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• Mariano Lucas Salguero Edelman

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Notas del Taller de Calculo Avanzado Teodoro Freund

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´Indice 1. Cuerpo 1.1. Definici´ on axiom´ atica de un cuerpo 1.2. Cuerpo ordenado . . . . . . . . . . 1.3. Cota y supremo . . . . . . . . . . . 1.4. Axioma del supremo . . . . . . . . 1.5. Arquimedianidad . . . . . . . . . . √ 2 cumple x2 = 2 y est´ a en R . . 1.6.

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2. Sucesiones 2.1. M´ odulo y sus propiedades . 2.2. Definici´ on de Convergencia 2.3. Intervalos . . . . . . . . . . 2.4. Subsucesiones . . . . . . . . 2.5. Sucesiones de Cauchy . . .

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3. Cuestiones varias de R 3.1. Reales extendidos . . . . . . 3.2. Limite Superior (e Inferior) 3.3. Construcci´ on de R . . . . . 3.4. Numerabilidad . . . . . . .

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4. Series 4.1. Definiciones varias . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Convergencia (y divergencia) . . . . . 4.1.3. Convergencia absoluta (y condicional) 4.2. Algunas series . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Series Telesc´ opicas . . . . . . . . . . . 4.2.2. Series geom´etricas . . . . . . . . . . . 4.2.3. Series Alternadas . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Series de Potencias . . . . . . . . . . . 4.3. Criterios de convergencia de series . . . . . . 4.3.1. an → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Criterio de comparaci´ on . . . . . . . . 4.3.3. Criterio de D’Alembert . . . . . . . . 4.3.4. Criterio de la ra´ız n-´esima de Cauchy 4.3.5. Criterio de Leibniz . . . . . . . . . . . 4.3.6. Criterio de Hadamard-Cauchy . . . .

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6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8

5. Topologia en Rn 5.1. Norma y m´etrica . . 5.1.1. Norma . . . . 5.1.2. M´etrica . . . 5.1.3. Observaciones

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6. Funciones 6.1. L´ımites de Funciones . . . . . . . . . . 6.1.1. L´ımites por derecha e izquierda 6.2. Continuidad de una funci´ on . . . . . . 6.2.1. Abiertos y cerrados relativos .

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* Basado

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en las clases de Jonathan Barmak y Juliana Garc´ıa Galofre

1

1.

Cuerpo

1.1.

Definici´ on axiom´ atica de un cuerpo

Sea K un conjunto con dos operaciones, + y •, se lo considera un cuerpo si satisface los siguientes axiomas: S1 + es conmutativo (abeliano) S2 + es asociativo S3 ∃ elemento neutro, se lo llama 0 S4 ∀ x ∈ K. ∃ inverso aditivo, lo notamos M1 • es conmutativo M2 • es asociativo M3 ∃ elemento neutro, se lo llama 1 M4 ∀ x ∈ K. ∃ inverso multiplicativo, lo notamos x−1 o 1/x D • se distribuye sobre +

1.2.

Cuerpo ordenado

Sea K un cuerpo, se dice ordenado si ∃ una relacion de orden > en K que verifica: O1 Tricotomia O2 No se modifica por traslaciones O3 0 < a ∧ 0 < b ⇒ 0 < a • b O4 Transitividad Definici´ on. Se definen ≤, ≥ y > como uno espera.

1.3.

Cota y supremo

Definici´ on (Cota superior). Sea (K, +, •, 0, existe a ∈ A tal que s −  < a 1. s es cota superior de A 2. Existe una sucesion (an )n∈N ∈ AN tal que lim an = s Si, adem´ as, s ∈ A lo llamamos m´ aximo. Analogamente se definene cota inferior, acotado inferiormente, infimo y m´ınimo.

1.4.

Axioma del supremo

Un cuerpo ordenado K satisface el axioma del supremo (axioma de completitud) si todo ∅ 6= A ⊆ K acotado superiormente tiene supremo en K. Teorema 1.1. ∃ un cuerpo ordenado que satisface el axioma del supremo. Este cuerpo se denota R y se llama cuerpo de los reales.

