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• Carlo De La Plaza

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Anexo A.- Álgebra Matricial

1

Álgebra Matricial A.1

Notación y definiciones

Matrices Una matriz es un arreglo rectangular de símbolos o cantidades numéricas ordenadas en filas y columnas. El arreglo se encierra entre paréntesis cuadrados, de manera que si tiene n filas y m columnas la matriz se representa como: ⎡ a11 a12 ⎢a ⎢ 21 a22 ⎢ a31 a32 ⎢ . ⎢ . ⎢ . . ⎢ . A=⎢ . ⎢a a2 ⎢ 1 . ⎢ . ⎢ . . ⎢ ⎢ . . ⎢ ⎣an1 an 2

a13

. . . a1 j

a23 . . . a2 j a33 . . . a3 j .

. . .

.

.

. . .

.

. a3

. . . . . .

. aij

.

. . .

.

. .

. . . . . .

. .

an 3 . . . anj

. . . a1m ⎤ . . . a2 m ⎥⎥ . . . a3m ⎥ ⎥ . . . . ⎥ . . . . ⎥ ⎥ . . . . ⎥ . . . aim ⎥ ⎥ . . . . ⎥ . . . . ⎥ ⎥ . . . . ⎥ ⎥ . . . anm ⎦

(A.1)

En que cada elemento, por ejemplo aij , tiene 2 índices, el primero indica la fila (i) y el segundo indica la columna (j) donde se ubica el elemento en la matriz. Una matriz con n filas y m columnas se define como una matriz de orden n x m. El símbolo A representa el arreglo completo y se subraya para indicar que se trata de una matriz.

Matriz fila y Matriz columna Si n=1 la matriz A se reduce a una fila:

[

A = a11 y se le llama matriz fila.

a12

.. a1 j

.. a1m

]

(A.2)

Anexo A.- Álgebra Matricial

2

En forma análoga, si m = 1 la matriz A queda:

⎡ a11 ⎤ ⎢a ⎥ ⎢ 12 ⎥ ⎢ : ⎥ A=⎢ ⎥ ⎢ ai1 ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣a n1 ⎥⎦

(A.3)

Y se le llama matriz columna. A este tipo de matrices también se les da el nombre de vector: y usualmente se denominan en letras minúsculas ( a ). El orden de una matriz fila con m componentes es 1 x m y el de una matriz columna o vector con n componentes es n x 1. Matriz nula (matriz cero)

Si todos los elementos de una matriz son iguales a cero, la matriz se llama matriz nula o matriz cero y se escribe 0 . En álgebra matricial la matriz cero cumple la misma función que el cero en el álgebra ordinaria. Matriz cuadrada Si m = n, la matriz A posee igual número de filas y columnas y se llama matriz cuadrada. Las matrices cuadradas ocupan un rol importante en el álgebra matricial pues solo ellas (si sus elementos cumplen ciertas condiciones) pueden tener inversas.

Matriz diagonal Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal principal son nulos. Esto significa que aij = 0 para i ≠ j y no todos los aii son nulos.

Matriz identidad Es una matriz diagonal especial en que todos los elementos de una diagonal son iguales a uno. Normalmente se utiliza el símbolo I n para una matriz identidad de orden n:

[ ]

I n = I ij

en que I ii = 1 y I ij = 0 para i = 1,2,..., n, j = 1,2,..., n

Anexo A.- Álgebra Matricial

3

Matriz de permutaciones

Es una matriz identidad en la que se han permutado (intercambiado) filas o columnas. ⎡1 ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ I4 = ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ 1⎦ ⎣

⎡ 1 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ P4 = ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ 1⎦ ⎣

(A.4)

Matriz simétrica

Es una matriz cuadrada en que los elementos sobre la diagonal principal son iguales a los elementos ubicados bajo dicha diagonal. Esto es:

aij = a ji

i = 1,2,..., n , j = 1,2,..., n

Matriz Triangular (superior o inferior)

Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada especial en que todos los elementos bajo la diagonal principal son nulos. En forma análoga se define la matriz triangular inferior, en la que los elementos sobre la diagonal son nulos. Llamando U (“upper”) a la matriz triangular superior y L (“lower”) a la matriz triangular inferior, estas son de la forma: ⎡O − − − ⎤ ⎢ O − − ⎥⎥ ⎢ U= ⎢ 0 O −⎥ ⎢ ⎥ O⎦ ⎣

⎡O ⎤ ⎢− O 0 ⎥ ⎢ ⎥ L= ⎢− − O ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ − − − O⎦

(A.5)

Matriz de banda

Matriz de banda o bandeada es una matriz cuadrada en la que sus elementos se agrupan alrededor de la diagonal principal.

