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DIRECCIÓN REGIONAL DE EDUCACIÓN DE PASCO I CONGRESO REGIONAL DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

“RESOLUCIÓN Y CREACIÓN DE PROBLEMAS DE LAS OLIMPIADAS DE MATEMÁTICA” (MÓDULO DE APOYO)

NAPA BERNUY, Ángel Gerardo

Cerro de Pasco - Perú 2018

I.

INTRODUCCION.

La Ciencia de las Matemáticas es dinámica, siempre se ha insertado en la historia de la humanidad como ciencia autónoma y como instrumento de apoyo para otras ciencias, unida al desarrollo de la tecnología así como también ligada a la filosofía por su reflexión teórica. Por lo tanto la educación matemática tiene fundamental incidencia en el desarrollo intelectual de los estudiantes tanto en forma individual como grupal. Es responsabilidad de cada uno de nosotros formar ciudadanos sanamente inquietos, con gran curiosidad, escépticos y ganas de aprender, y con conocimientos propios para poder hacerlo. El Proceso de Enseñanza-Aprendizaje de la Ciencia Matemática, en el contexto de la Universidad, debe constituir una instancia en la que el futuro profesional interactúe con el conocimiento matemático de un modo constructivo que le permita apropiárselo y, simultáneamente, le proporcione la vivencia de que él también es un productor - generador de dicho conocimiento; es esta vivencia la que le permitirá revalorizarse como sujeto activo de su propio proceso de formación. Las competencias de resolución de problemas son el eje de la actividad matemática. Estas competencias se desarrollan mediante el tratamiento de ciertos contenidos por su valor instrumental ante las demandas científicas, tecnológicas, sociales y éticas, de este tiempo. En consecuencia, la formación del futuro profesional, la búsqueda de ejes de articulación e integración entre contenidos y métodos, conocimientos y procedimientos, saberes científicos y saberes de construcción posibilitan la evolución de la estructura del pensamiento. Hoy, me queda darles la bienvenida por su participación en este I Congreso Regional de Educación Matemática que, a partir de hoy, esperamos les ayude a entender y puedan ayudar a mejorar los conocimientos ya adquiridos para aplicarlos en el fascinante mundo de la Olimpiadas de Matemática y poder conseguir que nuestra región de Pasco pueda optimizar el nivel académico de sus estudiantes. Pensé en este módulo acorde con la fundamentación del área, para que juntos comencemos a repasar algunos contenidos que trabajaron en la educación secundaria, pero además fue mi inquietud al elaborar estas páginas tengan otro objetivo: comenzar a prepararlos para el estilo de trabajo que se espera que desarrollen en el ámbito académico superior. Es bien sabido que la asimilación del estilo de trabajo habitual en una Universidad no se adquiere de la mañana a la noche y por eso este módulo y todo el trabajo que vamos a desarrollar juntos durante este Congreso Regional es una pequeña muestra del mismo (como para “empezar”) y esperamos continuar con esta tarea durante todo el desarrollo de los tres meses para su certificación en forma explícita. En este marco es conveniente contarles algunas características del material que tienen en sus manos de manera que no se sorprendan al encontrarse con la propuesta y puedan aprovecharla de la mejor manera. Al iniciar con esta comunicación con ustedes quiero que sepan que estamos conscientes de que la Matemática suele considerarse una de las materias más difíciles y por ahí es cierto: es una materia que necesita que le presten mucha atención. Pero también quiero hacerles recordar que históricamente es fruto del trabajo sostenido de muchas personas. Personas como ustedes y como nosotros. Es cierto que entre las personas algunas son capaces de lograr genialidades con lo que todos manejamos cotidianamente pero también es verdad que no es necesario ser un genio capaz de inventar un teléfono celular, para usarlo en forma competente. Continuando con la explicación de este módulo, en primer lugar se han pensado dos bloques que serán los ejes de trabajo en este Congreso Regional:  Bloque 1: Resolución de Problemas de Olimpiadas de Matemática

 Bloque 2: Creación de Problemas de Olimpiadas de Matemática Estos dos bloques tienen una estructura que progresivamente irán incentivando una forma de trabajo autónomo. En cada uno de los bloques encontrarás multitud de actividades que les permitirán  Recordar los contenidos involucrados Así mismo, se trató de secuenciar las actividades para que repases.  Aplicar esos contenidos en la resolución de problemas Por cada Bloque existen tres tipos de estas actividades: ejercicios, desafíos y problemas. En cada tipo de actividades tendrás la oportunidad de poner en práctica tus conocimientos. Los desafíos suelen ser problemas al interior de los contenidos trabajados, no son tan difíciles, en todos se han incluidos algunas ayudas, pero lo importante es que se “animen” con ellos y traten de lograr algo aunque tengan que realizar consultas entre ustedes o coordinando con mi persona. En el caso de los problemas es posible que, además de conocer los contenidos necesarios para resolverlos, tengan que usar una cuota de ingenio para poder interrelacionarlos y lograr una solución aunque sea provisoria. 

Distinguir cuestiones que es importante que consulten y estudien

Vas a encontrar que permanentemente aparecen recuadros o señalamientos que es importante que tengan en cuenta a la hora de solucionar los problemas. Recuerda que este módulo te pertenece y que resultará conveniente que te adueñes de él para realizar anotaciones de cuestiones que te parezcan importantes y que amplíes de forma personal lo que sugiero que estudies. Esta es una propuesta que espero mejorarla después de ponerla en acción con tu ayuda, por lo que espero que lo utilices lo mejor que puedan y realices consultas para que pueda hacer los cambios para beneficio de quienes mañana serán tus colegas. Te agradezco tu trabajo, el empeño que, estoy seguro, vas a poner en este módulo

Tutor de Olimpiada de Matemática

III.

