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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE COATZACOALCOS

Nombre del alumno: José Eduardo Coral Díaz N° de control: 16080818

EXPLICACIÓN DE LA IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON-EULER PARA LA CREACIÓN DEL MODELO DINÁMICO DEL MANIPULADOR ROBÓTICO. Nombre de la Asignatura:

Periodo:

ROBÓTICA

Semestre:

Nombre del Docente: SILVA Apellido Paterno INTRODUCCIÓN

ENERO-JUNIO 2020

9°

VALENZUELA Apellido Materno

Grupo:

“A”

JOSÉ ALFREDO. Nombre(s)

Como sabemos, los robots significan un avance tecnológico muy significativo en el presente, ya que actualmente vivimos en una sociedad que cada vez va más a la vanguardia con la tecnología. La robótica se adapta a las condiciones de la naturaleza guiada por el hombre, mediante cálculos matemáticos y física aplicada, podemos crear mecanismos y sistemas robóticos automatizados para mejorar y reducir tiempos en algún proceso. Entendiendo la complejidad de los robots y las aplicaciones que requieren en ingeniería eléctrica, mecánica, sistemas, industrial, ciencias de la computación, economía y matemáticas podemos mejorar infinidad de proceso e ir innovando o creando diferentes tipos de robots y procesos. Es una nueva disciplina de ingeniería, tanto como ingeniería en manufactura, aplicaciones de la ingeniería, algunas ramas de la robótica incluyen: Cinemática, Dinámica, Visión de computadora y Control. El término robótica fue introducido por primera vez en 1920 por czech playwright Karel Capek publicó Rossum’s Universal Robots.

Fig 1. The ABB IRB6600 Robot. Photo courtesy of ABB. Esencialmente es un brazo mecánico operado bajo control de computadora, sus funciones están fuera de un robot de ciencia ficción, son complejos sistemas electro-mecánicos. La RIA (Instituto del Robot de América), define al robot como un manipulador multifuncional reprogramable, diseñado para mover materiales, partes, herramientas. El elemento clave en la definición anterior es la reprogramabilidad de los robots. Es el cerebro de la computadora que le da al robot su utilidad y adaptabilidad. La llamada revolución robótica es, de hecho, parte de la revolución informática más grande. Incluso esta versión restringida de un robot tiene varias características que lo hacen atractivo en un entorno industrial. Entre las ventajas que a menudo se citan a favor de la introducción de robots se encuentran la disminución de los costos de mano de obra, el aumento de la precisión y la productividad, la mayor flexibilidad en comparación con las máquinas

especializadas y las condiciones de trabajo más humanas, ya que los robots realizan trabajos aburridos, repetitivos, o peligrosos. El robot, como lo hemos definido, nació del matrimonio de dos tecnologías anteriores: teleoperadores y fresadoras controladas numéricamente. Los teleoperadores o dispositivos maestro-esclavo, fueron desarrollados durante la segunda guerra mundial para manejar materiales radioactivos. El control numérico por ordenador (CNC) fue desarrollado debido a la alta precisión requerida en el mecanizado de ciertos artículos, tales como componentes de aeronaves de alto rendimiento. Los primeros robots combinaron esencialmente los enlaces mecánicos del teleoperador con la autonomía y programabilidad de las máquinas CNC. Las primeras aplicaciones exitosas de los manipuladores de robots generalmente implicaban algún tipo de transferencia de material, como moldeo por inyección o estampado, donde el robot simplemente asiste a una prensa para descargar y ya sea transferir o apilar las piezas terminadas. Estos primeros robots podrían ser programados para ejecutar una secuencia de movimientos, como moverse a una ubicación A, cerrar una pinza, moverse a una ubicación B, etc., pero no tenían capacidad de sensor externo. Las aplicaciones más complejas, como la soldadura, la molienda, el desbarbado y e montaje requieren no sólo un movimiento más complejo, sino también alguna forma de detección externa, como la visión, la táctil o la detección de la fuerza, debido a la mayor interacción del robot en su entorno. Cabe señalar que las aplicaciones importantes de los robots no se limitan en modo alguno a aquellos trabajos industriales en los que el robot está reemplazando directamente a un trabajador humano. Hay muchas otras aplicaciones de la robótica en áreas donde el uso de seres humanos es poco práctico o indeseable. Entre ellos se encuentran la exploración submarina y planetaria, la recuperación y reparación de satélites, la desactivación de artefactos explosivos y el trabajo en entornos radioactivos. Por último, las prótesis, como las extremidades artificiales, son en sí mismas dispositivos robóticos que requieren métodos de análisis y diseño similares a los de los manipuladores industriales. Los manipuladores de robots se componen e eslabones conectados por juntas para formar una cadena cinemática. Las articulaciones son típicamente rotativas(revolutas) o lineales(prismáticas). Una junta revoluta es como una bisagra y permite una rotación relativa entre dos eslabones. Una articulación prismática permite un movimiento relativo lineal entre dos enlaces. Denotamos las articulaciones revolutivas por R y las articulaciones prismáticas por P, y las dibujamos. Por ejemplo, un brazo de tres enlaces con tres articulaciones revolutas es un brazo RRR. Cada unión representa la interconexión entre dos eslabones. Denotamos el eje de rotación de una junta revoluta, o el eje a lo largo del cual una junta prismática se traduce por zi si la articulación es la interconexión de los enlaces i e i + a, las variables de unión, denotadas por el valor de una junta revoluta y d para a junta prismática, representan el desplazamiento relativo entre los enlaces adyacentes.

