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Universidad de Costa Rica Sede del Pac´ıfico Curso: M´ etodos N´ umericos MA-0323

Profesor: Juan Cambronero

Alumnos: Ana Lisseth L´opez Montero B03532 Carolina Vargas Sibaja B27051 Bryan Mar´ın Quesada B23907 Investigaci´ on: Cuadratura Newton-Cotes

I Ciclo 2016

CUADRATURA DE NEWTON-COTES

¿Qu´e es una cuadratura?

La cuadratura n´ umerica es un m´etodo que utiliza polinomios interpolantes para aproximar el a´rea bajo cualquier curva f , en un intervalo real [a, b]; es decir, la integral Z

b

f (x)dx a

Idea del m´etodo de Newton-Cotes

Recordemos que el polinomio interpolante de Lagrange de grado n, L(x); definido por: L(x) =

n X

f (xk )lk (x),

n Y x − xi , con i 6= k lk (x) = x − xi i=0 k

donde

k=0

aproxima a la funci´on f , de modo que se puede garantizar la siguiente relaci´on: Z b Z b f (x)dx ≈ L(x)dx a

a

es decir, se puede aproximar al a´rea bajo f en el intervalo [a, b] usando la misma integral aplicada al polinomio de Lagrange de grado n. El problema en cuesti´on es el siguiente: dada una R bfunci´on f aproximar el a´rea bajo f en el intervalo [a, b], o dicho de otro modo aproximar a f (x)dx. La idea del m´etodo consiste en dividir el intervalo sobre el que vamos a trabajar en n segmentos igualmente espaciados, de modo que se generen n + 1 puntos distintos contenidos en [a, b] (tomando en cuenta los extremos como puntos), utilizando dichos puntos construimos un polinomio de Lagrange que interpole a f y procedemos a calcular la integral definida en [a, b] de dicho polinomio.

Cuadratura de Newton-Cotes (M´etodo Generalizado) Para hallar la f´ormula general del m´etodo de cuadratura Newton-Cotes, consideremos L(x) como el polinomio de Lagrange de grado n que pasa por n + 1 puntos contenidos en el intervalo [a, b], estos puntos deben adem´as dividir el intervalo en n sub-intervalos de igual tama˜ no h. Para explicar mejor esto daremos el siguiente enunciado: Sea f una funci´on continua en [a, b], y sea {x0 , x1 , x2 , · · · , xn } una partici´on del intervalo [a, b] , para alg´ un n ∈ N, entonces definimos x0 = a xn = b h = (b − a)/n xi = a + ih,

∀i ∈ {0, 1, 2, · · · , n}

Entonces es v´alida la siguiente relaci´on de equivalencia: !  Z b Z b X Z b Z b n n  X lk (x)dx f (xk )lk (x) dx = f (xk ) L(x)dx = f (x)dx ≈ a

a

a

k=0

k=0

a

Esta es la f´ormula general de Newton-Cotes para aproximar el a´rea bajo la curva f en el intervalo [a,b] (sin considerar el error que se genera entre el polinomio y la funci´on.)

Algunos m´etodos espec´ıficos de la Cuadratura de Newton-Cotes En esta secci´on analizamos algunos casos espec´ıficos de la cuadratura de Newton-Cotes. A partir del m´etodo generalizado descrito anteriormente, sea f una funci´on continua en [a, b] y sea n el n´ umero de sub-intervalos que se generan al colocar los puntos {x0 , x1 , x2 , · · · , xn } de manera equidistante sobre el intervalo [a, b], entonces tenemos los siguientes casos: Si n = 1, tomamos x0 = a, x1 = b y h = b − a. En este caso el polinomio de Lagrange L(x) que interpola a f sobre los nodos x0 y x1 , toma la forma de un polinomio lineal; a este caso lo llamamos la Regla del Trapecio. , x2 = b y h = b−a . En este caso el polinomio de Si n = 2, tomamos x0 = a, x1 = b+a 2 2 Lagrange L(x) que interpola a f sobre los nodos x0 , x1 y x2 , toma la forma de un polinomio cuadr´atico; a este caso lo llamamos la Regla de Simpson. Si n = 3, tomamos x0 = a, x1 = b+2a , x2 = 2b+a , x3 = b y h = b−a . En este caso el po3 3 3 linomio de Lagrange L(x) que interpola a f sobre los nodos x0 , x1 , x2 y x3 , toma la forma de un polinomio c´ ubico; a este caso lo llamamos la Regla de Simpson 3/8.