DESARROLLO:

BLOQUE 1: Resolución de Problemas de Olimpiadas de Matemática 1.- Introducción: En este bloque recordaremos los distintos conjuntos numéricos, su representación en la recta numérica y la resolución de ecuaciones e inecuaciones. Ésta es una de las etapas en la que haremos un recorrido por conocimientos ya adquiridos, por lo tanto no se preocupen, todo esto ya lo vieron, tenemos ahora la oportunidad de revisar juntos todo lo que ya saben. La idea es que logren Interpretar enunciados coloquiales y pasarlos al “lenguaje matemático” para resolver situaciones problemáticas, es decir que repasen el trabajo de resolución de ecuaciones e inecuaciones logrando reconocer los tipos de números que estén involucrados en ese trabajo. Durante mucho tiempo se ha considerado la resolución de problemas como una parte esencial de la enseñanza de las matemáticas. Polya en el libro "Cómo plantear y resolver problemas", establece cuatro fases a seguir para enfrentarse a un problema: la primera, es comprender el problema, es decir, que el alumno tiene que interiorizar el problema en su totalidad, pues no tiene sentido solucionar un problema que no se entiende; la segunda, es la concepción de un plan, que es una de las fases más importantes para solucionar un problema, debido a que salen a relucir nuestros conocimientos ya adquiridos, buenos habito de pensamiento, concentración y buena suerte y además creamos un posible camino a seguir para resolver dicho problema; la tercera es la ejecución de un plan, donde el estudiante debe tener claridad y seguridad en cada paso que da y la cuarta, la visión retrospectiva, consiste en revisar la solución del problema y ahondar en los detalles que se puedan mejorar para así lograr una mayor comprensión del mismo y mejorar su solución. 2.- Guía de lectura introductoria Se entregará el día de la exposición 3. Guía de trabajo Nº 01 Las Olimpiadas Matemáticas son competiciones de resolución de problemas de matemáticas e ingenio para estudiantes de distintos niveles educativos. Las Olimpiadas han llegado a tomar diferentes formas, desde pruebas de selección múltiple hasta pruebas de tipo investigativo de varias semanas de duración, compuestas por tareas que colindan o conllevan a problemas abiertos. Independientemente de la forma y envergadura que puedan tener los problemas, la matemática es lo suficientemente amplia y elástica que permite proponer problemas que desarrollan la capacidad del estudiante hacia la superación personal en matemáticas. 3.1.- Actividad 1 Ejercicio N° 01 Halle la suma de todos los números en el siguiente arreglo: 1 2 3 4

2 4 6 8

3 6 9 12

4 8 12 16

Exprese el resultado mediante una multiplicación. A) 10 x 10 24

B) 15 x 15

C) 16 x 12

D) 15 x 21

E) 10 x

Solución: Una forma de resolver el problema es sumar cada uno de los 16 términos, y verificar cuál de los 5 productos mencionados en las claves coincide con la respuesta. Sin embargo, hay otras formas de sumar estos números. Para esto, observemos que las 4 filas de la figura tienen una estructura bien similar: de hecho, los términos de la segunda fila son el doble de los términos de la primera fila; y los términos de la tercera y cuarta fila son, respectivamente, el triple y cuádruple de los términos de la primera fila. Con esta información no es difícil darse cuenta que, si denominamos 𝑆 a la suma de los términos de la primera fila, tendremos que la suma de los términos de la segunda, tercera y cuarta fila son 2𝑆, 3𝑆 𝑦 4𝑆, respectivamente. Y con esto la suma total será 10 𝑆. Por último, no es difícil ver que los números de la primera fila suman 10. Podemos concluir que la suma de todos los números es igual al total de la suma de cada fila, que es 10 𝑆 = 10 𝑥 10 𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑨

3.2.- Actividad 2

Ejercicio N° 02

Pedro dibujo un rectángulo cuya diagonal mide 19 cm. Si la base y altura del rectángulo de Pedro aumentan en 3 cm, entonces la diagonal aumenta en 4 cm. Calcule el perímetro del rectángulo inicial.

A) 38 cm

B) 52 cm

C) 50 cm

D) 54 cm

E) 48 cm

Solución: Sean 𝑎 y 𝑏 los lados del rectángulo inicial medidos en centímetros. El problema pide el valor de 2(𝑎 + 𝑏). Por datos del problema tenemos que los lados del rectángulo final son 𝑎 + 3 y 𝑏 + 3. Usando el teorema de Pitágoras en ambos rectángulos tenemos las siguientes igualdades:

𝑎2 + 𝑏 2 = 192 (𝑎 + 3)2 + (𝑏 + 3)2 = 232 Restando la primera ecuación a la segunda y usando diferencia de cuadrados tenemos lo siguiente: [(𝑎 + 3)2 − 𝑎2 ] + [(𝑏 + 3)2 − 𝑏 2 ] = 232 − 192 3(2𝑎 + 3) + 3(2𝑏 + 3) = 4𝑥42 2𝑎 + 2𝑏 + 6 = 4𝑥14 = 56 2(𝑎 + 𝑏) = 50 Concluimos que el perímetro del rectángulo original es 50 𝑐𝑚 𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑪 3.3.- Actividad 3 Ejercicio N° 03 Sean m y n números enteros. ¿En cuál o cuáles de los siguientes casos se puede asegurar que ImI + n = Im + nI? I. Cuando m > 0. II. Cuando n > 0. III. Cuando m + n > 0. A) solo I

B) solo II

C) I y II

D) I y III

E) en ningún caso

Solución: I)

Si 𝑚 fuera positivo, la igualdad arriba sería equivalente a la siguiente: 𝑚 + 𝑛 = |𝑚 + 𝑛|. Esto no es cierto si 𝑚 + 𝑛 fuera negativo. Podemos crear un ejemplo sencillo tomando 𝑚 = 1 𝑦 𝑛 = −2. Vemos que −1 = |1| − 2 ≠ |1 − 2| = 1, por lo que esta afirmación es falsa.

II)

Si 𝑛 fuera positivo, vemos que el lado izquierdo es siempre positivo, mientras que el lado derecho es siempre no negativo. Podemos aprovechar esta situación creando un ejemplo donde el lado derecho sea cero tomando 𝑚 = −1 𝑦 𝑛 = 1. Vemos que 2 = |−1| + 1 ≠ |−1 + 1| = 0, por lo que esta afirmación es falsa.