2

1.5.

Arquimedianidad

Teorema 1.2. Sea x, y ∈ R, x > 0 entonces ∃n ∈ N tal que nx > y Demostramos por el absurdo: supongmos que @n tal que nx > y, esto significar´ıa que ∀n ∈ N nx ≤ y, luego y es cota superior de A = {nx|n ∈ N}. Pero entonces, por el axioma del supremo, ∃α = sup(A) ∈ R. Luego x > 0 ⇒ −x < 0 ⇒O2 α − x < α. Por definic´ on del supremo, α − x no es cota superior de A, es decir que α − x ∈ A ⇒ ∃n ∈ N.nx > α − x ⇒ nx + x > α − x + x = α ⇔ (n + 1)x > α ⇒ α no es cota superior de A ⇒ ABSURDO

1.6.

√

2 cumple x2 = 2 y est´ a en R

√ Quiero ver que ∃x ∈ R.x2 = 2. Luego, lo notamos 2. Demo: Sea A = {x ∈ R.x2 < 2} ⊆ R, A 6= ∅. A est´a acotado superiormente (por ejemplo, 2). Por el axioma del completo, A tiene supremo en R, sup(A) = α, quiero ver que α2 = 2, por tricotomia solo pasa una de estas cosas: α2 < 2, α2 > 2 o α2 = 2. Supongamos que α2 < 2 ⇒ 0 < 2 − α2 , por Arquimedianidad existe n ∈ N tal que n(2 − α2 ) > 2α + 1, como n > 0 ⇒ ∃1/n = n−1 ∈ R tal que (α + n−1 )2 = α2 + 2n−1 α + n−2 ≤ α2 + 2n−1 α + n−1 (teniendo en cuenta que n−2 < n−1 , que es facilmente demostrable), entonces α2 + 2n−1 α + n−1 = α2 + (2α + 1)n−1 α, ABSURDO, por considerar que sup(A)2 < 2. Supongamos ahora que α2 > 2, de nuevo, por Arquimedianidad, utilizando un n ∈ N tal que n(α2 − 2) > 2α, podemos probar que α − n−1 es cota superior de A y llegar a un ABSURDO similar. Luego, la u ´nica opci´ on posible es que α2 = 2.

2.

Sucesiones

2.1.

M´ odulo y sus propiedades

Definici´ on (M´ odulo). Sea K un cuerpo ordenado, definimos |.| : K → K como: |x| = max(x, −x) = {x si x ≥ 0, − x sino} Teorema 2.1 (Desigualdad Triangular). Sea K un cuerpo ordenado, entonces |x + y| ≤ |x| + |y|, para todo x, y en K. Demo Se tiene que |x| ≥ x y que |x ≥ −x, an´ alogamente para y. Luego |x|+|y| ≥ x+y y |x|+|y| ≥ −x−y = −(x+y), entonces |x| + |y| ≥ max(x + y, −(x + y)) = |x + y|. |xy| = |x||y|, para todo x, y en K. Demo (Por casos en la positividad de x e y).

2.2.

Definici´ on de Convergencia

Definici´ on (Convergencia). Sea (Xn )n∈N ∈ K N una sucesion en K, un cuerpo ordenado, diremos que (Xn )n∈N converge a cierto x ∈ K si ∀ > 0.∃n0 .∀n ≥ n0 .|Xn − x| < 

2.3.

