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TEMA N°: 01 ESTADÍSTICA Y ÁLGEBRA MATRICIAL 1. ESTADÍSTICA:

Encuesta Presidencial CPI 11 Febrero 2016

Se puede definir a la estadística como un conjunto de métodos para planear estudios y experimentos, obtener datos y luego organizar, resumir, presentar, analizar, interpretar y llegar a conclusiones basadas en esos datos. Las Redes Sociales Mas Usadas en el Perú Agosto 2015

Fuente: CPI, encuesta presidencial, 11 febrero 2016

Díaz (2013) refiere que “… la estadística es una disciplina aplicada, consiste en considerarla como un conjunto de técnicas para el análisis de datos…”

Fuente: GFK, las redes sociales mas usadas en el Perú 08/2015

• Probabilidad: P(X) La probabilidad se puede definir como el valor numérico que representa la posibilidad de que un determinado evento X acontezca.

Esperanza matemática o Valor esperado: 𝐸 𝑋 =𝜇=

𝑥𝑃(𝑥) 𝑥

Características de las distribuciones de probabilidad Se relacionan con las distribuciones de frecuencias, las cuales son una colección de datos agrupados en tablas. La distribución normal o distribución de Gauss, el supuesto de que una variable aleatoria, definida para toda una población, tiene una distribución normal simplifica el cálculo de probabilidades, esta distribución está definida por dos parámetros que son: la media (µ) y la desviación estándar (𝜎).

(𝑋 − 𝜇)2

Varianza: 𝜎2 = 𝐸 𝑋 − 𝜇

2

=

𝑥

𝑥 − 𝜇 2 𝑃(𝑥)

Desviación estándar o desviación típica: 𝜎𝑋 = + 𝜎 2 Covarianza: 𝑛

𝜎𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑖 − 𝐸 𝑥

∗ 𝑦𝑖 − 𝐸 𝑦

=

𝑃 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ∗ 𝑥𝑖 − 𝐸 𝑥 𝑖=1

∗ 𝑦𝑖 − 𝐸 𝑦

Modelo lineal simple

Propiedades de los estimadores puntuales

𝑦𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑥𝑖 + 𝜀𝑖

• Estimador insesgado: 𝐸 𝜃 =𝜃

𝐸 𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑥

• Estimador consistente:

Modelo lineal multivariado

𝐸 𝜃 tiende a 𝜃, cuando 𝑛 tiende al infinito. 𝑉𝑎𝑟 𝜃 tiende a 0, cuando 𝑛 tiende al infinito. • Estimador eficiente: 𝜃1 es más eficiente que 𝜃2 , si 𝑉𝑎𝑟 𝜃1 < 𝑉𝑎𝑟 𝜃2 .

𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥1 + 𝛽2 𝑥2 + ⋯ + 𝛽𝑛 𝑥𝑛 + 𝜀𝑖 Supuestos del modelo lineal multivariado 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝑖

= 𝛽𝑖

•

Lineal en parámetros:

•

La no existencia de multicolinealidad.

•

Exogeneidad: 𝐸 𝜀 𝑥 = 0

•

Homocedasticidad y no autocovarianza: 𝐸 𝜀𝑖 𝜀𝑗 =

0∀𝑖 ≠𝑗 𝜎 2∀ 𝑖 = 𝑗

El modelo de MCO multivariado 𝑦𝑖 = 𝛼 + 𝛽1 𝑥1𝑖 + 𝛽2 𝑥2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑘−1,𝑖 + 𝜀𝑖

La expresión anterior puede expresarse de la siguiente manera:

se expande cada término de dicha ecuación:

𝑌(𝑛∗1) = 𝑋(𝑛∗𝑘) 𝛽(𝑘∗1) + 𝜀(𝑛∗1)

𝑦1 = 𝛼 + 𝛽1 𝑥1,1 + 𝛽2 𝑥2,1 + ⋯ + 𝛽𝑘−1 𝑥𝑘−1,1 + 𝜀1 𝑦2 = 𝛼 + 𝛽1 𝑥1,2 + 𝛽2 𝑥2,2 + ⋯ + 𝛽𝑘−1 𝑥𝑘−1,2 + 𝜀2 ⋮

⋮

Bajo los supuestos antes mencionados, inferimos que el modelo de MCO minimiza la suma de los errores al cuadrado, el error es:

⋮

𝑦𝑛 = 𝛼 + 𝛽1 𝑥1,𝑛 + 𝛽2 𝑥2,𝑛 + ⋯ + 𝛽𝑘−1 𝑥𝑘−1,𝑛 + 𝜀𝑛

𝜀𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖 La suma de los errores al cuadrado es: 𝜀 ′ 𝜀.

se procede a expresar esta expansión en términos matriciales. 1 𝑦1 𝑦2 1 = ⋮ ⋮ 𝑦𝑛 1

𝑥1,1 𝑥1,2 ⋮ 𝑥1,𝑛

𝑥2,1 𝑥2,2 ⋮ 𝑥2,𝑛

… 𝑥𝑘−1,1 𝛼 𝜀1 … 𝑥𝑘−1,2 𝛽1 𝜀2 ∗ ⋮ + ⋮ ⋮ ⋱ 𝜀𝑛 𝛽𝑘−1 … 𝑥𝑘−1,𝑛

𝑛

𝜀𝑖2 =

𝜀 ′𝜀 = 𝑛

=

𝑛

𝑖=1

𝑦𝑖 − 𝑦𝑖

2

𝑖=1

𝑦𝑖 − 𝑏0 + 𝑏1 𝑥1𝑖 + ⋯ + 𝑏𝑘 𝑥𝑘𝑖 𝑖=1

2

2. ÁLGEBRA MATRICIAL: Sistema de ecuaciones

Resumidamente se puede escribir, 𝐴∗𝑥 =𝑏

2𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 0 3𝑥1 − 5𝑥2 = 4

La solución a este sistema viene dada por: 𝑥 = 𝐴−1 ∗ 𝑏

2𝑥1 + 6𝑥2 + 𝑥3 = −7 Matriz Con los coeficientes de cada variable, se alinean en columnas y se puede expresar matricialmente de la siguiente manera: 2 1 3 −5 2 6

𝑥1 4 0 0 ∗ 𝑥2 = 4 𝑥3 1 −7

Una matriz se define como un arreglo rectangular de números, parámetros o variables. Un vector es conjunto ordenado de números dispuestos en una fila o columna, una matriz también puede ser interpretada como un conjunto de vectores columna o vectores fila.



Matriz simétrica: es aquella en la cual 𝑎𝑖𝑘 = 𝑎𝑘𝑖 , para todo 𝑖 y para todo 𝑘. 1 𝐴= 3 7

3 7 5 2 2 4



Matriz diagonal: es una matriz cuadrada cuyas entradas diagonales son diferentes de cero.



Matriz escalar: es una matriz diagonal con el mismo valor en cada entrada de su diagonal principal.





Matriz identidad: es una matriz escalar con unos en su diagonal principal.



Matriz triangular: es una matriz cuadrada cuyas entradas por encima y por debajo de su diagonal principal son ceros.



Matriz nula: es una matriz cuyas entradas son todas ceros. Una matriz nula puede ser no necesariamente una matriz cuadrada, a diferencia de la matriz identidad. La matriz nula desempeña la misma función que el escalar 0 en la suma escalar. 𝐴+0= 𝐴

Matriz idempotente: es una matriz cuyo cuadrado resulta ser la matriz original. 𝐴2 = 𝐴 𝐴𝑛 = 𝐴𝑛−1 = 𝐴𝑛−2 = ⋯ = 𝐴2 = 𝐴



Matriz singular: se denomina matriz singular a aquella matriz que no es invertible, por lo tanto si una matriz es invertible se le denominará matriz no singular. Singular: 𝐴 = 0 No singular: 𝐴−1 =

1 𝐴

Operaciones con matrices

Matrices transpuestas y matrices inversas

Suma de matrices:

𝐴′ 𝑜 𝐴𝑇 .

La suma de matrices es conmutativa:

𝐴′

𝐴+𝐵 =𝐵+𝐴 La suma de matrices es asociativa: 𝐴+𝐵+𝐶 = 𝐴+ 𝐵+𝐶 = 𝐴+𝐶 +𝐵 𝐴+𝐵

′

1𝑥2

∗𝐵

′

=𝐴

𝐴+𝐵

′

= 𝐴′ + 𝐵′

𝐴𝐵

′

= 𝐵′ 𝐴′

= 𝐴′ + 𝐵’

Producto de matrices: 𝐴

Propiedades de las matrices transpuestas

2𝑥3

=𝐶

1𝑥3

Traza de una matriz: la traza solo se aplica a matrices cuadradas, y para hallarla solo se suman las entradas de su diagonal principal.