Fig 2. Representación simbólica de las articulaciones robóticas. Una configuración de un manipulador es una especificación completa de la ubicación de cada punto en el manipulador. El conjunto de todas las configuraciones posibles se denomina espacio de todas las configuraciones posibles se denomina espacio de configuración. En nuestro caso si conocemos los valores de las variables de unión (es decir, el ángulo de unión para las uniones revolutadas, o el desplazamiento de la unión para las uniones prismáticas), entonces es sencillo inferir la posición de cualquier punto en el manipulador, ya que se supone que en los enlaces individuales del manipulador son rígidos, y se supone que la base del manipulador es fija. Por lo tanto, en este texto, representaremos una configuración mediante un conjunto de valores para las variables conjuntas. Vamos a denotar este vector de valores por q, y decir que el robot está en la configuración q cuando las variables de unión toman los valores q1 - qn, con qi para una junta revoluta y qi a d1 para una articulación prismática. Se dice que un objeto tiene n grados de libertad (DOF) si su configuración se puede especificar mínimamente mediante n parámetros. Por lo tanto, el número de DOF es igual a la dimensión del espacio de configuración. Para un manipulador robot, el número de articulaciones determina el número DOF. Un objeto rígido en el espacio tridimensional tiene seis DOF: tres para el posicionamiento y tres para orientación (por ejemplo, ángulos de balanceo, paso y guiso). Por lo tanto, un manipulador normalmente debe poseer al menos seis DOF independientes. Con menos de seis DOF el brazo no puede llegar a todos los puntos de su entorno de trabajo con orientación arbitraria. Ciertas aplicaciones, como alcanzar alrededor o detrás de los obstáculos, pueden requerir más de seis DOF. Un manipulador que tiene más de seis vínculos se conoce como un manipulador redundanciano. La dificultad de controlar un manipulador aumenta rápidamente con el número de enlaces. Una configuración proporciona una descripción instantánea de la geometría de un manipulador, pero no dice nada sobre su respuesta dinámica. Por el contrario, el estado del manipulador es un conjunto de variables que, junto con una descripción de la

dinámica y la entrada del manipulador, son suficientes para determinar cualquier estado futuro del manipulador. El espacio de estado es el conjunto de todos los estados posibles. En el caso de un brazo manipulador, la dinámica es newtoniana, y se puede especificar generalizando la ecuación familiar F. Por lo tanto, se puede especificar un estado del manipulador dando los valores para las variables de unión q y para las velocidades de unión q (aceleración está relacionada con la derivada de las velocidades de las articulaciones). Por lo general, representamos el estado como un vector x (q, q) T. Por lo tanto, la dimensión del espacio de estado es 2n si el sistema tiene n DOF.