Anexo A.- Álgebra Matricial

⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢a31 ⎢ ⎢O ⎢0 ⎢ A=⎢ 0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ .. ⎢ ⎢ .. ⎢ ⎣0

4

a12 a 22

a13 a 23

O a 24

0 O

0 0

a32

a33

a34

a35

O

a 42 O

a 43 a53

a 44 a54

a 45 a55

a 46 a56

0

O

O O

0

O

.. ..

O

.. 0

0

0⎤ 0 ⎥⎥ 0 .. .. .. 0 ⎥ ⎥ O 0 .. .. ⎥ ⎥ a57 O ⎥ O ⎥ ⎥ O O ⎥ O O⎥ ⎥ O ⎥ ⎥ O O ⎥ O O⎦ 0 0

.. ..

.. ..

.. ..

(A.6)

Un caso especial lo constituyen las matrices de banda simétricas. En ese caso solo es necesario conocer los elementos de la diagonal y de la parte superior (o inferior) de la banda por lo que usualmente se almacena la mitad del ancho de banda. La matriz de rigidez es una estructura cuyos nudos han sido numerados en forma adecuada (poca diferencia de numeración de los nudos de cada elemento) es una matriz bandeada simétrica.

Hipermatriz Es una matriz cuyos elementos son matrices:

⎡ A11 A=⎢ ⎣ A 21

A12 ⎤ A 22 ⎥⎦

(A.7)

También se puede llamar a A simplemente matriz en cuyo caso A11 , A12 , A 21 y A 22 se denominan submatrices. La hipermatriz también se puede originar de una partición de una matriz. Por ejemplo: ⎡ a11 A = ⎢⎢a 21 ⎣⎢a 31

a12 a 22 a32

a13 ⎤ ⎡ A11 q 23 ⎥⎥ = ⎢ A a33 ⎦⎥ ⎣ 21

A12 ⎤ A 22 ⎥⎦

(A.8)

Anexo A.- Álgebra Matricial

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en que: ⎡a A11 = ⎢ 11 ⎣a12

a12 ⎤ a 22 ⎥⎦

⎡a ⎤ A12 = ⎢ 13 ⎥ ⎣a 23 ⎦

A 21 = [a31

a32 ]

A 22 = [a 33 ]

Matriz hiperdiagonal Es una hipermatriz diagonal, esto es, una matriz diagonal en que los elementos de la diagonal son matrices: ⎡a 1 ⎢ ⎢ diag {a j } = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

a2 a3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ O ⎥ a n ⎥⎦

(A.9)

Igualdad Dos matrices son iguales si son del mismo orden (n x m) y todos sus elementos son idénticos: A=B

Ù

aij = bij

i = 1,2,..., n ,

j = 1,2,..., m

(A.10)

Suma Una matriz C (n x m) se llama suma de dos matrices A (n x m) y B (n x m) si se cumple que: C = A+ B

Ejemplo:

Ù

cij = aij + bij

i = 1,2,..., n

,

j = 1,2,..., m

(A.11)

Anexo A.- Álgebra Matricial

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⎡3 2⎤ A = ⎢⎢0 4⎥⎥ ⎢⎣5 2⎥⎦

⎡1 6 ⎤ B = ⎢⎢2 3 ⎥⎥ ⎢⎣1 − 2⎥⎦

⎡4 8 ⎤ C = ⎢⎢2 7 ⎥⎥ ⎢⎣6 0⎥⎦

Resta En forma similar a la suma

C = A− B

Ù

cij = aij − bij

i = 1,2,..., n

,

j = 1,2,..., m

(A.12)

Ejemplo: Con las matrices A y B del ejemplo anterior se tiene que C sería.

⎡ 2 − 4⎤ C = ⎢⎢− 2 1 ⎥⎥ ⎢⎣ 4 4 ⎥⎦ Trasposición de una matriz

La matriz traspuesta de una matriz A es aquella formada a partir de la matriz A intercambiando sus filas y columnas:

B=A

T

Ù

bij = aij

i = 1,2,..., m

,

j = 1,2,..., n

(A.13)

Ejemplo: ⎡a A = ⎢ 11 ⎣a 21

a12 a 22

a13 ⎤ a 23 ⎥⎦

⇒

⎡ a11 A = ⎢⎢a12 ⎢⎣a13

a 21 ⎤ a 22 ⎥⎥ a 23 ⎥⎦

T

T

De este modo si la matriz A es de orden n x m, entonces la matriz A es de orden m x n. Es de hacer notar que se cumplo la siguiente relación:

(A )

T T

Para matrices simétricas se cumple que:

=A

(A.14)

Anexo A.- Álgebra Matricial

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A =A T

(A.15)

Multiplicación de una matriz por un escalar

Si λ es un número escalar cualquiera entonces y si C y A son dos matrices del mismo orden (n x m) C = λA

Ù

cij = λaij

i = 1,2,..., n

,

j = 1,2,..., m

(A.16)

Multiplicación entre matrices

Dos matrices A y B pueden ser multiplicadas entre sí solo si el número de columnas de A es igual al número de filas de B . En este caso se dice que las matrices son conformadas para la multiplicación. En caso contrario la operación de multiplicación no está definida. La multiplicación de dos matrices A (n x p) y B (p, m) entrega una matriz C (n x m) cuyos elementos se calculan de la siguiente forma. cij = ∑k =1 a ik bkj p

i = 1,2,..., n

,

j = 1,2,..., m

(A.17)

en que a ik y bkj son elementos de la matriz A y B respectivamente. Ejemplo ⎡1 2 3⎤ ⎡1 3 ⎤ ⎡26 4 ⎤ ⎢4 5 6⎥ ⎢2 − 1⎥ = ⎢56 13⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 1 2⎥⎦ ⎢⎣7 1 ⎥⎦ ⎢⎣19 10⎥⎦

La multiplicación de matrices es asociativa y distributiva, manteniendo el orden de la multiplicación: A (B C ) = ( A B ) C = A B C

(A.18)

Anexo A.- Álgebra Matricial

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A (B + C ) = A B + A C

(A.19)

La multiplicación de matrices en general no es conmutativa. Si A y B son matrices rectangulares en que la operación A B esta definida, la operación B A ni siquiera está definida. Para matrices A y B , cuadradas en general. A B ≠ BA

(A.20)

Si A es una matriz cuadrada de orden n y I es la matriz identidad de orden n se cumple que AI = IA= A

(A.21)

En el producto A B se pude decir que B está premultiplicada por A , o bien que A está post - multiplicada por B . La operación de multiplicación de matrices puede ser extendido a matrices particionadas en submatrices, siempre que estas sean conformadas para la multiplicación: ⎡ A11 AB = ⎢ ⎣ A 21

A12 ⎤ ⎡ B 11 A 22 ⎥⎦ ⎢⎣ B 21

B 12 ⎤ ⎡ A11 B 11 + A12 B 21 = B 22 ⎥⎦ ⎢⎣ A 21 B 11 + A 22 B 21

A11 B 12 + A12 B 22 ⎤ A 21 B 12 + A 22 B 22 ⎥⎦

Traspuesta de un producto de matrices Si A y B son dos matrices conformes para la multiplicación (el producto A B está definido) entonces se cumple que:

( AB )T Por extensión:

=B A T

T

(A.22)

Anexo A.- Álgebra Matricial

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( ABC...H )T

= H ...C B A T

T

T

T

(A.23)

Casos especiales de productos de matrices Si a y b son dos matrices columnas que usualmente se denominan vectores entonces existen 2 productos especiales entre ellos:

a) Producto escalar: T Si los 2 vectores a y b son del mismo orden n el producto a b es un número escalar:

λ = a T b = b T a = ∑i =1 ai bi n

(A.24)

Dos vectores a y b de orden n son ortogonales si se cumple que:

λ = a T b = bT a = 0

(A.25)

La norma de un vector se obtiene mediante el producto escalar:

a = a a = ∑i =1 ai2 T

n

(A.26)

b) Producto diádico El producto de un vector a de orden n y la traspuesta de un vector b de orden m es una matriz (nxm) de la forma: ⎡ a1 ⎤ ⎢a ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ a3 ⎥ ⎢ ⎥ T ab = ⎢ . ⎥[b1 ⎢.⎥ ⎢ ⎥ ⎢.⎥ ⎢a ⎥ ⎣ n⎦

b2

b3

⎡ a1b1 ⎢a b ⎢ 2 1 ⎢ . . . . bm ] = ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢⎣a n b1

a1b2

a n b2

.

.

.

.

.

.

a1bm ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ a n bm ⎥⎦

(A.27)

Anexo A.- Álgebra Matricial

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El producto diádico no es conmutativo: ab ≠ b a T

T

Determinante de una matriz El determinante de una matriz se define solo para matrices cuadradas y se escribe a11 a 21

a12 a 22

. .

. .

. .

a1n a2n

. .

A=

(A.28)

.

a n1

a n1

.

.

.

a nn

y se define formalmente como:

A = ∑ ± (a1i

a2 j

a 3k

. . .)