Regla del Trapecio Como se dijo anteriormente para el caso de la Regla del Trapecio, si construimos el Polinomio de Lagrange que interpole a f sobre los nodos x0 = a y x1 = b, obtendremos un polinomio lineal que es el siguiente: L(x) = f (x0 )

x − x1 x − x0 + f (x1 ) x0 − x1 x1 − x0

Teorema: Sea f

una funci´on continua en un intervalo real [a, b] y sea L(x) el polinomio de Lagrange que interpola a f en los nodos x0 = a y x1 = b, entonces si definimos h = b − a = x1 − x0 se sigue que: Z x1 h f (x)dx ≈ [f (x0 ) + f (x1 )] 2 x0

Demostraci´on: Z

x1

Z

x1

f (x)dx ≈ x0

L(x)dx x0 x1

 x − x0 x − x1 + f (x1 ) dx = f (x0 ) x0 − x1 x1 − x0 x0 Z x1 Z x1 −f (x0 ) f (x1 ) = (x − x1 )dx + (x − x0 )dx h h x0 x0 x x −f (x0 ) (x − x1 )2 1 f (x1 ) (x − x0 )2 1 = · + h · h 2 2 x0 x0 Z



=

−f (x0 ) −(x0 − x1 )2 f (x1 ) (x1 − x0 )2 · + · h 2 h 2

=

f (x0 ) (−h)2 f (x1 ) h2 · + · h 2 h 2

= f (x0 ) · =

A la relaci´on

R x1 x0

h h + f (x1 ) · 2 2

h [f (x0 ) + f (x1 )] 2

?

f (x)dx ≈ h2 [f (x0 ) + f (x1 )] la llamamos la Regla del Trapecio.

Regla de Simpson En el caso de la Regla de Simpson, si construimos el Polinomio de Lagrange que interpole a f sobre los nodos x0 = a, x1 = b+a y x2 = b obtendremos un polinomio cuadr´atico que es el 2 siguiente: L(x) = f (x0 )

(x − x1 )(x − x2 ) (x − x0 )(x − x2 ) (x − x0 )(x − x1 ) + f (x1 ) + f (x2 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 )

Teorema: Sea f

una funci´on continua en un intervalo real [a, b] y sea L(x) el polinomio de Lagrange que interpola a f en los nodos x0 = a, x1 = b+a y x2 = b, entonces si definimos 2 x2 −x0 h = b−a = se sigue que: 2 2 Z x2 h f (x)dx ≈ [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] 3 x0

La demostraci´on del Teorema se omite, sin embargoR es muy similar a la utilizada en la Regla x del Trapecio pero un poco m´as larga. A la relaci´on x02 f (x)dx ≈ h3 [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] la llamamos la Regla de Simpson.

Regla de Simpson 3/8 En este u ´ltimo caso a analizar se llama la Regla de Simpson 3/8, si construimos el Polinomio de Lagrange que interpole a f sobre los nodos x0 = a, x1 = b+2a , x2 = 2b+a y x3 = b obtendremos 3 3 un polinomio c´ ubico que es el siguiente: L(x) = f (x0 ) +f (x2 )

(x − x0 )(x − x2 )(x − x3 ) (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) + f (x1 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 )

(x − x0 )(x − x1 )(x − x3 ) (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) + f (x3 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 )(x2 − x3 ) (x3 − x0 )(x3 − x1 )(x3 − x2 )

Teorema: Sea f

una funci´on continua en un intervalo real [a, b] y sea L(x) el polinomio de Lagrange que interpola a f en los nodos x1 = b+2a , x2 = 2b+a y x3 = b, entonces si definimos 3 3 x3 −x0 b−a h = 2 = 3 se sigue que: Z x3 3h f (x)dx ≈ [f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] 8 x0

Al igual que el caso anterior la demostraci´on del Teorema se omite, sin embargo es muy similar a la que se realiz´o en la Regla del Trapecio, pero mucho m´as larga. A la relaci´on R x3 [f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] la llamamos la Regla de Simpson 3/8. f (x)dx ≈ 3h 8 x0