CLASIFICACIÓN DE LOS ROBOTS MANIPULADORES Los manipuladores de robots pueden clasificarse por varios criterios, como su fuente de alimentación, o la forma en que se accionan las articulaciones, su geometría o estructura cinemática, su área de aplicación prevista o su método de control. Tal clasificación es útil principalmente para determinar qué robot es el adecuado para una tarea dada. Por ejemplo, un robot hidráulico no sería adecuado para aplicaciones de manipulación de alimentos o salas limpias. Explicamos esto con más detalle a continuación. Fuente de alimentación. Por lo general, los robots funcionan eléctrica, hidráulicamente o neumáticamente. Los actuadores hidráulicos no tienen rival en su velocidad de respuesta y capacidad de producción de par. Por lo tanto, los robots hidráulicos se utilizan principalmente para levantar cargas pesadas. Los inconvenientes de los robots hidráulicos son que tienden a fugar fluido hidráulico, requieren muchos más equipos periféricos (como bombas, que requieren más mantenimiento), y son ruidosos. Los robots impulsados por motores DC o AC-servo son cada vez más populares ya que son más baratos, más limpios y silenciosos. Los robots neumáticos son baratos y sencillos, pero no se pueden controlar con precisión. Como resultado, los robots neumáticos están limitados en su rango de aplicaciones y popularidad. Zona de aplicación. Los robots a menudo se clasifican por aplicación en robots de montaje y no ensamblado. Los robots de montaje tienden a ser pequeños, accionados eléctricamente y revolute o SCARA (descritos a continuación) en diseño. Las principales áreas de aplicación sin montaje hasta la fecha han sido en soldadura, pintura por pulverización, manipulación de materiales y carga y descarga de máquinas. Método de control. Los robots se clasifican por método de control en robots servo y noservo. Los primeros robots eran robots que no eran servo. Estos robots son esencialmente dispositivos de bucle abierto cuyo movimiento se limita a paradas mecánicas predeterminadas, y son útiles principalmente para la transferencia de materiales. De hecho, según la definición dada anteriormente, los robots de parada fija apenas califican como robots. Los servorobots utilizan el control de la computadora de bucle cerrado para determinar su movimiento y, por lo tanto, son capaces de ser dispositivos verdaderamente multifuncionales y reprogramables.

Los robots servocontrolados se clasifican según el método que el controlador utiliza para guiar al efector final. El tipo más simple de robot en esta clase es el robot punto a punto. A un robot punto a punto se le puede enseñar un conjunto discreto de puntos, pero no hay control en la trayectoria del efector final entre los puntos enseñados. Estos robots se enseñan generalmente una serie de puntos con un colgante de enseñanza. A continuación, los puntos se almacenan y se reproducen. Los robots punto a punto están severamente limitados en su gama de aplicaciones. En los robots de trayectoria continua, por otro lado, se puede controlar todo el camino del efector final. Por ejemplo, el robot endeffector se puede enseñar a seguir una línea recta entre dos puntos o incluso para seguir un contorno como una costura de soldadura. Además, la velocidad y/o aceleración del efector final a menudo se puede controlar. Estos son los robots más avanzados y requieren los controladores informáticos más sofisticados y el desarrollo de software. Geometría. La mayoría de los manipuladores industriales en la actualidad tienen seis o menos grados de libertad. Estos manipuladores generalmente se clasifican cinemáticamente sobre la base de las tres primeras articulaciones del brazo, con la muñeca siendo descrita por separado. La mayoría de estos manipuladores se dividen en uno de los cinco tipos geométricos: articulados (RRR), esféricos (RRP), SCARA (RRP), cilíndricos (RPP) o cartesianos (PPP). Discutiremos cada uno de estos a continuación.

DINÁMICA DE LOS ROBOTS MANIPULADORES Mientras que las ecuaciones cinemáticas describen el movimiento del robot sin tener en cuenta las fuerzas y los pares que producen el movimiento, las ecuaciones dinámicas describen explícitamente la relación entre la fuerza y el movimiento. Las ecuaciones de movimiento son importantes a tener en cuenta con el diseño de los robots en la simulación y animación del movimiento del robot, y en el diseño de algoritmos de control. Introducimos las llamadas ecuaciones Euler-Lagrange, que describen la

evolución de un sistema mecánico sujeto a restricciones holonómicas (este término se define más adelante). Para motivar el enfoque Euler-Lagrange comenzamos con una simple derivación de estas ecuaciones de la Segunda Ley de Newton para un sistema de un grado de libertad. A continuación, derivamos las ecuaciones Euler-Lagrange del principio del trabajo virtual en el caso general. Para determinar las ecuaciones EulerLagrange en una situación específica, uno tiene que formar el Lagrangian del sistema, que es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial; mostramos cómo hacerlo en varias situaciones comúnmente encontradas. A continuación, derivamos las ecuaciones dinámicas de varios manipuladores robóticos de ejemplo, incluyendo un robot cartesiano de dos eslabones, un robot plano de dos eslabones y un robot de dos enlaces con articulaciones impulsadas remotamente. Las ecuaciones Deler-Lagrange tienen varias propiedades muy importantes que se pueden explotar para diseñar y analizar algoritmos de control de retroalimentación. Entre ellos se encuentran los límites explícitos en la matriz de inercia, la linealidad en los parámetros de inercia y las denominadas propiedades de simetría sesgada y pasividad.

CARACTERÍSTICAS DE UN MANIPULADOR Robot manipulador:     

Bazo mecánico articulado Formado de eslabones conectados a través de uniones o articulaciones. Permiten un movimiento relativo de los eslabones consecutivos. La posición y velocidad de las articulaciones se miden con sensores colocados en la articulación. En cada articulación del robot se tienen actuadores que generan la fuerza o par para moveral robot como un todo.