(A.29)

en que los índices de las filas aparecen en el orden normal (1, 2, 3, ....... n) mientras que los índices de las columnas i, j, k,... aparecen como permutaciones del orden normal. El signo positivo o negativo depende de si el orden i, j, k se obtuvo mediante un número par o impar de permutaciones del orden natural. La suma se extiende por n! permutaciones

Ejemplo a11 a 21

a12 = a11 a 22 − a12 a 21 a 22

Propiedades de los determinantes a) El determinante de una matriz es idéntico al de su transpuesta:

A= A

T

(A.30)

Anexo A.- Álgebra Matricial

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b) Al intercambiar 2 filas o columnas de una matriz A cambia el signo del determinante c) Si dos filas o dos columnas de una matriz son idénticas el determinante es cero d) Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz son cero entonces su determinante es cero. e) Al multiplicar los elementos de una fila o columna de una matriz A por un factor c entonces el determinante es c A . f) Al modificar una matriz A sumándole a una fila (o columnas) otra fila (o columnas) multiplicada por un constante, no cambia el determinante. g) De las propiedades anteriores se deduce que si dos filas (o columnas) de una matriz A son linealmente dependientes entonces su determinante es cero. h) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes:

AB = A B

(A.31)

Menores y Cofactores El primer “menor” de un determinante A correspondiente al elemento aij se define como el determinante de la matriz obtenida eliminando la fila i y la columna j de la matriz A . Por lo tanto si A es un polinomio de orden n, entonces el primer “menor” es de orden n–1. Esta definición puede ser extendida eliminando 5 filas y 5 columnas de la matriz, hablándose en dicho caso se in menor de orden n–5. El primer menor correspondiente al elemento aij se denomina M ij . Si el primer menor M ij se multiplica por (−1) i + j , el

resultado se llama “cofactor” de aij y se designa como Aij : Aij = (−1) i + j M ij

(A.32)

Cálculo del determinante por cofactores Se puede demostrar que el determinante de una matriz A puede ser calculado utilizando los elementos de una fila (o columna) cualquiera y sus correspondientes cofactores.

Anexo A.- Álgebra Matricial

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n

A = a i1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain = ∑ a ij Aij

(A.33)

j =1

o bien n

A = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + ... + a nj Anj = ∑ a ij Aij

(A.34)

i =1

Ejemplo a11

a12

a 21 a 31

a 22 a32

a13

a a 23 = a11 21 a32 a33

a 23 a33

− a 21

a12

a13

a 32

a 33

+ a 31

a12

a13

a 22

a 23

=

a11 (a 22 a 33 − a 23 a32 ) − a 21 (a12 a33 − a13 a32 ) + a31 (a12 a 23 − a13 a 22 ) En forma más general se pude comprobar que: n

∑a j =1

ij

n

∑a j =1

ij

⎧ A si i = k Akj = ⎨ ⎩ 0 si i ≠ k

(A.35)

⎧ A si j = k Aik = ⎨ ⎩ 0 si j ≠ k

(A.36)

Determinante de una matriz triangular De (A.33) y (A.34) se deduce fácilmente que para el caso de matrices triangulares superiores e inferiores se cumple que el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal: n

L = l 11l 22 ...l nn = ∑ l ii

(A.37)

i =1

n

U = u11u 22 ...u nn = ∑ u ii

(A.38)

i =1

En que L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior. Matriz adjunta y matriz inversa

Se define como matriz adjunta Aˆ de una matriz cuadrada A a la matriz traspuesta de la matriz de los cofactores, esto es:

Anexo A.- Álgebra Matricial

⎡ A11 ⎢A ⎢ 12 ⎢ A13 ⎢ Aˆ = ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢A ⎣ 1n

13

A21 A22

A31 .

. .

. .

. .

A23

.

.

.

.

A2 n

.

.

.

.

An1 ⎤ An 2 ⎥⎥ An 3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Ann ⎥⎦

(A.39)

En que Aij representan a los cofactores de la matriz A de acuerdo a la definición (A.32) El producto de una matriz A por su adjunta Aˆ es: B = A Aˆ

(A.40)

En que de acuerdo a la fórmula (A.17) de la multiplicación de matrices, los lementos de la matriz B son: n

bij = ∑ aik A jk

(A.41)

k =1

En que los subíndices j,k de la matriz Aˆ aparecen permutados debido a su definición (A.39). Comparando (A.41) con (A.35) y (A.36) se deduce que: ⎧ A si i = j bij = ⎨ ⎩ 0 si i ≠ j

(A.42)

Por lo tanto la matriz B es una matriz diagonal en que dichos elementos de la diagonal son iguales a A , esto es: B = A Aˆ = A I