Intervalos

Definici´ on. Un intervalo I en un cuerpo ordenado K, I ⊆ K, que cumple que si x, y ∈ I y k ∈ K, x ≤ k ≤ y entonces k ∈ I. [x, y] = {k ∈ K|x ≤ k ≤ y} Definici´ on. El diametro de un intervalo [x, y] es: diam([x, y]) = max(y − x, 0) Teorema 2.2. (de encaje de intervalos) Sea (In )n∈N una sucesi´ on de intervaloes acotados no vacios tal que: 1. In+1 ⊆ In 2. diam(In ) → 0 3

Entonces existe un u ´nico x tal que x ∈ ∩ In n∈N

Demo Supongo In = [xn , yn ], como In es no vac´ıo, xn ≤ yn . Como In+1 ⊆ In ⇒ [xn+1 , yn+1 ] ⊆ [xn , yn ], entonces se tiene que xn ≤ xn+1 ≤ yn+1 ≤ yn para todo n ∈ N. En particular, xn ≤ y1 para todo n, es decir que A = {xn } esta acotado. Sea α = sup(A). Veamos que yn es cota superior de A por casos: sea m ∈ N si m ≤ n ⇒ xm ≤ xn ≤ yn , sim > n ⇒ xm ≤ ym ≤ yn , luego xm ≤ yn para todos n, m ∈ N. Por ser cota superior, y por la definici´on de supremo, α ≤ yn , es decir que α ∈ [xn , yn ] ∀n ∈ N. Ya mostramos que existe un x en la interseccion de todos los intervalos, ahora veamos que es u ´nico. Sea β ∈ ∩ In , n∈N

veamos que β = α. Dado n ∈ N, como α , β ∈ In ⇒ xn ≤ α ≤ yn , xn ≤ β ≤ yn ⇔ −yn ≤ −β ≤ −xn . Tenemos que α − β ≤ yn − xn y que β − α ≤ yn − xn = diam(In ). Como diam(In ) → 0 ⇒ |β − α| = 0. Si no fuese as´ı, |β − α| = 6 0 ⇒ |β − α| > 0, si tomamos  = |β − α| ⇒ ∃n0 tal que ∀n ≥ n0 .diam(In ) <  pero entonces tendr´ıamos que diam(In ) <  ≤ diam(In ), y llegamos a un ABSURDO. Observaciones En Q no vale este resultado Para intervalos abiertos no vale en general Si no pedimos diam(In ) → 0 entonces el resultado vale, pero el x no es u ´nico.

2.4.

Subsucesiones

Definici´ on. Sea (Xn )n∈N una sucesi´ on en un conjunto K, entonces una subsucesi´ on es una sucesi´ on (Xnk )k∈N , donde nk es una sucesi´ on estrictamente creciente. Alternativamente, si f : N → K es una sucesi´ on, una subsucesi´ on de f es f • g : N → K, donde g : N → N es estrictamente creciente. Definici´ on. Sea K un cuerpo ordenado, y sea (Xn )n∈N ∈ K N , x ∈ K se dice punto l´ımite de (Xn )n∈N si existe una subsucesi´ on tal que Xnk → x. Ejemplo: la sucesi´ on 0, 1, 0, 1, 0... en R tiene como puntos l´ımites a 0 y a 1. Proposici´ on 2.3 (Subsucesi´ on de convergente converge). Sea K un cuerpo ordenado y (Xn )n∈N ∈ K N una sucesi´ on convergente, entonces toda subsucesi´ on converge y lo hace al mismo l´ımite. Demo ... Proposici´ on 2.4. Sea K un cuerpo ordenado, (Xn )n∈N ∈ K N y x ∈ K si toda subsucesi´ on de (Xn )n∈N tiene una subsubsucesi´ on que converge a x, entonces (Xn )n∈N converge a x. Demo Supongamos que (Xn )n∈N no tiende a x, ∃ > 0, ∀n0 ∈ N, ∃n > n0 .|Xn − x| ≥ . En particular, para n0 = 1, ∃n1 ≥ 1.|Xn1 − x| ≥ , para n0 = n1 + 1, ∃n2 ≥ n1 + 1.|Xn2 − x| ≥  y as´ı sucesivamente se puede construir una subsucesi´ on que no tiene ninguna subsucesi´on que converja a x, y llegamos a una contradicci´ on. Definici´ on (Monoton´ıa). Sea K un cuerpo ordenado, (Xn )n∈N ∈ K N se dice mon´ otona si es creciente o decreciente. Definici´ on (Sucesi´ on acotada). Sea K un cuerpo ordenado, (Xn )n∈N ∈ K N se dice acotada si ∃M ∈ K, M ≥ 0.{Xn }n∈N ⊆ [−M, M ]. Equivalentemente |Xn | < M, ∀n ∈ N. Teorema 2.5. Toda sucesi´ on mon´ otona y acotada en R es convergente. Demo Sea (Xn )n∈N ∈ RN creciente y acotada, como (Xn )n∈N tiene cota superior y es no vac´ıo, por el axioma del supremo, ∃α = sup((Xn )n∈N ). Veamos que Xn → α, sea  > 0, como α −  < α, α −  no es cota superior. Luego, ∃n0 .Xn0 > α − , si n ≥ n0 , como la sucesi´ on es creciente, Xn ≥ Xn0 > α −  ⇒  > α − Xn . Por otro lado, Xn ≤ α < α +  ⇒ Xn − α < . Luego, |Xn − α| < , es decir, Xn converge a x. Si fuese decreciente se prueba de manera similar (o se toma −Xn ).