Fig 3. Imagen comparativa de un manipulador con la fisiología de un humano.

Para motivar la derivación posterior, mostramos primero cómo las ecuaciones EulerLagrange pueden derivarse de la Segunda Ley de Newton para un sistema de grado único de libertad que consiste en una partícula de masa constante m, limitada a moverse en la dirección y, y sujeta a una fuerza f y la fuerza gravitacional mg, como se muestra en la Figura 4. Según la segunda ley de Newton, la ecuación del movimiento

Fig 4. Un sistema de grado de libertad. de la partícula es

Observe que el lado izquierdo de la ecuación (4) se puede escribir como

Donde donde es la energía cinética. Utilizamos la notación derivada parcial en la expresión anterior para ser coherente con los sistemas considerados más adelante cuando la energía cinética será una función de varias variables. Del mismo modo podemos expresar la fuerza gravitacional en Ecuación (4) como

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON-EULER Modelado mediante la formulación-Euler La formulación de Newton-Euler parte del equilibrio de fuerzas y pares:

Un adecuado desarrollo de estas ecuaciones conduce a una formulación recursiva en la que se obtienen la posición, velocidad y aceleración del eslabón i referidos a la base del robot a partir de las correspondientes del eslabón i-1 y del movimiento relativo de la articulación i.  De este modo, partiendo del eslabón 1 se llega al eslabón n. El algoritmo se basa en operaciones vectoriales (con productos escalares y vectoriales entre magnitudes vectoriales, y productos de matrices con vectores) siendo más eficiente en comparación con las operaciones matriciales asociadas a la formulación Lagrangiana. De hecho, el orden de complejidad computacional de la formulación recursiva de Newton-Euler es O(n), lo que indica que depende directamente del número de grados de libertad. 1. Asignar a cada eslabón un sistema de referencia de acuerdo con las normas D-H. 2. Obtener las matrices de rotación

y sus inversas

=

=

Siendo:

3. Establecer las condiciones iniciales. Para el sistema base

son típicamente nulos salvo que la base del robot esté en movimiento. Para el extremo del robot se conocerá la fuerza y el par ejercidos externamente

Coordenadas de origen del sistema

respecto a

Coordenadas del centro de masas del eslabón i respecto del sistema Matriz de inercia del eslabón i respecto del su centro de masas expresado en Para i = 1…n realizar los pasos 4 a 7: 4. Obtener la velocidad angular del sistema

Si el eslabón i es de rotación Si el eslabón i es de traslación

5. Obtener la aceleración angular del sistema Si el eslabón i es de rotación Si el eslabón i es de traslación

6. Obtener la aceleración lineal del sistema i: Si el eslabón i es de rotación

Si el eslabón i es de traslación 7. Obtener la aceleración lineal del centro de gravedad del eslabón i:

Para i = n realizar los pasos 8 a 10 8. Obtener la fuerza ejercida sobre el eslabón i:

9. Obtener el par ejercido sobre el eslabón 1:

10. Obtener la fuerza o par aplicado a la articulación i Si el eslabón i es de rotación

Si es el eslabón i es de traslación Donde t es el par o fuerza efectivo(par motor menos partes de rozamiento o perturbación).

EJEMPLO Tabla 1. Parámetros D-H del robot polar

Fig.5 Robot polar de dos grados de libertad

Fig. 6 Configuración y ejes de referencia del robot polar 1. La asignación de los sistemas de referencia según D-H es la mostrada en la fig.6. Los correspondientes parámetros de D-H se muestran en la tabla 1.

2. Las matrices de rotación

y sus inversas son:

3.

Y como no se ejercen fuerzas externas en el extremo del robot:

Y por estar toda la masa de los elementos 1 y 2 concentrada en sus respectivos centros de gravedad:

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Por lo tanto, las ecuaciones que componen el modelo dinámico son:

DEMOSTRACIÓN FORMULATION

DEL

MÉTODO

NEWTON-EULER

A continuación, se demostrará paso a paso el método para analizar la dinámica de los manipuladores de robots conocido como la formulación Newton-Euler. Este método conduce exactamente a las mismas respuestas finales que la formulación lagrangiana presentada en secciones anteriores, pero la ruta tomada es bastante diferente. En particular, en la formulación lagrangiana tratamos al manipulador como un todo y realizamos el análisis utilizando una función lagrangiana (la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial). Por el contrario, en la formulación Newton-Euler tratamos cada eslabón del robot a su vez, y anotamos las ecuaciones que describen su movimiento lineal y su movimiento angular. Por supuesto, puesto que cada vínculo está acoplado a otros enlaces, estas ecuaciones que describen cada enlace contienen fuerzas de acoplamiento y pares que aparecen también en las ecuaciones que describen los vínculos vecinos. Al hacer una supuesta recursividad hacia adelante hacia atrás, somos capaces de determinar todos los de estos términos de acoplamiento y eventualmente para llegar a una descripción del manipulador en su conjunto. Así vemos que la filosofía de la formulación Newton-Euler es muy diferente de la de la formulación lagrangiana. En esta etapa el lector puede preguntar justamente si hay una necesidad de otra formulación, y la respuesta no está clara. Históricamente, ambas formulaciones fueron evolucionadas en paralelo, y cada una fue percibida como tener ciertas ventajas. Por ejemplo, se creyó en un momento que la formulación Newton-Euler es más adecuada para la computación recursiva que la formulación lagrangiana. Sin embargo, la situación actual es que ambas formulaciones son equivalentes en casi todos los aspectos. Por lo tanto, en la actualidad, una razón para tener otro método de análisis a nuestra disposición es que podría proporcionar diferentes perspectivas. En cualquier sistema mecánico se puede identificar un conjunto de coordenadas generalizadas (que introdujimos en la Sección 4 y etiquetadas q) y las fuerzas generalizadas correspondientes (también introducidas en la Sección 4 y etiquetadas. Analizar la dinámica de un sistema significa encontrar la relación entre q y t. En esta etapa debemos distinguir entre dos aspectos: En primer lugar, podríamos estar interesados en obtener ecuaciones de forma cerrada que describan la evolución temporal de las coordenadas generalizadas. En segundo lugar, podríamos estar interesados en saber qué fuerzas generalizadas deben aplicarse para realizar una evolución temporal particular de las coordenadas generalizadas. La distinción es que en este último caso sólo queremos saber qué función dependiente del tiempo produce una trayectoria particular q(-) y puede que no le importe conocer la relación funcional general entre los dos. Tal vez sea justo decir que en el antiguo tipo de análisis, la formulación lagrangiana es superior, mientras que en el último caso la formulación Newton-Euler es superior. De cara a temas más allá del alcance del libro, si uno desea estudiar fenómenos mecánicos más avanzados como las deformaciones elásticas de los enlaces (es decir, si uno ya no

asume la rigidez de los enlaces), entonces la formulación lagrangiana es claramente superior. Los hechos de la mecánica newtoniana que son pertinentes para la presente discusión se pueden afirmar de la siguiente manera: 1. Cada acción tiene una reacción igual y opuesta. Por lo tanto, si el cuerpo 1 aplica una fuerza f y un par de torsión t al cuerpo 2, entonces el cuerpo 2 aplica una fuerza de -f y un par de torsión de -t a la carrocería 1. 2.

La tasa de cambio del impulso lineal es igual a la fuerza total aplicada al cuerpo.

3.

La tasa de cambio del momento angular es igual al par total aplicado al cuerpo.

Aplicar estos hechos cónicos al movimiento lineal de un cuerpo produce la relación (0) donde m es la masa del cuerpo, v es la velocidad del centro de masa con respecto a un marco inercial, y f es la suma de fuerzas externas aplicadas al cuerpo. Dado que en aplicaciones robóticas la masa es constante en función del tiempo, (0) se puede simplificar a la relación familiar (1) donde es la aceleración del centro de masa. Aplicar el tercer hecho al movimiento angular de un cuerpo da (2) donde I0 es el momento de inercia del cuerpo sobre un marco inercial cuyo origen está en el centro de la masa, 0 es la velocidad angular del cuerpo, y 0 es la suma de pares de torsión aplicados al cuerpo. Ahora hay una diferencia esencial entre el movimiento lineal y el movimiento angular. Mientras que la masa de un cuerpo es constante en la mayoría de las aplicaciones, su momento de inercia con respecto a un marco inercial puede o no ser constante. Para ver esto, supongamos que fijamos un marco rígidamente al cuerpo, y permitan o que denote la matriz de inercia del cuerpo con respecto a este marco. Entonces sigo siendo el mismo independientemente del movimiento que el cuerpo ejecute. Sin embargo, la matriz I0 es dada por (3) donde R es la matriz de rotación que transforma las coordenadas desde el cuerpo unido al marco inercial. Por lo tanto, no hay razón para esperar que I0 es constante en función del

tiempo. Una forma posible de superar esta dificultad es escribir la ecuación de movimiento angular en términos de un marco unido rígidamente al cuerpo. Esto lleva a (4) donde I0 es la matriz de inercia (constante) del cuerpo con respecto al cuerpo unido marco, es la velocidad angular, pero expresado en el cuerpo unido marco, y es el par total en el cuerpo, de nuevo expresado en el cuerpo unido marco. Ahora vamos a dar una derivación de (4) para demostrar claramente de dónde viene el término "I"; tenga en cuenta que este término se llama el término giroscópico. Deje que R denote la orientación del marco rígidamente unido al cuerpo con el marco inercial; tenga en cuenta que podría ser una función del tiempo. Entonces (3) da la relación entre I y I0. Ahora, por la definición de la velocidad angular, sabemos que