(A.43)

En que I es la matriz identidad de orden n (mismo orden de A ). Como A es un escalar, la relación (A.43) se puede dividir por A quedando:

Anexo A.- Álgebra Matricial

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A Aˆ =I A

(A.44)

Aˆ A

(A.45)

=I

(A.46)

−1

Definiendo una matriz A : −1

A = Se observa que

AA

−1

−1

La matriz A se define como matriz inversa de la matriz A . Por lo tanto el producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad. De la definición (A.45) se observa que si A = 0 no existe la inversa de la matriz A y en dicho caso se dice que la matriz es singular. Si A ≠ 0 existe la matriz inversa y se dice que la matriz es no singular o regular.

Si se hubiera partido formando el producto B= Aˆ A se habría llegado al mismo resultado por lo tanto se cumple que: −1

−1

A A =A A= I Ejemplo

⎡3 2 1 ⎤ A = ⎢⎢2 3 2⎥⎥ ⎢⎣1 2 3⎥⎦ A = 3(9−4) −2(6−2)+1(4−3) = 8 ⎡ (9−4) −(6−2) (4−3) ⎤ ⎡ 5 −4 1 ⎤ ˆA = ⎢−(6−2) (9−1) −(6−2)⎥ = ⎢−4 1 −4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ (4−3) −(6−2) (9−4) ⎥⎦ ⎢⎣ 1 −4 5 ⎥⎦ Por lo tanto

Anexo A.- Álgebra Matricial

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⎡5 ⎡ 5 −4 1 ⎤ ⎢ 8 ⎢ 1 1 −1 A = ⎢⎢−4 8 −4⎥⎥ = ⎢− 2 8 ⎢⎣ 1 −4 5 ⎥⎦ ⎢ 1 ⎢ ⎣8 Haciendo el producto A A ⎡5 ⎡3 2 1⎤ ⎢ 8 ⎢ 2 3 2⎥ ⎢ − 1 ⎢ ⎥⎢ 2 ⎢⎣1 2 3⎥⎦ ⎢ 1 ⎢ ⎣8

−1

−

1 2

1⎤ 8⎥ 1⎥ − ⎥ 2 5⎥ ⎥ 8⎦

se comprueba que:

1 2 1

−

−

1 2 1

−

1 2

1⎤ 8 ⎥ ⎡1 0 0⎤ 1⎥ − ⎥ = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ 2 5 ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎥ 8⎦

Inversa de un producto de matrices

En forma análoga a la transposición de un producto de matrices (A.23), también se cumple para la inversión de un producto de matrices: −1

−1

−1

( A B C ... H ) −1 = H ... C B A

−1

(A.47) Matriz definida positiva

Una matriz cuadrada A se llama “matriz definida positiva” si se cumple que para cualquier vector X :

X A X > 0 para todo X ≠ 0 (A.48) T

Ejemplo

[x1

⎡1 x 2 ]⎢ ⎣β

α ⎤ ⎡ x1 ⎤

= x12 +(α + β ) x1 x 2 +2 x 22 > 0 x 2 ⎥⎦ ⎢⎣ x 2 ⎥⎦

Esta condición se cumple para todo x1 , x 2 ≠ 0 , sólo si α = β = 0 . En dicho caso la ecuación:

Anexo A.- Álgebra Matricial

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x12 + 2 x 22 = cte > 0 representa la ecuación de una elipse en el plano x1 , x 2 . Se puede demostrar que si A es una matriz definida positiva, la función X A X = cte es una función convexa, como en el ejemplo de la elipse. T

Las matrices definidas positivas tienen la importante propiedad de que son regulares (no singulares). La matriz de rigidez de una estructura K tiene dicha propiedad debido a que la energía de deformación de una estructura representada por:

1 T U = r K r > 0 para todo r ≠ 0 2 en que r representa un desplazamiento cualquiera de la estructura y la energía de deformación U es siempre positiva (al deformar una estructura esta acumula energía).

Rango de una matriz

Se dice que una matriz A de orden n×m tiene rango r si contiene por lo menos una submatriz cuadrada de orden r×r cuyo determinante es distinto de cero, mientras que el determinante de cualquier submatriz cuadrada de orden (r +1)×(r +1) es cero. Es evidente que el rango r de una matriz A de orden n×m puede sser a lo sumo igual al menor de los valores de n y m. T

En el caso de la matriz de equilibrio de una estructura a con n filas y m columnas en que n≤m el rango r de dicha matriz es igual a n ya que todas las filas (corresponden a ecuaciones de equilibrio) son linealmente independientes. Una matriz cuadrada A de orden n×m tendrá un rango r