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• Hector Vergara

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Dinámica Aplicada y Teoría de Control

Algebra Matricial Vectores y Matrices El estudio de vectores y matrices es el corazón del algebra lineal. El estudio de vectores comenzó esencialmente con el trabajo matemático irlandés Sir William Hamilton (1805-1865). Su deseo de encontrar una forma de representar ciertos objetos en el plano y el espacio lo llevó a descubrir lo que llamo cuaterniones. Esta noción condujo al desarrollo de lo que ahora se llama vectores. Mientras Hamilton vivió y durante el resto del siglo XIX hubo un debate considerable sobre la utilidad de los cuaterniones y vectores. Al final del siglo el gran físico inglés Lord Kelvin escribió que los cuaterniones. “aún cuando son bellamente ingeniosos, han sido un mal peculiar para todos aquellos que los han manejado de alguna manera, y los vectores… nunca han sido de la menor utilidad para ninguna criatura”. Pero Kelvin estaba equivocado. Hoy casi todas las ramas de la física clásica y moderna se representan mediante el lenguaje de vectores. Los vectores también se usan, cada vez más frecuencia. El algebra matricial se ha convertido en una parte integrante de los conocimientos de matemáticas, necesarios en campos tan diversos como la ingeniería eléctrica, la pedagogía, la química y la sociología, así como la estadística y matemática pura. Se define a un vector renglón de n componentes como el conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera: (

)

Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera: (

)

Consideremos ahora el concepto de matriz. Las matrices encajan dentro del contexto de los espacios vectoriales. Las matrices proporcionarán un modo sutil, teórico y practico de estudiar numerosos tipos de problemas, incluyendo la solución de los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales y los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Algebra Matricial

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Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de mn componentes de dispuestos en m renglones y n columnas

(

)

El símbolo m x n se lee “m por n”. A menos que se establezca lo contrario, se supondrá siempre que los números en una matriz o vector son reales. Si A es una matriz m x n con m = n, entonces A se llama matriz cuadrada. Una matriz m x n con todos los elementos iguales a cero se llama matriz cero de m x n. El matemático inglés Joseph Sylvester (1814-1897) fue el primero que usó el término “matriz” en 1850, para distinguir las matrices de los determinantes. De hecho, la intensión era que el término “matriz” tuviera el significado de “madre de los determinantes”.

La suma de dos matrices está definida solo cuando las matrices son del mismo tamaño. Sean ( )y ( ) dos matrices m x n entonces la suma de A y B es la matriz m x n, dada por

(

)

(

,

Cuando se manejan vectores, se hace referencia a los números como escalares (que pueden ser reales o complejos dependiendo de si los vectores en cuestión son reales o complejos). El termino escalar se origino con Hamilton. Su definición de cuaternión incluía lo que él llamó una “parte real” y una “parte imaginaria”. En su artículo “On Quaternions, or on a New System of Imaginaries in Algebra”, en Philosophical Magazine, 3 ª serie, 25 (1844). San A, B, C tres matrices de m x n y sean ∝ y β dos escalares. Entonces i. ii. iii. iv.

A+0=A 0A = 0 A + B = B + A (ley conmutativa para la suma de matrices) (A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa para la suma de matrices)

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v. 𝛼(A + B) = ∝A + ∝B (ley distributiva para la multiplicación por un escalar vi. 1A = A vii. (∝ 𝛽)A ∝A 𝛽B

Producto Vectorial y Matricial

Sean

(

)y

(

, dos vectores. Entonces el producto escalar de a y b,

denotado por

El producto escalar se llama con frecuencia producto punto o producto interno de vectores. Hay que tener en cuenta que el producto escalar de dos n-vectores es un escalar (es decir, un número). Al tomar el producto escalar de a y b es necesario que a y b tengan el mismo número de componentes. Con frecuencia se tomará el producto escalar de un vector renglón y un vector columna. En este caso se tiene que

(

,

Sean a, b, c tres n-vectores y sean ∝ y β dos escalares. Entonces i. ii. iii. iv.

a0=0 a b b a (ley conmutativa del producto escalar) a (b c) ) a b a c (ley distributiva del producto escalar) (∝a) b ∝(a b)

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Inversa de una matriz cuadrada Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n de forma que AB = BA = I, con estas condiciones.

Donde I es una matriz n x n. La matriz I se llama matriz identidad. La matriz B se llama matriz inversa de A y se denota por (B = A-1) (

)d

de b

{

Una matriz cuadrada que no es invertible se llama singular y una matriz invertible se llama también no singular. Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es única.

Procedimientos para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A 1.

Se escribe la matriz aumentada ( | ).

2.

Se utiliza la reducción por renglones para poner la matriz A a su forma escalonada reducida por renglones.

3.

Se decide si A es invertible. a. Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la matriz identidad I, entonces es la matriz que se tiene a la derecha de la barra vertical. b. Si la reducción de A conduce a un renglón de ceros a la izquierda de la barra vertical, entonces A no es invertible.

Una matriz A de n x n es invertible si y solo si su forma escalonada reducida por renglones es la matriz identidad, es decir, si su forma escalonada reducida por renglones tiene n pivotes.

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Determinante de una matriz de 2x2 Sea

(

). Entonces se define . El determinante de A se denota por de

Determinante de

.

Sea una matriz de 2x2. Entonces i. ii.

A es invertible si sólo si de Si de ., entonces

.

( Primero, suponga que de

de

y sea

(

)( (

[ ]

) ( ⁄de

)(

). Entonces

) *

(

)

De manera similar, AB=I, lo que muestra que A es invertible y que . Todavía debe demostrarse que si A es invertible, entonces de . Para esto, se considera el sistema

Se hace esto porque si este sistema tiene una solución única, entonces . El sistema se puede escribir en la forma

Con

( ) y

( *. Entonces, como A es invertible, se ve que el sistema

tiene una solución única dada por

Pero solo el hecho que el sistema tenga una solución única implica que de

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Consideremos, por ejemplo, un sistema de ecuaciones algebraicas.

Podemos resolver este sistema sumando y restando múltiplos apropiados de ciertas ecuaciones para eliminar variables. Observemos, sin embargo, que tales manipulaciones realmente tienen que ver con los coeficientes; los nombres de las variables o incógnitas no son importantes. Si llamamos a las incógnitas con otros nombres pero conservamos los mismos coeficientes, podríamos hacer las mismas manipulaciones para resolver el sistema y llegar a las mismas soluciones. Se pueden hacer estas manipulaciones Consideremos el arreglo rectangular (

sin

nombrar

las

incógnitas.

+

Este arreglo contiene a los coeficientes tal como aparecen en el sistema. Cada renglón contiene a los coeficientes de una de las ecuaciones, y cada columna los coeficientes de una incógnita en particular.

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