III)

Si 𝑚 + 𝑛 es positivo, la igualdad arriba sería equivalente a la siguiente: |𝑚| + 𝑛 = 𝑚 + 𝑛 → |𝑚| = 𝑚. Esto no es cierto cuando 𝑚 es negativo. Podemos crear un ejemplo tomando 𝑚 = −1 𝑦 𝑛 = 2. Vemos que 3 = |−1| + 2 ≠ |−1 + 2| = 1, por lo que esta afirmación es falsa.

Podemos concluir que ninguna de estas afirmaciones es falsa. 𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑬

3.4.- Actividad 4

Desafío N° 01

En la siguiente figura se muestra un cuadrado dividido en cuatro rectángulos de lados enteros. Si los cuatro rectángulos tienen área S, determine el menor valor posible de S.

A) 36

B) 80

C) 144

D) 120

E) 90

Solución: Sean 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 𝑦 𝑆4 los rectángulos mostrados en la figura. Llamaremos 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑦 𝑒 a los valores de los segmentos como se muestra en la figura. Sea 𝑆 el área de cada rectángulo y 𝑙 el lado del cuadrado. Igualando las 4 áreas posibles: En S1 y S2: 𝑎𝑑 = 𝑆 = 𝑏𝑑 → 𝑎 = 𝑏 En S1 y S3: 𝑎𝑑 = 𝑆 = (𝑎 + 𝑏)𝑒 = 2𝑎𝑒 → 𝑑 = 2𝑒 En S1 y S4: 𝑎𝑑 = 𝑆 = 𝑐(𝑑 + 𝑒) = 𝑐 (

3𝑑 2𝑎 )→𝑐= 2 3

Como todas las variables mencionadas son enteras positivas, podemos expresar 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 como: 𝑎 = 3𝑘, 𝑏 = 3𝑘 𝑦 𝑐 = 2𝑘 Con 𝑘 entero positivo. Como la figura total es un cuadrado, también tenemos las siguientes igualdades: 8𝑘 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑙 = 𝑑 + 𝑒 = 3𝑒

Nos damos cuenta que 𝑙 tiene que ser divisible por 8 y 3. Así que 𝑙 es de la forma 𝑙 = 24𝑚 Con esto, tenemos que el área de cada rectángulo es la cuarta parte del cuadrado total: 𝑆=

𝑙 2 (24𝑚)2 = = (12𝑚)2 4 4

Como quiero el menor valor posible de 𝑆 y también sabemos que 𝑚 es entero positivo, el mínimo valor se da cuando 𝑚 toma su mínimo valor, que será 1. Concluimos entonces que el menor valor de 𝑆 será 𝑆 = 122 = 144. 𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑪

3.5.- Actividad 5 Desafío N° 02 Determine de cuántas formas se pueden ordenar los números 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10 en las casillas de la siguiente fila, de tal forma que la suma de cualesquiera dos números adyacentes sea mayor o igual que 11.

A) 12

B) 6

C) 3

D) 2

E) 1

Solución: Por comodidad, llamamos 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛ó 𝑎 al bloque de las casillas de la posición 𝑎 y 𝑎 + 1. Sea 𝑎𝑖 el número en la posición 𝑖. No es difícil ver que los dominós 1,3, 5, 7 y 9 son disjuntos y contienen a los 10 números. Por un lado, la suma de los términos de cada uno de estos dominós mencionados es al menos 11, así que la suma de los términos de los 5 dominós es al menos 5𝑥11 = 55. Pero sabemos que estos 10 números son los primeros 10 naturales positivos. Así que la suma de los 10 números es exactamente 55. Para que no haya contradicción alguna, es necesario que todas las desigualdades sean igualdades. Deducimos que la suma de los términos de cada uno de los dominós mencionados es exactamente 11. Con esto, sea 𝑎, 𝑏 , 𝑐 𝑦 𝑑 los números en las posiciones 3, 6 ,8 𝑦 10, respectivamente, y sean 𝑥 𝑒 𝑦 los valores del primer y segundo número. Como 4 y 𝑎 son elementos del dominó 3, tenemos que 4 + 𝑎 = 11, por lo que a = 7. x

y

a

4

11-b

b

11-c

c

11-d

d

Del dominó 4 tenemos que 4 + (11 − 𝑏) ≥ 11 → 𝑏 ≤ 4. Analizando de la misma forma los dominós 6, y 8 tenemos que:

𝑏 + (11 − 𝑐) ≥ 11 → 𝑏 ≥ 𝑐, 𝑐 + (11 − 𝑑) ≥ 11 → 𝑐 ≥ 𝑑 Como todos los números son distintos tenemos que 4 > 𝑏 > 𝑐 > 𝑑. La única forma de que esto sea posible es que 𝑏 = 3, 𝑐 = 2 𝑦 𝑑 = 1. Hasta aquí hemos completado 8 de los 10 números. Queda ubicar los números 5 y 6 en las primeras 2 casillas. No es difícil ver que las 2 formas de ubicarlos cumplen las restricciones del problema: 5

6

7

4

8

3

9

2

10

1

6

5

7

4

8

3

9

2

10

1

Concluimos que hay 2 maneras de distribuir los números en las casillas para que cumplan las condiciones del problema. 𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑫

3.6.- Actividad 6 Problema N° 01 Tenemos un aro, alrededor del cual hemos escrito nueve números, que son 1 ó 0. No todos ellos son 1 ni 0. Entonces, en cada paso escribimos, entre cada dos números un 1 si los dos números son iguales o un 0 si los dos números son distintos, y luego borramos los números que teníamos al principio. ¿Es posible, en un número finito de pasos, conseguir que los nueve números sean 1?