4

Teorema 2.6 (Bolzano-Weierstrass). Toda sucesi´ on acotada en R tiene una subsucesi´ on convergente. Definici´ on (Punto mirador). Sea (Xn )n∈N ∈ RN acotada, n0 ∈ N es punto mirador si ∀n ∈ N, n ≥ n0 , vale que Xn ≤ Xn0 . Demo Sea (Xn )n∈N ∈ RN y sea A = {n ∈ N|Xn es mirador de (Xn )n∈N }. Si A es infinito, A = {n1 , n2 , n3 , ...}, donde ni < ni+1 para todo i, entonces (Xnk ) es una subsucesi´on decreciente, y por el teorema anterior converge. Si A es finito, sea n1 = 1 + max{A} (si A es vac´ıo, n1 = 1) como n1 6∈ A, ∃n2 > n1 tal que Xn2 > Xn1 , continuando se puede formar una subsucesi´ on de (Xn )n∈N creciente, y, de nuevo por el teorema anterior, es convergente. Obs Este resultado no vale√ en Q , por ejemplo, sea (Xn )n∈N ∈ RN tal que (Xn )n∈N = {1; 1, 4; 1, 41; 1, 414; ...} monotona on en Q no converge en Q , pero sigue siendo mon´otona y acotada. y acotada, tal que converja a 2, la misma sucesi´

2.5.

Sucesiones de Cauchy

Definici´ on (Sucesiones de Cauchy). Sea K un cuerpo ordenado, (Xn )n∈N ∈ K N se dice de Cauchy si ∀ ∈ K,  > 0.∃n0 ∈ N.n, m ≥ n0 ⇒ |Xn − Xm | < . Proposici´ on 2.7. Sea K un cuerpo ordenado, toda sucesi´ on convergente en K es de Cauchy. Demo (Xn )n∈N ∈ K N , Xn → x, con x ∈ K. Tomo  = /2 y vale que ∀n, m ≥ n0 |Xn − x| < /2 ∧ |Xm − x| < /2 ⇒ |Xn − Xm | = |Xn − x + x − Xm | ≤ |Xn − x| + |x − Xm | < /2 + /2 = . Proposici´ on 2.8. Sea K un cuerpo ordenado, si una sucesi´ on de Cauchy tiene una subsucesi´ on convergente a x ∈ K, entonces la sucesi´ on converge a x. Demo Sea (Xn )n∈N ∈ K N de Cauchy y (Xnk )k∈N una subsucesi´on convergente a x ∈ K, queremos ver que (Xn )n∈N converge a x. Por hip´ otesis se que ∃n0 ∈ N.n, m ≥ n0 ⇒ |xn − Xm | < /2 y adem´as que ∃k0 ∈ N.k ≥ k0 ⇒ |xnk − x| < /2. Luego, puedo tomar m = max(k0 , n0 ) y me alcanzar´ıa con probar que ∀n ≥ m ⇒ |Xn − x| < . Sean nk1 , n ≥ m entonces se tiene que |Xnk1 − Xn | < /2 y que |Xnk1 − x| < /2, luego |Xn − x| ≤ |Xn − Xnk1 + Xnk1 − x| ≤ |Xn − Xnk1 | + |Xnk1 − x| < /2 + /2 = . Definici´ on. Un cuerpo ordenado K se dice completo si toda sucesi´ on de Cauchy en K es convergente (en K). Obs Q no es completo. Lema Sea K un cuerpo ordenado y sea (Xn )n∈N ∈ K N una sucesi´on de Cauchy, entonces (Xn )n∈N es acotada. Demo ... Teorema 2.9. R es completo Demo Toda sucesi´ on de Cauchy es acotada, por Bolzano-Weierstrass tiene una subsucesi´on convergente, por ser de Cauchy y tener una subsucesi´ on convergente, converge, luego R es completo.

