que, como era de esperarse, la expresión está en función del tiempo y del espacio (unidimensional) . (

)

De la ecuación (1) desconocemos ,

y

(

(1)

)

pero su obtención se sencilla.

⁄ (siendo la velocidad de propagación, que en este Para obtener bastará recordar que ⁄ ). Entonces lo único que nos queda para conocer es hacer una sustitución en la caso es expresión mencionada:

⁄

Para conocer decir:

sólo será necesario recordar que se trata del inverso del valor de la frecuencia, es ⁄

Y finalmente, para encontrar la amplitud de la onda nos han dado un par de pistas: la presión diferencial, en el momento en que y observando el punto , debe medirse con un ⁄ ; y que además, la fase de la onda en ese momento y en ese lugar es de valor de (que por cierto, no olvidemos que debe estar expresada en radianes para hacer los cálculos). Con todas estas pistas podemos pasar de la ecuación (1) a: (

) (

) (

*

1

)

(

)+

Ricardo Alejos Modelado de ondas sonoras Por lo que:

(

*

)

(

)+

Entonces, podemos modelar matemáticamente la onda descrita en el enunciado del problema con la siguiente expresión: 𝑝 𝑥 𝑡

𝜋𝑡

𝜋𝑥

Con fines didácticos incluyo debajo de este párrafo unas gráficas que ilustran el comportamiento de la onda que acabamos de modelar. Onda cuando t=75.76  s

Onda a los 0 segundos

2

p [N/m ]

20

2

p [N/m ]

20 0 -20

0 -20

0

0.2

0.4 0.6 x [m]

0.8

0

1

Onda cuando t=151.5  s

0.4 0.6 x [m]

0.8

1

Onda cuando t=227.3  s 20 2

2

p [N/m ]

20 p [N/m ]

0.2

0 -20

0 -20

0

0.2

0.4 0.6 x [m]

0.8

0

1

0.2

0.4 0.6 x [m]

0.8

1

Note que la onda de amplitud , al pasar el tiempo, se desplaza hacia la derecha a una velocidad de ⁄ y que cuenta con una fase inicial en el punto es de . Nota: Las demostraciones de las expresiones aquí utilizadas para hacer los cálculos puede encontrarlas en las referencias citadas en la bibliografía.

Bibliografía Ulaby, F. T. (2007). Fundamentos de Aplicaciones en Electromagnetismo (5ta ed.). Ciudad de México, México: Pearson Educación.

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