• Author / Uploaded
• Fátima Solar Alarcón

Citation preview

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2019-2 UNIDAD 3: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIAS VARIABLES SESIÓN 12: DERIVADAS PARCIALES

MÓDULO 12

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

1

ÁREA DE MATEMÁTICAS

Unidad 3: Derivada de una función real de varias variables FACULTAD DE NEGOCIOS

MATEMÁTICA 1

SESIÓN 12: DERIVADAS PARCIALES I.

Logro de sesión

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a la administración y economía a partir de las derivadas parciales, e interpretando su resultado de forma coherente.

II.

Introducción

En la unidad 1 se estudió cómo optimizar la utilidad de una empresa, teniendo en cuenta que los ingresos y costos están escritos como funciones de una sola variable, a saber, el número de unidades producidas. Pero, por supuesto, el nivel de producción en sí, está determinado por otros factores, y en general, ninguna variable sola puede representarlo

SESIÓN 1: CURVAS PARAMÉTRICAS Y SUS APLICACIONES

y se dice que C es una curva paramétrica en el plano cartesiano. III.

Preliminares

Como tarea previa a la sesión, se tiene que revisar y recordar las definiciones geométricas y las ecuaciones estándar de: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Estas curvas reciben el nombre de secciones cónicas o, simplemente. Para mayor alcance pueden revisar

los

conceptos

y

definiciones

en

el

siguiente

enlace:

https://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/conicas.pdf

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

2

ÁREA DE MATEMÁTICAS

IV.

Fundamento teórico

Ecuación paramétrica Se le llama así, aquellas ecuaciones en las cuales las variables 𝑥 e 𝑦 actúan como funciones, ambas con respecto a una tercera variable denotada por “𝑡” y se le llama “parámetro” a esta variable independiente. Estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general: {

𝑥 = 𝑓(𝑡) , 𝑡𝜖𝐼, 𝑦 = 𝑔(𝑡)

donde las funciones 𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡) son continuas en el intervalo 𝐼. SESIÓN 1: CURVAS PARAMÉTRICAS Y SUS APLICACIONES

Es importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan a una sola curva referida a un sistema de ejes cartesianos llamada curva paramétrica. Ejemplo 1. 1. Ejemplo

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

3

ÁREA DE MATEMÁTICAS

Grafique la siguiente ecuación paramétrica por tabulación e indique la orientación de la curva paramétrica para 𝐶: {

𝑥 = 𝑡2 , 𝑦 = 𝑡3

− 1 ≤ 𝑡 ≤ 2.

Solución. Realizamos una tabulación de algunos valores para el parámetro 𝑡 . Recuerde que toda ecuación paramétrica tiene el intervalo para el cual toma valores el parámetro "𝑡" y en este caso, se tiene el intervalo −1 ≤ 𝑡 ≤ 2. Por lo que solo podemos dar valores a "𝑡" por comodidad valores enteros desde -1 a 2.

𝒕

𝒙

𝒚

−1

1

−1

0

0

0

1

1

1

2

4

8

Ejemplo Ejemplo1.2. Grafique la siguiente ecuación paramétrica por tabulación e indique la orientación de la curva paramétrica para 𝐶: {

𝑥 =𝑡−1 , 𝑦 = 2𝑡 + 2

− 1 ≤ 𝑡 ≤ 2.

Solución. SESIÓN 1: CURVAS PARAMÉTRICAS Y SUS APLICACIONES

Llene la tabla con los valores de "𝑡", sabiendo que tienes el intervalo −1 ≤ 𝑡 ≤ 2. Luego, graficar cada par ordenado conformado por los valores de 𝑥 e 𝑦 en el plano cartesiano y

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

4

ÁREA DE MATEMÁTICAS

luego,

unes

cada

punto.

Ejemplo 3.

𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡 ) Grafique la siguiente ecuación paramétrica 𝐶: { 𝑦 = cos(𝑡 ) , 𝑡 𝑧=

0 ≤ 𝑡 ≤ 5𝜋 en tres

3

dimensiones por medio de la tabulación en el espacio tridimensional.

SESIÓN 1: CURVAS PARAMÉTRICAS Y SUS APLICACIONES

Ejemplo 4.

[Túnel que une dos distritos de Lima]

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

5

ÁREA DE MATEMÁTICAS

¿cómo podrías parametrizar la curva que describe la entrada del túnel? ¿qué clase de cónica podrías utilizar para aproximar la ecuación cartesiana y paramétrica la entrada del túnel?

Aproxime la curva mediante un gráfico en el siguiente plano cartesiano.

GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA

ING. CIVIL

UNIDAD 1: CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

6

ÁREA DE MATEMÁTICAS

TALLER 1: CURVAS PARAMÉTRICAS Y SUS APLICACIONES

NIVEL 1: [Conocimiento/Compresión] 1. Grafique las siguientes ecuaciones paramétricas e indique su dominio y rango. a)

x  t 1, y  3t  2, t 0,2

b)

x  t  1, y  t 2  1, t [3; 3]

c)

x  t , y  t 2  2, t 0,2

d)

x  et , y  e2t  1, t [1; 1]

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

7

ÁREA DE MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA

𝑥 = 𝑡2 − 𝑡 2. Se tiene la siguiente ecuación paramétrica 𝐶: { . Obtenga la gráfica para 𝑦 =𝑡+1 los siguientes intervalos e indique la orientación para cada una. ¿Podrás obtener su ecuación cartesiana? Inténtalo por eliminación del parámetro "𝑡". A) −∞ < 𝑡 < +∞

B) −1 ≤ 𝑡 ≤ 2

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

8

ÁREA DE MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA

3. Por eliminación del parámetro, obtenga las ecuaciones cartesianas a partir de las siguientes ecuaciones paramétricas: a) 𝑥 = 𝑡 + 1, 𝑦 = 𝑡 2 , −2 ≤ 𝑡 ≤ 3

d) 𝑥 = 𝑒 𝑡 , 𝑦 = 𝑒 2𝑡 , −2 ≤ 𝑡 ≤ 3

b) 𝑥 = 2𝑡, 𝑦 = 𝑡 2 + 4, −1 ≤ 𝑡 ≤ 5

e)

c) 𝑥 = 𝑡 + 1, 𝑦 = 𝑡 2 , −2 ≤ 𝑡 ≤ 3

x  et , y  e2t  1, t [1; 1]

f) 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = √1 − 𝑡 2 , 0 ≤ 𝑡

4. Utilizando la identidad trigonométrica visto en clase, obtenga la ecuación cartesiana, para cada una de las siguientes ecuaciones paramétricas: a) 𝑥 = cos(𝑡), 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 b) 𝑥 = cos(2𝑡), 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 c) 𝑥 = 3cos(𝑡), 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 d) 𝑥 = 3 + cos(𝑡) , 𝑦 = 2 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 e) 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 3, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 f) 𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 3, 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋

5. Parametrice las siguientes ecuaciones cartesianas y obtenga su gráfico, indicando su orientación: A)

𝑥2 9

+

𝑦2 4

=1

C) (𝑥 − 4)2 + (𝑥 − 4)2 = 4

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

B)

𝑥2 4

+

𝑦2 9

=1

D) (𝑥 + 4)2 + (𝑥 + 4)2 = 4

9

ÁREA DE MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA

NIVEL 2: [Aplicación/análisis] 6. Del siguiente cuadro, obtenga su respectiva ecuación cartesiana y paramétrica para cada uno de ellos. CIRCUNFERENCIA

LA ELIPSE

Ecuación cartesiana:

Ecuación cartesiana:

Ecuación paramétrica:

Ecuación paramétrica:

PARABOLA

PARABOLA

Ecuación cartesiana:

Ecuación cartesiana:

Ecuación paramétrica:

Ecuación paramétrica:

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

10

ÁREA DE MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA

7. Parametrice la curva que se encuentra en el cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 a 2 unidades del plano xy, en sentido anti horario visto desde la parte superior del cilindro.

8. Parametrice la curva que se encuentra en la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 9 a 2 unidades del plano xy, en sentido anti horario visto desde la parte superior de la esfera.

9. Parametrice el borde del triángulo mostrado en sentido anti horario visto desde el eje Z positivo.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

11

ÁREA DE MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA

NIVEL 3: [Síntesis/evaluación] 10. Del siguiente gráfico, obtenga la ecuación cartesiana y paramétrica de la curva 𝐶 de intersección de las superfícies 𝑆1 : 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1, 𝑆2 : 𝑦 + 𝑧 = 2.

11. Parametrice la curva que representa el borde de la región sombreada en cada gráfico del siguiente cuadro: B)

A)

C)

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

D)

12

ÁREA DE MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA

12. En la siguiente tabla, se tiene el cuadro “Los siete puentes más importantes de china”. Se pide que ingrese al enlace AQUÍ e investigue cada uno de “Los siete puentes más importantes de china”. Forme grupos de 4 estudiantes y cada grupo escoja uno de los siete puentes y encuentre de manera aproximada su respectiva ecuación cartesiana y parametrizar la curva que describe el puente. 1. Puente Chaotianmen

2. Puente Xihoumen

3. Puente de Lupu

4. Puente de la bahía de Qingdao

5. Puente Siduhe

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

13

ÁREA DE MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA

6. Puente Ferroviario Beipanjiang

V.

7. Puente Liuguanghe

Referencia bibliográfica N°

CÓDIGO

AUTOR

TITULO

EDITORIAL

AÑO

1

516.3 OROZ

Orozco Mayren, Gilberto

Geometría Analítica: Teoría y Aplicaciones.

Trillas

2007

2

516.182 ESPI/E

Espinoza, Ramos Eduardo

Geometría Vectorial en R3

2004, s.n.

2004

Enlaces web: 

https://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/conicas.pdf



https://sites.google.com/site/geometriaanalitica3o/unidad-3/las-conicas



https://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica



https://matematica.laguia2000.com/general/las-conicas

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

14

ÁREA DE MATEMÁTICAS