(5) En otras palabras, la velocidad angular del cuerpo, expresada en un marco inercial, está dada por (5). Por supuesto, el mismo vector, expresado en el cuerpo unido marco, es dado por (6) Por lo tanto, el momento angular, expresado en el marco inercial, es (7) Diferenciar y notar que I es constante da una expresión para la tasa de cambio del momento angular, expresado como un vector en el marco inercial: (8) Ahora (9) Con respecto al marco rígidamente unido al cuerpo, la tasa de cambio del momento angular es

(10) Esto establece (4). Por supuesto que podemos, si lo deseamos, escribir la misma ecuación en términos de vectores expresados en un marco inercial. Pero veremos en breve que hay una ventaja al escribir las ecuaciones de fuerza y momento con respecto a un marco adjunto a link i, a saber, que muchos vectores de hecho reducen a vectores constantes, lo que conduce a simplificaciones significativas en las ecuaciones. Ahora derivamos la formulación Newton-Euler de las ecuaciones de movimiento de un manipulador n-link.

Para este propósito, primero elegimos los marcos 0,….,n donde el marco 0 es un marco inercial, y el marco i está rígidamente unido al enlace i para i 1. También introducimos varios vectores, que se expresan en el marco i. El primer conjunto de vectores pertenece a las velocidades y aceleraciones de varias partes del manipulador. La aceleración del centro de la masa del enlace i. La aceleración del final del enlace i. La velocidad angular del marco i w,r,t marco 0. La aceleración angular del marco i w,r,t marco 0. Los siguientes vectores perteneces a las fuerzas y pares de torsión La aceleración debida a la gravedad (expresada en el marco i). La fuerza ejercida por el enlace i-1 en el enlace i. El par ejercido por el enlace i-1 en el enlace i. La matriz de rotación desde el marco i+1 hasta el marco i. El conjunto final de vectores pertenece a las características físicas del manipulador. Tenga en cuenta que cada uno de los siguientes vectores es constante en función de q. En otras palabras, cada uno de los vectores enumerados aquí es independiente de la configuración del manipulador.

La masa del enlace i. La matriz de inercia del enlace i sobre un marco paralelo Para enmarcar i cuyo origen está en el centro de la masa del enlace. El vector de la articulación i al centro de la masa del enlace i. El vector de la articulación i + 1 al centro de la masa del enlace i. El vector de la articulación i a la articulación i + 1. Ahora considerando el diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 5

(11) Fig.5 Fuerzas y movimientos de enlaces i junto con todas las fuerzas y torsiones que actúan sobre él. Analicemos cada una de las fuerzas y pares que se muestran en la figura. En primer lugar, fi es la fuerza aplicada por el enlace i-1 al enlace i. A continuación, por la ley de acción y reacción, el enlace i + 1 aplica una fuerza de -fi+1 al enlace i, pero este vector se expresa en el marco i+1 según nuestra convención. Para expresar el mismo vector en el fotograma i, es necesario multiplicarlo por la matriz de rotación

. Explicaciones similares se aplican a los

pares de torsión i y . La fuerza migi es la fuerza gravitacional. Puesto que todos los vectores de la Figura 5, se expresan en marco i, el vector de gravedad gi es en general una función de i. Escribir la ecuación de balance de fuerza para el enlace i da (12) A continuación, anotamos la ecuación de balance de momentos para el enlace i. Para ello, es importante tener en cuenta dos cosas: En primer lugar, el momento ejercido por una fuerza f sobre un punto es dado por f x r, donde se encuentra el vector radial desde el punto donde se aplica la fuerza hasta el punto sobre el que estamos calculando el momento. En segundo lugar, en la ecuación de momento a continuación, el vector migi no aparece, ya que se aplica directamente en el centro de masa. Así tenemos

