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• Jair Jara

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Ing. Civil

M´etodo del Newton ´todo del Newton Me Mg. Patricia Alvarez Rodriguez

Instrucciones: Resolver los ejercicios siguientes y presentarlos. 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones usando el M´etodo de Newton a.- ln x − x + 2 = 0

c.- xex − 2 = 0

b.- x − 3 cos x = 0

d.- x3 − 5x = −1

2.- Aproxime con 10−4 de precisi´on las ra´ıces de las siguientes ecuaciones en los intervalos dados, usando el M´etodo de Newton. a.- x3 − 2x2 − 5 = 0,

[1, 4]

b.- x3 − 3x2 − 1 = 0,

[−4, 0]

c.- x − cosx = 0,

[0, π/2]

d.- x − 0.8 − 0.2 sin x = 0,

[0, π/2]

3.- Sea f (x) = x2 − x + 2 a.- Determine la formula de Newton Pk = g(Pk−1 ). b.- Empiece con P0 = −1.5 y calcule P1 , P2 y P3 4.- Considere la funci´on f (x) = xe−x a.- Determine la f´ormula de Newton Pk = g(Pk−1 ). b.- Para P0 = 0.2 y calcule P1 , P2 , P3 y P4 . ¿Cu´anto vale lim Pk =? k→∞

c.- Para P0 = 20, calcule P1 , P2 , P3 y P4 . ¿Cu´anto vale lim Pk =? k→∞

5.- Algoritmo para la Ra´ız C´ ubica. 3 A partir de f (x) = x − A, donde A es un n´ umero real cualquiera, deduzca la formula de recursi´on 2 2Pk−1 + A/Pk−1 Pk = 3 para k = 1, 2, 3, ... 6.- ¿Podemos usar el M´etodo de Newton para resolver f (x) = 0, siendo f (x) = x2 − 14x + 50?. ¿Porqu´e?. 7.- Considere el polinomio f (x) = x3 − x − 1. se pide: a.- Determinar el numero de ra´ıces reales de f y verifica que posee u ´nica ra´ız positiva. b.- Encontrar un intervalo de longitud 1 que aisle la ra´ız positiva y verificar que la iteraci´on de Newton converge en dicho intervalo. c.- Aproximar dicha ra´ız positiva mediante el M´etodo de Newton. Use |xn − xn−1 | < 10−3 . 1

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M´etodo del Newton

8.- La concentraci´on C de una bacteria contaminante en un lago decrece seg´ un la expresi´on C(t) = 80e−2t + 20e0.5t siendo t el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se necesite para que el n´ umero de bacterias se reduzca a 7. 9.- Una determinada sustancia se desintegra seg´ un la ecuaci´on A = P.e−0.0248t donde P es la cantidad inicial en el tiempo t = 0 y A la cantidad resultante despu´es de t a˜ nos. Si inicialmente se depositan 500 miligramos de dicha sustancia. ¿Cuanto tiempo habr´a de transcurrir para que quede el 1 de ´esta?. 10.- En ingenier´ıa civil se trabaja constantemente con los desplazamientos de estructuras los cuales est´an determinados por oscilaciones arm´onicas. As´ı en cierta estructura se encontr´o bajo experimentos la funci´on que divide el desplazamiento, dada por f (t) = 10e−0.45t cos(2t) donde t es el tiempo, se pide determinar cuanto tiempo pasara para que el desplazamiento disminuya hasta la mitad del desplazamiento inicial (t = 0). a.- Plantea la ecuaci´on a resolver y la formula de Newton para este caso. b.- Calcula hasta la cuarta iteraci´on y con la cuarta y tercera iteraci´on determina la cantidad de cifras significativas exactas. Considerando la iteraci´on inicial igual a 1. Nota. Para los c´alculos utilice hasta 6 cifras despu´es del punto decimal.

Fecha de entrega: Proxima clase.

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