3.

Cuestiones varias de R

3.1.

Reales extendidos

Definici´ on (Reales extendidos). El conjunto de los n´ umeros reales extendidos Rse define como R ∪{−∞, +∞}. Este conjunto no es un cuerpo, pero por convenci´on valen: ∀x ∈ R.x + (+∞) = +∞ ∀x ∈ R.x + (−∞) = −∞ ∀x ∈ R.x(+∞) = +∞ ∀x ∈ R.x(−∞) = −∞ Definici´ on (Supremo e ´ınfimo en los reales extendidos). Sea A ⊆R, A 6= ∅ Si A ⊆ R no est´ a acotado superiormente, sup(A) = +∞ Si +∞ ∈ A, sup(A) = +∞ 5

Si A = {−∞}, sup(A) = −∞ Si {−∞} ⊆ A, sup(A) = sup(A − {−inf } Dualmente se define para el ´ınfimo N

Definici´ on. Sea (Xn )n∈N ∈ R , decimos que Xn → +∞ si ∀M ∈ R, ∃n0 .∀n ≥ n0 .Xn > M . Similarmente para Xn → −∞. Obs: Si Xn es mon´ otona, entonces: ∃x ∈ R.Xn → x, o bien Xn → +∞, o bien Xn → −∞.

3.2.

Limite Superior (e Inferior)

Definici´ on. Sea (Xn )n∈N ∈ RN , se define el l´ımite superior de la sucesi´ on como limsupXn = limXn = lim(sup{Xm |m ≥ n} Obs: Son equivalentes limXn = lim(sup{Xm |m ≥ n} limXn = sup{P untos de acumulacion de Xn } limXn = M si y solo si para todo  > 0 • existen infinitos n ∈ N tal que Xn > M −  • existe solamente una cantidad finita de n ∈ N tal que Xn > M + 

3.3.

Construcci´ on de R

En la p´ agina del DM hay unas notas sobre las cortaduras de Dedekind

3.4.

Numerabilidad

Definici´ on. Un conjunto K se dice numerable si sus elementos se pueden numerar, es decir, si ∃f : N → K, biyectiva. Obs Q es numerable. Teorema 3.1. R no es numerable. Demo Supongamos que si lo fuera, R = {x1 , x2 , ...}. Sea I1 , ⊆R un intervalo cerrado y acotado que contiene a x1 . Sea I2 ⊆ I1 , otro intervalo tal que diam(I2 ) = diam(I1 )/2 x2 ∈ I2 ; Sea I3 ⊆ I2 , otro intervalo tal que diam(I3 ) = diam(I2 )/2 x3 ∈ I3 ; y as´ı sucesivamente... Como In 6= ∅ y diam(In ) → 0, por el teorema de encaje de intervalos, ∃!x = ∩In , entonces x ∈ R − {x1 , x2 , . . .}, llegando a una contradicci´ on por considerar que R = {x1 , x2 , . . .}.

4.

Series

4.1. 4.1.1.