(13) Ahora presentamos el corazón de la formulación Newton-Euler, que consiste en encontrar los vectores f1,...,fn y t1,...,tn correspondientes a un conjunto dado de vectores . En otras palabras, encontramos las fuerzas y pares en el manipulador que

corresponden a un conjunto dado de coordenadas generalizadas y dos primeros derivados. Esta información se puede utilizar para realizar cualquier tipo de análisis, como se ha descrito anteriormente. Es decir, podemos usar las ecuaciones a continuación para encontrar la f y t la correspondiente a una trayectoria particular , o bien para obtener ecuaciones dinámicas de forma cerrada. La idea general es la siguiente: Dado , supongamos que de alguna manera somos capaces de determinar todas las velocidades y aceleraciones de varias partes del manipulador, es decir, todas las cantidades y . A continuación, podemos resolver (12) y (13) de forma recursiva para encontrar todas las fuerzas y pares de torsión, de la siguiente manera: En primer lugar, establecer fn+l = 0 y .n+1 = 0. Esto expresa el hecho de que no hay ningún enlace n +1. Entonces podemos resolver (12) para obtener (14) Mediante la sustitución sucesiva de i = n, n-1,...,1 encontramos todas las fuerzas. Del mismo modo, podemos resolver (13) para obtener (15)

Mediante la sustitución sucesiva de i = nm n-1,...,1 encontramos todos los pares. Tenga en cuenta que la iteración anterior se está ejecutando en la dirección de disminución de i. Por lo tanto, la solución se completa una vez que encontramos una relación de fácil cálculo entre y y . Esto se puede obtener mediante un procedimiento recursivo en la dirección de aumentar i. Este procedimiento se da a continuación, para el caso de la articulación revoluta s; los buques de relación correspondientes para las articulaciones prismáticas son en realidad más fáciles de derivar. Para distinguir entre las cantidades expresadas con respecto al marco i y el marco base, utilizamos un superíndice (0) para denotar este último. Por lo tanto, por ejemplo, indica el valor de la velocidad angular del marco i expresada en el marco i, mientras expresada en un

indica la misma cantidad marco inercial.

Ahora en la siguiente sección tenemos (16) Esto simplemente expresa el hecho de que la velocidad angular del fotograma i es igual a la del marco i-1 más la rotación añadida de la articulación i. Para obtener una relación entre el

y

, sólo necesitamos expresar la ecuación anterior en el marco i en lugar

del marco base, teniendo cuidado de tener en cuenta el hecho de que expresan en diferentes marcos. Esto lleva a

y

se

(17) Donde (18) es el eje de rotación de la articulación expresada en el marco i. A continuación, vamos a trabajar en la aceleración angular i. Es de vital importancia tener en cuenta aquí que

En otras palabras,

(19) es la derivada de la velocidad angular del marco i, pero expresada

en el marco i. Ahora vemos directamente desde . Nos encontraremos con una situación similar con la velocidad y aceleración del centro de masa. Ahora vemos directamente desde (16) que

(20) Expresando la misma ecuación en el marco i nos da (21) Ahora llegamos a los términos de velocidad lineal y aceleración. Tenga en cuenta que, a diferencia de la velocidad angular, la velocidad lineal no aparece en ninguna parte de las ecuaciones dinámicas; sin embargo, se necesita una expresión para la velocidad lineal antes de que podamos derivar una expresión para la aceleración lineal. De la Sección ??, obtenemos que la velocidad del centro de masa del enlace i es dada por (22) Para obtener una expresión para la aceleración, usamos (??) marco i. Por lo tanto (23) Ahora (24) Llevemos a cabo la multiplicación y utilicemos la propiedad familiar

es constante en el

(25) También tenemos que tener en cuenta el hecho de que y transformarlo en el marco i. Esto da

se expresa en el marco i-1

(26) Ahora para encontrar la aceleración del final del enlace i, podemos usar (26) con reemplazando

. Por lo tanto

(27) Ahora la formulación recursiva está completa. Ahora podemos indicar la formulación Newton-Euler de la siguiente manera. 1. 1. Comience con las condiciones iniciales (28) y resolver (17), (21), (27) y (26) en ese orden para calcular incrementando 1 hasta n.

y

por i

2. Comience con las condiciones finales

(29) Y usa (14) y (15) para calcular fi y ti para i disminuyendo desde n hasta 1.