II.

Observación

MI

TAF

PBIPC

TFT

MI

TAF

PBIPC

TFT

1

128

37

1870

6.66

33

142

50

8640

7.17

ANÁLISIS DEL CASO: MORTALIDAD INFANTIL

2

204

22

130

6.15

34

104

62

350

6.6

3

202

16

310

7

35

287

31

230

7

EN RELACIÓN CON EL PBI PER CÁPITA Y LA

4

197

65

570

6.25

36

41

66

1620

3.91

5

96

76

2050

3.81

37

312

11

190

6.7

TASA DE ALFABETIZACIÓN DE LAS MUJERES.

6

209

26

200

6.44

38

77

88

2090

4.25

7

170

45

670

6.19

39

142

22

900

5.43

8

240

29

300

5.89

40

626

22

230

6.5

9

241

11

120

5.89

41

215

12

140

6.25

10

55

55

290

2.36

42

246

9

330

7.1

11

75

87

1180

3.93

43

191

31

1010

7.1

12

129

55

900

5.99

44

182

19

300

7

La MI es el número de muertes de niños menores de 5 años por cada 1000 nacidos vivos, el PBIPC es el PBI per cápita en 1980 y la TAM se mide en porcentaje. La muestra se realizó en 64 países.

13

24

93

1730

3.5

45

37

88

1730

3.46

14

165

31

1150

7.41

46

103

35

780

5.66

15

94

77

1160

4.21

47

67

85

1300

4.82

16

96

80

1270

5

48

143

78

930

5

17

148

30

580

5.27

49

83

85

690

4.74

18

98

69

660

5.21

50

223

33

200

8.49

𝑀𝐼𝑖 = 263.6416 − 0.0056𝑃𝐵𝐼𝑃𝐶𝑖 − 2.2316𝑇𝐴𝑀𝑖

19

161

43

420

6.5

51

240

19

450

6.5

20

118

47

1080

6.12

52

312

21

280

6.5

21

269

17

290

6.19

53

12

79

4430

1.69

22

189

35

270

5.05

54

52

83

270

3.25

23

126

58

560

6.16

55

79

43

1340

7.17

24

12

81

4240

1.8

56

61

88

670

3.52

25

167

29

240

4.75

57

168

28

410

6.09

26

135

65

430

4.1

58

28

95

4370

2.86

27

107

87

3020

6.66

59

121

41

1310

4.88

28

72

63

1420

7.28

60

115

62

1470

3.89

29

128

49

420

8.12

61

186

45

300

6.9

30

27

63

19830

5.23

62

47

85

3630

4.1

31

152

84

420

5.79

63

178

45

220

6.09

32

224

23

530

6.5

64

142

67

560

7.2

ANALISIS DE UN CASO PRÁCTICO

𝑀𝐼𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑃𝐵𝐼𝑃𝐶𝑖 + 𝛽3 𝑇𝐴𝑀𝑖 + 𝑢𝑖

𝑆𝐸 = 11.5932

0.0019

0.2099

𝑅2 = 0.7077

Observación

III.

CONCLUSIÓN



De acuerdo al trabajo desarrollado, su concluye que la estadística es una herramienta que nos permite poner en práctica la teoría económica, pero que por sí sola no sería suficiente para obtener los resultados que se espera.



La estadística nos brinda información que podemos usar para describir el experimento o para realizar inferencias de dicho experimento.



La estadística se complementa con otras ciencias, pero es en la economía que ha encontrado la libertad para desarrollarse con amplitud.



Se puede concluir que el álgebra matricial es parte fundamental del desarrollo de la econometría, ya que permite resolver una cantidad enorme de ecuaciones, tratándolas como escalares; teniendo sus propiedades muy definidas.



El álgebra matricial aunada a la estadística brinda mayor formalidad a la ciencia económica, pero plantea la discusión sobre el rumbo de la economía, ya que algunos economistas indican que cada vez se está alejando de las ciencias sociales, al introducir herramientas matemáticas cada vez más sofisticadas, dejando de lado el factor humano de la economía.