Definiciones varias Serie

Definici´ on. Si (an )n∈N es una sucesi´ on de n´ umeros reales, las sumas parciales Sn = a1 + a2 + ... + an forman una nueva P∞ sucesi´ on. La sucesi´ on (Sn )n∈N se llama serie de t´erminos de an y se denota n=1 an . 4.1.2.

Convergencia (y divergencia)

Decimos que la serie converge si (Sn )n∈N converge. Si limn→∞ Sn = l, escribimos Definici´ on. Decimos que la serie diverge si Sn → ∞.

6

P∞

n=1

an = l.

4.1.3.

Convergencia absoluta (y condicional) P∞ erminos reales (no necesariamente positivos) converge Definici´ on (Absoluta). Decimos que una serie n=1 an de t´ P∞ aboslutamente si n=1 |an | converge P∞ P∞ Proposici´ on 4.1. Si n=1 an converge absolutamente, entonces n=1 an converge. Demo ... Definici´ on (Condicional). Si una serie condicionalmente.

4.2.

P∞

n=1

an converge, pero

P∞

n=1

|an | no lo hace, decimos que la serie converge

Algunas series

4.2.1.

Series Telesc´ opicas P∞ Sea n=1 an una serie tal que an = bn −P bn+1 , para cierto (bn )n∈N , entonces, Sn = b1 − bn+1 y se tiene que Sn ∞ converge si y solo si bn lo hace. Y en ese caso n=1 an = b1 − limn→∞ bn . 4.2.2.

Series geom´ etricas

Si an = rn , para cierto r ∈ R, cuyo caso lo hace a1/(1 − r) − 1.

P∞

n=1

an se denomina serie geom´etrica de raz´on r. Converge solamente si |r| < 1, en

4.2.3.

Series Alternadas P∞ Una serie n=1 an se dice alternada si existe alg´ un bn ≥ 0 tal que an = (−1)n bn .

Proposici´ on 4.2. Si (an )n∈N es una sucesi´ on tal que lim a2k = lim a2k+1 = l, entonces lim an = l. Proposici´ on 4.3. Si (an )n∈N es una sucesi´ on decreciente y lim an = l, entonces vale que an ≥ l. 4.2.4.

Series de Potencias

P∞ Una serie de potencias es una on formal del tipo n=1 X n an donde (an )n∈N ∈ RNP P∞ expresi´ ∞ Dado t ∈R , decimos que n=1 X n an converge para t (absolutamente o no converge) si n=1 tn an converge (absolutamente o no converge).

4.3. 4.3.1.

Criterios de convergencia de series an → 0

Proposici´ on 4.4. Si

P∞

n=1

an converge, entonces an → 0.

4.3.2.

Criterio de comparaci´ on P∞ P∞ Proposici´ on 4.5. Sean n=1 an y n=1 que an /bn est´ a acotada supeP∞bn series de t´erminos positivos yPsupongamos ∞ riormente, entonces la convergencia de n=1 bn implica la convergencia de n=1 an . Demo ... P∞ P∞ Corolario de t´erminos positivos y supongamos que ∃liman /bn , entonces la converP∞ Sean n=1 an y n=1 bn seriesP ∞ gencia de n=1 bn implica la convergencia de n=1 an . Demo Si an /bn converge, entonces est´ a acotada. P∞ P∞ rminos positivos y supongamos que ∃ liman /bn ∈ R, entonces la Corolario Sean P∞ n=1 an y n=1 bn series de t´eP ∞ convergencia de n=1 bn implica la convergencia de n=1 an . Demo Sea liman /bn = l, por una de las definciones de l´ımite superior existen solo finitos an /bn > l + 1, entonces an /bn se encuentra acotado superiormente y vale el criterio anterior. 4.3.3.