4. Guía de trabajo Nº 02 En un problema, como ocurre con las matemáticas y las ciencias en general, podemos distinguir dos momentos que son, el de exploración/descubrimiento, y el de la justificación/validación (Piaget). En el primer momento, se utiliza todas aquellas estrategias heurísticas de las que dispone para la elaboración de una conjetura, que es una afirmación que le parece loable, y que puede ser aceptada o rechazada, en este último caso puede proceder a modificarla. En el segundo momento, se intenta buscar y dar argumentos para un razonamiento que la certifique. En relación a la clasificación de problemas de Polya (1965) si el momento preponderante es el de justificación, estaríamos ante "un problema por demostrar"; cuando está presente el momento de exploración, estamos ante un "problema por resolver". 4.1.- Actividad 1 Ejercicio N° 04 En la figura se muestra un terreno en forma de cuadrado de 25 m de lado. Luego de dividir el terreno a lo largo de una diagonal, una de las partes se dividido una vez más de la siguiente forma:

El área sombreada, cuyo borde es un trapecio, se va a destinar a construir la casa y el resto correspondería a la cochera y el jardín. ¿Cuál debe ser el valor de x si queremos que el área de la casa sea el 42% del total? A) 10 m

B) 12 m

C) 13 m

D) 15 m

E) 20 m

Solución: Hay varias maneras de resolver el problema. Una de ellas es expresar las bases mayor y menor del trapecio en función de 25 y 𝑥, para así poder expresar el área del trapecio en función de 𝑥 e igualarlo con el dato del problema, pues el área también es 42% 252 . Igualando estas expresiones obtendremos una cuadrática con variable 𝑥 y al eliminar la raíz negativa obtendremos el valor de 𝑥. Podemos Construir A2 y A3 como se muestra en la figura., tal que A3 sea un cuadrado. Como A1, A2 y A3 forman todo el cuadrado, todos ellos representan el 100% del área del cuadrado. Ahora, por simetría, A1 y A2 representan el mismo porcentaje del área. Luego, ambos son el 42% del cuadrado. Como A3 completa el 100%, tendremos que A3 representa el 16% del total. Tenemos de aquí lo siguiente: 𝑦2 16 𝑦 4 = → = 2 25 100 25 10 Con esto concluimos que 𝑦 = 10. Como 𝑥 + 𝑦 = 25, tenemos que 𝑥 = 15 Concluimos que 𝑥 = 15 𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑫

4.2.- Actividad 2

Ejercicio N° 05

Luego de una encuesta a los alumnos de educación secundaria de un colegio acerca de su deporte favorito se obtuvo la siguiente información:

Los asteriscos denotan información oculta. ¿Para cuántos alumnos su deporte favorito es el básquet? A) 50

B) 40

C) 65

D) 62

E) 55

Solución: Tenemos 2 columnas con datos incompletos. Se escogerá analizar la columna de los porcentajes. Esto es porque, a diferencia de la columna de número de alumnos, en la columna de porcentajes sabemos cuánto suman sus elementos: 100%. Sea entonces 𝑥% y 𝑦% los porcentajes de alumnos cuyos deportes favoritos son fútbol y vóley, respectivamente. Tenemos los siguientes datos: 𝑥 + 𝑦 + 20 + 16 = 100 𝑥 100 3 = →𝑦= 𝑥 𝑦 60 5 3𝑥 8𝑥 𝑥+ = 64 → = 64 5 5 𝑥 = 40, 𝑦 = 24 Si tenemos que100 personas son el 40% del total (comparando los datos en la fila fútbol), podemos concluir que el 20% del total será la mitad de estos, es decir 50. Podemos concluir que la cantidad de personas cuyo deporte favorito es Básquet es 50. 𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑨

4.3.- Actividad 3

Ejercicio N° 06

Triangular un polígono convexo de n lados consiste en trazar algunas diagonales que no se cortan dentro del polígono, de tal forma que el polígono quede dividido en triángulos. Además, sea Tn el número de formas en que se puede triangular un polígono regular de n lados. Para n = 3, el polígono es un triángulo y no es necesario trazar diagonales para triangularlo, o sea tenemos que T3 = 1. Para n = 4, el polígono es un cuadrado y tenemos que T4 = 2. Para n = 5, el polígono es un pentágono y tenemos que T5 = 5.

Determine el valor de T6. A) 18

B) 9

C) 8

D) 14

E) 7

Solución: Sea 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 el hexágono regular, y consideremos una “triangulación”. Hay dos casos: el primero es que en esta triangulación no haya diagonal que pase por 𝐵, y el otro caso es que haya al menos uno que sí pase. Caso 1: No hay diagonal que pase por B. Como debe haber un triángulo que contenga a BA y no hay diagonal que pase por B, la única manera es que dicho triángulo sea 𝐴𝐵𝐶. Nos queda triangular el pentágono 𝐴𝐶𝐷𝐸𝐹. Pero ya sabemos cuántas triangulaciones hay: 𝑇5 = 5. Así que en este caso hay 5 formas. Caso 2: Hay al menos una diagonal que pasa por B. Las 3 diagonales posibles son BF, BE y BD. Analizaremos en ese orden quién es el “primero en aparecer”. Por ejemplo, si en la triangulación aparecen BE y BD, diremos que el primero en aparecer es BE. I) El primero en aparecer es BF Con esto ya tenemos el triángulo 𝐴𝐵𝐹. Queda triangular el pentágono 𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, que ya sabemos que hay 5 formas. En este caso hay 5 triangulaciones. II) El primero en aparecer es BE Con esto tenemos que triangular los cuadriláteros 𝐴𝐵𝐸𝐹 y 𝐵𝐶𝐷𝐸, con la condición que 𝐵𝐹 no es trazada, ya que ya habríamos contado esa triangulación en el punto I). Así, tenemos que la única forma de triangular 𝐴𝐵𝐸𝐹 es trazando 𝐴𝐹, mientras que 𝐵𝐶𝐷𝐸 puede triangularse de 𝑇4 = 2 formas. En este caso tenemos un total de 2 formas posibles. III) El primero en aparecer es BD Con esto tendremos que triangular 𝐴𝐵𝐷𝐸𝐹 sin trazar 𝐵𝐸 𝑦 𝐵𝐹. La única forma de lograr esto es que se trace 𝐴𝐷 y triangular el cuadrilátero 𝐴𝐷𝐸𝐹 de cualquier modo. Sabemos que la cantidad en este caso es 𝑇4 = 2. Así que tenemos 2 triangulaciones más. Hemos contado todas las triangulaciones posibles. Concluimos que la cantidad total es 5 + 5 + 2 + 2 = 14 𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑫

4.4.- Actividad 4 Desafío N° 03 Determine cuántos números de 6 dígitos cumplen que cada dígito pertenece al conjunto [1; 2; 3; 4; 5; 6] (está permitido repetir dígitos) y además la suma de cualesquiera dos dígitos adyacentes es múltiplo de 2 o de 3. Nota: Algunos números de 6 dígitos que cumplen las condiciones requeridas son 111112, 153154 y 666666. A) 36 x 24

B) 34 x 25

C) 212

D) 36 x 23

E) 3 x 211

Solución: Fijemos un número 𝑎. Veamos cuántos números 𝑏 ∈ {1,2,3,4,5,6} cumplen que 𝑎 + 𝑏 es par o múltiplo de 3. Como 𝑎 + 1, 𝑎 + 2, 𝑎 + 3, 𝑎 + 4, 𝑎 + 5 𝑦 𝑎 + 6 son 6 números consecutivos, podemos afirmar que hay exactamente un 6̇ + 1, un 6̇ + 2, un 6̇ + 3, 6̇ + 4, 6̇ + 5 y 6̇. Como hay exactamente uno de cada tipo, podemos ver que de esos 6 múltiplos, exactamente 4 de ellos son o bien pares o bien múltiplo de 3. Así que por cada valor de 𝑎, hay exactamente 4 valores de 𝑏 que hacen que la suma 𝑎 + 𝑏 sea par o múltiplo de 3. Usaremos la Ley de la Multiplicación para este problema y la propiedad mencionada arriba. Podemos escoger el valor del primer dígito del número de 6 formas posibles, ya que aún no hay restricciones. Una vez escogido el primer dígito, por lo visto arriba, el segundo tiene 4 valores posibles para que se cumpla las restricciones del problema. De la misma manera, el tercer, cuarto, quinto y sexto dígito pueden escogerse de 4 formas. Una vez que hemos escogido los 6 dígitos podemos asegurar por la forma que hemos construido que este número cumple las condiciones del problema. Con estos datos, podemos calcular que la cantidad de números de 6 dígitos que cumplen las condiciones del problema es 6 𝑥 4 𝑥 4 𝑥 4 𝑥 4 𝑥 4 = 3 𝑥 211 𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑬

4.5.- Actividad 5 Desafío N° 04 forma:

Un niño escribió en su cuaderno todos los números naturales desde el 1 al 200, de la siguiente 1, 2, 3, 4, … , 200.

Luego, borró cada número par y en su lugar escribió la mitad de dicho número. Al final de este proceso, en el cuaderno del niño hay 200 números, pero algunos están repetidos. ¿Cuántos números diferentes hay en el cuaderno del niño?

Solución: Separamos los nuevos números en 2: aquellos que no fueron borrados y aquellos que fueron escritos al final. Al primer grupo lo llamamos 𝐴 y al segundo 𝐵. No es difícil ver que el conjunto 𝐴 está formado por los primeros 100 impares positivos, y el producto 𝐵 está formado por los primeros 100 enteros positivos. También podemos notar que para que un número se repita, tiene que aparecer en 𝐴 y en 𝐵 a la vez, y puede repetirse como máximo 2 veces. Con esta información, podemos deducir que los números que se repiten son los impares están en 𝐵, es decir, los primeros 50 impares consecutivos. Como de los 200 números escritos en la pizarra, 50 de ellos se repiten exactamente 2 veces, podemos concluir que la cantidad de números distintos se obtendrá al borrar cada número repetido exactamente una vez; es decir, restar 50 números a los 200. Esto es un total de 150. 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟓𝟎 4.6.- Actividad 6

Problema N° 02

Sea n un número impar. Escribimos en una pizarra los números del 1 al 2 n. A cada paso podemos escoger dos números cualesquiera de la pizarra, a y b, borrarlos y escribir en su lugar | a - b |. Demostrar que al final del proceso siempre quedará en la pizarra un número impar.

5. Guía de trabajo Nº 03 La experiencia escolar que se ha venido impartiendo en nuestras escuelas casi siempre sofoca la creatividad del estudiante y destruye su confianza en sus propias posibilidades de resolver problemas singulares, la experiencia de participar en una competencia olímpica bien diseñada puede reanimar su interés en matemáticas, reencender su curiosidad intelectual frente a ella y su confianza en sus propios medios para dominar problemas. La participación en competencias inspira en muchos estudiantes un interés creciente en la matemática e incrementa el deseo que tienen para aprender más matemáticas. Las habilidades que una persona requiere para resolver con éxito un problema son variadas y dependen del tipo de problema a resolver, estas involucran procesos de reflexión, de ensayo y error, de conjetura, de búsqueda de patrones, de razonamiento, inducción y deducción, entre otras. Hoy día la resolución de problemas no aparece aislada en el currículo, sino integrada en las distintas áreas de las matemáticas. Desde la perspectiva de la educación matemática, la incorporación de las TIC ofrece un impulso para ampliar y mejorar las estrategias heurísticas en la resolución de problemas. 5.1.- Actividad 1

Ejercicio N° 07 Un niño hizo una encuesta a 11 personas haciéndoles la siguiente pregunta: ¿Cuántos libros leíste el año pasado? Las respuestas que obtuvo fueron las siguientes: 1; 5; 5; 1; 2; 3; 5; 2; 3; 5; n: Al calcular la mediana, media y moda de los 11 datos resultó que estos números son tres enteros positivos consecutivos (en algún orden). Determine la suma de n con la mediana de los 11 datos. Nota: Recuerde que la mediana de una cantidad impar de números se determina de la siguiente forma: se ordena los números de menor a mayor, y la mediana se define como el número que aparece en la posición central. Por ejemplo, la mediana de los números 2; 5; 2; 1; 4 es 2 porque al ordenar dichos números de menor a mayor obtenemos 1; 2; 2; 4; 5 y el 2 es el que está en la posición central. A) 15

