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• Gerardo Sarmiento

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MOVIMIENTO CIRCULAR

EL RADIAN

MCU MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Y UNIFORMEMENTE ACELERADO

VELOCIDAD ANGULAR

VELOCIDAD TANGENCIAL

EL RADIAN

Si tienes un ángulo y quieres saber cuanto mide, lo mides con el transportador. Esto te da el ángulo medido en grados. Este método viene de dividir la circunferencia en 360 º. Para usar la calculadora en grados tienes que ponerla en DEG ( Degrees, que quiere decir grados en inglés ). El sistema de grados sexagesimales es UNA manera de medir ángulos. Hay otros métodos. Por ejemplo, tienes el sistema francés que divide la circunferencia en 400 grados. Este sistema no se usa. Ahora quiero que veas el asunto de medir los ángulos en RADIANES. Este es el sistema nuevo que tienes que aprender porque es el que se usa acá en movimiento circular. Fíjate. Para medir un ángulo en radianes se hace así: Se mide el largo del arco abarcado por el ángulo. Esto lo puedes hacer con un centímetro, con un hilito o con lo que sea !

Se mide el radio del circulo. Para tener el valor del ángulo medido en radianes hago esta cuenta:

Fíjate que hacer la división del arco sobre radio significa ver cuantas veces entra el radio en el arco. Como el radio se mide en metros y el arco también, el radián resulta ser un número sin unidades ¿ A cuántos grados equivale un radián ? Veamos. Dibujo una circunferencia entera y hago una cuentita: Para una circunferencia entera, el arco es el perímetro, que vale 2 Pi por radio. Así que 360° equivalen a :

Por lo tanto, 1 radian es un ángulo que es un poco mayor que una porción de pizza.

El Movimiento Circular Uniforme es aquel en el que el móvil se desplaza en una trayectoria circular (una circunferencia o un arco de la misma) a una velocidad constante. Se consideran dos velocidades, la rapidez del desplazamiento del móvil y la rapidez con que varía el ángulo en el giro

Considerando que la frecuencia es la cantidad de vueltas sobre el tiempo, la velocidad angular también se puede expresar como:

Velocidad angular en movimiento circular uniforme

Una misma velocidad angular se puede poner de varias maneras diferentes. Por ejemplo, para los lavarropas o para los motores de los autos se usan las revoluciones por minuto (RPM). También a veces se usan las RPS ( = Revoluciones por segundo ).

La velocidad angular es la rapidez con la que varía el ángulo en el tiempo y se mide en radianes / segundos. (2 π [radianes] = 360°)

En MCU la velocidad angular es constante.

También se usan los grados por segundo y los radianes por segundo. Es decir, hay muchas unidades diferentes de velocidad angular. Todas se usan y hay que saber pasar de una a otra. No es muy complicado el pasaje. Hay que hacer regla de 3 simple.

Por lo tanto si el ángulo es de 360 grados (una vuelta) y se realiza por ejemplo en un segundo, la velocidad angular es: 2 π [rad / s].

Por ejemplo, paso una velocidad de 60 RPM a varias unidades diferentes:

Si se dan dos vueltas en 1 segundo la velocidad angular es 4 π [rad / s]. Si se da media vuelta en 2 segundos es 1/2 π [rad / s]. La velocidad angular se calcula como la variación del ángulo sobre la variación del tiempo.

La mas importante de todas las unidades de velocidad angular es la de radianes por segundo. Esta unidad es la que se usa en los problemas. Ahora, una aclaración importante: Los chicos

dicen: Bueno entonces las unidades de la velocidad angular ω van a ser:

Frecuencia y período Frecuencia La frecuencia mide la cantidad de vueltas que se dan en un período de tiempo (normalmente un segundo). La unidad más común es el Hertz. Un Hertz equivale a una vuelta en un segundo (1 / s).

Esto es correcto. Pero hay un problema. Resulta que el radian es un número sin unidad. Y la palabra Radián suele no ponerse. De manera que las unidades que se suelen usar en la práctica son 1/seg .

Período

Este 1/seg a veces también lo ponen así: 1/ s o así : s-1 . Muchas veces aparece en los parciales la velocidad angular en segundos a la menos uno y la gente no entiende lo que es.

De la misma forma la frecuencia se puede calcular como la inversa del período.

El período mide el tiempo que se tarde en dar una vuelta completa y se mide en segundos. Es la inversa de la frecuencia.

Velocidad tangencial en MCU La velocidad tangencial es la velocidad del móvil (distancia que recorre en el tiempo). Por lo tanto para distintos radios y a la misma velocidad angular, el móvil se desplaza a distintas velocidades tangenciales. A mayor radio y a la misma cantidad de vueltas por segundo, el móvil recorre una trayectoria m a y o r, p o r q u e e l p e r í m e t r o d e e s a circunferencia es mayor y por lo tanto la

velocidad tangencial también es mayor. La velocidad tangencial se mide en unidades de espacio sobre unidades de tiempo, por ejemplo [m/s], [km / h], etc. Se calcula como la distancia recorrida en un período de tiempo.