Criterio de D’Alembert P∞ Sea n=1 an serie de t´erminos positivos, vale:

1. lim an+1 /an < 1, entonces la serie converge 2. ∃n0 .an+1 /an ≥ 1, ∀n ≥ n0 , entonces la serie diverge Demo 7

1. F´ acil (ejercicio pr´ actica) 2. Como an0 +n ≥ an0 +n−1 ≥ an0 +n−2 ≥ . . . ≥ an0 > 0, entonces an 6→ 0, entonces la serie diverge. Obs lim an+1 /an > 1 no garantiza que la serie diverja lim an+1 /an > 1 implica que la serie diverja 4.3.4.

Criterio de la ra´ız n-´ esima de Cauchy P∞ Sea n=1 an una serie de t´erminos positivos, entonces vale √ 1. lim n an < 1, entonces la serie converge √ 2. lim n an > 1, entonces la serie diverge Demo √ an < 1 y sea λ tal que, l < λ < 1 ⇒ ∃n0 ∈ N.n ≥ n0 . n an < λ ⇒ an < λn . P∞ Sea bn = λn , como |λ|

1 y sea λ tal que, 1 < λ < l ⇒ ∃ infinitos an > λ, es decir que me puedo formar una subsucesi´ on √ n a erminos estrictamente mayores a λ. nk de t´ √ Luego n ank > λ ⇒ ank > λn > 1, entonces an no tiende a 0, es decir que la serie no converge. Como adem´ as la serie es de t´erminos positivos (para esta parte del criterio, alcanza con que los t´erminos sean no negativos), diverge.

1. Sea l = lim

4.3.5.

√ n

Criterio de Leibniz

P∞ Sea (an )n∈N ∈ RN una sucesi´ on decreciente de t´erminos no negativos tal que lim an = 0, entonces n=1 (−1)n an converge. P∞ M´ as a´ un, si m ∈ N, entonces | n=1 (−1)n an −Sm | ≤ am+1 , donde Sm es la suma parcial de dicha serie. Demo (Muy larga, otro dia) 4.3.6.

Criterio de Hadamard-Cauchy p P∞ Sea n=1 X n an una serie de potencias y sea δ = (lim n |an |)−1 ∈R, entonces P∞ n 1. n=1 X an converge absolutamente para todo t tal que |t| < δ P∞ n 2. n=1 X an no converge para todo t tal que |t| > δ Demo (Muy larga, otro dia)

Topologia en Rn

5. 5.1.

Norma y m´ etrica

5.1.1.

Norma

5.1.2.

M´ etrica

5.1.3.

Observaciones

6.

Funciones

6.1.

L´ımites de Funciones

Definici´ on (L´ımite de Funci´ on). Sea S ⊆ Rn y T ⊆ Rm , sea f : S → T una funci´ on, x0 ∈ S 0 , t ∈ Rm , decimos que f (x) tiende a y cuando x tiende a x0 si ∀ > 0, ∃δ > 0.x ∈ S ∧ 0 ≤ ||x − x0 || < δ ⇒ ||f (x) − y|| <  Y lo notamos limx→x0 f (x) = y Proposici´ on 6.1 (Unicidad del L´ımite). Si limx→x0 f (x) = y1 y limx→x0 f (x) = y2 , entonces y1 = y2 . Demo ... 8

6.1.1.

L´ımites por derecha e izquierda

Definici´ on (Punto de acumulaci´ on a derecha (e izquierda)). Dado S ⊆ R y x ∈ R , decimos que x es punto de acumulaci´ on a derecha de S si ∀ > 0 vale que (x, x + ) ∩ S 6= ∅. 0 Notamos S+ al conjunto de puntos de acumulaci´ on por derecha de S. 0 Analogamente se deine S− para los puntos de acumulaci´ on por izquierda. 0 Definici´ on (Limite por derecha (e izquierda)). Sean S ∈ R , T ∈Rn , f : S → T , x0 ∈ S+ , y ∈Rn , decimos que f (x) tiende a y cuando x tiende a x0 por derecha si ∀ > 0, ∃δ > 0.x ∈ S ∧ 0 < x − x0 < δ ⇒ abs(f (x) − y) < . Analogamente se define el limite por izquierda.