B) 9

C) 11

D) 12

E) 17

Solución: Ordenando las primeras 10 respuestas que obtuvo el niño de forma creciente y apartamos la última respuesta al final. El orden sería el siguiente: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 5 − 𝑛 Evidentemente, dependiendo de qué valor es el que toma 𝑛, la media, la moda y la mediana pueden variar. Analicemos qué datos podemos extraer. No es difícil calcular la media en función de n. Recordemos que la media de un grupo de números resulta ser el promedio de todos estos. La media resulta ser: 𝑥̅ =

1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 5 + 5 + 5 + 5 + 𝑛 32 + 𝑛 = 11 11

La moda de un grupo de números es aquel que se repite más veces. Observemos que, sin contar el 𝑛, el número que más se repite es 5, mientras que los demás números solo se repiten 2. Podemos deducir que, sin importar el valor de 𝑛, el número que más se repetirá en los 11 seguirá siendo 5, porque no podemos obtener otro número que se repita como mínimo 4 veces aumentando solo un número al conjunto de los primeros 10 números. De aquí, concluimos que la moda de las 11 respuestas es 𝑀𝑜 = 5. Del texto, podemos decir que la mediana de un grupo de 11 términos ordenados de forma ascendente es el término central, que es el sexto. Si observamos los 10 números conocidos en forma creciente, podemos ver que el sexto elemento de estos 10 términos resulta ser 3: 1, 1, 2, 2, 3, 𝟑, 5, 5, 5, 5

Dependiendo del valor que tome 𝑛, su posición al ordenar de forma ascendente puede estar a la derecha o a la izquierda del número sombreado. Analicemos cómo afecta al valor de la mediana. Si 𝑛 está a la derecha del valor sombreado, el término central de las 11 respuestas seguirá siendo el sexto número de los 10 iniciales. Así que en este caso la mediana será 𝑀𝑒 = 3. 1, 1, 2, 2, 3, 𝟑, 5 , 𝑛, 5, 5, 5, 5 → 𝑀𝑒 = 3 Si 𝑛 está a la izquierda del valor sombreado, la posición del término sombreado será la posición 7, porque 𝑛 lo desplazó una posición a la derecha. La mediana entonces será el término anterior al sombreado, que solo puede ser 3 o 𝑛. Pero si fuera 𝑛, tendríamos que este número está entre dos 3 consecutivos. Como la secuencia está ordenada ascendentemente, la única forma que esto pase es que 𝑛 sea 3, así que de cualquier modo la mediana será 3 en este caso. 1, 1, 2 , 𝑛, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 5 → 𝑀𝑒 = 3 1, 1, 2 , 2, 3, 𝑛, 3, 5, 5, 5, 5 → 𝑀𝑒 = 𝑛 = 3 Nos damos cuenta que cualquiera que sea el valor de 𝑛, la mediana será 3. Como tenemos que 𝑀𝑜 = 5 , 𝑀𝑒 = 3 y tanto media, mediana y moda son 3 números consecutivos, deducimos que 𝑥̅ = 4. Reemplazando la igualdad que tuvimos al inicio tenemos que 32 + 𝑛 11 44 = 32 + 𝑛 𝑛 = 12

4 = 𝑥̅ =

Piden el valor de 𝑀𝑒 + 𝑛 = 3 + 12 = 15 𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑨

5.2.- Actividad 2 Ejercicio N° 08 Cada una de las cuatro circunferencias mostradas tiene radio 1 cm y es tangente a uno o dos lados del triángulo. Además, tres circunferencias son tangentes entre sí y una de las circunferencias es tangente a las otras tres. Calcule el área del triángulo.

Solución: Por comodidad llamemos 𝐴𝐵𝐶 el triángulo rectángulo. Sean 𝑂1 , 𝑂2 , 𝑂3 𝑦 𝑂4, los centros de las circunferencias en la figura, y sea 𝐷 𝑦 𝐸 los puntos de tangencias de las circunferencias al lado 𝐴𝐵, como se muestra en la figura.

Como todas las circunferencias mostradas son tangentes y los radios son iguales a 1cm, no es difícil ver que 𝑂1 𝑂2 𝑂3 es un triángulo equilátero de lado 2cm. Además de esto, 𝑂1 𝑂2 es paralelo a 𝐴𝐵, así como 𝑂2 𝑂3 es paralelo a 𝐴𝐶. Con esto tenemos que el ángulo 𝐵𝐴𝐶 tiene que ser el mismo que el ángulo 𝑂1 𝑂2 𝑂3. De aquí ∠𝐵𝐴𝐶 = 60°. Para hallar el área del triángulo solo necesitamos uno de los lados para que el triángulo esté determinado. Analizaremos el segmento 𝐴𝐵 ya que es ahí que tenemos más datos. Como ∠𝐴𝐵𝐶 = 90°, el triángulo 𝐵𝐷𝑂1 es rectángulo isósceles, por lo que 𝐵𝐷 = 𝑂1 𝐷 = 1 𝑐𝑚 Como 𝐷𝐸𝑂2 𝑂1 es rectángulo, tenemos que 𝐷𝐸 = 𝑂1 𝑂2 = 2 𝑐𝑚. Como ∠𝐵𝐴𝐶 = 60° y 𝐵𝑂2 es bisectriz, tenemos que 𝐴𝐸𝑂2 es un triángulo rectángulo con ∠𝐸𝐴𝑂2 = 30°. Como 𝐸𝑂2 = 1 𝑐𝑚, tenemos que 𝐴𝐸 = √3 𝑐𝑚. Sumando todos estos segmentos tenemos que 𝐴𝐵 = 𝐴𝐸 + 𝐸𝐷 + 𝐷𝐵 = 3 + √3 𝑐𝑚. Como 𝐴𝐵𝐶 es triángulo rectángulo notable, tenemos que 𝐵𝐶 = 3 √3 + 3 𝑐𝑚. Con estos datos tenemos que el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶 es: 𝐴𝐵. 𝐵𝐶 (3 + √3)(3√3 + 3 ) = = 9 + 6√3 2 2

𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑩

5.3.- Actividad 3 Ejercicio N° 09 En la figura se muestra tres segmentos dentro de un cuadrado. El segundo segmento tiene longitud 2 cm y es perpendicular a los otros dos segmentos de longitudes 5 cm y 9 cm.

¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado? A) 11 cm B) 10 cm C) 14 cm cm

D) 7√2 cm

E)6√2

Solución: Sea 𝐴𝐵𝐶𝐷 el cuadrado dado y 𝐸 𝑦 𝐹 los puntos al interior del cuadrado. Sea 𝐸′ el punto en la prolongación de 𝐶𝐹 tal que 𝐴𝐸𝐹𝐸′ es un rectángulo. No es difícil darse cuenta que 𝐴𝐸 ′ 𝐶 es un triángulo rectángulo con hipotenusa 𝐴𝐶. Usaremos el Teorema de Pitágoras para hallar 𝐴𝐶: 200 = 22 + 142 = 22 + (5 + 9)2 = 𝐴𝐸 ′2 + 𝐸 ′ 𝐶 2 = 𝐴𝐶 2 𝐴𝐶 = 10√2 Como tenemos la diagonal, no es difícil ver que los lados del cuadrado valen

𝐴𝐶 √2

= 10 𝑐𝑚. 𝑪𝒍𝒂𝒗𝒆 𝑩

5.4.- Actividad 4

Desafío N° 05

Sea x un número entero positivo. La distancia en la recta numérica entre los puntos que representan a los números -2 y x, es igual a la mitad de la distancia entre los puntos que representan a los números 2 y (x - 14). Calcule la suma de los dígitos del número x3. Solución:

Como sabemos que 𝑥 es positivo, la distancia entre −2 y 𝑥 será 𝑥 − (−2) = 𝑥 + 2. Por otro lado, como no sabemos si (𝑥 − 14) está a la derecha o izquierda de 2, solo podemos afirmar que la distancia entre estos dos números es |(𝑥 − 14) − 2| = |𝑥 − 16| (en el caso de −2 y 𝑥, sabíamos que −2 estaba a la izquierda de 𝑥). Reemplazando los datos del problema tenemos que: |𝑥 − 16| 𝑥+2= → |𝑥 − 16| = 2𝑥 + 4 2 Si 𝑥 − 16 fuera positivo, reemplazando tendríamos que 𝑥 − 16 = 2𝑥 + 4 → 𝑥 = −20 → 𝑥 − 16 < 0 Esto no es posible. Tenemos entonces que 𝑥 − 16 ≤ 0 y entonces: 16 − 𝑥 = 2𝑥 + 4 → 12 = 3𝑥 → 𝑥 = 4 Piden la suma de los dígitos de 𝑥 3 = 43 = 64. La respuesta es 6 + 4 = 10 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟎

5.5.- Actividad 5 Desafío N° 06 Paulo dibujó un triángulo acutángulo ABC y en el lado AC ubicó los puntos D y E, de tal forma que los puntos A, D. E, C aparecen en ese orden. Luego, trazó los segmentos BD y BE. Si los triángulos ABD, BDE y BEC son isósceles, y además, ∟BDA = 80°, determine la medida de ∟ABC. Nota: Recuerde que un triángulo acutángulo es aquel que tiene sus tres ángulos interiores agudos y un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados iguales. Solución: El triángulo 𝐵𝐷𝐸 tiene como uno de sus ángulos internos ∠𝐵𝐷𝐸 = 180° − ∠𝐵𝐷𝐴 = 100°. La única forma de que sea isósceles es que 𝐵𝐷 = 𝐷𝐸. Completando ángulos tenemos que ∠𝐷𝐵𝐸 = ∠𝐷𝐸𝐵 = 40°. Del mismo modo, analizando el triángulo 𝐵𝐸𝐶, tenemos que ∠𝐵𝐸𝐶 = 180° − ∠𝐷𝐸𝐵 = 140°. La única manera de que sea isósceles es que 𝐵𝐸 = 𝐸𝐶. Completando ángulos tenemos que ∠𝐸𝐵𝐶 = ∠𝐸𝐶𝐵 = 20°. Como el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es acutángulo, cada uno de sus ángulos es agudo. Así tenemos: 90° > ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐵𝐷 + ∠𝐷𝐵𝐸 + ∠𝐸𝐵𝐶 = 60° + ∠𝐴𝐵𝐷 → ∠𝐴𝐵𝐷 < 30° Como el triángulo 𝐴𝐵𝐷 es isósceles y ∠𝐴𝐵𝐷 < 30°, la única forma de que eso sea posible es que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷, es decir, ∠𝐴𝐵𝐷 = 20°. Con esto podemos concluir que ∠𝐴𝐵𝐶 = 60° + 20 ° = 80°

𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟖𝟎

5.6.- Actividad 6 Problema N° 03 Un grupo de diez amigos va a un restaurante a comer. Al final de la comida, el camarero les trae la cuenta, de un total de 225 nuevos soles. Prueba que podemos escoger dos de ellos de modo que entre los dos pagarán al menos 45 nuevos soles.

BLOQUE 2: Creación de Problemas de Olimpiadas de Matemática 1.- Introducción: En la actualidad las personas se sorprenden al escuchar que alguien estudia matemáticas, porque suele considerarse como un área de mucha complejidad. Sería interesante ver las matemáticas desde otra perspectiva, una que permita crear conflictos cognitivos en el estudiante al enfrentarse ante un problema, pues es esto lo que lo inspira a buscar uno u otro medio para darle solución. La matemática es una asignatura que se estudia en todos los países del mundo y en todos los niveles educativos, los cuales supone un pilar básico en la enseñanza. Entre otros temas, esta ciencia estudia las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Pero a mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Por otro lado, aprender a pensar matemáticamente es muy importante, requiere no solo el tener una gran cantidad de conocimientos, sino que además se necesita de flexibilidad y dominio de dichos conocimientos y del uso efectivo de los recursos cognitivos propios para comprender y aceptar reglas. Así un aspecto importante en el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes es el desarrollo de estrategias, métodos, recursos y una amplia disposición para hacer parte de tareas y actividades que evidencien el quehacer matemático.