Ejemplo 1: Determine usando la regla del Trapecio una aproximaci´on para Z

3

xx ex

1

Soluci´ on: Utilizando la Regla del Trapecio en el intervalo [1, 3] tenemos que: x0 = a = 1, x1 = b = 3 y h = b − a = 3 − 1 = 2 Entonces aplicando la f´ormula descrita anteriormente se sigue que: Z x1 h f (x)dx ≈ [f (x0 ) + f (x1 )] 2 x0   2 = f (1) + f (3) 2 =

1 27 + e e3

=

27 + e2 e3

≈ 1, 71213...

Figura 1: Regla del Trapecio

Ejemplo 2: Repetir el mismo ejercicio anterior usando la regla de Simpson. Soluci´ on: En esta ocasi´on usamos la Regla de Simpson en el intervalo [1, 3] tenemos que: x0 = a = 1, x1 =

b+a 2

=

3+1 2

= 2, x2 = b = 3, y h =

b−a 2

=

3−1 2

=1

Entonces aplicando la f´ormula descrita anteriormente se sigue que: Z x2 h f (x)dx ≈ [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] 3 x0   1 = f (1) + 4f (2) + f (3) 3   1 1 16 27 = + + 3 3 e e2 e =

27 + 16e + e2 3e3

≈ 1, 2925...

Figura 2: Regla de Simpson

Notas 1- En este trabajo no se tom´o en cuenta el error que se genera entre el polinomio interpolante de Lagrange de grado n y la funci´on f (x), debido a ello solo se pueden dar aproximaciones no muy precisas a la integral real.

2- Tomando en cuenta el factor del error, sea ξ un valor real tal que a < ξ < b; con esto se pueden reescribir las f´ormulas de Trapecio, Simpson y Simpson 3/8, como sigue: a-Regla del Trapecio: Z x1 h h3 f (x)dx = [f (x0 ) + f (x1 )] − f 00 (ξ) 2 12 x0

con x0 < ξ < x1

b-Regla de Simpson: Z x2 h h5 f (x)dx = [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] − f (4) (ξ) 3 90 x0

con x0 < ξ < x2

b-Regla de Simpson 3/8: Z x3 3h5 (4) 3h [f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] − f (ξ) f (x)dx = 8 80 x0

con x0 < ξ < x3

3- Todas las f´ormulas a las que se refiere este trabajo son f´ormulas cerradas de Newton-Cotes, sin embargo existen otro conjunto de f´ormulas de Newton-Cotes, en las cuales se colocan n + 1 puntos sobre intervalo ]a, b[ definidos por xi = x0 + ih, ∀i = {0, 1, · · · , n}, donde x0 = a + h y b−a . Lo anterior implica que xn = b − h, se suele denotar x−1 = a y xn+1 = b, con lo cual h = n+2 se puede denotar:  Z b Z xn+1 Z xn+1 Z b n  X f (x)dx = f (x)dx ≈ L(x)dx = f (xk ) lk (x)dx a

x−1

x−1

k=0

a

donde nuevamente L(x) es el polinomio de Lagrange que interpola a f en los nodos {x0 , x1 , · · · , xn }. A este enunciado se le conoce como f´ ormulas abiertas de Newton-Cotes

4- No es muy adecuado trabajar con las f´ormulas de Newton-Cotes para intervalos demasiado grandes, pues en general la aproximaci´on ser´ıa muy lenta; es por ello que muchas veces se usan f´ormulas generalizadas que consisten en dividir el intervalo en un n´ umero m de segmentos equidistantes y aplicar a cada uno de ellos las reglas de Trapecio, Simpson, Simpson 3/8 o cualquiera de orden superior seg´ un se desee.

5- En las f´ormulas cerradas de Newton Cotes cuando n = 4 se llama Regla de Boole. En las f´ormulas abiertas cuando n = 0 se llama Regla del punto medio.

Bibliograf´ıa - (2002), Richard L. Burden y J. Douglas Faires, An´alisis N´ umerico, International Thompson Editores, S.A. de C.V., S´eptima Edici´on.

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