Obs 0 0 Si x0 ∈ S+ y limx→x0 f (x) = y, entonces f (x) tiende a y cuando x tiende a x0 por derecha. Si x0 ∈ S− , tambi´en tiende por izquierda. 0 0 Si x0 ∈ S+ ∩ S− y f (x) tiende a y cuando x tiende a x0 por izquierda y por derecha, entonces limx→x0 f (x) = y

Not Si f (x) tiende a y cuando x tiende a x0 por derecha (izquierda), escribimos limx→x+ f (x) = y (limx→x− f (x) = y) 0

6.2.

0

Continuidad de una funci´ on

Definici´ on (Continuidad de una funci´ on). Sean S ⊆ Rn , T ⊆ Rm , f : S → T , x0 ∈ S, decimos que f es continua en x0 si ∀ > 0.∃δ > 0.x ∈ S ∧ ||x − x0 || < δ ⇒ ||f (x) − f (x0 )|| <  Obs Si x0 ∈ S ∩ S 0 , entonces f es continua en x0 ⇔ limx→x0 f (x) = f (x0 ) Si x0 es un punto aislado de S, entonces f es continua en x0 Proposici´ on 6.2. Sea S ⊆ Rn , T ⊆ Rm , f : S → T , x0 ∈ S, son equivalentes: a f es continua en x0 b ∀(Xn )n∈N ∈ S N , tq Xn →n→∞ x0 , vale f (Xn ) → f (x0 ) Demo a ⇒ b) Supongo f continua en x0 , (Xn )n∈N ∈ S N tq Xn →n→∞ x0 . Sea  > 0.∃δ > 0 tal que ∀x ∈ S, ||x − x0 || < δ vale ||f (x) − f (x0 )|| < , como Xn → x0 , ∃n0 tal que n ≥ n0 ⇒ ||xn − x0 || < δ, luego n ≥ n0 ⇒ ||f (xn ) − f (x0 )|| < . b ⇒ a) Supongamos que no vale a, f no es continua en x0 , quiero ver que ∃ (Xn )n∈N ∈ S N tal que Xn → x0 , pero f (Xn ) 6→ f (x0 ). Como f no es continua, ∃ > 0.∀δ > 0.∃x ∈ S ||x − x0 || < δ, pero ||f (x) − f (x0 )|| ≥ . En particular, dado n, tomamos δ = 1/n.∃Xn ∈ S tal que ||Xn − x0 || < δ y ||f (Xn ) − f (x0 )|| ≥  ⇒ (Xn )n∈N ∈ S N , Xn → x0 , f (Xn ) 6→ f (x0 ) Definici´ on. Sean S ⊆ Rn , T ⊆ Rm , f : S → T . Decimos que f es continua si f es continua en x0 , ∀x0 ∈ S 6.2.1.

Abiertos y cerrados relativos

Def Sea S ⊆ Rn , un subconjunto U ⊆ S se dice abierto de S o abierto relativo a S si ∃G ⊆ Rn , abierto, tal que U = G ∩ S. An´ alogamente, un subconjunto F ⊆ S se dice cerrado de S o cerrdo relativo a S si ∃Z ⊆ Rn , cerrado, tal que F = Z ∩ S. Obs Si S ⊆ Rn es abierto y U ⊆ S es abierto de S, U es abierto. Si S ⊆ Rn es cerrado y F ⊆ S es cerrado de S, F es cerrado. Union arbitraria de abiertos de S es abierto de S Intersecci´ on de finitos abiertos de S es abierto de S Intersecci´ on arbitraria de cerrados de S es cerrado de S Union de finitos cerrados de S es cerrados de S 9

U ⊆ S es abierto de S ⇔ S-U es cerrado de S Lema 6.3. Sea S ⊆ Rn , U ⊆ S abierto de S si y solo si ∀x ∈ U ∃r > 0 tal que B(x, r) ∩ S ⊆ U Demostraci´ on. ⇒) ⇐)

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