2.- Guía de lectura introductoria Se entregará el día de la exposición 3. Guía de trabajo Nº 01 3.1.- Actividad 1 Problema N° 01 Se colocan 2n+1 fichas, blancas y negras, en una fila (n ≥ 1). Se dice que una ficha está equilibrada si el número de fichas blancas a su izquierda, más el número de fichas negras a su derecha es n. Determina, razonadamente, si el número de fichas que están equilibradas es par o impar. Solución: Numeramos las posiciones en la _la desde 1 hasta 2n + 1, de izquierda a derecha. Definimos la valoración de una cierta posición k = 1; 2; … ; 2n+1 como el número de fichas blancas a su izquierda más el número de fichas negras a su derecha, con lo que una ficha está equilibrada si y sólo si su valoración es igual a n. Supongamos que las fichas en posiciones k y k + 1 tienen distinto color. El número de fichas blancas a su izquierda en las posiciones 1; 2; … ; k -1 y el número de fichas negras a su derecha en las posiciones k +2; k +3; … ; 2n+1 son los mismos para ambas. La suma de estas dos cantidades es la valoración común de ambas si la ficha en posición k es negra y la ficha en posición k + 1 es blanca; pero en caso contrario, la ficha negra en k + 1 tiene una ficha blanca adicional a su izquierda, y la ficha blanca en posición k tiene una ficha negra adicional a su derecha, con lo que la valoración de estas dos fichas es en cualquiera de los dos casos la misma. Tenemos entonces que, sean cuales sean sus colores, si intercambiamos las fichas en posiciones k y k +1, la paridad del número de fichas equilibradas no varía. En efecto, la valoración de las fichas en las posiciones 1; 2; … ; k - 1 y en las posiciones k + 2; k + 3; … ; 2n + 1 no varían con el cambio, si las fichas en posiciones k y k +1 tienen el mismo color simplemente intercambian sus valoraciones, y si tienen distinto color, entonces ambas tienen la misma valoración antes del cambio, y ambas tienen la misma valoración después del cambio, luego el número de fichas equilibradas permanece constante, puede aumentar en 2, o reducirse en 2. Como toda permutación se puede descomponer en intercambios sucesivos de elementos contiguos, la paridad del número de fichas equilibradas no cambia cuando situamos todas las fichas negras en las primeras posiciones de la fila, y todas las blancas en las últimas posiciones de la fila. Sea a el número de fichas negras y b el de fichas blancas, con la condición de que a+b = 2n+1. Representamos la fila de fichas blancas y negras mediante un camino en el interior de un rectángulo a x b, que empieza por la esquina inferior izquierda del rectángulo. La fila se recorre de izquierda a derecha. Si la ficha es negra se marca un paso unidad hacia arriba, y si es blanca, un paso unidad hacia la derecha. Se considera el segmento L que une dos lados paralelos del rectángulo, pasa por su centro O, y forma ángulos de 45° con los lados del mismo. El rectángulo queda así dividido por L en dos polígonos simétricos respecto del punto O. Y las fichas equilibradas corresponden precisamente a los pasos del camino que cruzan L. Si consideramos la fila con todas las fichas negras al principio de la fila a la izquierda de las fichas blancas (lo cual no altera la paridad del número de fichas equilibradas), entonces el correspondiente camino es formado por el lado vertical del rectángulo y el lado superior del mismo. Así L corta una vez al camino y por tanto el número de fichas equilibradas es impar.

3.2.- Actividad 2 Problema N° 02 Se dispone de una fila de 2018 casillas, numeradas consecutivamente de 0 a 2017. Inicialmente, hay una ficha colocada en la casilla 0. Dos jugadores A y B juegan alternativamente, empezando A, de la siguiente manera: En su turno, cada jugador puede, o bien hacer avanzar la ficha 53 casillas, o bien hacer retroceder la ficha 2 casillas, sin que en ningún caso se sobrepasen las casillas 0 o 2017. Gana el jugador que coloque la ficha en la casilla 2017. ¿Cuál de ellos dispone de una estrategia ganadora, y cómo tendría que jugar para asegurarse ganar? Solución: Vamos a probar que el jugador A tiene estrategia ganadora. Comienza de la única forma posible: llevando la ficha hasta la casilla 53. A partir de ahí, durante 38 turnos dobles BA, el jugador A haría lo contrario de B: si B avanza 53, A retrocede 2, y viceversa. De este modo, la ficha queda en la casilla 53+38x51 = 1991 y es turno de B. Los siguientes movimientos son forzados: 7 turnos dobles BA de restar. La ficha queda en la casilla 1991-14x2 = 1963 y es turno de B. Ahora: 1. Si B avanza 53, dejaría la ficha en la casilla 2016 y tras 13 turnos dobles AB, forzados, la ficha queda en la casilla 2016-26x2 = 1964 y A gana sumando 53. 2. Si B resta 2, dejaría la ficha en la casilla 1961. Entonces, A avanza 53 para dejarla en 2014. Tras 12 turnos dobles forzados BA, la ficha queda en 2014-24x2 = 1966. Después, B está obligado a restar 2 hasta 1964 y, en su turno, A gana sumando 53.

3.3.- Actividad 3 Problema N° 03 Sean m ≥ 1 un entero positivo, a y b enteros positivos distintos mayores estrictamente que m 2 y menores estrictamente que m2 + m. Hallar todos los enteros d, que dividen al producto ab y cumplen m 2 < d < m2 + m. Solución: Sea d un entero positivo que divida a ab y tal que d ∈ (m2,m2+m). Entonces d divide a (a−d)(b−d) =ab − da − db + d2. Como que |a − d|