Por ejemplo si se recorre todo el perímetro de una circunferencia de radio 5 metros en 1 segundo, la velocidad tangencial es:

Ecuación de la velocidad tangencial La ecuación que se utiliza para calcular la velocidad tangencial se expresa como la velocidad angular por el radio.

Para el ejemplo anterior la calculamos como:

E n M C U l a ve l o c i d a d t a n g e n c i a l e s constante (en módulo) para un mismo punto. A mayor distancia del eje, la velocidad tangencial aumenta. Su dirección varía continuamente, teniendo siempre la misma dirección que la recta tangente al punto en donde se encuentre el móvil

Posición respecto del tiempo en MCU En mcu podemos conocer en que posición se encuentra el móvil luego de un tiempo, calculando el ángulo que giró en ese intervalo. Una vez que tenemos el ángulo restamos un número entero k (número de vueltas) multiplicado por 2 π (ángulo de una vuelta) y obtenemos el ángulo en radianes en el que se encuentra el móvil. La ecuación para determinar la posición respecto del tiempo, utilizando la velocidad angular, es similar a la de mru, pero en vez de distancias utilizamos los ángulos.

EL PERIODO T: Es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta. Por ejemplo, el periodo de rotación de la tierra es 24 hs. El periodo de rotación de la aguja grande del reloj es de 1 hora. El período se mide en segundos. ( O en hs, minutos, etc ). LA FRECUENCIA f Es el Nro de vueltas por segundo que da el cuerpo. ( Por ejemplo, 3 vueltas por segundo, 5 vueltas por segundo.... etc.). Las unidades de la frecuencia son " 1 / seg " . A esta unidad se la llama Hertz. 1 Hz = 1 / seg . A veces vas a ver puesto el Hz como seg -1 o s -1 ). La frecuencia es la inversa del periodo :

ACELERACION CENTRIPETA (ojo con esto!!) En el movimiento circular uniforme, el largo de la flecha que representa al vector velocidad tangencial no cambia. Esto quiere decir que el módulo de la velocidad tangencial es constante. Pero ojo!, lo que sí cambia es LA DIRECCION del vector ( Atento ).

de la velocidad.

Y este es el problema, porque cuando hay un cambio de velocidad tiene que haber una aceleración. Esa aceleración se llama centrípeta, y lo que la provoca es el cambio de dirección del vector velocidad tangencial. Fijate en el siguiente dibujito Esta aceleración centrípeta apunta siempre hacia el centro. Explicar por qué la aceleración centrípeta apunta hacia adentro es un poco complicado . Lo lógico sería decir que la acent apunta hacia fuera, porque cuando un colectivo dobla uno tiende a irse " hacia fuera " Pero bueno, explicar esto es un poco complicado. La aceleración centrípeta se calcula por cualquiera de las siguientes dos maneras:

OTRAS FORMULAS QUE SE USAN EN MOVIMIENTO CIRCULAR La velocidad angular w era el ángulo girado dividido el tiempo empleado. Cuando el tiempo empleado sea justo un período ( T ), el ángulo girado será 2 PI . ( = una vuelta). Entonces voy a poder calcular la velocidad angular w como:

Pero como f = 1 / T, esta misma formula se puede poner como:

EJEMPLOS 1.- Un disco de 20 cm de radio gira a 33,33 rpm. Halla su velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta de: a) Un punto de su periferia. b) Un punto situado a 10 cm del centro. c) ¿Cuánto tiempo tardará el disco en girar 780º? d) ¿Y en efectuar 15 revoluciones? La velocidad angular no depende de la distancia que separa al punto considerado del centro del disco. Todos los puntos de un mismo radio del disco describen el mismo ángulo en el mismo tiempo. Pasamos  la  longitud  del  radio  y  la  velocidad  angular  a  unidades  del  sistema  internacional: R=0,2  m   ; También  se  puede  dejar  sin  operar     a)

b)

c)  Calculamos  las  vueltas  que  da  el  disco  dividiendo  los  780º  entre  360º  que  describe  en  cada  vuelta:

;    Podemos  calcular   el   tiempo   mediante   una   regla  de   tres  o   multiplicando   por   el   factor   de   conversión  que  quite   vueltas  y  ponga  minutos:

También podemos pasar los 780ª a radianes: ; d)    Multiplicamos  por  el  mismo  factor  de  conversión  que  en  el  apartado  anterior:

3.- Las ruedas de un automóvil tienen 60 cm de diámetro. Calcular con qué velocidad angular giran cuando el automóvil se desplaza a 72 km/h. r  =60/2=30  cm  =  0,3  m

4.-­‐  Un  automóvil  que    va  a  20  m/s  recorre  el  perímetro  de  una  pista  circular  en  un  minuto. a) Determinar el radio de la misma. b) ¿Tiene aceleración el automóvil? En caso afirmativo, determina su módulo, su dirección y su sentido. a)

Calculamos la velocidad angular y hallamos el radio a partir de la ecuación que relaciona la velodidad angular y la lineal:

b)

Si, tiene aceleración centrípeta aunque el módulo de su velocidad sea constante, ya que describe un movimiento circular. Su dirección es la de la recta que une al punto donde se encuentra el móvil con el centro de la circunferencia; su sentido, hacia el centro de la circunferencia y su módulo:

5.-­‐  Un  automóvil  recorre  con  velocidad  constante  una  circunferencia  de  50  cm  de  radio  con  una  frecuencia  de  10   Hz.  Determina: a) El período. b) La velocidad angular y lineal. c) Su aceleración.

a) b) c)

Actividades 1.- Las ruedas de un automóvil tienen 60 cm de diámetro. Calcular con qué velocidad angular giran cuando el automóvil se desplaza a 72 km/h. 2.- Un coche que va a 20 m/s recorre el perímetro de una pista circular en un minuto. a) Determinar el radio de la misma b) ¿Tiene aceleración el coche? En caso afirmativo, determina su módulo, su dirección y su sentido. 3.- Un coche recorre con velocidad constante una circunferencia de 50 cm de radio con una frecuencia de 10 Hz. Determina: a) El período b) La velocidad angular y lineal c) Su aceleración

2

4.- Un disco de 20 cm de radio gira a 33,33 rpm. Halla su velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta de: a) Un punto de su periferia b) Un punto situado a 10 cm del centro c) ¿Cuánto tiempo tardará el disco en girar 780º? d) ¿Y en efectuar 15 revoluciones?

5.- Calcular la rapidez circunferencial de un volante de 40 cm de radio, si da 50 vueltas en 20 segundos. 6.- El borde de una rueda lleva una velocidad de 14 m/s, da 140 vueltas en 2/3 de minuto. Calcular cuánto mide el radio. 7.- Un astronauta está a 36.000 km. de altura. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Su masa ha disminuido, por eso pesa menos. b) La aceleración de la gravedad es menor que en la superficie. c) La constante de la gravitación universal es menor 8.- Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) La gravitación es una fuerza que se ejerce sobre cualquier cuerpo de la naturaleza

Actividades b) El alcance de la atracción gravitatoria es infinito c) La atracción gravitatoria es una fuerza muy débil d) La gravitación es la responsable de la evolución y de la estructura del universo 9.- Una nave espacial de 3500 kg se encuentra en el punto medio de la línea que une la Tierra y la Luna. Calcula: a) La fuerza resultante que se ejerce sobre la nave. b) ¿Existirá algún punto entre la Luna y la Tierra en la que esa fuerza resultante sea nula? Razona tu respuesta Datos: G = 6'67 · 10-11 7,35·1022 kg.

N·m2/kg

2

; distancia Tierra-Luna = 384000 km ; MTierra = 5,9·1024 kg ; MLuna =

10.- En el movimiento de caída libre (sin rozamiento con el aire) expresa razonando con palabras la relación existente entre: a) altura de caída y velocidad de llegada al suelo; b) masa del objeto y aceleración de caída; c) distancia recorrida y tiempo transcurrido; d) fuerza gravitatoria y tiempo de caída. 11.- Un automóvil de 1200 kg de masa toma una curva de 10 m de radio a una velocidad de 90 km/h. Calcula el valor de la fuerza centrípeta.

PRACTICA 1 Base 1 Esparrago 1 Pedazo de Hilo 1 Pesa 1 Flexometro 1 Cronometro 1 Nuez Mida la altura de la cuerda (40 cm) amarre la pesa haga oscilar la pesa y mida el tiempo que tarda en 5 oscilaciones completas Realiza los cálculos pertinentes y toma las imágenes para realizar la práctica Si cuentas con el programa logger pro toma el video y crea el videoanálisis, también realiza el calculo con los datos tomados

Leyes de Kepler

Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol enuncio las siguientes leyes: Primera ley (1609): todos los planetas se desplazan alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas. El Sol está en uno de los focos de la elipse. Segunda ley (1609): el radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular L es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su distancia al centro del Sol.

Tercera ley (1618): para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor a de su órbita elíptica.

Donde, T  es el periodo orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol), (L)   la distancia media del planeta con el Sol y K   la constante de proporcionalidad