MANIPULADOR DE CODO PLANAR REVISADO En esta sección aplicamos la formulación recursiva Newton-Euler derivada, para analizar la dinámica del manipulador de codo plano, y demostramos que el método Newton-Euler conduce a las mismas ecuaciones que el método lagrangio. Comenzamos con la recursividad hacia adelante para expresar las diversas velocidades y aceleraciones en términos de q1,q2 y sus derivados. Tenga en cuenta que, en este caso simple, es bastante fácil ver que

(30) Por lo que no hay necesidad de usar (17) y (21). Además, los vectores que son independientes de la configuración son los siguientes: (31) (32)

Enlace de recursividad delantera 1 Usando (26) con i = 1 y nada que

= 0 da

(33) Observe lo simple que es el cálculo cuando lo hacemos con respecto al marco 1. Comparar con el mismo cálculo en el marco 0. Finalmente hemos

(34) donde g es la aceleración debido a la gravedad. En esta etapa podemos economizar un poco al no mostrar los terceros componentes de estas aceleraciones, ya que obviamente siempre son cero. Del mismo modo, el tercer componente de todas las fuerzas será cero, mientras que los dos primeros componentes de todos los pares serán cero. Para completar los cálculos para el vínculo 1, calculamos la aceleración del final del vínculo 1. Claramente, esto se obtiene de (33) mediante la sustitución de

(35) Enlace de recursividad delantera 2 Una vez más usamos (26) y sustituimos (o2 de (30)

por

. Por lo tanto

(36) La única cantidad en la ecuación anterior que depende de la configuración es la primera. Esto se puede calcular como

´(37) Sustituir en (36) da

(38)

El vector gravitacional

(39) Puesto que sólo hay dos enlaces, no hay necesidad de calcular recursiones hacia adelante están completas en este punto.

. Por lo tanto, las

Recursión hacia atrás: Enlace 2 Ahora llevamos a cabo la recursividad hacia atrás para calcular las fuerzas y los pares de torsión articular. Tenga en cuenta que, en este caso, los pares de unión son las cantidades aplicadas externamente y nuestro objetivo final es derivar ecuaciones dinámicas que impliquen los pares de torsión articular. En primer lugar, aplicamos (14) con i = 2 y observamos que f3 = 0. Esto da como resultado (40)

(41) Ahora podemos sustituirlo con

desde(30), y para

desde (38). También

observamos que el término giroscopio es igual a cero, ya que ambos están alineado con K. Ahora el cruce del producto

está

y

y claramente

alineado con k y su magnitud es sólo el segundo componente de f2. El resultado final es

(42) Desde ecuación.

, vemos que la ecuación anterior es la misma que la de la segunda

Recursión hacia atrás: Enlace 1 Para completar la derivación (14) y (15) con i = 1. Primero, la ecuación de fuerza

(43)

Y la ecuación de torque es

(44) Ahora podemos simplificar un poco las cosas. En primer lugar, ya que la matriz de rotación no afecta a los terceros componentes de los vectores. En segundo lugar, el término giroscópico es el nuevo igual a cero. Finalmente, cuando sustituimos f1 de (43) a (44), un poco de álgebra da

(45) Una vez más estos productos son bastantes sencillos, y el único cálculo difícil es el de . El resultado final es:

(46) Si ahora sustituimos el número 1 de (42) y recopilamos términos, obtendremos la primera ecuación en (47); los detalles son rutinarios y se dejan al lector.

(47)

CONCLUSIONES Los manipuladores industriales tienen gran futuro dentro de diferentes industrias, algo que me queda claro es la complejidad con la que matemáticamente se crean dispositivos que nos sirven para mejorar u optimizar algún proceso, con el fin de mejorar tiempos, además cabe resaltar el proceso para poder realizar tan sólo un solo movimiento, puesto que necesitamos realizar una metodología detallada sobre posicionarse de un punto a, hasta un punto b, tanto un desplazamiento angular como rotacional, también con este método se pueden ejercer fuerzas para posicionar no sólo el robot, si no hacerlo con objetos con un peso determinado.

BIBLIOGRAFÍAS Robot Modeling and Control,First Edition. Mark W. Spong, Seth Hutchinson, and M. Vidyasaga.

ALUMNO: CORAL DÍAZ JOSÉ EDUARDO MATERIA: ROBÓTICA NOMBRE DE LA UNIDAD: DOCENTE: ING. JORGE ALBERTO SILVA VALENZUELA

No DE CONTROL: 16080818 FECHA: 28/03/2020 GRADO Y GRUPO: 9A

Instrucciones: Este instrumento de evaluación corresponde a la rúbrica de evaluación de las tareas/investigaciones para la evaluación formativa del tema 1.

Rúbrica para Evaluación de Tareas/Investigaciones Tareas/Investigaciones: Valor 15% de la calificación parcial. Criterios Portada

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Suma Total Observaciones:

Nivel de desempeño Valoración Numérica Acreditación de la competenci a

Excelente

Notable

Bueno

Suficiente

Insuficiente

15-14

13 - 12

11 - 10

9-8